第01講 數(shù)列的概念及其表示（含數(shù)列周期性單調(diào)性和數(shù)列通項(xiàng)公式的構(gòu)造）（教師版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫

Page第01講數(shù)列的概念及其表示（含數(shù)列周期性單調(diào)性和數(shù)列通項(xiàng)公式的構(gòu)造）（7類核心考點(diǎn)精講精練）1.5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2024年新Ⅱ卷，第19題,17分由遞推關(guān)系證明等比數(shù)列求直線與雙曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)向量夾角的坐標(biāo)表示2024年全國(guó)甲卷，第18題,12分利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)錯(cuò)位相減法求和2023年全國(guó)甲卷（理科），第17題,10分利用與關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)錯(cuò)位相減法求和2022年新I卷，第17題,10分利用與關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)累乘法求數(shù)列通項(xiàng)利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求數(shù)列中的項(xiàng)裂項(xiàng)相消法求和2022年全國(guó)甲卷（理科），第17題,10分求數(shù)列最值利用與關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)2022年全國(guó)乙卷（理科），第4題,5分判斷數(shù)列單調(diào)性數(shù)學(xué)新文化2021年全國(guó)甲卷（理科），第7題,10分判斷數(shù)列單調(diào)性充分條件與必要條件2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度中等，小題分值為5-6分，大題13-17分【備考策略】1.掌握數(shù)列的有關(guān)概念和表示方法2.能利用與的關(guān)系以及遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式3.理解數(shù)列是一種特殊的函數(shù),能利用數(shù)列的周期性、單調(diào)性解決簡(jiǎn)單的問題【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，?？疾槔门c關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)及通項(xiàng)公式構(gòu)造的相關(guān)應(yīng)用，需綜合復(fù)習(xí)知識(shí)講解1．?dāng)?shù)列的有關(guān)概念概念含義數(shù)列的定義按照一定順序排列的一列數(shù)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)數(shù)列的通項(xiàng)數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an通項(xiàng)公式數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與n之間的關(guān)系能用公式an＝f(n)表示，這個(gè)公式叫做數(shù)列的通項(xiàng)公式前n項(xiàng)和數(shù)列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做數(shù)列的前n項(xiàng)和2.數(shù)列的分類分類標(biāo)準(zhǔn)類型滿足條件項(xiàng)數(shù)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限無窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無限項(xiàng)與項(xiàng)間的大小關(guān)系遞增數(shù)列an＋1＞an其中n∈N*遞減數(shù)列an＋1＜an常數(shù)列an＋1＝an擺動(dòng)數(shù)列從第二項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列數(shù)列的表示方法列表法列表格表示n與an的對(duì)應(yīng)關(guān)系圖象法把點(diǎn)(n，an)畫在平面直角坐標(biāo)系中公式法通項(xiàng)公式把數(shù)列的通項(xiàng)使用公式表示的方法遞推公式使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示數(shù)列的方法4．若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，通項(xiàng)公式為an，則an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))（1）已知Sn求an的三個(gè)步驟(1)先利用a1＝S1求出a1.(2)用n－1替換Sn中的n得到一個(gè)新的關(guān)系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出當(dāng)n≥2時(shí)an的表達(dá)式．(3)注意檢驗(yàn)n＝1時(shí)的表達(dá)式是否可以與n≥2的表達(dá)式合并．（2）Sn與an關(guān)系問題的求解思路根據(jù)所求結(jié)果的不同要求，將問題向兩個(gè)不同的方向轉(zhuǎn)化．(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn－1的關(guān)系式，再求解．(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an，an－1的關(guān)系式，再求解．5．在數(shù)列{an}中，若an最大，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1.))若an最小，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1.))6.根據(jù)形如an＋1＝an＋f(n)(f(n)是可以求和的)的遞推公式求通項(xiàng)公式時(shí)，常用累加法求出an－a1與n的關(guān)系式，進(jìn)而得到an的通項(xiàng)公式．7.根據(jù)形如an＋1＝an·f(n)(f(n)是可以求積的)的遞推公式求通項(xiàng)公式時(shí)，常用累乘法求出eq\f(an,a1)與n的關(guān)系式，進(jìn)而得到an的通項(xiàng)公式．8.形如an＋1＝eq\f(pan,qan＋r)(p，q，r是常數(shù))的數(shù)列，將其變形為eq\f(1,an＋1)＝eq\f(r,p)·eq\f(1,an)＋eq\f(q,p).若p＝r，則eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差數(shù)列，且公差為eq\f(q,p)，即可用公式求通項(xiàng)．9.根據(jù)形如an＋1＝pan＋q的遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式時(shí)，一般先構(gòu)造公比為p的等比數(shù)列{an＋x}，即將原遞推關(guān)系式化為an＋1＋x＝p(an＋x)的形式，再求出數(shù)列{an＋x}的通項(xiàng)公式，最后求{an}的通項(xiàng)公式．10.數(shù)列的周期性對(duì)于無窮數(shù)列,如果存在一個(gè)正整數(shù),對(duì)于任意正整數(shù)恒有成立,則稱是周期為的周期數(shù)列.的最小值稱為最小正周期,簡(jiǎn)稱周期.考點(diǎn)一、數(shù)列周期性的應(yīng)用1．（湖南·高考真題）已知數(shù)列滿足，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】計(jì)算出的前四項(xiàng)的值，可得出，由此可求得的值.【詳解】因?yàn)閿?shù)列滿足，，，，，，由上可知，對(duì)任意的，，.故選：B.2．（2024·山東濟(jì)寧·三模）已知數(shù)列中，，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】利用數(shù)列的遞推公式求出數(shù)列的周期，即可求解.【詳解】由，得，，，，，，則是以6為周期的周期數(shù)列，所以.故選：C3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，，，數(shù)列，滿足，則數(shù)列的前2024項(xiàng)的和為．【答案】1【分析】利用數(shù)列的遞推公式求出數(shù)列的項(xiàng)，再利用特殊角的三角函數(shù)值及數(shù)列的周期性，結(jié)合數(shù)列的求和公式即可求解.【詳解】因?yàn)?，，所以…，所以?shù)列的各項(xiàng)依次為3，1，，，，2，3，1，，，，2，…，其周期為6．，，，，，，，，，，，，，，，…，所以數(shù)列是周期為12的周期數(shù)列，前12項(xiàng)依次為3，0，2，0，，0，，0，，0，1，0，其前項(xiàng)12的和為．又，所以數(shù)列的前2024項(xiàng)的和為等于前8項(xiàng)的和．故答案為：.1．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)列中，，若對(duì)，則（

