第04講 數(shù)列求和綜合（分組求和、裂項(xiàng)相消、錯(cuò)位相減（萬能公式）、奇偶并項(xiàng)、周期綜合）（學(xué)生版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫

Page第04講數(shù)列求和綜合（分組求和、裂項(xiàng)相消、錯(cuò)位相減（萬能公式）、奇偶并項(xiàng)、周期綜合）（6類核心考點(diǎn)精講精練）1.5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2024年新Ⅱ卷，第12題,5分求等差數(shù)列前n項(xiàng)和等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算2024年全國甲卷，第18題,12分錯(cuò)位相減法求和利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)2023年新Ⅱ卷，第18題,12分分組(并項(xiàng))-奇偶項(xiàng)求和利用定義求等差數(shù)列通項(xiàng)公式等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算求等差數(shù)列前n項(xiàng)和2023年全國甲卷（理科），第17題,10分錯(cuò)位相減法求和利用與關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)2022年新I卷，第17題,10分裂項(xiàng)相消法求和利用與關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)累乘法求數(shù)列通項(xiàng)利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求數(shù)列中的項(xiàng)2022年新Ⅱ卷，第22題,12分裂項(xiàng)相消法求和利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間2021年新I卷，第16題,5分錯(cuò)位相減法求和數(shù)與式中的歸納推理2021年新I卷，第17題,10分分組(并項(xiàng))-奇偶項(xiàng)求和由遞推數(shù)列研究數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)利用定義求等差數(shù)列通項(xiàng)公式求等差數(shù)列前n項(xiàng)和2021年全國乙卷（文科），第19題,12分錯(cuò)位相減法求和等差中項(xiàng)的應(yīng)用等比數(shù)列通項(xiàng)公式2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度中等，小題分值為5-6分，大題13-17分【備考策略】1.熟練掌握裂項(xiàng)相消求和2.熟練掌握錯(cuò)位相減求和3.熟練掌握拆項(xiàng)分組求和法、并項(xiàng)轉(zhuǎn)化求和法、倒序相加求和法，能綜合解決數(shù)列的求和問題4.熟練掌握數(shù)列中不等式的綜合問題【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，?？疾榱秧?xiàng)相消求和、錯(cuò)位相減求和、奇偶并項(xiàng)求和，需重點(diǎn)綜合復(fù)習(xí)知識(shí)講解1．公式法(1)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝na1＋eq\f(nn－1,2)d.(2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式①當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1；②當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).2．分組轉(zhuǎn)化法把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)或幾項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)能求和的數(shù)列，再求解．3．裂項(xiàng)相消法把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差求和，正負(fù)相消剩下首尾若干項(xiàng)．常見的裂項(xiàng)技巧：；；指數(shù)型；對(duì)數(shù)型.等4．倒序相加法把數(shù)列分別正著寫和倒著寫再相加，即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣．5．錯(cuò)位相減法主要用于一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘所得的數(shù)列的求和，即等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣．萬能公式：形如的數(shù)列求和為，其中，，6．并項(xiàng)求和法一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項(xiàng)合并求解．考點(diǎn)一、公式法直接求和1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知．(1)證明：是等差數(shù)列；(2)若成等比數(shù)列，求的最小值．2．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）記是公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求使成立的n的最小值．3．（2020·海南·高考真題）已知公比大于的等比數(shù)列滿足．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求.4．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)等比數(shù)列{an}滿足，．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）記為數(shù)列{log3an}的前n項(xiàng)和．若，求m．1．（2024·四川遂寧·三模）等比數(shù)列中，，．(1)求的通項(xiàng)公式：(2)記為的前n項(xiàng)和，若，求m．2．（2024·浙江·三模）已知等差數(shù)列的公差不為零，成等比數(shù)列，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求.3．（2024·江蘇南通·二模）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，.(1)求，，并證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求.4．（2024·遼寧·二模）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公差為d，且.若等差數(shù)列，滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，求n的最大值.5．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列中，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求證：數(shù)列的前n項(xiàng)和.考點(diǎn)二、分組轉(zhuǎn)化求和1．（2024·全國·高考真題）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.2．（2024·浙江臺(tái)州·一模）已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和為，若，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．1．（22-23高三上·山東濰坊·階段練習(xí)）已知公差不為零的等差數(shù)列的前四項(xiàng)和為10，且，，成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.2．（2024·山東·二模）已知數(shù)列，中，，，是公差為1的等差數(shù)列，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.35．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，．(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．考點(diǎn)三、裂項(xiàng)相消求和1．（全國·高考真題）設(shè)數(shù)列滿足.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．2．（2022·全國·高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：．3．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，已知與的等差中項(xiàng)等于與的等比中項(xiàng).(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，求的前項(xiàng)和.4．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）在等差數(shù)列（）中，，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明.1．（23-24高二下·浙江麗水·期中）設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，前項(xiàng)和為．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)的前項(xiàng)和為，證明：．2．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.3．（2024·浙江麗水·二模）設(shè)等差數(shù)列的公差為，記是數(shù)列的前項(xiàng)和，若，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.4．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.考點(diǎn)四、錯(cuò)位相減求和1．（2024·全國·高考真題）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．2．（2023·全國·高考真題）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．3．（2021·全國·高考真題）設(shè)是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足．