廣東省廣州市越秀區(qū)2025屆高三第五次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁
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廣東省廣州市越秀區(qū)2025屆高三第五次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知變量的幾組取值如下表:12347若與線性相關(guān),且,則實(shí)數(shù)()A. B. C. D.2.某學(xué)校組織學(xué)生參加英語測(cè)試,成績的頻率分布直方圖如圖,數(shù)據(jù)的分組依次為,若低于60分的人數(shù)是18人,則該班的學(xué)生人數(shù)是()A.45 B.50 C.55 D.603.已知點(diǎn)P不在直線l、m上,則“過點(diǎn)P可以作無數(shù)個(gè)平面,使得直線l、m都與這些平面平行”是“直線l、m互相平行”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件4.若干年前,某教師剛退休的月退休金為6000元,月退休金各種用途占比統(tǒng)計(jì)圖如下面的條形圖.該教師退休后加強(qiáng)了體育鍛煉,目前月退休金的各種用途占比統(tǒng)計(jì)圖如下面的折線圖.已知目前的月就醫(yī)費(fèi)比剛退休時(shí)少100元,則目前該教師的月退休金為().A.6500元 B.7000元 C.7500元 D.8000元5.已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為,點(diǎn)是雙曲線上與不重合的動(dòng)點(diǎn),若,則雙曲線的離心率為()A. B. C.4 D.26.若不等式在區(qū)間內(nèi)的解集中有且僅有三個(gè)整數(shù),則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.7.在中,,則()A. B. C. D.8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的結(jié)果為()A. B. C. D.9.已知α,β表示兩個(gè)不同的平面,l為α內(nèi)的一條直線,則“α∥β是“l(fā)∥β”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件10.已知正方體的棱長為1,平面與此正方體相交.對(duì)于實(shí)數(shù),如果正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中恰好有個(gè)點(diǎn)到平面的距離等于,那么下列結(jié)論中,一定正確的是A. B.C. D.11.如圖是一個(gè)幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為()A. B. C. D.12.展開項(xiàng)中的常數(shù)項(xiàng)為A.1 B.11 C.-19 D.51二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.雙曲線的左右頂點(diǎn)為,以為直徑作圓,為雙曲線右支上不同于頂點(diǎn)的任一點(diǎn),連接交圓于點(diǎn),設(shè)直線的斜率分別為,若,則_____.14.在平面直角坐標(biāo)系中,雙曲線的右準(zhǔn)線與漸近線的交點(diǎn)在拋物線上,則實(shí)數(shù)的值為________.15.在中,角所對(duì)的邊分別為,,的平分線交于點(diǎn)D,且,則的最小值為________.16.已知i為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù),則=_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)某學(xué)生為了測(cè)試煤氣灶燒水如何節(jié)省煤氣的問題設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)驗(yàn),并獲得了煤氣開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)x與燒開一壺水所用時(shí)間y的一組數(shù)據(jù),且作了一定的數(shù)據(jù)處理(如表),得到了散點(diǎn)圖(如圖).表中,.(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,與哪一個(gè)更適宜作燒水時(shí)間y關(guān)于開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)x的回歸方程類型?(不必說明理由)(2)根據(jù)判斷結(jié)果和表中數(shù)據(jù),建立y關(guān)于x的回歸方程;(3)若旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)x與單位時(shí)間內(nèi)煤氣輸出量t成正比,那么x為多少時(shí),燒開一壺水最省煤氣?附:對(duì)于一組數(shù)據(jù),,,…,,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為,.18.(12分)如圖,已知四棱錐,底面為邊長為2的菱形,平面,,是的中點(diǎn),.(Ⅰ)證明:;(Ⅱ)若為上的動(dòng)點(diǎn),求與平面所成最大角的正切值.19.(12分)已知橢圓的短軸長為,離心率,其右焦點(diǎn)為.(1)求橢圓的方程;(2)過作夾角為的兩條直線分別交橢圓于和,求的取值范圍.20.(12分)已知橢圓的離心率為,點(diǎn)在橢圓上.(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(Ⅱ)設(shè)直線交橢圓于兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)在直線上,求證:線段的中垂線恒過定點(diǎn).21.(12分)甲、乙、丙三名射擊運(yùn)動(dòng)員射中目標(biāo)的概率分別為,三人各射擊一次,擊中目標(biāo)的次數(shù)記為.(1)求的分布列及數(shù)學(xué)期望;(2)在概率(=0,1,2,3)中,若的值最大,求實(shí)數(shù)的取值范圍.22.(10分)已知不等式對(duì)于任意的恒成立.(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍;(2)若m的最大值為M,且正實(shí)數(shù)a,b,c滿足.求證.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

