山西2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試 數(shù)學(xué)試題（含解析）

山西2024?2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．直線的傾斜角是（

）A． B． C． D．2．已知命題p：“”，命題q：“直線與直線垂直”，則命題p是命題q的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要3．圓的圓心坐標(biāo)和半徑分別是（

）A． B．C． D．4．已知平行六面體的各棱長均為1，，，則（

）A． B． C． D．5．如圖，某顆人工智能衛(wèi)星的運行軌道近似可看作以地心為一個焦點且離心率為的橢圓，地球可看作半徑為的球體，近地點離地面的距離為，則遠(yuǎn)地點離地面的距離為（

）A． B． C． D．6．若圓與圓關(guān)于直線對稱，過點的圓與軸相切，則圓心的軌跡方程為（

）A． B．C． D．7．已知直線與橢圓交于兩點，若點恰為弦的中點，則橢圓的焦距為（）A． B． C． D．8．已知點為橢圓:的右焦點，點是橢圓上的動點，點是圓上的動點，則的最小值是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知曲線，則（

）A．當(dāng)時，是圓B．當(dāng)時，是橢圓且一焦點為C．當(dāng)時，是橢圓且焦距為D．當(dāng)時，是焦點在軸上的橢圓10．如圖，在棱長為2的正方體中，點是的中點，點是底面正方形ABCD內(nèi)的動點（包括邊界），則下列選項正確的是（）

A．存在點滿足B．滿足的點的軌跡長度是C．滿足平面的點的軌跡長度是D．滿足的點的軌跡長度是11．通常稱離心率為的橢圓為“黃金橢圓”．已知橢圓，，分別為左、右頂點，，分別為上、下頂點，，分別為左、右焦點，為橢圓上一點，則滿足下列條件能使橢圓為“黃金橢圓”的有（

）A． B．C．四邊形的內(nèi)切圓過焦點， D．軸，且三、填空題（本大題共3小題）12．圓與圓的公共弦所在直線的方程為.13．，，函數(shù)的最小值為.14．如圖，圓臺中，上、下底面半徑比為，為圓臺軸截面，母線與底面所成角為，上底面中的一條直徑滿足，則夾角余弦值為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知空間三點，設(shè).(1)求和的夾角的余弦值；(2)若向量與互相垂直，求的值.16．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知的頂點，AB邊上中線CD所在直線方程為，AC邊上的高BH所在直線方程為，求：(1)頂點C的坐標(biāo)；(2)求的面積.17．已知圓C：和定點，直線l：（）.(1)當(dāng)時，求直線l被圓C所截得的弦長；(2)若直線l上存在點M，過點M作圓C的切線，切點為B，滿足，求m的取值范圍.18．如圖，在四棱錐中，平面，正方形的邊長為2，是的中點.

(1)求證：平面.(2)若直線與平面所成角的正弦值為，求的長度.(3)若，線段上是否存在一點，使平面?若存在，求出的長度；若不存在，請說明理由.19．已知橢圓：，A，分別為橢圓的左頂點和右焦點，過的直線交橢圓于點，若，且當(dāng)直線軸時，．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線，的斜率分別為，，問是否為定值？并證明你的結(jié)論；(3)記的面積為S，求S的最大值．

參考答案1．【答案】D【詳解】可變形為，，，選D2．【答案】A【詳解】若直線與直線垂直，則，得，或，所以命題p是命題q的充分不必要條件，故選：A3．【答案】D【分析】把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解【詳解】由可得，所以圓心坐標(biāo)和半徑分別是，故選：D4．【答案】B【詳解】取為空間向量的基底，因為，，，所以，.因為，所以，所以.故選：B5．【答案】A【詳解】由題意，不妨以橢圓中心為坐標(biāo)原點，建立如圖所示坐標(biāo)系，則橢圓方程為，則，且，解得，，故該衛(wèi)星遠(yuǎn)地點離地面的距離為，又，所以.故選：A6．【答案】D【詳解】圓，即，圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，由圓與圓關(guān)于直線對稱，可知兩圓半徑相等且兩圓圓心連線的中點在直線上，所以，解得，經(jīng)檢驗，滿足題意，則點的坐標(biāo)為，設(shè)圓心為坐標(biāo)為，則，整理得，即圓心的軌跡方程為.故選：D.7．【答案】B【分析】運用點差法求得m的值，進而可求得橢圓的焦距.【詳解】如圖所示，依題意，直線的斜率為，設(shè)，則，且，由兩式相減得：，于是，解得，此時橢圓，顯然點在橢圓內(nèi)，符合要求，所以橢圓的焦距為.故選：B.8．【答案】B【詳解】如下圖所示：在橢圓中，，則，圓的圓心，半徑，圓心為橢圓的左焦點，由橢圓定義可得，，由橢圓的幾何性質(zhì)可得，即，由圓的幾何性質(zhì)可得，所以，所以的最小值是.故選：C.9．【答案】AC【詳解】對于A項，當(dāng)時，曲線C可化為是圓，A正確；對于B項，當(dāng)時，曲線C可化為是焦點在軸上的橢圓，B錯誤；對于C項，當(dāng)時，曲線是橢圓，且，所以，故C正確；對于D項，當(dāng)時，曲線不是橢圓，故D錯誤.故選：AC.10．【答案】ACD【詳解】

