2023-2024學年七年級數(shù)學下冊 專題07 因式分解壓軸四大類型（解析版）

專題07因式分解壓軸四大類型題型一：運用提公因式法合公式法綜合因式分解題型二：十字相乘法因式分解題型三：分組分解法題型四：因式分解的應用題型一：運用提公因式法合公式法綜合因式分解【典例1】（2023秋?西城區(qū)期末）分解因式：（1）xy3﹣xy；（2）2x2﹣20x+50．【答案】（1）xy（y+1）（y﹣1）；（2）2（x﹣5）2．【解答】解：（1）原式＝xy（y2﹣1）＝xy（y+1）（y﹣1）；（2）原式＝2（x2﹣10x+25）＝2（x﹣5）2．【變式1-1】（2023春?鼓樓區(qū)校級期中）因式分解：（1）2mx2﹣4mx+2m；（2）25（m+n）2﹣9（m﹣n）2．【答案】（1）2m（x﹣1）2；（2）4（m+4n）（4m+n）．【解答】解：（1）2mx2﹣4mx+2m＝2m（x2﹣2x+1）＝2m（x﹣1）2；（2）25（m+n）2﹣9（m﹣n）2＝[5（m+n）]2﹣[3（m﹣n）]2＝[5（m+n）﹣3（m﹣n）][5（m+n）+3（m﹣n）]＝（5m+5n﹣3m+3n）（5m+5n+3m﹣3n）＝（2m+8n）（8m+2n）＝4（m+4n）（4m+n）．【變式1-2】（2023春?皇姑區(qū)校級期中）因式分解：（1）x2（a﹣b）+4（b﹣a）；（2）2x2﹣12xy+18y2．【答案】（1）（a﹣b）（x+2）（x﹣2）；（2）2（x﹣3y）2．【解答】解：（1）x2（a﹣b）+4（b﹣a）＝x2（a﹣b）﹣4（a﹣b）＝（a﹣b）（x2﹣4）＝（a﹣b）（x+2）（x﹣2）；（2）2x2﹣12xy+18y2＝2（x2﹣6xy+9y2）＝2（x﹣3y）2．【變式1-3】（2022秋?澠池縣期末）因式分解：（1）18a2b﹣12ab2+2b3；（2）x2（x﹣3）+y2（3﹣x）．【答案】（1）2b（3a﹣b）2；（2）（x﹣3）（x+y）（x﹣y）．【解答】解：（1）18a2b﹣12ab2+2b3＝2b（9a2﹣6ab+b2）＝2b（3a﹣b）2．（2）x2（x﹣3）+y2（3﹣x）＝（x﹣3）（x2﹣y2）＝（x﹣3）（x+y）（x﹣y）．題型二：十字相乘法因式分解【典例2】（2023秋?普陀區(qū)校級期末）因式分解：a2﹣13a+36＝（a﹣4）（a﹣9）．【答案】（a﹣4）（a﹣9）．【解答】解：a2﹣13a+36∵﹣4a+（﹣9a）＝﹣13a，∴a2﹣13a+36＝（a﹣4）（a﹣9）．故答案為：（a﹣4）（a﹣9）．【變式2-1】（2023秋?璧山區(qū)期末）因式分解a2+a﹣6的結果是（a﹣2）（a+3）．【答案】（a﹣2）（a+3）．【解答】解：a2+a﹣6＝（a﹣2）（a+3）．【變式2-2】（2023秋?浦東新區(qū)期末）因式分解：x2﹣8x+12＝（x﹣2）（x﹣6）．【答案】（x﹣2）（x﹣6）．【解答】解：x2﹣8x+12＝x2﹣8x+16﹣4＝（x﹣4）2﹣（2）2＝（x﹣4+2）（x﹣4﹣2）＝（x﹣2）（x﹣6）．故答案為：（x﹣2）（x﹣6）．【變式2-3】（2023秋?河北區(qū)校級期末）把多項式x2﹣2x﹣35因式分解為（x+5）（x﹣7）．【答案】（x+5）（x﹣7）．【解答】解：x2﹣2x﹣35＝（x+5）（x﹣7）．題型三：分組分解法【典例3】（2023秋?