2024秋高中數(shù)學(xué)第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.2.2基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則學(xué)案含解析新人教A版選修2-2

PAGE1-1.2.2基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則自主預(yù)習(xí)·探新知情景引入高鐵是目前一種特別受歡迎的交通工具，既低碳又快捷．設(shè)一高鐵走過的路程s(單位：m)關(guān)于時間t(單位：s)的函數(shù)為s＝f(t)，求它的瞬時速度，就是求f(t)的導(dǎo)數(shù)．依據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，就是求當(dāng)Δt→0時，eq\f(Δy,Δt)所趨近的那個定值．運(yùn)算比較困難，而且有的函數(shù)，如y＝sinx，y＝lnx等很難運(yùn)用定義求導(dǎo)數(shù)．是否有更簡便的求導(dǎo)數(shù)的方法呢？新知導(dǎo)學(xué)1．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式函數(shù)導(dǎo)數(shù)(1)f(x)＝c(c為常數(shù))f′(x)＝__0__(2)f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝__αxα－1__(3)f(x)＝sinxf′(x)＝__cosx__(4)f(x)＝cosxf′(x)＝__－sinx__(5)f(x)＝axf′(x)＝__axlna__(a>0且a≠1)(6)f(x)＝exf′(x)＝__ex__(7)f(x)＝logaxf′(x)＝__eq\f(1,xlna)__(a>0，且a≠1)(8)f(x)＝lnxf′(x)＝__eq\f(1,x)__2．導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則(1)設(shè)函數(shù)f(x)、g(x)是可導(dǎo)函數(shù)，則：[f(x)±g(x)]′＝__f′(x)±g′(x)__；[f(x)·g(x)]′＝__f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)__.(2)設(shè)函數(shù)f(x)、g(x)是可導(dǎo)函數(shù)，且g(x)≠0，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(fx,gx)))′＝__eq\f(f′x·gx－fx·g′x,g2x)__.3．復(fù)合函數(shù)及其求導(dǎo)法則(1)復(fù)合函數(shù)的概念一般地，對于兩個函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)，假如通過變量u，y可以表示成__x__的函數(shù)，那么稱這個函數(shù)為y＝f(u)和u＝g(x)的復(fù)合函數(shù)，記作__y＝f(g(x))__.(2)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx′＝__yu′·ux′__.即y對x的導(dǎo)數(shù)等于__y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)__的乘積．預(yù)習(xí)自測1．函數(shù)y＝(x－a)(x－b)在x＝a處的導(dǎo)數(shù)為(D)A．a(chǎn)b B．－a(a－b)C．0 D．a(chǎn)－b[解析]∵f(x)＝(x－a)(x－b)＝x2－(a＋b)x＋ab∴f′(x)＝2x－(a＋b)，∴f′(a)＝2a－(a＋b)＝a－b2．設(shè)y＝eq\f(sinx,1＋cosx)，－π<x<π，當(dāng)y′＝2時，x等于(D)A．±eq\f(π,3) B．±eq\f(π,6)C．±eq\f(π,4) D．±eq\f(2π,3)[解析]∵y＝eq\f(sinx,1＋cosx)，∴y′＝eq\f(cosx1＋cosx－sinx－sinx,1＋cosx2)＝eq\f(1＋cosx,1＋cosx2)＝eq\f(1,1＋cosx)，∵y′＝2，∴eq\f(1,1＋cosx)＝2，∴cosx＝－eq\f(1,2)，又－π<x<π，∴x＝±eq\f(2π,3).故應(yīng)選D．3．如圖，y＝f(x)是可導(dǎo)函數(shù)，直線l：y＝kx＋2是曲線y＝f(x)在x＝3處的切線，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g′(3)＝(B)A．－1 B．0C．2 D．4[解析]由已知得：3k＋2＝1，∴k＝－eq\f(1,3)，又g(x)＝xf(x)，f′(3)＝－eq\f(1,3)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)＝1＋3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝0.4．(2024·白銀期末)函數(shù)y＝x3＋3x2＋6x－10的導(dǎo)數(shù)y′＝__3x2＋6x＋6__.[解析]函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為y′＝3x2＋6x＋6.互動探究·攻重難互動探究解疑命題方向?導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用典例1(1)已知函數(shù)f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則f′(0)的值為__3__.(2)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：①y＝xex；②y＝eq\f(2x,x2＋1)；③y＝xsinx－eq\f(2,cosx)；④y＝cos2eq\f(x,2).