《1.1 直線的斜率和傾斜角》(含答案)學案

高中數(shù)學精編資源2/2§1.1.1直線的斜率和傾斜角（1）目標要求1、理解并掌握直線的斜率的概念，掌握過兩點的直線的斜率公式．2、理解并掌握直線的斜率．3、理解并掌握直線的斜率的求法．4、理解并掌握斜率公式的簡單應(yīng)用.學科素養(yǎng)目標本章內(nèi)容的呈現(xiàn)，除了注意體現(xiàn)解析幾何研究問題的方法和特點以外，同時又考慮到學生的認知規(guī)律，通過設(shè)計相關(guān)的問題情景，降低學習的難度，使學生形成對知識的認識．如在直線斜率的呈現(xiàn)過程中，從學生最熟悉的例子——坡度入手，通過類比，使學生認識到斜率刻畫直線傾斜程度和直線上兩點刻畫直線傾斜程度的一致性和內(nèi)在聯(lián)系．數(shù)形結(jié)合是本章重要的數(shù)學思想．這不僅是因為解析幾何本身就是數(shù)形結(jié)合的典范，而且在研究幾何圖形的性質(zhì)時，也充分體現(xiàn)“形”的直觀性、“數(shù)”的嚴謹性．重點難點重點：直線的斜率的求法；難點：斜率公式的簡單應(yīng)用．教學過程基礎(chǔ)知識點1.直線的斜率對于直線l上的任意兩點P(x1,y1),Q(x2,y2),如果x1≠x2,則直線l的斜率為:k=