）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)遞推公式得出,進(jìn)而即可．【詳解】由與相減得：，即，又，故，所以.故選：A.2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，數(shù)列的首項(xiàng)為1，且滿足．若，則數(shù)列的前2023項(xiàng)和為（

）A．0 B．1 C．675 D．2023【答案】B【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷得的單調(diào)性，直接由的解析式判斷其奇偶性，再利用數(shù)列的周期性轉(zhuǎn)化條件，結(jié)合的性質(zhì)得到，從而利用數(shù)列的周期性即可得解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，且是奇函數(shù)．，，，，，即，數(shù)列的前2023項(xiàng)和為．故選：B．3．（2024·山東濱州·二模）已知函數(shù)，數(shù)列滿足，，，則．【答案】2【分析】根據(jù)函數(shù)性質(zhì)分析可知：在上單調(diào)遞增，且為奇函數(shù)，進(jìn)而可得，結(jié)合數(shù)列周期性分析求解.【詳解】由題意可知：的定義域?yàn)?，且，即，可知為定義在上的奇函數(shù)；且，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，可知在上單調(diào)遞增；綜上所述：在上單調(diào)遞增，且為奇函數(shù).因?yàn)椋瑒t，可得，即，由可知：3為數(shù)列的周期，則，且，所以.故答案為：2.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題分析的奇偶性的同時(shí)，必須分析的單調(diào)性，若沒有單調(diào)性，由無法得出.考點(diǎn)二、數(shù)列單調(diào)性的應(yīng)用1．（2022·全國(guó)·高考真題）嫦娥二號(hào)衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進(jìn)行深空探測(cè)，成為我國(guó)第一顆環(huán)繞太陽飛行的人造行星，為研究嫦娥二號(hào)繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列：，，，…，依此類推，其中．則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)，再利用數(shù)列與的關(guān)系判斷中各項(xiàng)的大小，即可求解.【詳解】[方法一]:常規(guī)解法因?yàn)椋?，，得到，同理，可得，又因?yàn)椋?，；以此類推，可得，，故A錯(cuò)誤；，故B錯(cuò)誤；，得，故C錯(cuò)誤；，得，故D正確.[方法二]：特值法不妨設(shè)則故D正確.2．（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，則“”是是遞增數(shù)列的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，則，所以，即，所以是遞增數(shù)列，故充分性成立；當(dāng)時(shí)，則，所以是遞增數(shù)列，所以當(dāng)數(shù)列是遞增數(shù)列，可以大于，所以必要性不成立，所以“”是是遞增數(shù)列的充分不必要條件.故選：B3．（2024·四川雅安·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，，，單調(diào)遞增，則的取值范圍為.【答案】【分析】根據(jù)可得，再結(jié)合單調(diào)遞增以及等比數(shù)列定義可求出，則由即可得解.【詳解】因?yàn)椋?，又因?yàn)閱握{(diào)遞增，所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以即，則的取值范圍為，故答案為：.4．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列是遞減數(shù)列，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由等比數(shù)列時(shí)遞減數(shù)列，確定公比，且，故；再根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到，最后解一元二次不等式組求出結(jié)果即可.【詳解】等比數(shù)列是遞減數(shù)列，且，故，且公比，由得，故，所以的取值范圍是.故選：A.5．（2024·陜西漢中·二模）已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，數(shù)列的前n項(xiàng)積為且，下列說法錯(cuò)誤的是（

