第04講 數(shù)列求和綜合(分組求和、裂項相消、錯位相減(萬能公式)、奇偶并項、周期綜合)(學生版)-2025版高中數(shù)學一輪復習考點幫_第1頁
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Page第04講數(shù)列求和綜合(分組求和、裂項相消、錯位相減(萬能公式)、奇偶并項、周期綜合)(6類核心考點精講精練)1.5年真題考點分布5年考情考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點2024年新Ⅱ卷,第12題,5分求等差數(shù)列前n項和等差數(shù)列通項公式的基本量計算2024年全國甲卷,第18題,12分錯位相減法求和利用an與sn關(guān)系求通項2023年新Ⅱ卷,第18題,12分分組(并項)-奇偶項求和利用定義求等差數(shù)列通項公式等差數(shù)列通項公式的基本量計算求等差數(shù)列前n項和2023年全國甲卷(理科),第17題,10分錯位相減法求和利用與關(guān)系求通項或項2022年新I卷,第17題,10分裂項相消法求和利用與關(guān)系求通項或項累乘法求數(shù)列通項利用等差數(shù)列通項公式求數(shù)列中的項2022年新Ⅱ卷,第22題,12分裂項相消法求和利用導數(shù)研究不等式恒成立問題含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間2021年新I卷,第16題,5分錯位相減法求和數(shù)與式中的歸納推理2021年新I卷,第17題,10分分組(并項)-奇偶項求和由遞推數(shù)列研究數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)利用定義求等差數(shù)列通項公式求等差數(shù)列前n項和2021年全國乙卷(文科),第19題,12分錯位相減法求和等差中項的應用等比數(shù)列通項公式2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的常考內(nèi)容,設(shè)題穩(wěn)定,難度中等,小題分值為5-6分,大題13-17分【備考策略】1.熟練掌握裂項相消求和2.熟練掌握錯位相減求和3.熟練掌握拆項分組求和法、并項轉(zhuǎn)化求和法、倒序相加求和法,能綜合解決數(shù)列的求和問題4.熟練掌握數(shù)列中不等式的綜合問題【命題預測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的常考內(nèi)容,常考查裂項相消求和、錯位相減求和、奇偶并項求和,需重點綜合復習知識講解1.公式法(1)等差數(shù)列的前n項和公式Sn=eq\f(na1+an,2)=na1+eq\f(nn-1,2)d.(2)等比數(shù)列的前n項和公式①當q=1時,Sn=na1;②當q≠1時,Sn=eq\f(a11-qn,1-q)=eq\f(a1-anq,1-q).2.分組轉(zhuǎn)化法把數(shù)列的每一項分成兩項或幾項,使其轉(zhuǎn)化為幾個能求和的數(shù)列,再求解.3.裂項相消法把數(shù)列的通項拆成兩項之差求和,正負相消剩下首尾若干項.常見的裂項技巧:;;指數(shù)型;對數(shù)型.等4.倒序相加法把數(shù)列分別正著寫和倒著寫再相加,即等差數(shù)列求和公式的推導過程的推廣.5.錯位相減法主要用于一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應項相乘所得的數(shù)列的求和,即等比數(shù)列求和公式的推導過程的推廣.萬能公式:形如的數(shù)列求和為,其中,,6.并項求和法一個數(shù)列的前n項和中,可兩兩結(jié)合求解,則稱之為并項求和.形如an=(-1)nf(n)類型,可采用兩項合并求解.考點一、公式法直接求和1.(2022·全國·統(tǒng)考高考真題)記為數(shù)列的前n項和.已知.(1)證明:是等差數(shù)列;(2)若成等比數(shù)列,求的最小值.2.(2021·全國·統(tǒng)考高考真題)記是公差不為0的等差數(shù)列的前n項和,若.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)求使成立的n的最小值.3.(2020·海南·高考真題)已知公比大于的等比數(shù)列滿足.(1)求的通項公式;(2)求.4.(2020·全國·統(tǒng)考高考真題)設(shè)等比數(shù)列{an}滿足,.(1)求{an}的通項公式;(2)記為數(shù)列{log3an}的前n項和.若,求m.1.(2024·四川遂寧·三模)等比數(shù)列中,,.(1)求的通項公式:(2)記為的前n項和,若,求m.2.(2024·浙江·三模)已知等差數(shù)列的公差不為零,成等比數(shù)列,且.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)求.3.(2024·江蘇南通·二模)設(shè)數(shù)列的前項和為,若,.(1)求,,并證明:數(shù)列是等差數(shù)列;(2)求.4.(2024·遼寧·二模)設(shè)等差數(shù)列的前n項和為,公差為d,且.若等差數(shù)列,滿足.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)若,記數(shù)列的前n項和為,且,求n的最大值.5.(2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預測)已知數(shù)列中,,.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)求證:數(shù)列的前n項和.考點二、分組轉(zhuǎn)化求和1.(2024·全國·高考真題)已知等比數(shù)列的前項和為,且.(1)求的通項公式;(2)求數(shù)列的前n項和.2.(2024·浙江臺州·一模)已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù),前n項和為,若,.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)若,求數(shù)列的前n項和.1.