求出,把坐標(biāo)代入方程可求得.【詳解】據(jù)題意,得,所以,所以.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查線性回歸直線方程,由性質(zhì)線性回歸直線一定過中心點(diǎn)可計(jì)算參數(shù)值.2、D【解析】

根據(jù)頻率分布直方圖中頻率=小矩形的高×組距計(jì)算成績低于60分的頻率,再根據(jù)樣本容量求出班級(jí)人數(shù).【詳解】根據(jù)頻率分布直方圖,得:低于60分的頻率是(0.005+0.010)×20=0.30,∴樣本容量(即該班的學(xué)生人數(shù))是60(人).故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問題,也考查了頻率的應(yīng)用問題,屬于基礎(chǔ)題3、C【解析】

根據(jù)直線和平面平行的性質(zhì),結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】點(diǎn)不在直線、上,若直線、互相平行,則過點(diǎn)可以作無數(shù)個(gè)平面,使得直線、都與這些平面平行,即必要性成立,若過點(diǎn)可以作無數(shù)個(gè)平面,使得直線、都與這些平面平行,則直線、互相平行成立,反證法證明如下:若直線、互相不平行,則,異面或相交,則過點(diǎn)只能作一個(gè)平面同時(shí)和兩條直線平行,則與條件矛盾,即充分性成立則“過點(diǎn)可以作無數(shù)個(gè)平面,使得直線、都與這些平面平行”是“直線、互相平行”的充要條件,故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,結(jié)合空間直線和平面平行的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.4、D【解析】

設(shè)目前該教師的退休金為x元,利用條形圖和折線圖列出方程,求出結(jié)果即可.【詳解】設(shè)目前該教師的退休金為x元,則由題意得:6000×15%﹣x×10%=1.解得x=2.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查由條形圖和折線圖等基礎(chǔ)知識(shí)解決實(shí)際問題,屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】

設(shè),,,根據(jù)可得①,再根據(jù)又②,由①②可得,化簡(jiǎn)可得,即可求出離心率.【詳解】解:設(shè),,,∵,∴,即,①又,②,由①②可得,∵,∴,∴,∴,即,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì),考查了斜率的計(jì)算,離心率的求法,屬于基礎(chǔ)題和易錯(cuò)題.6、C【解析】

由題可知,設(shè)函數(shù),,根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出的極值點(diǎn),得出單調(diào)性,根據(jù)在區(qū)間內(nèi)的解集中有且僅有三個(gè)整數(shù),轉(zhuǎn)化為在區(qū)間內(nèi)的解集中有且僅有三個(gè)整數(shù),結(jié)合圖象,可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)函數(shù),,因?yàn)椋?,或,因?yàn)闀r(shí),,或時(shí),,,其圖象如下:當(dāng)時(shí),至多一個(gè)整數(shù)根;當(dāng)時(shí),在內(nèi)的解集中僅有三個(gè)整數(shù),只需,,所以.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查不等式的解法和應(yīng)用問題,還涉及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)圖象,同時(shí)考查數(shù)形結(jié)合思想和解題能力.7、A【解析】

