《第六章冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)-知識(shí)要點(diǎn)整合》章末復(fù)習(xí)

2/2《第六章冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)》章末復(fù)習(xí)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)建構(gòu)知識(shí)要點(diǎn)整合一、函數(shù)的圖象指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中重要的函數(shù)，它們的圖象是考查的重點(diǎn)，應(yīng)熟練掌握?qǐng)D象的畫(huà)法及形狀，特別要注意指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)在取不同值時(shí)，對(duì)圖象的影響.指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)圖象的對(duì)比：（1）指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象都與底數(shù)a的取值密切相關(guān)，而冪函數(shù)的圖象與指數(shù)密切相關(guān).底數(shù)相同的指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)其單調(diào)性相同，圖象關(guān)于直線對(duì)稱.（2）指數(shù)函數(shù)圖象過(guò)定點(diǎn)，對(duì)數(shù)函數(shù)圖象過(guò)定點(diǎn)，冪函數(shù)圖象過(guò)定點(diǎn)，并且在指數(shù)時(shí)過(guò).例1、當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則a的取值范圍是（）A.B.C.D.解析如圖所示，設(shè)，要使當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，只需在上的圖象在的下方即可，當(dāng)時(shí)顯然不成立.當(dāng)時(shí)，如圖，要使在上，的圖象在的下方，只需，即，故選C.答案C例2、若函數(shù)的圖象如圖所示，則下列函數(shù)圖象正確的是（）A.B.C.D.解析由已知函數(shù)圖象可得，，所以.A項(xiàng)，函數(shù)解析式為，在R上單調(diào)遞減，與圖象不符；C項(xiàng)中函數(shù)解析式為，當(dāng)時(shí)，，這與圖象不符；D項(xiàng)中函數(shù)解析式為，在上為單調(diào)遞減函數(shù)，與圖象不符；B項(xiàng)中對(duì)應(yīng)函數(shù)解析式為，與圖象相符，故選B.答案B二、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)1.研究函數(shù)的性質(zhì)要樹(shù)立定義域優(yōu)先的原則.2.含有指數(shù)式、對(duì)數(shù)式的函數(shù)最值的求法：解決含有指數(shù)式、對(duì)數(shù)式的函數(shù)的最值問(wèn)題，首先要考慮函數(shù)的定義域，在函數(shù)定義域的制約之下，利用換元法將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的最值問(wèn)題.換元法的作用是利用整體代換，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)問(wèn)題該類問(wèn)題中，常設(shè)或，轉(zhuǎn)化為一元二次方程、二次函數(shù)等問(wèn)題.要注意換元后u的取值范圍.3.含有指數(shù)式、對(duì)數(shù)式的函數(shù)的奇偶性需要根據(jù)定義進(jìn)行證明，先確定定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再結(jié)合指、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可以轉(zhuǎn)化為計(jì)算或進(jìn)行判斷.其單調(diào)性的證明也需要根據(jù)定義進(jìn)行.無(wú)論奇偶性還是單調(diào)性，都需要掌握一些基本函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，然后判斷經(jīng)過(guò)四則運(yùn)算后函數(shù)的性質(zhì).例3、（1）已知函數(shù)，則（）A.在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減B.在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增C.是奇函數(shù)D.是偶函數(shù)（2）已知且，若函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值之差為1.①求a的值；②若，求函數(shù)的值域.解析（1）易知的定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故為非奇非偶函數(shù)，C，D錯(cuò)誤.又.令，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.又在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故選A.（2）①先判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性，再根據(jù)條件列出方程求出參數(shù)的值；②先將所求函數(shù)化簡(jiǎn)成二次函數(shù)形式，再利用換元法求值域.