y2-如果x1=x2,那么直線l的斜率不存在.2.直線的斜率k與傾斜角α之間的關(guān)系當直線與x軸不垂直時,k=tanαα≠π【思考】斜率的正負與傾斜角范圍有什么聯(lián)系?提示:當k=tanα<0時,傾斜角α是鈍角;當k=tanα>0時,傾斜角α是銳角;當k=tanα=0時,傾斜角α是0°.【課前基礎(chǔ)演練】題1.（多選）下列命題正確的是()A.當直線確定后，k值與直線上兩點的順序有關(guān)，斜率是定值.B.當直線與x軸平行或重合時，斜率為0.C.當直線與x軸垂直時，直線的斜率不存在．D.斜率是直線傾斜程度的數(shù)量化，是一比值．【答案】選BCD提示:A×.當直線確定后，k值與直線上兩點的順序無關(guān).B√.當直線與x軸平行或重合時，斜率為0.C√.有一個面是多邊形,其余各面都是有公共頂點的三角形,由這些面所圍成的多面體才叫棱錐.D√.斜率是直線傾斜程度的數(shù)量化，是一比值．故選BCD.題2.（多選）下列四個命題錯誤的是()A.下圖中標的α都不是對應(yīng)直線的傾斜角.B.任一直線都有傾斜角,都存在斜率.C.傾斜角為135°的直線的斜率為1.D.若直線的傾斜角為α,則它的斜率為k=tanα.【答案】BCD【解析】A.√.x軸的正向與直線向上的方向之間所成的角是直線的傾斜角,所以圖中的四個α都不是對應(yīng)直線的傾斜角.B.×.傾斜角為90°的直線不存在斜率.C.×.傾斜角為135°的直線的斜率為-1.D.×.傾斜角α不等于90°時,它的斜率才是k=tanα.題3.如圖所示,直線l與y軸的夾角為45°,則l的傾斜角為()A.45° B.135° C.0° D.無法計算【解析】選B.根據(jù)傾斜角的定義知,l的傾斜角為135°.題4.已知經(jīng)過兩點(5,m)和(m,8)的直線的斜率等于1,則m的值是()A.5 B.8 C.132 D【解析】選C.由斜率公式可得8-解得m=132題5.已知直線l的傾斜角為30°,則直線l的斜率為 ()A.33 B.3 C.1 D.【解析】選A.由題意可知直線l的斜率k=tan30°=33類型一直線的傾斜角、斜率的概念(數(shù)學抽象)【題組訓練】題6.設(shè)直線l過坐標原點,它的傾斜角為α,如果將l繞坐標原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°,得到直線l1,那么l1的傾斜角為()A.α+45°B.α-135°C.135°-αD.當0°≤α<135°時,傾斜角為α+45°;當135°≤α<180°時,傾斜角為α-135°【解析】1.選D.因為0°≤α<180°,顯然A,B,C未分類討論,均不全面,不合題意.通過畫圖(如圖所示)可知:當0°≤α<135°時,l1的傾斜角為α+45°;當135°≤α<180°時,l1的傾斜角為45°+α-180°=α-135°.題7.一條直線l與x軸相交,其向上的方向與y軸正方向所成的角為α(0°<α<90°),則其傾斜角為()A.α B.180°-αC.180°-α或90°-α D.90°+α或90°-α【解析】選D.如圖,當l向上方向的部分在y軸左側(cè)時,傾斜角為90°+α;當l向上方向的部分在y軸右側(cè)時,傾斜角為90°-α.題8.已知點A的坐標為(3,4),在坐標軸上有一點B,若kAB=4,則點B的坐標為 ()A.(2,0)或(0,-4) B.(2,0)或(0,-8)C.(2,0) D.(0,-8)【解析】選B.設(shè)B(x,0)或(0,y),因為kAB=43-x或kAB=4-y3,所以43-x【解題策略】1.求直線的傾斜角的方法及兩點注意事項(1)方法:結(jié)合圖形,利用特殊三角形(如直角三角形)求角.(2)兩點注意事項:①當直線與x軸平行或重合時,傾斜角為0°,當直線與x軸垂直時,傾斜角為90°.②注意直線傾斜角的取值范圍是0°≤α<180°.2.解決斜率問題的方法(1)由傾斜角(或范圍)求斜率(或范圍),利用定義式k=tanα(α≠90°)解決.(2)由兩點坐標求斜率,運用兩點斜率公式k=y2-y1x2-(3)涉及直線與線段有交點問題常利用數(shù)形結(jié)合求解.【補償訓練】題9.已知直線l經(jīng)過點A(1,2),且不經(jīng)過第四象限,則直線l的斜率k的取值范圍是（） ()A.(-1,0]B.[0,1]C.[1,2] D.[0,2]【解析】選D.由圖可知當直線位于如圖陰影部分所示的區(qū)域內(nèi)時,滿足題意,所以直線l的斜率滿足0≤k≤2.類型二直線的傾斜角、斜率的計算(數(shù)學運算)題10.若A(1,0),B(-3,m),直線AB的斜率為-12,則m=A.-8 B.-2 C.2 D.8【解析】選C.A(1,0),B(-3,m),直線AB的斜率為-12,所以-12=m-0題11.若直線過點C(1,3),D(4,3+3),則此直線的傾斜角為.

【解析】線過點C(1,3),D(4,3+3),則直線的斜率k=3+3-34-答案:π題12.已知點M(0,b)與點N(-3,1)連成直線的傾斜角為120°,求b的值.【解析】k=b-10+3=tan【解題策略】利用斜率公式求直線的斜率應(yīng)注意的事項(1)運用公式的前提條件是“x1≠x2”,即直線不與x軸垂直,因為當直線與x軸垂直時,斜率是不存在的;(2)斜率公式與兩點P1,P2的先后順序無關(guān),也就是說公式中的x1與x2,y1與y2可以同時交換位置.(3)在0°≤α<180°范圍內(nèi)的一些特殊角的正切值要熟記.【課堂跟蹤訓練】題13.直線經(jīng)過點(0,2)和點(3,0),則它的斜率為()A.23 B.32 C.-23 【解析】選C.斜率k=0-23題14.若直線經(jīng)過兩點A(m,2),B32m,2A.2 B.1 C.34 D.【解析】選A.經(jīng)過兩點A(m,2),B32m,2m-1的直線的斜率為k=2m題15.(多選)若三點A(0，2)，B(2，5)，C(3，b)能作為三角形的三個頂點，則實數(shù)b的值可能是()A.2B.eq\f(13,2)C.3D.5【答案】ACD【解析】若三點，，共線，則，，解得．三點，，能作為一個三角形的頂點，三點，，不共線，．故答案為：．【點評】本題考查了三點共線問題、組成三角形的條件，考查了推理能力與技能數(shù)列，屬于中檔題．題16.已知坐標平面內(nèi)△ABC的三個頂點的坐標分別是A(-1,1),B(1,1),C(1,-1),求直線AB,BC,AC的斜率.【解析】已知點的坐標,可代入過兩點的直線的斜率公式求斜率,但應(yīng)先驗證兩點的橫坐標是否相等.kAB=1-11-(-1)因為B,C兩點的橫坐標相等,所以直線BC的斜率不存在.類型三直線的傾斜角、斜率的應(yīng)用(數(shù)學運算,邏輯推理)角度1求斜率的范圍