）A． B．為遞減數(shù)列C． D．【答案】B【分析】根據(jù)與及與的關(guān)系，利用等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式，結(jié)合數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，解得（負(fù)舍），當(dāng)時(shí)，，即，且，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，又，所以，故A正確；當(dāng)時(shí)，有，取時(shí)，此式也滿足，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為,故D正確；因?yàn)閿?shù)列的前n項(xiàng)積為且，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，顯然不適用，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為，顯然，所以數(shù)列不是遞減數(shù)列，故B錯(cuò)誤，由當(dāng)時(shí)，，得，故C正確，故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是利用和,結(jié)合等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式即可求解.1．（2024·北京東城·一模）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則“”是“為遞增數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求出，再利用單調(diào)數(shù)列的定義，結(jié)合充分條件、必要條件的意義判斷即得.【詳解】由等差數(shù)列的公差為，得，則，當(dāng)時(shí)，，而，則，因此，為遞增數(shù)列；當(dāng)為遞增數(shù)列時(shí)，則，即有，整理得，不能推出，所以“”是“為遞增數(shù)列”的充分不必要條件.故選：A2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，若是遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意得到是等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得到，利用是遞減數(shù)列列出關(guān)于的不等式，進(jìn)而求出的取值范圍.【詳解】將整理得，又，易知當(dāng)時(shí),，不滿足是遞減數(shù)列，故，因此數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故，因此，由于是遞減數(shù)列，故恒成立，得，化簡(jiǎn)得，故，因此，解得，故選：B．3．（2024·江西·二模）已知數(shù)列的首項(xiàng)為常數(shù)且，，若數(shù)列是遞增數(shù)列，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由已知條件推得數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，再由數(shù)列的單調(diào)性，結(jié)合不等式恒成立思想，可得所求取值范圍．【詳解】因?yàn)椋?，由于，即，可得?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則，因?yàn)閿?shù)列是遞增數(shù)列，可得，即對(duì)任意的正整數(shù)都成立．當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，恒成立，由于數(shù)列單調(diào)遞減，可得，則；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，恒成立，由于數(shù)列單調(diào)遞增，可得，則；綜上可得的取值范圍是．故選：B．4．（2020·北京·高考真題）在等差數(shù)列中，，．記，則數(shù)列（

