第03講 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和（學(xué)生版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫

Page第03講等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和（9類核心考點(diǎn)精講精練）1.5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2024年新Ⅱ卷，第19題,17分由遞推關(guān)系證明等比數(shù)列求直線與雙曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)向量夾角的坐標(biāo)表示2023年新Ⅱ卷，第8題,5分等比數(shù)列前n項(xiàng)和的基本量計(jì)算等比數(shù)列前n和的性質(zhì)及應(yīng)用無(wú)2022年新Ⅱ卷，第17題,10分等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算數(shù)列不等式能成立(有解)問(wèn)題2021年新Ⅱ卷，第12題,5分求等比數(shù)列前n項(xiàng)和數(shù)列新定義2020年新I卷，第18題,12分等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算求等比數(shù)列前n項(xiàng)和無(wú)2020年新Ⅱ卷，第18題,12分等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算求等比數(shù)列前n項(xiàng)和無(wú)2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度中等，小題分值為5-6分，大題13-17分【備考策略】1.理解等比數(shù)列的概念2掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式3.能在具體的問(wèn)題情境中識(shí)別數(shù)列的等比關(guān)系并能用等比數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題4.熟練掌握等比數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的性質(zhì)【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般給出數(shù)列為等比數(shù)列，或通過(guò)構(gòu)造為等比數(shù)列，求通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和。需綜合復(fù)習(xí)知識(shí)講解等比數(shù)列的定義從第二項(xiàng)開(kāi)始，后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比為同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)是等比數(shù)列的公比，用表示數(shù)學(xué)表達(dá)式通項(xiàng)公式，，，等比數(shù)列通項(xiàng)公式與函數(shù)關(guān)系等比數(shù)列為指數(shù)型函數(shù)等比中項(xiàng)若，，三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則,其中叫做，的等比中項(xiàng)等比數(shù)列通項(xiàng)公式的性質(zhì)（1）若或（2）若，為等比數(shù)列，則，仍為等比數(shù)列等比數(shù)列前n項(xiàng)和等比數(shù)列前n項(xiàng)和與函數(shù)關(guān)系等比數(shù)列前項(xiàng)和公式是指數(shù)型函數(shù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)（1），，……仍成等比數(shù)列（2）證明數(shù)列為等比數(shù)列的方法（1）（為常數(shù)）為等比數(shù)列（2）若,則，，三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列考點(diǎn)一、等比數(shù)列項(xiàng)、公比及通項(xiàng)公式的求解1．（2024·山東青島·一模）等比數(shù)列中，，，則（

）A．32 B．24 C．20 D．162．（2022·全國(guó)·高考真題）已知等比數(shù)列的前3項(xiàng)和為168，，則（

）A．14 B．12 C．6 D．33．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，，則（

）A． B． C． D．4．（2024·全國(guó)·高考真題）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.1．（2023·全國(guó)·高考真題）已知為等比數(shù)列，，，則.2．（2024·四川遂寧·三模）等比數(shù)列中，，．(1)求的通項(xiàng)公式：(2)記為的前n項(xiàng)和，若，求m．3．（2024·上?！と＃┮阎缺葦?shù)列的公比，且，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，且是嚴(yán)格增數(shù)列，求實(shí)數(shù)的取值范圍．考點(diǎn)二、等比中項(xiàng)的應(yīng)用1．（2024·湖北荊州·三模）若實(shí)數(shù)成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則=.2．（2024·江西九江·三模）已知等差數(shù)列的公差為，是與的等比中項(xiàng)，則（

）A． B． C． D．3．（2024·廣東茂名·模擬預(yù)測(cè)）在公差為正數(shù)的等差數(shù)列中，若，，，成等比數(shù)列，則數(shù)列的前10項(xiàng)和為.1．（2024·廣東江門·一模）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則＝（）A．3 B．4 C．8 D．92．（2024·安徽馬鞍山·三模）已知數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，若成等比數(shù)列，則（

）A．9 B．12 C．18 D．273．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，且成等差數(shù)列，則（

）A．157 B．156 C．74 D．73考點(diǎn)三、等比數(shù)列的性質(zhì)1．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列是等比數(shù)列，若，是的兩個(gè)根，則的值為（

）A． B． C． D．2．（廣東·高考真題）若等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則.3．（全國(guó)·高考真題）設(shè)是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，公比，且，那么（

）A． B． C． D．4．（全國(guó)·高考真題）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{}，=5，=10，則=A． B．7 C．6 D．1．（23-24高二上·山東青島·階段練習(xí)）等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則（

）A．12 B．10 C．5 D．2．（2024·北京朝陽(yáng)·一模）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則（

）A．9 B．16 C．21 D．253．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列，且，則.考點(diǎn)四、等比數(shù)列前項(xiàng)和的求解1．（2023·全國(guó)·高考真題）設(shè)等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和，若，，則（

