數(shù)學(xué)學(xué)案第二講一曲線的參數(shù)方程

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精庖丁巧解牛知識·巧學(xué)一、參數(shù)方程的概念一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點的坐標(biāo)x、y都是某個變數(shù)t的函數(shù)，即（*）.并且對于t的每一個允許值,由方程組（＊）所確定的點M(x,y）都在這條曲線上，那么方程組(＊）就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系x、y之間關(guān)系的變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)。相對于參數(shù)方程來說，以前所學(xué)習(xí)過的關(guān)于x、y的直角坐標(biāo)方程，叫做曲線的普通方程.在求曲線的方程時，一般需要建立曲線上動點P（x，y）的坐標(biāo)x，y之間滿足的等量關(guān)系F（x，y)＝0，這樣得到的方程F(x，y）＝0就是曲線的普通方程;而有時要想得到聯(lián)系x，y的方程F（x，y）＝0是比較困難的，于是可以通過引入某個中間變量t，使之與曲線上動點P的坐標(biāo)x,y間接地聯(lián)系起來，此時可得到方程組即點P的運動通過變量t的變化進行描述.若對t的每一個值，由方程組確定的點（x，y）都在曲線C上;反之,對于曲線C上的每一個點（x，y)，其中x,y都是t的函數(shù)，則把方程組叫做曲線C的參數(shù)方程，其中的t稱為參數(shù)。在具體問題中的參數(shù)可能有相應(yīng)的幾何意義，也可能沒有什么明顯的幾何意義.疑點突破參數(shù)的選取應(yīng)根據(jù)具體條件來考慮。但有時出于題目需要,也可以選兩個或兩個以上的參數(shù)，然后再設(shè)法消去其中的參數(shù)得到普通方程，或剩下一個參數(shù)得到參數(shù)方程.但這樣做往往增加了變形與計算的麻煩，因此參數(shù)的選取一般應(yīng)盡量少。一般說來，選擇參數(shù)時應(yīng)注意考慮以下兩點：一是曲線上每一點的坐標(biāo)（x，y）都不可能由參數(shù)取某一值唯一地確定出來；二是參數(shù)與x、y的相互關(guān)系比較明顯,容易列出方程.深化升華參數(shù)法在求曲線的軌跡方程時是一種常用的甚至是簡捷的解題方法。參數(shù)的思想方法就是在運動變化的哲學(xué)思想指導(dǎo)下的函數(shù)的思想方法,因此也可認為引入?yún)?shù)就是引入函數(shù)的自變量。二、圓的參數(shù)方程1.圓心在原點、半徑為r的圓的參數(shù)方程：（θ為參數(shù))。2。圓心為O1(a，b）,半徑為r的圓的參數(shù)方程：(θ為參數(shù)）。參數(shù)θ的幾何意義是:以x軸正半軸為始邊，以O(shè)P為終邊的角（其中O為坐標(biāo)原點,P為圓上一動點).圓的參數(shù)方程還可以表示為x=（θ為參數(shù)).方法歸納有時從參數(shù)方程看不出它是否表示圓，可通過消去參數(shù)轉(zhuǎn)化為普通方程判斷其是否表示圓。三、參數(shù)方程和普通方程的互化1.化參數(shù)方程為普通方程的基本思路是消去參數(shù),常用的消參方法有代入消去法、加減消去法、恒等式（三角的或代數(shù)的）消去法。2?；胀ǚ匠虨閰?shù)方程的基本思路是引入?yún)?shù)，即選定合適的參數(shù)t,先確定一個關(guān)系x=f(t)〔或y=φ（t)〕，再代入普通方程F（x，y）＝0,求得另一關(guān)系y=φ(t）〔或x=f(t）〕。一般地，常選擇的參數(shù)有角、有向線段的數(shù)量、斜率，某一點的橫坐標(biāo)（或縱坐標(biāo)）。