）．A．有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) B．有最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)C．無最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) D．無最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)【答案】B【分析】首先求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后結(jié)合數(shù)列中各個(gè)項(xiàng)數(shù)的符號(hào)和大小即可確定數(shù)列中是否存在最大項(xiàng)和最小項(xiàng).【詳解】由題意可知，等差數(shù)列的公差，則其通項(xiàng)公式為：，注意到，且由可知，由可知數(shù)列不存在最小項(xiàng)，由于，故數(shù)列中的正項(xiàng)只有有限項(xiàng)：，.故數(shù)列中存在最大項(xiàng)，且最大項(xiàng)為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差數(shù)列中項(xiàng)的符號(hào)問題，分類討論的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)，屬于中等題.考點(diǎn)三、用an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)1．（2024·全國(guó)·高考真題）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用退位法可求的通項(xiàng)公式．（2）利用錯(cuò)位相減法可求.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，解得．當(dāng)時(shí)，，所以即，而，故，故，∴數(shù)列是以4為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以.（2）,所以故所以，.2．（2024·全國(guó)·高考真題）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首項(xiàng)后可求通項(xiàng)；（2）利用分組求和法即可求.【詳解】（1）因?yàn)?故，所以即故等比數(shù)列的公比為，故，故，故.（2）由等比數(shù)列求和公式得，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和.3．（2023·全國(guó)·高考真題）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)即可求出；（2）根據(jù)錯(cuò)位相減法即可解出．【詳解】（1）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，所以，化簡(jiǎn)得：，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)都滿足上式，所以．（2）因?yàn)?，所以，，兩式相減得，，，即，．4．（2022·全國(guó)·高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知．(1)證明：是等差數(shù)列；(2)若成等比數(shù)列，求的最小值．【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】（1）依題意可得，根據(jù)，作差即可得到，從而得證；（2）法一：由（1）及等比中項(xiàng)的性質(zhì)求出，即可得到的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得．【詳解】（1）因?yàn)?，即①，?dāng)時(shí)，②，①②得，，即，即，所以，且，所以是以為公差的等差數(shù)列．（2）[方法一]：二次函數(shù)的性質(zhì)由（1）可得，，，又，，成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以，所以，所以，當(dāng)或時(shí)，．[方法二]：【最優(yōu)解】鄰項(xiàng)變號(hào)法由（1）可得，，，又，，成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以，即有.則當(dāng)或時(shí)，．【整體點(diǎn)評(píng)】（2）法一：根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最小值，適用于可以求出的表達(dá)式；法二：根據(jù)鄰項(xiàng)變號(hào)法求最值，計(jì)算量小，是該題的最優(yōu)解．1．（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列前項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由已知可得，進(jìn)而可得，可求的通項(xiàng)公式；（2）可求得，進(jìn)而可得結(jié)論.【詳解】（1）因?yàn)棰?，所以②，③，由③得：，所以，?①得：，整理得：，又因?yàn)楦黜?xiàng)均為正數(shù)，所以，所以是公差的等差數(shù)列，．（2）由（1），，所以，所以．2．（2024·四川自貢·三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)若，，成等比數(shù)列，求的最大值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)作差得到，結(jié)合等差數(shù)列的定義證明即可；（2）根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)及等差數(shù)列通項(xiàng)公式求出，即可得到的通項(xiàng)公式，結(jié)合的單調(diào)性及求和公式計(jì)算可得.【詳解】（1）數(shù)列滿足①，當(dāng)時(shí)，有②，①②可得：，即，變形可得，故數(shù)列是以為等差的等差數(shù)列；（2）由（1）可知數(shù)列是以為等差的等差數(shù)列，若，，成等比數(shù)列，則有，即，解得，所以，所以單調(diào)遞減，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)或時(shí)，取得最大值，且．3．（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，，是數(shù)列的前項(xiàng)和，對(duì)任意，有(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求的前100項(xiàng)的和.【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)作差得到，從而得到，結(jié)合等差數(shù)列的定義計(jì)算可得；（2）由（1）可得，記，則，利用并項(xiàng)求和法計(jì)算可得.【詳解】（1）由，，兩式相減得，即，因?yàn)?，所以，即，故是首?xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以；（2）由（1）知，所以，記，則，4．（2024·全國(guó)·二模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和為.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)，作差得到，從而得到，再由等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式計(jì)算可得（2）由（1）可得，利用分組求和法計(jì)算可得.【詳解】（1）因?yàn)?，即，?dāng)時(shí)，解得或（舍去），當(dāng)時(shí)，所以，即，即，即，又，所以，即，所以是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以.（2）由（1）可得，所以.考點(diǎn)四、累加法求數(shù)列通項(xiàng)公式1．（2024·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，（）．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．【答案】(1)，；(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用累加法，結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和公式求解即得.（2）利用裂項(xiàng)相消法求和即可得證.【詳解】（1）數(shù)列中，當(dāng)時(shí)，，即，則，而滿足上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是，．（2）由（1）知，，則，因此，而，則，所以．2．（全國(guó)·高考真題）已知數(shù)列滿足．(1)求；(2)證明：．【答案】(1)，；(2)證明見解析.【分析】(1)將代入遞推式求解即可；(2)用累加法求出數(shù)的通項(xiàng)公式即得證明.【詳解】（1）解：因?yàn)?，所以，；?）證明：因?yàn)椋?，，，…，將以上個(gè)式子相加，得.也滿足所以．3．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列中，，，且，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，求．【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）依題意可得，即可得到為等差數(shù)列，即可得到，再利用累加法計(jì)算可得；（2）由（1）可得，由，得到與同號(hào)，再對(duì)分類討論，利用并項(xiàng)求和法計(jì)算可得.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以?shù)列是公差為的等差數(shù)列，其首項(xiàng)為，于是，則，，，，，所以，所以；而符合該式，故.（2）由（1）問知，，則，又，則，兩式相乘得，即，因此與同號(hào)，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；綜上，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.1．（2024·遼寧丹東·二模）已知數(shù)列中，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）由，得到，再利用累加法求解；（2）設(shè)數(shù)列的公差為d，根據(jù)，得到，從而，再由求解.【詳解】（1）由，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以．（2）設(shè)數(shù)列的公差為d，因?yàn)?，得，易知，因?yàn)?，所以，可得，又因?yàn)?，所以，所以?．（2024·陜西渭南·模擬預(yù)測(cè)）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為,且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若,求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)公式求即可.（2）由（1）知,根據(jù)通項(xiàng)公式規(guī)律,用錯(cuò)位相減來求即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí),,解出,又,則；當(dāng)時(shí),由兩式相減得,兩邊同時(shí)除以即,即,利用上述等式有,,因此,即,,當(dāng)時(shí),,滿足,因此；（2）由（1）可知,,則,兩邊同時(shí)乘以得,,錯(cuò)位相減得,即整理得，.考點(diǎn)五、累乘法求數(shù)列通項(xiàng)公式1．（23-24高二上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·階段練習(xí)）已知數(shù)列中，，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用累乘法即可得解；（2）利用裂項(xiàng)相消法即可得解.【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，?dāng)時(shí)，滿足上式，所以；（2）因?yàn)?，所以，所?2．