）A． B． C．15 D．402．（2024·山西晉中·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A． B．3 C．1 D．3．（全國(guó)·高考真題）等比數(shù)列中，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記為的前項(xiàng)和．若，求．1．（2023·全國(guó)·高考真題）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和．若，則的公比為．2．（2024·江西南昌·三模）已知是單調(diào)遞減的等比數(shù)列，若，前3項(xiàng)和，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A． B． C． D．3．（全國(guó)·高考真題）已知數(shù)列為等比數(shù)列，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和，證明．考點(diǎn)五、等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)1．（2023·全國(guó)·高考真題）記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則（

）．A．120 B．85 C． D．2．（2021·全國(guó)·高考真題）記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和.若，，則（

）A．7 B．8 C．9 D．103．（2024·湖南邵陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）記為公比小于1的等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則（

）A．6 B．3 C．1 D．4．（23-24高二上·湖南衡陽(yáng)·期末）已知等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為.若，，則（

）A．3 B．4 C．5 D．71．（2024·四川內(nèi)江·三模）在等比數(shù)列中，為其前項(xiàng)和，若，則的值為（

）A．25 B．30 C．35 D．402．（2024·湖北襄陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，則（

）A．40 B．-30 C．30 D．-30或403．（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）在正項(xiàng)等比數(shù)列中，為其前n項(xiàng)和，若，，則的值為（

）A．10 B．20 C．30 D．40考點(diǎn)六、等比數(shù)列通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和的關(guān)系1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，為實(shí)數(shù)，則.2．（2024·寧夏銀川·三模）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求使得成立的n的最小值.3．（23-24高三上·廣東潮州·期末）公比為的等比數(shù)列的前項(xiàng)和．(1)求與的值；(2)若，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．4．（2021·浙江·高考真題）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；（2）設(shè)數(shù)列滿足，記的前n項(xiàng)和為，若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則“為等比數(shù)列”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件2．（浙江·高考真題）設(shè)數(shù)列{}的前項(xiàng)和為.已知=4，=2+1，.（Ⅰ）求通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求數(shù)列{||}的前項(xiàng)和.3．（山東·高考真題）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為.已知.（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若數(shù)列滿足，求的前n項(xiàng)和.4．（2024·黑龍江·二模）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，其中.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)在與之間插入n個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在不同三項(xiàng)，，（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的三項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.考點(diǎn)七、等比數(shù)列的函數(shù)特性與最值1．（北京·高考真題）設(shè)是公比為的等比數(shù)列，則“”是“為遞增數(shù)列”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2023·上海浦東新·三模）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，設(shè)甲：，乙：是嚴(yán)格增數(shù)列，則甲是乙的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分又非必要條件3．（2023·廣西·模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，則取最大值時(shí)的值為（

）A．8 B．9 C．10 D．114．（2024·湖北·二模）（多選）無(wú)窮等比數(shù)列的首項(xiàng)為公比為q，下列條件能使既有最大值，又有最小值的有（

）A．， B．，C．， D．，5．（23-24高三上·江西·期中）（多選）在等比數(shù)列中，，，，若為的前項(xiàng)和，為的前項(xiàng)積，則（

）A．為單調(diào)遞增數(shù)列 B．C．為的最大項(xiàng) D．無(wú)最大項(xiàng)1．（23-24高三上·天津南開(kāi)·階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列的公比為，則“且”是“是遞減數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)的積為，且公比，若對(duì)于任意正整數(shù)，，則（

）A． B． C． D．3．（2024·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則取最大值時(shí)，的值為．4．（2023·廣東佛山·一模）等比數(shù)列公比為，，若（），則“”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件考點(diǎn)八、等比數(shù)列中的數(shù)學(xué)文化1．（22-23高三上·安徽六安·階段練習(xí)）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難.次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān).要見(jiàn)每朝行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還.”意思是：有一個(gè)人要走441里路，第一天走得很快，以后由于腳痛，后一天走的路程都是前一天的一半，6天剛好走完.則此人最后一天走的路程是（

）A．7里 B．14里 C．21里 D．112里2．（北京·高考真題）“十二平均律”

是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例，為這個(gè)理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn).十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份，依次得到十三個(gè)單音，從第二個(gè)單音起，每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于.若第一個(gè)單音的頻率為f，則第八個(gè)單音的頻率為A． B．C． D．3．（2023·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）（多選）佩爾數(shù)列是一個(gè)呈指數(shù)增長(zhǎng)的整數(shù)數(shù)列．隨著項(xiàng)數(shù)越來(lái)越大，其后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比值越來(lái)越接近于一個(gè)常數(shù)，該常數(shù)稱為白銀比．白銀比和三角平方數(shù)、佩爾數(shù)及正八邊形都有關(guān)系．記佩爾數(shù)列為，且，，．則（