[思路分析]這些函數(shù)是由基本初等函數(shù)經(jīng)過四則運(yùn)算得到的簡潔函數(shù)，求導(dǎo)時，可干脆利用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則進(jìn)行求導(dǎo)．[解析](1)∵f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex∴f′(0)＝3.(2)①y′＝x′·ex＋x·(ex)′＝ex＋xex＝(1＋x)ex.②y′＝(eq\f(2x,x2＋1))′＝eq\f(2x′x2＋1－2xx2＋1′,x2＋12)＝eq\f(2x2＋1－4x2,x2＋12)＝eq\f(2－2x2,x2＋12).③y′＝(xsinx)′－(eq\f(2,cosx))′＝sinx＋xcosx－eq\f(2sinx,cos2x).④y＝cos2eq\f(x,2)＝eq\f(1＋cosx,2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)cosx，∴y′＝eq\f(1,2)(－sinx)＝－eq\f(1,2)sinx.┃┃跟蹤練習(xí)1__■求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．(1)y＝x·tanx；(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；(3)y＝eq\f(x－1,x＋1).[解析](1)y′＝(x·tanx)′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(xsinx,cosx)))′＝eq\f(xsinx′cosx－xsinxcosx′,cos2x)＝eq\f(sinx＋xcosxcosx＋xsin2x,cos2x)＝eq\f(sinxcosx＋x,cos2x).(2)解法1：y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＝(2x＋3)(x＋3)＋x2＋3x＋2＝3x2＋12x＋11；解法2：∵(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝(x3＋6x2＋11x＋6)′＝3x2＋12x＋11；(3)解法1：y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x－1,x＋1)))′＝eq\f(x－1′x＋1－x－1x＋1′,x＋12)＝eq\f(x＋1－x－1,x＋12)＝eq\f(2,x＋12)；解法2：∵y＝eq\f(x－1,x＋1)＝eq\f(x＋1－2,x＋1)＝1－eq\f(2,x＋1)，∴y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,x＋1)))′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,x＋1)))′＝eq\f(2,x＋12).命題方向?利用導(dǎo)數(shù)公式與運(yùn)算法則求困難函數(shù)的導(dǎo)數(shù)典例2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝xlneq\r(x)；(2)y＝eq\f(\r(x3)－\r(x5)＋\r(x7),\r(x))；(3)y＝eq\f(cos2x,sinx－cosx).[思路分析]若所給函數(shù)解析式較為困難，不能干脆套用導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則時，可先對函數(shù)解析式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃闻c化簡，再用相關(guān)公式和法則求導(dǎo)．[解析](1)因?yàn)閥＝xlneq\r(x)＝xlnxeq\s\up7(\f(1,2))＝eq\f(1,2)xlnx，所以y′＝(eq\f(1,2)xlnx)′＝eq\f(1,2)(x)′lnx＋eq\f(1,2)x(lnx)′＝eq\f(1,2)lnx＋eq\f(1,2)；(2)因?yàn)閥＝eq\f(\r(x3)－\r(x5)＋\r(x7),\r(x))＝x－x2＋x3，所以y′＝(x－x2＋x3)′＝1－2x＋3x2；(3)因?yàn)閥＝eq\f(cos2x,sinx－cosx)＝eq\f(cos2x－sin2x,sinx－cosx)＝－sinx－cosx，所以y′＝(－sinx－cosx)′＝sinx－cosx.『規(guī)律總結(jié)』求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時，一般要遵循“先化簡再求導(dǎo)”的原則，這樣一方面可以簡化求導(dǎo)的過程，另一方面可以解決有些函數(shù)根本沒法干脆運(yùn)用公式和法則求導(dǎo)的問題．尤其是當(dāng)函數(shù)解析式中含有三角函數(shù)時，更須要先運(yùn)用相關(guān)的三角函數(shù)公式對解析式進(jìn)行化簡與整理，最終再套用公式求導(dǎo)．┃┃跟蹤練習(xí)2__■求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝eq\f(1,4)sin2eq\f(x,2)；(2)y＝ln2x.[解析](1)因?yàn)閥＝eq\f(1,4)sin2eq\f(x,2)＝eq\f(1,8)(1－cosx)＝eq\f(1,8)－eq\f(1,8)cosx，所以y′＝eq\f(1,8)sinx.(2)因?yàn)閥＝ln2x＝lnx·lnx，所以y′＝(lnx·lnx)′＝eq\f(1,x)·lnx＋lnx·eq\f(1,x)＝eq\f(2lnx,x).命題方向?