（23-24高二上·江蘇蘇州·期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且（）．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)（）(2)【分析】（1）根據(jù)計(jì)算可得，利用累乘法計(jì)算即可求解；（2）由（1）可得，結(jié)合裂項(xiàng)相消求和法即可求解.【詳解】（1）令，得因?yàn)椋ǎ?，所以（，），兩式相減得（，），即．所以（，），所以，即，所以（，），又，符合上式，所以（）．（2）由（1），所以．1．（23-24高三下·黑龍江哈爾濱·開學(xué)考試）記數(shù)列的前項(xiàng)和，對(duì)任意正整數(shù)，有，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)對(duì)所有正整數(shù)，若，則在和兩項(xiàng)中插入，由此得到一個(gè)新數(shù)列，求的前91項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）由得出數(shù)列的遞推關(guān)系，然后由連乘法求得通項(xiàng)；（2）考慮到，，從而確定的前91項(xiàng)中有87項(xiàng)來自，其他4項(xiàng)由組成，由此分組求和．【詳解】（1）由，則，兩式相減得：，整理得：，即時(shí)，，所以時(shí)，，又時(shí)，，得，也滿足上式.故.（2）由，所以，又，所以前91項(xiàng)中有87項(xiàng)來自.所以故.2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知（常數(shù)），數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用、累乘法可得答案；（2）求出裂項(xiàng)相消求和可得答案.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，化簡(jiǎn)變形得，當(dāng)時(shí)，根據(jù)累乘法得，又，（為大于0的常數(shù)）適合上式，故；（2）由（1）知，，又，故．所以，所以．3．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，數(shù)列的前項(xiàng)和為恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)條件，利用與間的關(guān)系，得到，再利用累積法，即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)（1）中結(jié)果得到，利用裂項(xiàng)相消法得到，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)棰伲援?dāng)時(shí)，②，由①②得到，整理得到，又，所以，得到，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，滿足，所以.（2）由（1）知，所以，因?yàn)椋?，所以是關(guān)于的遞增數(shù)列，由恒成立，得到，所以實(shí)數(shù)的最小值為.考點(diǎn)六、遞推數(shù)列構(gòu)造等差數(shù)列1．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)列中，，且，其中．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用構(gòu)造法可證明數(shù)列為等差數(shù)列，進(jìn)而求得通項(xiàng)公式；（2）利用錯(cuò)位相減法可求得.【詳解】（1）由已知，得，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，所以；（2）由（1）得，則，所以，所以.2．（23-24高三上·河南焦作·期末）已知數(shù)列中，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)條件可得數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，即可求出結(jié)果；（2）由（1）可得，再利用裂項(xiàng)相消法即可求出結(jié)果.【詳解】（1）由，可得，又，故數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，得到．（2）由（1）可知，故．1．（23-24高三上·江蘇南京·期末）已知數(shù)列滿足，且對(duì)任意都有.(1)設(shè)，證明：是等差數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）以替換得，，得到，從而證明是公差為的等差數(shù)列；（2）令得，，可得，推出，再由（1），得到，再分和求解前項(xiàng)和.【詳解】（1）因?yàn)閷?duì)任意都有，所以以替換得，，則，由,，所以是公差為的等差數(shù)列；（2）令得，，即，則，所以由（1）得，是以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，所以，即.由，令可得，，則，由得，.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，①，則②，得，，所以，綜上，.2．（2024·山東青島·二模）已知數(shù)列滿足，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，求的最小值.【答案】(1)；(2)5.【分析】（1）根據(jù)給定的遞推公式，按奇偶分別求出通項(xiàng)即可.（2）由（1）的結(jié)論，利用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式求出，再借助單調(diào)性求解即得.【詳解】（1）數(shù)列中，，，當(dāng)時(shí)，，則，由，得，當(dāng)為正奇數(shù)時(shí)，數(shù)列是首項(xiàng)為3，公差為4的等差數(shù)列，則，即，當(dāng)為偶奇數(shù)時(shí)，數(shù)列是首項(xiàng)為5，公差為4的等差數(shù)列，則，即，即，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.（2）由（1）知，顯然數(shù)列是首項(xiàng)為，公比的等比數(shù)列，則，由，得，整理得，而數(shù)列是遞增數(shù)列，，因此，所以的最小值為5.考點(diǎn)七、遞推數(shù)列構(gòu)造等比數(shù)列1．（重慶·高考真題）數(shù)列中，若=1，=2+3（n≥1），則該數(shù)列的通項(xiàng)=【答案】【分析】先化簡(jiǎn)已知式證明是等比數(shù)列，再利用公式寫出通項(xiàng)公式，即得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?2+3，所以，即是等比數(shù)列，公比為2，首項(xiàng)為，所以，即.故答案為：.2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，記．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)已知，記數(shù)列的前項(xiàng)和為．求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）首先構(gòu)造數(shù)列是等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，再代入條件，即可求解數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）的結(jié)果可知，數(shù)列的通項(xiàng)公式，并變形為，再討論為奇數(shù)和偶數(shù)，采用累加法求和，最后結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性，即可證明.【詳解】（1）由，則．又，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以．所以．（2）因?yàn)?，所以，所以．?dāng)為奇數(shù)時(shí)，．當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，是遞增數(shù)列，所以．綜上，3．（四川·高考真題）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知．(1)證明：當(dāng)時(shí)，是等比數(shù)列；(2)求的通項(xiàng)公式．【答案】(1)證明見解析.(2)當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí).【分析】（1）當(dāng)時(shí)，由題設(shè)條件知,由此可知，即可證明結(jié)論．（2）當(dāng)時(shí)，由題設(shè)條件結(jié)合（1）可求得；當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，由題設(shè)推出，求得，綜合可得出的通項(xiàng)公式．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，由題意知，令，則，解得，且，，兩式相減得，于是，又，所以是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列；（2）當(dāng)時(shí)，由（1）知，即,當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)且時(shí)，由得，兩式相減得，即，故，因此，令，則即，即為首項(xiàng)為，公比為b的等比數(shù)列，故，則,時(shí)，適合上式，故.1．（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)已知，求使取得最大項(xiàng)時(shí)的值．（參考值：）【答案】(1)(2)4【分析】（1）由遞推關(guān)系將已知等式變形為，即可求出通項(xiàng)；（2）由已知可設(shè)，代入解不等式組求出即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，又，所以，所?（2）由（1）有，所以，設(shè)時(shí)，最大，因?yàn)椋?，即，解得，又，所以，所以使取得最大?xiàng)時(shí)的值為4.2．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列滿足：，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)數(shù)列遞推式可推出，結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可求得答案；（2）利用（1）的結(jié)果可得的表達(dá)式，利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和以及錯(cuò)位相減法，即可求得答案.【詳解】（1）由題意知數(shù)列滿足：，，則，，故為首項(xiàng)是6，公比為2的等比數(shù)列，故，即，適合上述結(jié)果，故；（2）設(shè)，則，設(shè)，故；，，作差得到，故，，故.3．（23-24高三上·重慶·期中）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)之積為，滿足.(1)設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)之和為，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）數(shù)列的前項(xiàng)之積為，滿足，時(shí)，，解得．時(shí)，，變形為，結(jié)合，即可得出．（2）由（1）可得：，解得，當(dāng)時(shí)，，可得，需要證明，即證明，設(shè)，，令，，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出結(jié)論．【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)之積為，滿足，所以當(dāng)時(shí)，，解得．當(dāng)時(shí)，，化為，變形為，又，所以，即且，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列所以．（2）由（1）可得：，解得，當(dāng)時(shí)，．，需要證明，即證明，設(shè)，，則，設(shè)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，所以．一、單選題1．（2023·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列滿足，，則（