【典例】題17.已知兩點A(-3,4),B(3,2),過點P(1,0)的直線l與線段AB有公共點.(1)求直線l的斜率k的取值范圍;(2)求直線l的傾斜角α的取值范圍.【思路導引】作圖,讓直線與線段有公共點,可得傾斜角介于直線PB與PA的傾斜角之間,進一步獲得斜率的取值范圍.【解析】如圖所示,由題意可知kPA=4-0-3-1(1)要使直線l與線段AB有公共點,則直線l的斜率k的取值范圍是k≤-1或k≥1.(2)由題意可知,直線l的傾斜角介于直線PB與PA的傾斜角之間,又PB的傾斜角是45°,PA的傾斜角是135°,所以α的取值范圍是45°≤α≤135°.角度2三點共線問題

【典例】題18.若三點A(2,-3),B(4,3),C(5,k)在同一條直線上,則實數(shù)k=.

【思路導引】利用AB和AC的斜率相等.【解析】因為A(2,-3),B(4,3),C(5,k)在同一條直線上,所以kAB=kAC,kAB=3-(-3)4-2=3,k所以3=k+33,即答案:6【解題策略】1.求直線斜率的取值范圍時,通常先結(jié)合圖形找出傾斜角的范圍,再得到斜率的范圍.2.利用斜率可解決點共線問題,點A,B,C共線?kAB=kAC或kAB與kAC都不存在.3.y2【題組訓練】題19.若三點A(3,1),B(-2,b),C(8,11)在同一直線上,則實數(shù)b等于 ()A.2 B.3 C.9 D.-9【解析】選D.因為三點A(3,1),B(-2,b),C(8,11)在同一直線上,所以kAC=kAB,即11-18-3題20.已知A(3,3),B(-4,2),C(0,-2).若點D在線段BC上(包括端點)移動,則直線AD的斜率的變化范圍是.

【解析】如圖所示.當點D由B運動到C時,直線AD的斜率由kAB增大到kAC,又kAB=3-23-(-4)=17,所以直線AD的斜率的變化范圍是17答案:1題21.已知坐標平面內(nèi)兩點M(m+3,2m+5),N(m-2,1).(1)當m為何值時,直線MN的傾斜角為銳角?(2)當m為何值時,直線MN的傾斜角為鈍角?(3)直線MN的傾斜角可能為直角嗎?【解析】(1)若傾斜角為銳角,則斜率大于0,即k=2m+5-1m即當m>-2時,直線MN的傾斜角為銳角.(2)若傾斜角為鈍角,則斜率小于0,即k=2m+5-1m+3即當m<-2時,直線MN的傾斜角為鈍角.(3)當直線MN垂直于x軸時,直線的傾斜角為直角,此時m+3=m-2,此方程無解,故直線MN的傾斜角不可能為直角.【課后鞏固習題】題22.已知一條直線過點(3,-2)與點(-1,-2),則這條直線的傾斜角θ是()A.0° B.45° C.60° D.90°【解析】選A.因為k=04=0,所以θ題23.若過兩點A(4,y),B(2,-3)的直線的傾斜角為45°,則y等于()A.-32 B.32 C.-1 【解析】選C.kAB=y+34-2=所以y=-1.題24.已知直線AB與直線AC