答案（1）A（2）①因?yàn)?，所以在上為增函?shù).又在上的最大值與最小值之差為1，所以，即，所以.②函數(shù).令，因?yàn)椋?，?所以，所以所求函數(shù)的值域?yàn)?例4、（1）已知函數(shù)，判斷其奇偶性；（2）把例3（2）②中的函數(shù)改為“”，求其最小值.解析（1）根據(jù)判斷函數(shù)奇偶性的方法直接判斷即可；（2）先換元，再表示成二次函數(shù)的形式求最小值.答案（1）其定義域?yàn)镽.又，，為奇函數(shù).（2）由題意可知，令，因，則.，當(dāng)時(shí)，該函數(shù)有最小值，最小值為.三、函數(shù)性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用—比較大小和解不等式比較幾個(gè)數(shù)的大小和解不等式是指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)性質(zhì)的重要應(yīng)用，最基本的方法是將需要比較大小的實(shí)數(shù)看成某類函數(shù)的函數(shù)值，然后利用該類函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較.解含有冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的不等式問(wèn)題關(guān)鍵是借助函數(shù)的單調(diào)性，在求解過(guò)程中化為左右兩邊同底或同指數(shù)是關(guān)鍵，要注意函數(shù)的定義域，求解后要驗(yàn)根，不要出現(xiàn)增解.1.比較兩數(shù)大小常用的方法有單調(diào)性法、圖象法、中間值法等.2.當(dāng)兩個(gè)數(shù)都是指數(shù)冪或?qū)?shù)式時(shí)，可將其看成某個(gè)指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的函數(shù)值，然后利用該函數(shù)的單調(diào)性比較.3.比較多個(gè)數(shù)的大小時(shí)，先利用“0”“1”作為分界點(diǎn)然后在各部分內(nèi)再利用函數(shù)性質(zhì)比較大小.4.含參數(shù)的問(wèn)題，要根據(jù)參數(shù)的取值進(jìn)行分類討論.5.解指數(shù)不等式時(shí)，一般可先轉(zhuǎn)化為下列形式，再求解：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，令，得先求使這個(gè)一元二次不等式成立的正解u的范圍，然后求使在這個(gè)范圍內(nèi)成立的x的值的集合，就是原不等式的解集.6.解對(duì)數(shù)不等式時(shí)，一般可先轉(zhuǎn)化為下列形式，再求解：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，令，得先求使這個(gè)一元二次不等式成立的u的范圍，然后求使在這個(gè)范圍內(nèi)成立的x的值的集合，就是原不等式的解集.例5、若，則（）A.B.C.D.解析因?yàn)?，則對(duì)于A，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，故，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，根據(jù)底數(shù)a對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)的影響：當(dāng)時(shí)，在上“底小圖高”，因?yàn)椋?，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，C正確；對(duì)于D函數(shù)在R上單調(diào)遞減，故，D錯(cuò)誤.答案C例6、設(shè)，則（）A.B.C.D.解析，則，故選C.答案C例7、已知定義域?yàn)镽的函數(shù)是奇函數(shù).（1）求a的值；（2）判斷并證明該函數(shù)在定義域R上的單調(diào)性；（3）若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.解析（1）定義域?yàn)镽，可根據(jù)奇函數(shù)必有求解；（2）用定義法證明；（3）利用奇偶性和單調(diào)性轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次不等式求解.答案（1）由題意得..經(jīng)驗(yàn)證，為奇函數(shù)，.（2）減函數(shù).證明：任取，且，則，.，，即，該函數(shù)在定義域R上是減函數(shù).（3）由，得.是奇函數(shù)，.由（2）知，是減函數(shù)，原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，即對(duì)任意恒成立，，解得.四、指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用在實(shí)際問(wèn)題中，有關(guān)人口增長(zhǎng)、銀行利率、細(xì)胞分裂等增長(zhǎng)率問(wèn)題?？梢杂弥笖?shù)函數(shù)模型表示通常可以表示為（其中N為基礎(chǔ)數(shù)，p為增長(zhǎng)率，x為時(shí)間）的形式.例8、一種放射性元素，最初的質(zhì)量為500g，按每年10%衰減.（1）求t年后，這種放射性元素的質(zhì)量w的表達(dá)式；（2）由求出的函數(shù)表達(dá)式，求這種放射性元素的半衰期（結(jié)果精確到0.1）.解析（1）根據(jù)經(jīng)過(guò)1年、2年后，這種放射性元素的質(zhì)量w的表達(dá)式歸納t年后，這種放射性元素的質(zhì)量w的表達(dá)式；（2）根據(jù)（1）的表達(dá)式轉(zhuǎn)化為求質(zhì)量為250g對(duì)應(yīng)的年數(shù).