）A． B． C． D．3【答案】A【分析】首先根據(jù)遞推公式，求數(shù)列中的項(xiàng)，并得到數(shù)列的周期，再求的值.【詳解】因?yàn)?，，所以，解得，又，解得，又，，，顯然，接下去，所以數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，則.故選：A.2．（2023·河南鄭州·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，，且有，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，根據(jù)題設(shè)中的遞推關(guān)系可得，故利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求，從而可求的通項(xiàng)公式.【詳解】，，顯然若，則，則，，與題意矛盾，所以，，兩邊同時(shí)取倒數(shù)，得：，設(shè)，，，，因?yàn)?，故，故，所以為等比?shù)列，所以，故，所以，故，故選：D.二、多選題3．（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的首項(xiàng)，則（

）A．為等差數(shù)列 B．C．為遞增數(shù)列 D．的前20項(xiàng)和為10【答案】AD【分析】A選項(xiàng)，變形得到，得到為等差數(shù)列；B選項(xiàng)，在A選項(xiàng)基礎(chǔ)上得到，得到；C選項(xiàng)，計(jì)算出，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，分為奇數(shù)和為偶數(shù)，得到通項(xiàng)公式，得到前20項(xiàng)和.【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)椋?，所以為公差?的等差數(shù)列，A正確；B選項(xiàng)，因?yàn)椋?，故，故，則，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，，，為遞減數(shù)列，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以的前20項(xiàng)和為，D正確.故選：AD．三、填空題4．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知為正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則.【答案】【分析】依題意可得，即可得到，兩式作差得到，再求出，即可得到數(shù)列表示首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，即可求出其通項(xiàng)公式.【詳解】因?yàn)?，即，?dāng)時(shí)，，又因?yàn)?，即，解得或（舍去），?dāng)時(shí)，，兩式相減，可得，因?yàn)?，可得，又，所以，所以?shù)列表示首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以．故答案為：四、解答題5．（2024·四川雅安·三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）由的關(guān)系分是否等于1進(jìn)行討論即可求解；（2）首先得，進(jìn)一步結(jié)合錯(cuò)位相減法以及等比數(shù)列求和公式即可得解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，，數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，（2）由（1）可知，記，，，兩式相減得.6．（2024·山西·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）首先利用作差法得到，再由作差可得；（2）由（1）知，再利用分組求和法及裂項(xiàng)相消法計(jì)算可得.【詳解】（1）因?yàn)?，?dāng)時(shí)有，兩式相減得，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，此時(shí)仍然成立，所以，當(dāng)時(shí)，，又也滿足，所以.（2）由（1）知，所以.7．（2024·河北滄州·三模）已知數(shù)列滿足，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由數(shù)列的遞推公式，利用累乘法即可求解；（2）對(duì)進(jìn)行不等式放縮，即可證明不等式.【詳解】（1），，，，兩式相除，得，當(dāng)，時(shí)，，，即；當(dāng)，時(shí)，，，即，綜上所述，數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（2），，又，.8．（2024·貴州貴陽·三模）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.試求:(1)數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，求滿足條件的最小整數(shù).【答案】(1)(2)9【分析】（1）由已知結(jié)合和與項(xiàng)的遞推關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解；（2）利用裂項(xiàng)求和求出，然后結(jié)合恒成立與最值關(guān)系的轉(zhuǎn)化即可求解．【詳解】（1）因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋瑑墒较鄿p得，，因?yàn)?，所以，所以，均為等差?shù)列，，．所以；（2）由題意得，，所以，因?yàn)椋?，解得．所以滿足條件的最小整數(shù)為9．9．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為．(1)求．(2)若，則當(dāng)取最小值時(shí)，求的值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用與的關(guān)系，消去，求出，代入原式計(jì)算即得；（2）依題意求得的表達(dá)式，取，則需求在且為奇數(shù)時(shí)的最小值，根據(jù)此函數(shù)的單調(diào)性即可求得.【詳解】（1）由，得．兩式相減，得，