先根據(jù)得到為的重心,從而,故可得,利用可得,故可計(jì)算的值.【詳解】因?yàn)樗詾榈闹匦?,所?所以,所以,因?yàn)椋?,故選A.【點(diǎn)睛】對(duì)于,一般地,如果為的重心,那么,反之,如果為平面上一點(diǎn),且滿足,那么為的重心.8、D【解析】循環(huán)依次為直至結(jié)束循環(huán),輸出,選D.點(diǎn)睛:算法與流程圖的考查,側(cè)重于對(duì)流程圖循環(huán)結(jié)構(gòu)的考查.先明晰算法及流程圖的相關(guān)概念,包括選擇結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)、偽代碼,其次要重視循環(huán)起點(diǎn)條件、循環(huán)次數(shù)、循環(huán)終止條件,更要通過循環(huán)規(guī)律,明確流程圖研究的數(shù)學(xué)問題,是求和還是求項(xiàng).9、A【解析】試題分析:利用面面平行和線面平行的定義和性質(zhì),結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷.解:根據(jù)題意,由于α,β表示兩個(gè)不同的平面,l為α內(nèi)的一條直線,由于“α∥β,則根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可知,則必然α中任何一條直線平行于另一個(gè)平面,條件可以推出結(jié)論,反之不成立,∴“α∥β是“l(fā)∥β”的充分不必要條件.故選A.考點(diǎn):必要條件、充分條件與充要條件的判斷;平面與平面平行的判定.10、B【解析】

此題畫出正方體模型即可快速判斷m的取值.【詳解】如圖(1)恰好有3個(gè)點(diǎn)到平面的距離為;如圖(2)恰好有4個(gè)點(diǎn)到平面的距離為;如圖(3)恰好有6個(gè)點(diǎn)到平面的距離為.所以本題答案為B.【點(diǎn)睛】本題以空間幾何體為載體考查點(diǎn),面的位置關(guān)系,考查空間想象能力,考查了學(xué)生靈活應(yīng)用知識(shí)分析解決問題的能力和知識(shí)方法的遷移能力,屬于難題.11、A【解析】

根據(jù)三視圖可得幾何體為直三棱柱,根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)直接利用公式可求體積.【詳解】由三視圖可知幾何體為直三棱柱,直觀圖如圖所示:其中,底面為直角三角形,,,高為.∴該幾何體的體積為故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖及棱柱的體積,屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】

展開式中的每一項(xiàng)是由每個(gè)括號(hào)中各出一項(xiàng)組成的,所以可分成三種情況.【詳解】展開式中的項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng),有3種情況:(1)5個(gè)括號(hào)都出1,即;(2)兩個(gè)括號(hào)出,兩個(gè)括號(hào)出,一個(gè)括號(hào)出1,即;(3)一個(gè)括號(hào)出,一個(gè)括號(hào)出,三個(gè)括號(hào)出1,即;所以展開項(xiàng)中的常數(shù)項(xiàng)為,故選B.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理知識(shí)的生成過程,考查定理的本質(zhì),即展開式中每一項(xiàng)是由每個(gè)括號(hào)各出一項(xiàng)相乘組合而成的.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

根據(jù)雙曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系得,交圓于點(diǎn),所以,建立等式,兩式作商即可得解.【詳解】設(shè),交圓于點(diǎn),所以易知:即.故答案為:【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)雙曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系求解斜率關(guān)系,涉及雙曲線中的部分定值結(jié)論,若能熟記常見二級(jí)結(jié)論,此題可以簡(jiǎn)化計(jì)算.14、【解析】

求出雙曲線的右準(zhǔn)線與漸近線的交點(diǎn)坐標(biāo),并將該交點(diǎn)代入拋物線的方程,即可求出實(shí)數(shù)的方程.【詳解】雙曲線的半焦距為,則雙曲線的右準(zhǔn)線方程為,漸近線方程為,所以,該雙曲線右準(zhǔn)線與漸近線的交點(diǎn)為.由題意得,解得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查利用拋物線上的點(diǎn)求參數(shù),涉及到雙曲線的準(zhǔn)線與漸近線方程的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中等題.15、9【解析】分析:先根據(jù)三角形面積公式得條件、再利用基本不等式求最值.詳解:由題意可知,,由角平分線性質(zhì)和三角形面積公式得,化簡(jiǎn)得,因此當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),則的最小值為.點(diǎn)睛:在利用基本不等式求最值時(shí),要特別注意“拆、拼、湊”等技巧,使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的條件才能應(yīng)用,否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.16、【解析】