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則有A2,0,0，，，，，，對于A選項，若，則，且，，則，即，故軌跡方程為，當(dāng)時，，點既在軌跡上也在底面內(nèi)，故存在這樣的點存在，故A正確.對于B選項，，，在底面內(nèi)軌跡的長度是以為圓心，1為半徑的圓周長的，故長度為，B錯誤對于C選項，，，設(shè)面的法向量n=x,y,z故有，解得故平面，，的軌跡方程為，，在底面內(nèi)軌跡的長度為，C正確對于D選項，，，，的軌跡方程為，，在底面內(nèi)軌跡的長度為，D正確故選：ACD11．【答案】BC【詳解】由可知：，，，，，，對于A，若，則，所以，即，所以，與已知不符，故A錯誤；對于B，，，所以，因為，所以，所以，所以，所以，故B正確；對于C，四邊形的內(nèi)切圓過焦點，，所以，所以，整理得，所以，解得（舍去）或所以，故C正確；對于D，當(dāng)軸，時，則，，，所以，所以，整理得，所以，所以，與已知不符，故D錯誤.故選：BC12．【答案】【分析】將兩圓方程作差，消去、項，可得出兩圓公共弦所在直線的方程.【詳解】將兩圓方程作差可得，即.因此，圓和圓的公共弦所在直線的方程為.故答案為：.13．【答案】【詳解】設(shè)點，和直線，，到的距離分別為，，易知，如圖，

顯然.故答案為：14．【答案】0【詳解】如圖，過點作直線，過點作直線與點設(shè)由題意可知：，∴在圓臺中，∴以點為坐標(biāo)原點，為軸，為軸，為軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系，∴，∵，∴，∴，∴設(shè)夾角為，則故答案為：0.15．【答案】(1)(2)2或【詳解】（1）由點，得，，所以，所以和夾角的余弦值為.（2）由（1）可得，，因為向量與互相垂直，則，由整理可得，解得或，所以的值為2或.16．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)設(shè)出直線的方程，利用的坐標(biāo)求得直線的方程，通過聯(lián)立的方程求得點的坐標(biāo).（2）求得點坐標(biāo)，然后求得到直線的距離，利用兩點間的距離公式求得，進而求得的面積.【詳解】（1）∵，BH的方程為，不妨設(shè)直線AC的方程為，將代入得，解得，∴直線AC的方程為，聯(lián)立直線AC，CD的方程，即，解得點C的坐標(biāo)為；（2）設(shè)，則，∵點在上，點在上，所以，解得，直線的方程為，則到直線的距離為，又，，則，17．【答案】(1)(2)【詳解】（1）圓C：，圓心，半徑，當(dāng)時，直線l的方程為，所以圓心C到直線l的距離，故弦長為.

（2）設(shè)，則，由，，得.化簡得，所以點M的軌跡是以為圓心，8為半徑的圓.又因為點M在直線l：上，所以與圓D有公共點，所以，解得，所以m的取值范圍是.

18．【答案】(1)證明見解析(2)或(3)存在，【詳解】（1）如圖所示：

連結(jié)交于點，因為四邊形是正方形，所以是的中點，又因為是的中點，所以，因為平面，平面，所以平面.（2）因為平面，平面，所以，因為四邊形為正方形，所以，又因為，平面，平面，所以平面，以點為坐標(biāo)原點，過點作的平行線為軸，分別以、為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，設(shè)平面的法向量為m=x1,y1,z則，令，則，，則，設(shè)與平面所成角為，，解得或，所以的長度或.（3）存在，理由如下：因為，結(jié)合（2），，，所以，，，令，則，所以，所以，設(shè)平面法向量為n=x則，令，則，，所以，因為平面，所以，所以有，解得，所以，因為，所以.19．【答案】(1)；(2)為定值，證明見解析；(3)【