(22-23高三上·山東濰坊·階段練習)已知公差不為零的等差數(shù)列的前四項和為10,且,,成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列通項公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項和.2.(2024·山東·二模)已知數(shù)列,中,,,是公差為1的等差數(shù)列,數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)求數(shù)列的前項和.35.(2024·全國·模擬預測)已知數(shù)列滿足,.(1)證明:數(shù)列為等比數(shù)列;(2)求數(shù)列的前項和.考點三、裂項相消求和1.(全國·高考真題)設(shè)數(shù)列滿足.(1)求的通項公式;(2)求數(shù)列的前項和.2.(2022·全國·高考真題)記為數(shù)列的前n項和,已知是公差為的等差數(shù)列.(1)求的通項公式;(2)證明:.3.(2024·湖北·模擬預測)設(shè)是正數(shù)組成的數(shù)列,其前n項和為,已知與的等差中項等于與的等比中項.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)令,求的前項和.4.(2024·湖北武漢·模擬預測)在等差數(shù)列()中,,.(1)求的通項公式;(2)若,數(shù)列的前項和為,證明.1.(23-24高二下·浙江麗水·期中)設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列,前項和為.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設(shè)的前項和為,證明:.2.(2024·河北滄州·模擬預測)設(shè)正項數(shù)列的前n項和為,已知.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前n項和.3.(2024·浙江麗水·二模)設(shè)等差數(shù)列的公差為,記是數(shù)列的前項和,若,.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)若,數(shù)列的前項和為,求證:.4.(2024·全國·模擬預測)設(shè)數(shù)列的前項和為,滿足.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項和.考點四、錯位相減求和1.(2024·全國·高考真題)記為數(shù)列的前項和,已知.(1)求的通項公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項和.2.(2023·全國·高考真題)設(shè)為數(shù)列的前n項和,已知.(1)求的通項公式;(2)求數(shù)列的前n項和.3.(2021·全國·高考真題)設(shè)是首項為1的等比數(shù)列,數(shù)列滿足.已知,,成等差數(shù)列.(1)求和的通項公式;(2)記和分別為和的前n項和.證明:.4.(2024·江蘇無錫·二模)已知正項數(shù)列的前項和為,滿足.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設(shè)為數(shù)列的前項和.若對任意的恒成立,求k的取值范圍.1.(2024·全國·模擬預測)已知是各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和,.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)若,求數(shù)列的前項和.2.(2024·貴州遵義·三模)已知數(shù)列的前n項和為,,且點在直線上.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)記,求數(shù)列的前n項和.3.(2024·浙江·三模)已知等比數(shù)列和等差數(shù)列,滿足,,,.(1)求數(shù)列,的通項公式;(2)記數(shù)列的前項和為,數(shù)列的前項和為.證明:.考點五、奇偶并項求和1.(2023·全國·高考真題)已知為等差數(shù)列,,記,分別為數(shù)列,的前n項和,,.(1)求的通項公式;(2)證明:當時,.2.(2024·河北保定·二模)已知數(shù)列的前n項和為,且.(1)求的通項公式;(2)若數(shù)列滿足,求的前項和.3.(2024·山東濰坊·三模)已知正項等差數(shù)列的公差為2,前項和為,且成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)若求數(shù)列的前項和.4.(2024·四川成都·模擬預測)已知數(shù)列滿足當時,(1)求和,并證明當為偶數(shù)時是等比數(shù)列;(2)求5.(2020·天津·高考真題)已知為等差數(shù)列,為等比數(shù)列,.(Ⅰ)求和的通項公式;(Ⅱ)記的前項和為,求證:;(Ⅲ)對任意的正整數(shù),設(shè)求數(shù)列的前項和.1.(2024·黑龍江·三模)已知等差數(shù)列的公差,與的等差中項為5,且.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設(shè)求數(shù)列的前20項和.2.(2024·福建廈門·三模)設(shè)為數(shù)列的前項和,已知,且為等差數(shù)列.(1)求的通項公式;(2)若,求的前項和.3.(2024·山東·二模)已知是公差不為0的等差數(shù)列,其前4項和為16,且成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項和.4.(2024·福建廈門·模擬預測)已知為等差數(shù)列的前n項和,,,.(1)求的通項公式;(2)記為數(shù)列的前n項和,若,求n的最小值.考點六、數(shù)列求和之不等式綜合1.(2024·江蘇揚州·模擬預測)已知各項均為正數(shù)的數(shù)列前項和為,且.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)證明:.2.