誤區(qū)警示在將曲線的參數(shù)方程化為普通方程時，不僅僅是要把其中的參數(shù)消去，還要注意其中的x、y的取值范圍，即在消去參數(shù)的過程中一定要注意普通方程與參數(shù)方程的等價性.四、參數(shù)方程與普通方程的區(qū)別與聯(lián)系最明顯的區(qū)別是其方程形式上的區(qū)別；更大的區(qū)別是普通方程反映了曲線上任一點坐標(biāo)x，y的直接關(guān)系，而參數(shù)方程則反映了x，y的間接關(guān)系.曲線的參數(shù)方程常常是方程組的形式,任意給定一個參數(shù)的允許的取值就可得到曲線上的一個對應(yīng)點,反過來對于曲線上任意一個點也必然對應(yīng)著其中的參數(shù)的相應(yīng)的允許取值。盡管參數(shù)方程與普通方程有很大的區(qū)別，但它們之間又有著密切的聯(lián)系,這種聯(lián)系表現(xiàn)在兩方面:（1)這兩種方程都是同一曲線的不同的代數(shù)表現(xiàn)形式,是同一事物的兩個方面；（2）這兩種方程之間可以進行互化，通過消參可以把參數(shù)方程化為普通方程,而通過引入?yún)?shù)，也可把普通方程化為參數(shù)方程.需要注意的是,在將兩種方程互化的過程中，要注意兩種方程(在表示同一曲線時)的等價性，即注意參數(shù)的取值范圍對x，y的取值范圍的影響.聯(lián)想發(fā)散需注意的是，不是所有的參數(shù)方程都可以化為普通方程,有些雖然可以化為普通方程，但是普通方程非常復(fù)雜，不便于對其性質(zhì)的研究，如圓的漸開線和擺線的參數(shù)方程,一般都是研究其參數(shù)方程.問題·探究問題1曲線的參數(shù)方程和普通方程既有各自的優(yōu)點也有各自的缺點.為了利用各自的優(yōu)點，有時候需要把參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，有時候需要把普通方程轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程.那么，如何把一個參數(shù)方程化為普通方程，把一個普通方程化為參數(shù)方程呢?在普通方程與參數(shù)方程互化的過程中，又需要注意哪些問題呢？探究：把參數(shù)方程化為普通方程的基本思路是消去參數(shù)，常用的消參方法有代入消參法、加減消參法、恒等式（三角的或代數(shù)的）消參法;把普通方程化為參數(shù)方程的基本思路是引入?yún)?shù)，是消參的逆過程，即選定合適的參數(shù)t,先確定一個關(guān)系x=f(t)〔或y=φ(t)〕,再代入普通方程F(x,y)＝0，求得另一關(guān)系y=φ(t）〔或x=f(t）〕。一般地，常選擇的參數(shù)有角、有向線段的數(shù)量、斜率，某一點的橫坐標(biāo)(或縱坐標(biāo)）。在將曲線的參數(shù)方程化為普通方程時，不僅僅是要把其中的參數(shù)消去，還要注意其中的x、y的取值范圍，如（t為參數(shù)），通過消參數(shù)得到方程y2=—（x-1)，而事實上由x=cos2t可知0≤x≤1，而由y2=—(x-1）可知其中x≤1,顯然兩個范圍不同，即兩個方程所表示的曲線就不是同一條曲線,可以說y2=-(x-1)就不是的普通方程.故在消去參數(shù)的過程中一定要注意普通方程與參數(shù)方程的等價性,即它們二者要表示同一曲線。問題2圓是我們最常見的曲線，利用圓的參數(shù)方程可以解決許多與圓有關(guān)的問題。那么,你能推導(dǎo)出圓的參數(shù)方程嗎？其形式是否唯一呢？參數(shù)的意思是什么？探究：利用換元即可得到相應(yīng)圓的參數(shù)方程。例如：圓(x-a)2+（y-b)2=r2（r〉0）,可以先將該方程化為(=1,然后令（其中θ為參數(shù)）.