）A． B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C． D．白銀比為1．（2023·廣東揭陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）在《增減算法統(tǒng)宗》中有這樣一則故事：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難；次日腳痛減一半，如此六日過(guò)其關(guān)”.其大意是：有人要去某關(guān)口，路程為里，第一天健步行走，從第二天起由于腳痛，每天走的路程都為前一天的一半，一共走了六天，才到目的地.則此人后天共走的里程數(shù)為（

）A． B． C． D．2．（2023·貴州遵義·模擬預(yù)測(cè)）公元前1650年的埃及萊因德紙草書(shū)上載有如下問(wèn)題：“十人分十斗玉米，從第二人開(kāi)始，各人所得依次比前人少八分之一，問(wèn)每人各得玉米多少斗？”在上述問(wèn)題中，前五人得到的玉米總量為（

）A．斗 B．斗C．斗 D．斗3．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）《塵劫記》是元代一部經(jīng)典的古典數(shù)學(xué)著作，里面記載了一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題：假設(shè)每對(duì)老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1個(gè)月后，有一對(duì)老鼠生了12只小老鼠，一共14只；2個(gè)月后，每對(duì)老鼠各生12只小老鼠，一共98只，……，以此類推.記每個(gè)月新生的老鼠數(shù)量為，每個(gè)月老鼠的總數(shù)量為，數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，可知，，，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B． C． D．考點(diǎn)九、等比數(shù)列的證明1．（全國(guó)·高考真題）數(shù)列的前n項(xiàng)和記為，已知，（），求證：（1）數(shù)列是等比數(shù)列；（2）．2．（四川·高考真題）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知．(1)證明：當(dāng)時(shí)，是等比數(shù)列；(2)求的通項(xiàng)公式．3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足.(1)證明是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)是否存在正整數(shù)，使得對(duì)任意的正整數(shù)，總成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.4．（2024·黑龍江哈爾濱·三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)設(shè)，若是遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)的范圍.5．（22-23高三上·浙江寧波·期末）已知正項(xiàng)數(shù)列中，，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)，證明：.6．（2024·四川宜賓·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)于任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.一、單選題1．（2024·黑龍江·模擬預(yù)測(cè)）已知為等比數(shù)列的前項(xiàng)積，若，且（

）A． B． C． D．2．（2024·西藏林芝·模擬預(yù)測(cè)）等比數(shù)列的前項(xiàng)和，則（

）A． B． C． D．二、多選題3．（23-24高二上·山西大同·期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，首項(xiàng)，且滿足，則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（

）A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 B．C． D．三、填空題4．（2024·上海浦東新·三模）已知數(shù)列為等比數(shù)列，，，則.5．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列為各項(xiàng)均不相等的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且成等差數(shù)列，則.四、解答題6．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若成等差數(shù)列，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，求的取值范圍．7．（2024·陜西渭南·三模）已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和為，且滿足，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．8．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列為公差不為零的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，，且，，成等比數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，且，求的前n項(xiàng)和．9．（2024·新疆喀什·三模）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足（）．(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和，并證明．10．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，數(shù)列也為等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．一、單選題1．（2024·北京海淀·二模）設(shè)是公比為的無(wú)窮等比數(shù)列，為其前項(xiàng)和．若，則“”是“數(shù)列存在最小項(xiàng)”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件2．（2024·山東青島·二模）一只蜜蜂從蜂房出發(fā)向右爬，每次只能爬向右側(cè)相鄰的兩個(gè)蜂房（如圖），例如：從蜂房只能爬到1號(hào)或2號(hào)蜂房，從1號(hào)蜂房只能爬到2號(hào)或3號(hào)蜂房……以此類推，用表示蜜蜂爬到號(hào)蜂房的方法數(shù)，則（

）A．1 B． C．2 D．二、多選題3．（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）已知是等比數(shù)列的前5項(xiàng)中的其中3項(xiàng)，且，則的前7項(xiàng)和可能為（

）A． B． C． D．三、填空題4．（2024·北京·三模）已知等比數(shù)列滿足：（），請(qǐng)寫(xiě)出符合上述條件的一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：．5．（2024·上?！と＃o(wú)窮等比數(shù)列滿足：，，則的各項(xiàng)和為．四、解答題6．（2024·陜西渭南·二模）已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和為，且滿足，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和.7．（2024·山東煙臺(tái)·三模）在數(shù)列中，已知，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，證明：.8．（2024·浙江紹興·三模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，設(shè)．(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．9．（2024·浙江·三模）已知等比數(shù)列和等差數(shù)列，滿足，，，．(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為．證明：．10．（