(2024·河北衡水·模擬預測)記各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為,已知是與的等差中項.(1)求的通項公式;(2)設(shè),數(shù)列的前項和為,證明:.3.(2024高三·全國·專題練習)已知數(shù)列的前項積.(1)求的通項公式;(2)設(shè),證明:.4.(2024·福建三明·三模)已知數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設(shè)數(shù)列的前n項和為,若不等式對任意的恒成立,求實數(shù)t的取值范圍;(3)記,求證:.1.(2024·山東煙臺·三模)在數(shù)列中,已知,.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)若,為數(shù)列的前n項和,證明:.2.(2024·浙江杭州·二模)已知等差數(shù)列的前項和為,且.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)數(shù)列滿足,令,求證:.3.(2024·安徽合肥·三模)設(shè)數(shù)列的前項和為,已知,是公差為2的等差數(shù)列.(1)求的通項公式;(2)若,設(shè)數(shù)列的前項和,求證:.4.(2024·陜西銅川·三模)已知數(shù)列滿足:.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)若,求正整數(shù)的最大值.5.(2024·四川·模擬預測)已知數(shù)列滿足.(1)求的通項公式;(2)若數(shù)列滿足,,求證:.1.(2024·陜西安康·模擬預測)設(shè)等比數(shù)列的前項和為,已知.(1)求數(shù)列的通項公式.(2)求數(shù)列的前項和.2.(2024·全國·模擬預測)已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列的前項和為,滿足,數(shù)列也為等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式.(2)記,求數(shù)列的前項和.3.(2024·山西呂梁·二模)已知等差數(shù)列的前項和為,且.(1)求的通項公式;(2)記數(shù)列的前項和為,證明:.4.(2024·四川成都·三模)已知數(shù)列的前項和為,.(1)證明:數(shù)列是等比數(shù)列,并求出通項公式;(2)數(shù)列滿足,求數(shù)列的前項和.5.(2024·全國·模擬預測)設(shè)等差數(shù)列的前項和為,且,是等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)證明:.1.(2023·陜西安康·模擬預測)在數(shù)列中,已知.(1)求的通項公式;(2)求數(shù)列的前項和.2.(2023·重慶沙坪壩·模擬預測)已知等差數(shù)列的首項,公差為,為的前項和,為等差數(shù)列.(1)求與的關(guān)系;(2)若,為數(shù)列的前項和,求使得成立的的最大值.3.(23-24高二上·江蘇淮安·期末)已知數(shù)列的各項均大于1,其前項和為,數(shù)列滿足,,,數(shù)列滿足,且,.(1)證明:數(shù)列是等差數(shù)列;(2)求的前項和.4.(2023·湖南永州·二模)已知數(shù)列的前項和為.(1)求的通項公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項的和.5.(23-24高三上·江蘇南通·期末)設(shè)的前項和為,且.(1)求的通項公式;(2)已知,且的前項和為,求證:.6.(2023·山東濰坊·模擬預測)設(shè)數(shù)列的前項和為,已知.(1)證明:為等比數(shù)列,求出的通項公式;(2)若,求的前項和.7.(2024·河南·三模)已知數(shù)列的各項都為正數(shù),且其前項和.(1)證明:是等差數(shù)列,并求;(2)如果,求數(shù)列的前項和.8.(2023·黑龍江哈爾濱·模擬預測)已知正項等比數(shù)列中,為的前n項和,.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)令,設(shè)數(shù)列的前n項和,求.9.(23-24高三下·河南濮陽·開學考試)已知等比數(shù)列的首項為,公比為整數(shù),且.(1)求的通項公式;(2)設(shè)數(shù)列的前項和為,比較與的大小關(guān)系,并說明理由.10.(2023·全國·模擬預測)已知數(shù)列的前n項和為,,且數(shù)列為等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)定義:表示不超過x的最大整數(shù).設(shè),求數(shù)列的前114項和.1.(全國·高考真題)等差數(shù)列的前n項和為,已知,為整數(shù),且.(1)求的通項公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前n項和.2.(全國·高考真題)等比數(shù)列的各項均為正數(shù),且.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設(shè)bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求數(shù)列的前項和.3.(廣東·高考真題)已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為,且滿足,(1)求的值;(2)求數(shù)列的通項公式;(3)證明:對一切的正整數(shù)都有4.(山東·高考真題)已知數(shù)列的前n項和,是等差數(shù)列,且.(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;(Ⅱ)令.求數(shù)列的前n項和.5.(廣東·高考真題)設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為,滿足且構(gòu)成等比數(shù)列.(1)證明:;(2)求數(shù)列的通項公式;

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