所以，代入，即得.（2）由（1）知，則，

不妨取，則且為奇數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

因且為奇數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，因，故當(dāng)取得最小值時(shí)，.10．（2024·河北保定·二模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)的關(guān)系由：求解即可；（2）根據(jù)通項(xiàng)分奇偶分別計(jì)算求和，結(jié)合裂項(xiàng)相消和等比數(shù)列求和公式即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，也符合.綜上，.（2）由則，故的前項(xiàng)和.一、單選題1．（2024·安徽合肥·三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，首項(xiàng)，且滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】借助與的關(guān)系并化簡(jiǎn)可得，結(jié)合，逐項(xiàng)代入計(jì)算即可得解.【詳解】由可得，所以可得，.故選：D2．（2024·江蘇蘇州·二模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，若對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定的遞推公式求出，再按為奇數(shù)、偶數(shù)分類求解即可得的范圍.【詳解】由，得，當(dāng)時(shí)，，則，整理得，即，而，解得，于是，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，因此，即，由，得，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，即，顯然為遞增數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，于是，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，即，顯然恒有，于是，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：B二、多選題3．（2024·福建泉州·一模）已知數(shù)列滿足，，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)，數(shù)列是常數(shù)列C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減【答案】BCD【分析】對(duì)于A，直接說明即可；對(duì)于B，直接用數(shù)學(xué)歸納法即可；對(duì)于C和D，用數(shù)學(xué)歸納法證明，再推知C和D的結(jié)論即可.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，由知A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，有，這意味著只要就有.而，從而由數(shù)學(xué)歸納法即可證明，所以B正確；對(duì)于C和D，當(dāng)時(shí)，我們用數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)時(shí)，由知結(jié)論成立；假設(shè)已有，則由可知.所以，展開即.這就得到.同時(shí)，由可得.所以.故由數(shù)學(xué)歸納法可知恒成立，所以C正確；同時(shí)，由于，故.展開即，故，所以D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于是用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列的范圍和單調(diào)性.三、填空題4．（2024·浙江紹興·三模）記為正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)積，已知，則；．【答案】22025【分析】由數(shù)列的前項(xiàng)積，利用賦值法令可求得，將表達(dá)式化簡(jiǎn)可得數(shù)列是等差數(shù)列，即可求得.【詳解】根據(jù)題意令，可知，又?jǐn)?shù)列的各項(xiàng)均為正，即；解得；由可得，即，可得；所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列；因此，所以.故答案為：2；2025.5．（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則的最小值為．【答案】【分析】根據(jù)給定的遞推公式探求得數(shù)列的周期，再利用周期性及基本不等式求解即得.【詳解】正項(xiàng)數(shù)列中，由，得，則，即數(shù)列是以4為周期的周期數(shù)列，而，則，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求解本題的關(guān)鍵是求出數(shù)列的周期，再借助周期性求前n項(xiàng)和.四、解答題6．（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列滿足，且．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知可得，累乘法可求的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，利用錯(cuò)位相減法可求的前項(xiàng)和.【詳解】（1）由題易知，且，所以，所以，所以也滿足該式，所以．（2），①，②②-①，得．設(shè)，③則，④④-③，得，所以．7．（2024·吉林·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求實(shí)數(shù)的值和數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用，和等比數(shù)列的定義可得答案；（2）法一：利用錯(cuò)位相減求和可得答案；法二：設(shè)，求出，可得，可得可得答案.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，，整理得，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，；（2）法一：，①，②，①②得；法二：，設(shè)，且，解得，，即，其中，，.8．（2024·江西宜春·模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列滿足．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知結(jié)合數(shù)列的和與項(xiàng)的遞推關(guān)系即可求解；（2）先求出，然后結(jié)合錯(cuò)位相減求和即可求解．【詳解】（1）數(shù)列滿足，當(dāng)時(shí)，，兩式相減可得，，所以，當(dāng)時(shí)，也滿足上式，所以；（2）由（1）得，所以，則，兩式相減的，，所以．9．（2024·江蘇無錫·二模）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和.若對(duì)任意的恒成立，求k的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）運(yùn)用公式，已知求即可；（2）求出，后運(yùn)用錯(cuò)位相減求出，后結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可解．【詳解】（1）①，且，當(dāng)時(shí)，代入①得；當(dāng)時(shí)，.②①-②得，整理得，因?yàn)?，所以，所以?shù)列為等差數(shù)列，公差為1，所以.（2），，③，④③-④得，所以，所以，且，化簡(jiǎn)得，令，所以，所以的最大值為，所以.所以的取值范圍為.10．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知．(1)若，證明：是等比數(shù)列；(2)若是和的等差中項(xiàng)，設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和為．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用公式得到數(shù)列的遞推公式，構(gòu)造法證明是等比數(shù)列；

