專題15 難點探究專題：解直角三角形應(yīng)用與特殊幾何圖形的綜合壓軸題三種模型全攻略（解析版）

專題15難點探究專題：解直角三角形應(yīng)用與特殊幾何圖形的綜合壓軸題三種模型全攻略【考點導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一解直角三角形應(yīng)用與特殊三角形的綜合】 1【類型二解直角三角形應(yīng)用與特殊四邊形的綜合】 7【類型三解直角三角形應(yīng)用與其他知識的綜合】 13【典型例題】【類型一解直角三角形應(yīng)用與特殊三角形的綜合】例題：（2023·江蘇蘇州·蘇州市胥江實驗中學(xué)校?？级＃┫那锛竟?jié)，許多露營愛好者晚間會在太湖邊露營，為遮陽和防雨會搭建一種“天幕”，其截面示意圖是軸對稱圖形，對稱軸是垂直于地面的支桿，用繩子拉直后系在樹干上的點E處（），使得A、D、E在一條直線上，通過調(diào)節(jié)點E的高度可控制“天幕”的開合，幕布寬，于點O，支桿與樹干的橫向距離．（參考數(shù)據(jù)：，，，結(jié)果精確到0.1）

(1)天晴時打開“天幕”，若，求遮陽寬度；(2)下雨時收攏“天幕”，由減少到，求點E下降得高度．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意知，m，根據(jù)，計算求解即可；（2）如圖，過作于，則四邊形是矩形，則，當時，，，當時，，，則．【詳解】（1）解：由題意知，m，∴m，∴遮陽寬度為．（2）解：如圖，過作于，則四邊形是矩形，

∴，當時，，∴，當時，，∴，∵，∴由減少到，求點E下降得高度為．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，矩形的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于抽象出直角三角形并正確的運算．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·海南海口·九年級?？谝恢行？计谥校┯图垈阌兄馇甑臍v史，被列入國家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄；在一次活動中，小文了解了油紙傘文化的內(nèi)涵，決定進行設(shè)計傘的實踐活動．小文依據(jù)黃金分割的美學(xué)設(shè)計理念，設(shè)計了中截面如圖所示的傘骨結(jié)構(gòu)（其中）：傘柄始終平分，，當時，傘完全打開，此時．(1)，；(2)求線段的長；（結(jié)果保留整根號）(3)請問最少需要準備多長的傘柄？（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)，；(2)(3)【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義可得，再證明，然后利用全等三角形的性質(zhì)可得，即可解答；（2）過點B作，垂足為E，先在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出，的長，再在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，然后利用線段的和差關(guān)系進行計算，即可解答；（3）利用黃金分割的定義，進行計算即可解答．【詳解】（1）解：（1）∵平分，，∴，∵，∴，∴，故答案為：；；（2）解：（2）過點B作，垂足為E，在中，，∴，，在中，，∴，∴線段的長為；（3）解：（3）∵，∴，∴，解得：，∴最少需要準備長的傘柄．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，全等三角形的判定與性質(zhì)，黃金分割，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義，以及全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·河南周口·校聯(lián)考二模）“工欲善其事，必先利其器”，如圖所示的是釣魚愛好者的神器“晴雨傘”，其截面示意圖是軸對稱圖形，對稱軸是垂直于地面的支桿，用繩子拉直后系在樹干上的點處（），使得，，在一條直線上，通過調(diào)節(jié)點的高度可控制“晴雨傘”的開合，“晴雨傘”，于點，支桿與樹干的橫向距離．

(1)天晴時打開“晴雨傘”，若，求遮陽寬度．(2)下雨時收攏“晴雨傘”，使由減少到，求點下降的高度．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】(1)(2)【分析】（1）在中利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長即可解答；（2）過點作于點，得，再在中銳角三角函數(shù)的定義可得，最后求出和時的長即可解答．【詳解】（1）解：由對稱性可知，，，在中，，∴，∴，∴，答：遮陽寬度為；（2）解：如圖，過點作于點，

∴，∵，，∴，∴，∴，在中，∵，當時，，當時，，∴點下降的高度為，答：點下降的高度為．【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用和銳角三角函數(shù)的定義，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．3．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考三模）圖是一款筆記本電腦支架，它便于電腦散熱，減輕使用者的頸椎壓力．圖是支架與電腦底部的接觸面以及側(cè)面的抽象圖，已知，互相平分于點，，若，．

(1)求的長．(2)求點到底架的高（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，）．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意得出，由，證明與均是正三角形，即可得出答案；（2）在中，利用正弦定義求解即可.【詳解】（1）解：，，互相平分于點O，，，與均是正三角形，．（2）解：在中，，即，答：點到底架的高為．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的判斷和性質(zhì)，解直角三角形，對頂角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角函數(shù)的定義，準確計算．【類型二解直角三角形應(yīng)用與特殊四邊形的綜合】例題：（2023春·江西南昌·九年級南昌市第二十八中學(xué)校聯(lián)考階段練習）某景區(qū)草地上豎立著一個如圖（1）所示的雕塑，現(xiàn)將其中兩個近似大小相同的矩形框架抽象成如圖（2）所示的圖形，矩形可由矩形繞點旋轉(zhuǎn)得到，點在上，延長交于點．連接．