先把復(fù)數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn),然后利用求模公式可得結(jié)果.【詳解】.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)模的求解,利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算把復(fù)數(shù)化為的形式是求解的關(guān)鍵,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)更適宜(2)(3)x為2時(shí),燒開一壺水最省煤氣【解析】

(1)根據(jù)散點(diǎn)圖是否按直線型分布作答;(2)根據(jù)回歸系數(shù)公式得出y關(guān)于的線性回歸方程,再得出y關(guān)于x的回歸方程;(3)利用基本不等式得出煤氣用量的最小值及其成立的條件.【詳解】(1)更適宜作燒水時(shí)間y關(guān)于開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)x的回歸方程類型.(2)由公式可得:,,所以所求回歸方程為.(3)設(shè),則煤氣用量,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”,即時(shí),煤氣用量最小.故x為2時(shí),燒開一壺水最省煤氣.【點(diǎn)睛】本題考查擬合模型的選擇,回歸方程的求解,涉及均值不等式的使用,屬綜合中檔題.18、(Ⅰ)見解析;(Ⅱ).【解析】試題分析:(Ⅰ)由底面為邊長為2的菱形,平面,,易證平面,可得;(Ⅱ)連結(jié),由(Ⅰ)易知為與平面所成的角,在中,可求得.試題解析:(Ⅰ)∵四邊形為菱形,且,∴為正三角形,又為中點(diǎn),∴;又,∴,∵平面,又平面,∴,∴平面,又平面,∴;(Ⅱ)連結(jié),由(Ⅰ)知平面,∴為與平面所成的角,在中,,最大當(dāng)且僅當(dāng)最短,即時(shí)最大,依題意,此時(shí),在中,,∴,,∴與平面所成最大角的正切值為.考點(diǎn):1.線線垂直證明;2.求線面角.19、(1);(2).【解析】

(1)由已知短軸長求出,離心率求出關(guān)系,結(jié)合,即可求解;(2)當(dāng)直線的斜率都存在時(shí),不妨設(shè)直線的方程為,直線與橢圓方程聯(lián)立,利用相交弦長公式求出,斜率為,求出,得到關(guān)于的表達(dá)式,根據(jù)表達(dá)式的特點(diǎn)用“”判別式法求出范圍,當(dāng)有一斜率不存在時(shí),另一條斜率為,根據(jù)弦長公式,求出,即可求出結(jié)論.【詳解】(1)由得,又由得,則,故橢圓的方程為.(2)由(1)知,①當(dāng)直線的斜率都存在時(shí),由對(duì)稱性不妨設(shè)直線的方程為,由,,設(shè),則,則,由橢圓對(duì)稱性可設(shè)直線的斜率為,則,.令,則,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),由得,所以,即,且.②當(dāng)直線的斜率其中一條不存在時(shí),根據(jù)對(duì)稱性不妨設(shè)設(shè)直線的方程為,斜率不存在,則,,此時(shí).若設(shè)的方程為,斜率不存在,則,綜上可知的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系,注意根與系數(shù)關(guān)系、弦長公式、函數(shù)最值、橢圓性質(zhì)的合理應(yīng)用,意在考查邏輯推理、計(jì)算求解能力,屬于難題.20、(Ⅰ);(Ⅱ)詳見解析.【解析】

(Ⅰ)把點(diǎn)代入橢圓方程,結(jié)合離心率得到關(guān)于的方程,解方程即可;(Ⅱ)聯(lián)立直線與橢圓方程得到關(guān)于的一元二次方程,利用韋達(dá)定理和中垂線的定義求出線段的中垂線方程即可證明.【詳解】(Ⅰ)由已知橢圓過點(diǎn)得,,又,得,所以,即橢圓方程為.(Ⅱ)證明:由,得,由,得,由韋達(dá)定理可得,,設(shè)的中點(diǎn)為,得,即,,的中垂線方程為,即,故得中垂線恒過點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系及橢圓中的定值問題;考查運(yùn)算求解能力和知識(shí)的綜合運(yùn)用能力;正確求出橢圓方程和利用中垂線的定義正確表示出中垂線方程是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題.21、(1),ξ的分布列為ξ

0

1

2

3

P

(1-a)2

(1-a2)

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