（2）由已知求出，裂項(xiàng)相消求數(shù)列的前n項(xiàng)和為．【詳解】（1）對(duì)①，當(dāng)時(shí)，有②，：，即，

經(jīng)整理，可得，

，故是以為首項(xiàng)、為公比的等比數(shù)列．（2）由（1）知，有，，題設(shè)知，即，則，故．

而，

故.1．（2023·北京·高考真題）已知數(shù)列滿足，則（

）A．當(dāng)時(shí)，為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立B．當(dāng)時(shí)，為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立C．當(dāng)時(shí)，為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立D．當(dāng)時(shí)，為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立【答案】B【分析】法1：利用數(shù)列歸納法可判斷ACD正誤，利用遞推可判斷數(shù)列的性質(zhì)，故可判斷B的正誤.法2：構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)求得的正負(fù)情況，再利用數(shù)學(xué)歸納法判斷得各選項(xiàng)所在區(qū)間，從而判斷的單調(diào)性；對(duì)于A，構(gòu)造，判斷得，進(jìn)而取推得不恒成立；對(duì)于B，證明所在區(qū)間同時(shí)證得后續(xù)結(jié)論；對(duì)于C，記，取推得不恒成立；對(duì)于D，構(gòu)造，判斷得，進(jìn)而取推得不恒成立.【詳解】法1：因?yàn)?，故，?duì)于A，若，可用數(shù)學(xué)歸納法證明：即，證明：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不等關(guān)系成立；設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，則，故成立，由數(shù)學(xué)歸納法可得成立.而，，，故，故，故為減數(shù)列，注意故，結(jié)合，所以，故，故，若存在常數(shù)，使得恒成立，則，故，故，故恒成立僅對(duì)部分成立，故A不成立.對(duì)于B，若可用數(shù)學(xué)歸納法證明：即，證明：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不等關(guān)系成立；設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，則，故成立即由數(shù)學(xué)歸納法可得成立.而，，，故，故，故為增數(shù)列，若，則恒成立，故B正確.對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，可用數(shù)學(xué)歸納法證明：即，證明：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不等關(guān)系成立；設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，則，故成立即由數(shù)學(xué)歸納法可得成立.而，故，故為減數(shù)列，又，結(jié)合可得：，所以，若，若存在常數(shù)，使得恒成立，則恒成立，故，的個(gè)數(shù)有限，矛盾，故C錯(cuò)誤.對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，可用數(shù)學(xué)歸納法證明：即，證明：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不等關(guān)系成立；設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，則，故成立由數(shù)學(xué)歸納法可得成立.而，故，故為增數(shù)列，又，結(jié)合可得：，所以，若存在常數(shù)，使得恒成立，則，故，故，這與n的個(gè)數(shù)有限矛盾，故D錯(cuò)誤.故選：B.法2：因?yàn)?，令，則，令，得或；令，得；所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，令，則，即，解得或或，注意到，，所以結(jié)合的單調(diào)性可知在和上，在和上，對(duì)于A，因?yàn)椋瑒t，當(dāng)時(shí)，，，則，假設(shè)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，綜上：，即，因?yàn)樵谏?，所以，則為遞減數(shù)列，因?yàn)?，令，則，因?yàn)殚_口向上，對(duì)稱軸為，所以在上單調(diào)遞減，故，所以在上單調(diào)遞增，故，故，即，假設(shè)存在常數(shù)，使得恒成立，取，其中，且，因?yàn)?，所以，上式相加得，，則，與恒成立矛盾，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，，假設(shè)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，則，所以，又當(dāng)時(shí)，，即，假設(shè)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，則，所以，綜上：，因?yàn)樵谏?，所以，所以為遞增數(shù)列，此時(shí)，取，滿足題意，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，則，注意到當(dāng)時(shí)，，，猜想當(dāng)時(shí)，，當(dāng)與時(shí)，與滿足，假設(shè)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以，綜上：，易知，則，故，所以，因?yàn)樵谏希?，則為遞減數(shù)列，假設(shè)存在常數(shù)，使得恒成立，記，取，其中，則，故，所以，即，所以，故不恒成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，則，假設(shè)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，綜上：，因?yàn)樵谏?，所以，所以為遞增數(shù)列，因?yàn)?，令，則，因?yàn)殚_口向上，對(duì)稱軸為，所以在上單調(diào)遞增，故，所以，故，即，假設(shè)存在常數(shù)，使得恒成立，取，其中，且，因?yàn)?，所以，上式相加得，，則，與恒成立矛盾，故D錯(cuò)誤.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是根據(jù)首項(xiàng)給出與通項(xiàng)性質(zhì)相關(guān)的相應(yīng)的命題，再根據(jù)所得命題結(jié)合放縮法得到通項(xiàng)所滿足的不等式關(guān)系，從而可判斷數(shù)列的上界或下界是否成立.2．（2022·浙江·高考真題）已知數(shù)列滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先通過遞推關(guān)系式確定除去，其他項(xiàng)都在范圍內(nèi)，再利用遞推公式變形得到，累加可求出，得出，再利用，累加可求出，再次放縮可得出．【詳解】∵，易得，依次類推可得由題意，，即，∴，即，，，…，，累加可得，即，∴，即，,又，∴，，，…，，累加可得，∴，即，∴，即；綜上：．故選：B．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是利用遞推關(guān)系進(jìn)行合理變形放縮.3．（2021·浙江·高考真題）已知數(shù)列滿足.記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】顯然可知，，利用倒數(shù)法得到，再放縮可得，由累加法可得，進(jìn)而由局部放縮可得，然后利用累乘法求得，最后根據(jù)裂項(xiàng)相消法即可得到，從而得解．【詳解】因?yàn)椋?，．由，即根?jù)累加法可得，，當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，由累乘法可得，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，由裂項(xiàng)求和法得：所以，即．故選：A．【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是通過倒數(shù)法先找到的不等關(guān)系，再由累加法可求得，由題目條件可知要證小于某數(shù)，從而通過局部放縮得到的不等關(guān)系，改變不等式的方向得到，最后由裂項(xiàng)相消法求得．4．（2021·浙江·高考真題）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；（2）設(shè)數(shù)列滿足，記的前n項(xiàng)和為，若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由，結(jié)合與的關(guān)系，分討論，得到數(shù)列為等比數(shù)列，即可得出結(jié)論；（2）由結(jié)合的結(jié)論，利用錯(cuò)位相減法求出，對(duì)任意恒成立，分類討論分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為與關(guān)于的函數(shù)的范圍關(guān)系，即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，由①，得②，①②得，又是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，；（2）由，得，所以，，兩式相減得，所以，由得恒成立，即恒成立，時(shí)不等式恒成立；時(shí)，，得；時(shí)，，得；所以.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）已知求不要忽略情況；（2）恒成立分離參數(shù)時(shí)，要注意變量的正負(fù)零討論，如（2）中恒成立，要對(duì)討論，還要注意時(shí)，分離參數(shù)不等式要變號(hào).5．（2021·全國(guó)·高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，為數(shù)列的前n項(xiàng)積，已知．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列;（2）求的通項(xiàng)公式．【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）由已知得,且，取,得,由題意得,消積得到項(xiàng)的遞推關(guān)系,進(jìn)而證明數(shù)列是等差數(shù)列;（2）由（1）可得的表達(dá)式,由此得到的表達(dá)式,然后利用和與項(xiàng)的關(guān)系求得.【詳解】（1）[方法一]：由已知得,且，,取,由得,由于為數(shù)列的前n項(xiàng)積，所以,所以，所以,由于所以，即,其中所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差等差數(shù)列;[方法二]【最優(yōu)解】：由已知條件知

①于是．

②由①②得．

③又，

④由③④得．令，由，得．所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．[方法三]：

由，得，且，，．又因?yàn)?，所以，所以．在中，?dāng)時(shí)，．故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．[方法四]：數(shù)學(xué)歸納法

由已知，得，，，，猜想數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，且．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．當(dāng)時(shí)顯然成立．假設(shè)當(dāng)時(shí)成立，即．那么當(dāng)時(shí)，．綜上，猜想對(duì)任意的都成立．即數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等