(1)判斷四邊形的形狀并給予證明；(2)若點在水平地面上，與水平地面平行，，求點到水平地面的距離．（結(jié)果精確到．）參考數(shù)據(jù)：【答案】(1)平行四邊形，見解析(2)【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)結(jié)合矩形的性質(zhì)推出，利用證明，得到，據(jù)此可證明四邊形是平行四邊形；（2）延長交水平地面于點，連接．利用正切函數(shù)求得的長，得到，推出，再根據(jù)余弦函數(shù)求得的長，據(jù)此即可求解．【詳解】（1）解：四邊形是平行四邊形．證明：∵四邊形是矩形，∴，，，∴，∵四邊形是矩形，∴，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得，∴，∴，∴，由旋轉(zhuǎn)得，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形；（2）解：如圖，延長交水平地面于點，連接．

∵，，∴，∴，∴，由（1）知，又，∴，由平行線的性質(zhì)知，∴，∴，即點到水平地面的距離約為．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定，矩形的性質(zhì)和判定，利用三角函數(shù)解直角三角形等，解題的關(guān)鍵是：（1）掌握等腰三角形中等邊對等角；（2）通過添加輔助線構(gòu)造直角三角形．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江西九江·九年級統(tǒng)考期中）圖1是某校教學(xué)樓墻壁上文化長廊中的兩幅圖案，現(xiàn)將這兩個正方形轉(zhuǎn)化為平面圖形得到圖2，并測得正方形與正方形的面積相等，且，

(1)判斷四邊形的形狀，并說明理由．(2)求的長．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)四邊形是菱形，詳見解析(2)【分析】（1）先證明四邊形是平行四邊形，再證明，從而得，即可得出結(jié)論；（2）作于點M，解，即可求解．【詳解】（1）解：四邊形是菱形

，理由：正方形與正方形的面積相等，，，∴四邊形是平行四邊形，，，，∴四邊形是菱形．（2）解：作于點M，

在中，，，得

，．【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，菱形的判定，解直角三角形，熟練掌握正方形的性質(zhì)、菱形的判定、正確求解直角三角形是解題的關(guān)鍵．2．（2023·山東青島·統(tǒng)考二模）如圖1，一吸管杯放置在水平桌面上，矩形為其橫截面，為吸管，其示意圖如圖所示，，，．將杯子繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使與水平線平行(如圖3)．(1)杯子與水平線的夾角______；(2)由圖2到圖3，點A的位置是升高了還是下降了？變化了多少厘米？(結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，)【答案】(1)(2)點A的位置是下降了厘米【分析】（1）過點作，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解；（2）過點作于點，延長交的延長線于點，在中，，在中，，，求得，即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，過點作，∴，，∴，∵，∴；（2）如圖所示，過點作于點，延長交的延長線于點，∵，∴，∴，在中，，∴，∴，在中，，，∴，，∴；點A的位置是下降了厘米．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，平行線的性質(zhì)，求扇形面積，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．3．（2020·江西贛州·統(tǒng)考一模）如圖是一個晾衣架的實物圖，支架的基本圖形是菱形，MN是晾衣架的一個滑槽，點P在滑槽MN上、下移動時，晾衣架可以伸縮，其示意圖如圖所示，已知每個菱形的邊長均為20cm，且．當點P向下滑至點N處時，測得時求滑槽MN的長度；此時點A到直線DP的距離是多少？當點P向上滑至點M處時，點A在相對于的情況下向左移動的距離是多少？結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)【答案】（1）①；②（2）【分析】（1）①作于H，由得出，進而求出MN；②點A到直線DP的距離是；（2）當點P向上滑至點M處時，是等邊三角形，作于G，求CG，即可求出結(jié)果．【詳解】解：當點P向下滑至點N處時，如圖1中，作于H．，，，即，，，．滑槽MN的長度為．根據(jù)題意，點A到直線DP的距離是．當點P向上滑至點M處時，如圖2中，是等邊三角形，，作于G，則，此時點A到直線DP的距離是，，∴點A在相對于的情況下向左移動的距離是．

【點睛】此題考查了解直角三角形，等邊三角形的性質(zhì)，找到對應(yīng)長度是關(guān)鍵．【類型三解直角三角形應(yīng)用與其他知識的綜合】例題：（2023·浙江舟山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）倡導(dǎo)“低碳環(huán)?！弊尅熬G色出行”成為一種生活常態(tài)．小海買了一輛自行車作為代步工具，各部件的名稱如圖所示，該自行車的車輪半徑為，圖是該自行車的車架示意圖，立管，上管，且它們互相垂直，座管可以伸縮，點、、在同一條直線上，且．