已知，，成等差數(shù)列．（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）記和分別為和的前n項(xiàng)和．證明：．4．（2024·江蘇無錫·二模）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和.若對(duì)任意的恒成立，求k的取值范圍.1．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．2．（2024·貴州遵義·三模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且點(diǎn)在直線上．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．3．（2024·浙江·三模）已知等比數(shù)列和等差數(shù)列，滿足，，，．(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為．證明：．考點(diǎn)五、奇偶并項(xiàng)求和1．（2023·全國·高考真題）已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項(xiàng)和，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．2．（2024·河北保定·二模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和.3．（2024·山東濰坊·三模）已知正項(xiàng)等差數(shù)列的公差為2，前項(xiàng)和為，且成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若求數(shù)列的前項(xiàng)和.4．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足當(dāng)時(shí)，(1)求和，并證明當(dāng)為偶數(shù)時(shí)是等比數(shù)列；(2)求5．（2020·天津·高考真題）已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，．（Ⅰ）求和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記的前項(xiàng)和為，求證：；（Ⅲ）對(duì)任意的正整數(shù)，設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和．1．（2024·黑龍江·三模）已知等差數(shù)列的公差，與的等差中項(xiàng)為5，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)求數(shù)列的前20項(xiàng)和.2．（2024·福建廈門·三模）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，且為等差數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求的前項(xiàng)和.3．（2024·山東·二模）已知是公差不為0的等差數(shù)列，其前4項(xiàng)和為16，且成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.4．（2024·福建廈門·模擬預(yù)測(cè)）已知為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，，，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，求n的最小值.考點(diǎn)六、數(shù)列求和之不等式綜合1．（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列前項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)證明：．2．（2024·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）記各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知是與的等差中項(xiàng).(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)積．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，證明：．4．（2024·福建三明·三模）已知數(shù)列滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若不等式對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；(3)記，求證：．1．（2024·山東煙臺(tái)·三模）在數(shù)列中，已知，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，證明：.2．（2024·浙江杭州·二模）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列滿足，令，求證：．3．（2024·安徽合肥·三模）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，是公差為2的等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：．4．（2024·陜西銅川·三模）已知數(shù)列滿足：.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求正整數(shù)的最大值.5．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，，求證：．1．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.2．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，數(shù)列也為等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．3．（2024·山西呂梁·二模）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.4．（2024·四川成都·三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求出通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.5．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，是等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)證明：.1．（2023·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)列中，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．2．（2023·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差為，為的前項(xiàng)和，為等差數(shù)列．(1)求與的關(guān)系；(2)若，為數(shù)列的前項(xiàng)和，求使得成立的的最大值．3．（23-24高二上·江蘇淮安·期末）已知數(shù)列的各項(xiàng)均大于1，其前項(xiàng)和為，數(shù)列滿足，，，數(shù)列滿足，且，.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求的前項(xiàng)和.4．（2023·湖南永州·二模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)的和．5．（23-24高三上·江蘇南通·期末）設(shè)的前項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)已知，且的前項(xiàng)和為，求證：.6．（2023·山東濰坊·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知．(1)證明：為等比數(shù)列，求出的通項(xiàng)公式；(2)若，求的前項(xiàng)和．7．（2024·河南·三模）已知數(shù)列的各項(xiàng)都為正數(shù)，且其前項(xiàng)和.(1)證明：是等差數(shù)列，并求；(2)如果，求數(shù)列的前項(xiàng)和.8．（2023·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列中，為的前n項(xiàng)和，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和，求.9．（23-24高三下·河南濮陽·開學(xué)考試）已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為整數(shù)，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，比較與的大小關(guān)系，并說明理由.10．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且數(shù)列為等差數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)定義：表示不超過x的最大整數(shù)．設(shè)，求數(shù)列的前114項(xiàng)和．1．（全國·高考真題）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，為整數(shù)，且.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.2．（全國·高考真題）等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求數(shù)列的前項(xiàng)和.3．（廣東·高考真題）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，（1）求的值；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）證明：對(duì)一切的正整數(shù)都有4．（山東·高考真題）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，是等差數(shù)列，且.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）令.求數(shù)列的前n項(xiàng)和.5．（廣東·高考真題）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足且構(gòu)成等比數(shù)列．(1)證明：；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；