復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)典例3求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝(4－3x)2；(2)y＝cos(2x－eq\f(π,4))；(3)y＝ln(4x－1)；(4)y＝ex2.[思路分析]先分析每個復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，再依據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo)．[解析](1)設(shè)y＝u2，u＝4－3x，則yu′＝2u，ux′＝－3，于是yx′＝y(tǒng)u′·ux′＝－6(4－3x)＝18x－24，即y′＝18x－24.(2)設(shè)y＝cosu，u＝2x－eq\f(π,4)，則yu′＝－sinu，ux′＝2，于是yx′＝y(tǒng)u′·ux′＝－2sin(2x－eq\f(π,4))，即y′＝－2sin(2x－eq\f(π,4))．(3)設(shè)y＝lnu，u＝4x－1，則yu′＝eq\f(1,u)，ux′＝4，于是yx′＝y(tǒng)u′·ux′＝eq\f(4,4x－1)，即y′＝eq\f(4,4x－1).(4)設(shè)y＝eu，u＝x2，則yu′＝eu，ux′＝2x，于是yx′＝y(tǒng)u′·ux′＝ex2·2x，即y′＝2xex2.『規(guī)律總結(jié)』1.求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的步驟2.求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的留意點(diǎn)1內(nèi)、外層函數(shù)通常為基本初等函數(shù).2求每層函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時留意分清是對哪個變量求導(dǎo)，這是求復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)時的易錯點(diǎn).3逐層求導(dǎo)結(jié)束后對結(jié)果進(jìn)行化簡整理，使導(dǎo)數(shù)式盡量簡潔.┃┃跟蹤練習(xí)3__■求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝(2x－1)3；(2)y＝sin2x＋cos2x.[解析](1)設(shè)y＝u3，u＝2x－1，則yu′＝3u2，ux′＝2，于是yx′＝y(tǒng)u′·ux′＝6(2x－1)2，即y′＝6(2x－1)2；(2)y′＝(sin2x)′＋(cos2x)′＝2cos2x－2sin2x.學(xué)科核心素養(yǎng)綜合應(yīng)用問題敏捷運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，求解復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，或與其他學(xué)問結(jié)合解決相關(guān)問題；利用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可以解決一些與距離、面積相關(guān)的幾何問題與實(shí)際問題．典例4已知曲線f(x)＝x3＋ax＋b在點(diǎn)P(2，－6)處的切線方程是13x－y－32＝0.(1)求a，b的值；(2)假如曲線y＝f(x)的某一切線與直線l：y＝－eq\f(1,4)x＋3垂直，求切點(diǎn)坐標(biāo)與切線的方程．[思路分析](1)由f(x)在點(diǎn)P處的切線方程可知f′(2)，及f(2)＝－6，得到a、b的方程組，解方程組可求出a、b；(2)由曲線y＝f(x)的切線與l垂直，可得切線斜率k＝f′(x0)，從而解出x0，求得切點(diǎn)坐標(biāo)和k.[解析](1)∵f(x)＝x3＋ax＋b的導(dǎo)數(shù)f′(x)＝3x2＋a，由題意可得f′(2)＝12＋a＝13,f(2)＝8＋2a＋b解得a＝1，b＝－16；(2)∵切線與直線y＝－eq\f(x,4)＋3垂直，∴切線的斜率k＝4.設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0，y0)，則f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)＋1＝4，∴x0＝±1.由f(x)＝x3＋x－16，可得y0＝1＋1－16＝－14，或y0＝－1－1－16＝－18.則切線方程為y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.即y＝4x－18或y＝4x－14.『規(guī)律總結(jié)』1.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中，求導(dǎo)數(shù)是一個基本解題環(huán)節(jié)，應(yīng)細(xì)致分析函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征，依據(jù)導(dǎo)數(shù)公式及運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù)，不具備導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則的結(jié)構(gòu)形式時，先恒等變形，然后分析題目特點(diǎn)，探尋條件與結(jié)論的聯(lián)系，選擇解題途徑．2．求參數(shù)的問題一般依據(jù)條件建立參數(shù)的方程求解．┃┃跟蹤練習(xí)4__■(2024·天津卷)已知a∈R，設(shè)函數(shù)f(x)＝ax－lnx的圖象在點(diǎn)(1，f(1))處的切線為l，則l在y軸上的截距為__1__.[解析]∵f′(x)＝a－eq\f(1,x)，∴f′(1)＝a－1.又∵f(1)＝a，∴切線l的斜率為a－1，且過點(diǎn)(1，a)，∴切線l的方程為y－a＝(a－1)(x－1)．令x＝0，得y＝1，故l在y軸上的截距為1.易混