(1)求下管的長；(2)若后下叉與地面平行，座管伸長到，求座墊離地面的距離．（結(jié)果精確到參考數(shù)據(jù)）【答案】(1)下管長;(2)座墊離地面的距離是．【分析】(1)在中利用勾股定理求得即可．(2)在過作，在中，利用三角函數(shù)求，即可得到答案．【詳解】（1）解：在中，，，∴∴，答：下管長．（2）解：過點作，垂足為，

∵，∴≈∴，答：座墊離地面的距離是．【點睛】本題考查勾股定理與三角函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題加以計算．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江西撫州·九年級?？茧A段練習）如圖1所示的是一套車牌識別系統(tǒng)，將其抽象成如圖2所示的示意圖，攝像頭可繞點旋轉(zhuǎn)，與地面形成的角度為，立柱與地面垂直，高度為．當車牌完全進入攝像頭范圍內(nèi)，才能識別車牌號碼，某款小汽車車牌上方距離地面．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：．）

(1)若，求該系統(tǒng)正好能識別該汽車車牌的距離；(2)若的最大值為，求系統(tǒng)能識別該汽車車牌的最大距離．【答案】(1)；(2)．【分析】將具體問題幾何化，轉(zhuǎn)為解直角三角形，由于只涉及垂直距離與水平距離，可使用正切值求得水平距離，即可求得系統(tǒng)能識別汽車車牌的距離．【詳解】（1）如圖，為車牌上方距離地面的高度，，

，，．故該系統(tǒng)正好能識別該汽車車牌的距離為．（2）如圖，，，，．故系統(tǒng)能識別該汽車車牌的最大距離為．【點睛】本題考查了解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟知三角函數(shù)中邊角的關(guān)系．2．（2023·湖北隨州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）某縣消防大隊到某小區(qū)進行消防演習已知，圖是一輛登高云梯消防車的實物圖，圖是其工作示意圖，起重臂可伸縮，且起重臂可繞點在一定范圍內(nèi)轉(zhuǎn)動，張角為轉(zhuǎn)動點A距離地面的高度為．(1)當起重臂長度為，張角，求云梯消防車最高點距離地面的高度；(2)已知該小區(qū)層高為，若某居民家突發(fā)險情，請問該消防車有效救援能達到幾層？請說明理由．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】(1)云梯消防車最高點距離地面的高度為(2)該消防車能有效救援層【分析】如圖所示，過點作，垂足為，可求出，在中，根據(jù)余弦的計算方法即可求出的長，由此即可求解；當，時，能達到最高高度，可求出的度數(shù)，在中，根據(jù)正弦的計算方法即可求出的長，由此即可求解．【詳解】（1）如圖所示，過點作，垂足為，過點A作，垂足為，則，，，，在中，，，，，云梯消防車最高點距離地面的高度為．（2）該消防車能有效救援層，理由如下，當，時，能達到最高高度，，，在中，，，，，該消防車能有效救援層．【點睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．（2023·江蘇鹽城·?？既＃┤鐖D①，某款線上教學(xué)設(shè)備由底座，支撐臂，連桿，懸臂和安裝在D處的攝像頭組成．如圖②是該款設(shè)備放置在水平桌面l上的示意圖．已知支撐臂，，，固定，可通過調(diào)試懸臂與連桿的夾角提高拍攝效果．

(1)問懸臂端點C到桌面l的距離約為多少？(2)已知攝像頭點D到桌面l的距離為時拍攝效果較好，那么此時懸臂與連桿的夾角的度數(shù)約為多少？（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)(2)【分析】（1）過點D作于點E，過點作，垂足為，過點作的垂線，垂足為、，證明出四邊形是矩形然后在中利用三角函數(shù)得到，進而求解即可；（2）首先得到，四邊形是矩形，然后在中利用三角形函數(shù)求出，然后利用三角形的外角求解即可．【詳解】（1）過點D作于點E，過點作，垂足為，過點作的垂線，垂足為、，

∵，∴四邊形是矩形，∴，，∵，∴，∵，，∴，∴，∴懸臂端點C到桌面l的距離約為；（2）∵攝像頭點D到桌面l的距離為，∴，同理可得四邊形是矩形，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，添加輔助線，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·江西南昌·九年級?？茧A段練習）圖①是某地的一個五角星雕塑，將其抽象成如圖②所示的示意圖．已知與地面平行，，，點在一條直線上，點在一條直線上（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：）．(1)求的度數(shù)；(2)求該雕塑的高度．【答案】(1)(2)【分析】（1）連接．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出，再根據(jù)，可得；（2）過點作．先證，推出，再解求出，進而求出，再解即可求出該雕塑的高度．【詳解】（1）解：如圖，連接．

，又與地面平行，點在一條直線上，．又點在一條直線上，（2）解：如圖，過點作．

，，又，即，，，故該雕塑的高度約為．【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，利用三角函數(shù)解直角三角形等，解題的關(guān)鍵是：（1）掌握等腰三角形中等邊對等角；（2）通過添加輔助線構(gòu)造直角三角形．5．（2