答案（1）最初的質(zhì)量為500g，經(jīng)過(guò)1年，；經(jīng)過(guò)2年，；由此推知，t年后，.（2）由題意得，即，兩邊同時(shí)取以10為底的對(duì)數(shù)，得，即，所以.即這種放射性元素的半衰期約為6.6年.例9、某化工廠生產(chǎn)一種溶液，按市場(chǎng)要求，雜質(zhì)含量不能超過(guò)0.1%，若初時(shí)含雜質(zhì)2%，每過(guò)濾一次可使雜質(zhì)含量減少，問(wèn)至少應(yīng)過(guò)濾幾次才能使產(chǎn)品達(dá)到市場(chǎng)要求？（已知：）解析根據(jù)題意列出雜質(zhì)含量的表達(dá)式，解不等式即可.答案設(shè)過(guò)濾n次能使產(chǎn)品達(dá)到市場(chǎng)要求，依題意，得，即.兩邊取常用對(duì)數(shù)，則有，故，考慮到，故，即至少要過(guò)濾8次才能達(dá)到市場(chǎng)要求.五、分類討論思想所謂分類討論，實(shí)質(zhì)上是“化整為零，各個(gè)擊破，再積零為整”的策略.分類討論時(shí)應(yīng)注重理解和掌握分類的原則、方法與技巧，做到確定對(duì)象的全面，明確分類的標(biāo)準(zhǔn)，不重不漏地分類討論.在初等函數(shù)中，分類討論的思想得到了重要的體現(xiàn)，可根據(jù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性分類討論，使得求解得以實(shí)現(xiàn).分類討論思想在指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)中的應(yīng)用：（1）原理：底數(shù)大于1時(shí)，指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)均是增函數(shù)；底數(shù)大于0小于1時(shí)，指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)均是減函數(shù).（2）解含參的指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)問(wèn)題的步驟：①確定底數(shù)的大?。虎诟鶕?jù)底數(shù)的大小，依據(jù)單調(diào)性及定義域列出不等式（組）；③解所列出的不等式（組）求得參數(shù)的范圍.例10、已知函數(shù)為偶函數(shù)，且.（1）求m的值，并確定的解析式；（2）若在上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解析（1）結(jié)合，與函數(shù)的奇偶性，分類討論確定m的值及的解析式；（2）由為增函數(shù)，結(jié)合a討論，求出a的取值范圍.答案（1）由，得，.為R上的減函數(shù)，，解得.或1.當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)，不合題意；當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù).綜上，，此時(shí).（2）由（1）知，，則在上為增函數(shù).令.①當(dāng)時(shí)，在其定義域內(nèi)單調(diào)遞減，要使在上單調(diào)遞增，則需在上單調(diào)遞減，且.無(wú)解；②當(dāng)時(shí)，在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，要使在上單調(diào)遞增，則需在上單調(diào)遞增，且.解得.實(shí)數(shù)a的取值范圍為.例11、設(shè)，如果，試比較的大小.解析討論a的取值范圍，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小.答案當(dāng)時(shí)，有，則.又當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，，即；當(dāng)時(shí)，有，則.又當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，，即.綜上可得.六、函數(shù)與方程思想1.函數(shù)與方程的關(guān)系.（1）函數(shù)思想，是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題和解決問(wèn)題；（2）方程思想，是從問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將問(wèn)題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（方程、不等式或方程與不等式的混合組），然后通過(guò)解方程（組）或不等式（組）來(lái)使問(wèn)題獲解；（3）通過(guò)函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化，達(dá)到解決問(wèn)題的目的.2.應(yīng)用函數(shù)思想的幾種常見(jiàn)題型：（1）遇到變量，構(gòu)造函數(shù)關(guān)系解題；（2）有關(guān)的不等式、方程、最小值和最大值之類的問(wèn)題，利用函數(shù)觀點(diǎn)加以分析；（3）含有多個(gè)變量的數(shù)學(xué)問(wèn)題中，選定合適的主變量，從而揭示其中的函數(shù)關(guān)系.例12、若有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A.B.C.D.解析若有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，為此只要畫(huà)出的圖象即可