于是就得到該圓的參數(shù)方程為(其中θ為參數(shù)）.由此可見，對于圓的參數(shù)方程來說，也有多種不同的表現(xiàn)形式,有些參數(shù)方程有時也許一下子看不出是否表示圓,這時可考慮通過消去參數(shù)轉(zhuǎn)化為普通方程從而達到目的(對于其他曲線必要時也可類似考慮)。這里參數(shù)θ的幾何意義是:以x軸正半軸為始邊，以O(shè)P為終邊的角（O為坐標(biāo)原點，P為圓上一動點）。典題·熱題例1已知某條曲線C的參數(shù)方程為（其中t是參數(shù)，a∈R），點M(5,4）在該曲線上.(1)求常數(shù)a;（2)求曲線C的普通方程.思路分析:根據(jù)曲線與方程之間的關(guān)系,可知點M(5,4)在該曲線上.由點M的坐標(biāo)適合曲線C的方程,從而可求得其中的待定系數(shù)，進而消去參數(shù)得到其普通方程。解：(1）由題意可知有∴a=1.(2）由已知及（1）,可得曲線C的方程為.由第一個方程，得t=。代入第二個方程,得y=(）2,∴（x—1)2=4y為所求.深化升華把參數(shù)方程化為普通方程的基本思路是消去參數(shù)，常用的消參方法有代入消參法、加減消參法、恒等式（三角的或代數(shù)的）消參法等，在消參過程中一定要注意其等價性。例2已知圓x2+y2=1,點A(1，0)，△ABC內(nèi)接于該圓,且∠BAC=60°，當(dāng)B、C在圓上運動時，求BC的中點的軌跡方程.思路分析：本題是比較典型的使用曲線的參數(shù)方程來解決相關(guān)問題的題目，涉及到多個點的坐標(biāo)。解：如圖2—1—1所示,M為BC的中點，由∠BAC=60°，得∠BOC=2×60°=120°(弦所對的圓心角等于它所對的圓周角的2倍)。在△BOC中，OB=OC=1，所以O(shè)M=.所以點M的軌跡方程為x2+y2=。圖2-1—1圖2—1-2又因為x≥時，如圖2-1-2.雖然∠BOC=120°，但∠BAC=(360°—120°）=120°≠60°,所以點M的軌跡方程為x2+y2=（x〈)，如圖2-1—2.誤區(qū)警示本題主要容易忽視隱含的范圍x〈，忽視了這個范圍則本題的解答就不嚴(yán)謹(jǐn)，并且很多資料上的答案也都沒有這個范圍，像這樣的求軌跡的問題一定要注意這一點.例3已知實數(shù)x、y滿足(x-1）2+(y—2）2=25,求x2+y2的最大值與最小值.思路分析：這樣的題目可考慮數(shù)形結(jié)合，把滿足(x—1）2+（y—2)2=25的x、y視為圓(x—1）2+（y—2)2=25上的動點，待求的x2+y2可視為該圓的點與原點之間的距離的平方，結(jié)合圖形易知結(jié)果或考慮利用圓的參數(shù)方程來求解。解：實數(shù)x、y滿足（x—1)2+（y-2）2=25視為圓（x-1）2+(y-2)2=25上的點，于是可利用圓的參數(shù)方程來求解，設(shè)代入x2+y2=（1+5cosθ)2+（2+5sinθ）2=30+（10cosθ+20sinθ)=30+105cos(θ+α）,從而可知所求代數(shù)式的最大值與最小值分別為30+105，30—105.深化升華本題中出現(xiàn)了圓的方程，像這樣的問題，題目本身是以代數(shù)題的形式出現(xiàn),而實際上在考慮相關(guān)問題時常常應(yīng)該和圖形聯(lián)系起來，這樣對于問題的解決常能事半功倍。例4圓M的方程為x2+y2—4Rxcosα—4Rysinα+3R2=0(R〉0）.（1）求該圓圓心M的坐標(biāo)以及圓M的半徑；(2）當(dāng)R固定,α變化時,求圓心M的軌跡,并證明此時不論α取什么值，所有的圓M都外切于一個定圓.思路分析:本題中所給的圓方程中的變數(shù)有多個,此時要結(jié)合題意分清究竟哪個是真正在變，而像這樣的具體題目尤其容易犯