臨潼區(qū)期末）閱讀下列材料：數(shù)學研究發(fā)現(xiàn)常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但還有很多的多項式只用上述方法無法分解，如：“m2﹣mn+2m﹣2n”，細心觀察這個式子就會發(fā)現(xiàn)，前兩項可以提取公因式，后兩項也可提取公因式，前后兩部分分別因式分解后產生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整個式子的因式分解了，過程為m2﹣mn+2m﹣2n＝（m2﹣mn）+（2m﹣2n）＝m（m﹣n）+2（m﹣n）＝（m﹣n）（m+2）．此種因式分解的方法叫做“分組分解法”．請在這種方法的啟發(fā)下，解決以下問題：（1）因式分解：a3﹣3a2+6a﹣18；（2）因式分解：ax+a2﹣2ab﹣bx+b2．【答案】（1）（a﹣3）（a2+6）；（2）（a﹣b）（a﹣b+x）．【解答】解：（1）a3﹣3a2+6a﹣18＝a2（a﹣3）+6（a﹣3）＝（a﹣3）（a2+6）；（2）ax+a2﹣2ab﹣bx+b2＝（a2﹣2ab+b2）+（ax﹣bx）＝（a﹣b）2+x（a﹣b）＝（a﹣b）（a﹣b+x）．【變式3-1】（2023秋?青浦區(qū)校級期中）因式分解：4x3﹣2x2﹣9xy2﹣3xy．【答案】x（2x+3y）（2x﹣3y﹣1）．【解答】解：原式＝（4x3﹣9xy2）+（﹣2x2﹣3xy）＝x（4x2﹣9y2）﹣x（2x+3y）＝x（2x+3y）（2x﹣3y）﹣x（2x+3y）＝x（2x+3y）（2x﹣3y﹣1）．【變式3-2】（2023秋?沙坪壩區(qū)校級期末）把下列各式因式分解：（1）﹣3ab3+6a2b2﹣3a3b；（2）x2﹣y2﹣ax+ay．【答案】（1）﹣3ab（b﹣a）2；（2）（x﹣y）（x+y﹣a）．【解答】解：（1）原式＝﹣3ab（b2﹣2ab+a2）＝﹣3ab（b﹣a）2；（2）原式＝（x2﹣y2）+（﹣ax+ay）＝（x+y）（x﹣y）﹣a（x﹣y）＝（x﹣y）（x+y﹣a）．【變式3-3】（2023秋?武都區(qū)期末）常用的因式分解的方法有：提公因式法和公式法，但有的多項式用上述方法無法分解，例如x2﹣4y2﹣2x+4y，我們細心觀察就會發(fā)現(xiàn)，前兩項可以分解，后兩項也可以分解，分別分解后會產生公因式，就可以完整分解了，具體分解過程如下：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x2﹣4y2）﹣（2x﹣4y）＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）這種方法叫分組分解法，請利用這種方法對下列多項式進行因式分解：（1）mn2﹣2mn+2n﹣4；（2）x2﹣2xy+y2﹣16；（3）4x2﹣4x﹣y2+4y﹣3．【答案】（1）（n﹣2）（mn+2）；（2）（x﹣y﹣4）（x﹣y+4）；（3）（2x﹣y+1）（2x+y﹣3）．【解答】解：（1）mn2﹣2mn+2n﹣4＝（mn2﹣2mn）+（2n﹣4）＝mn（n﹣2）+2（n﹣2）＝（n﹣2）（mn+2）；（2）x2﹣2xy+y2﹣16＝（x2﹣2xy+y2）﹣16＝（x﹣y）2﹣42＝（x﹣y﹣4）（x﹣y+4）；（3）4x2﹣4x﹣y2+4y﹣3＝4x2﹣4x+1﹣y2+4y﹣4＝（4x2﹣4x+1）﹣（y2﹣4y+4）＝（2x﹣1）2﹣（y﹣2）2＝（2x﹣1﹣y+2）（2x﹣1+y﹣2）＝（2x﹣y+1）（2x+y﹣3）．題型四：因式分解的應用【典例4】（2023秋?鋼城區(qū)期末）閱讀材料：教科書中提到a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2這樣的式子叫做完全平方式．”有些多項式不是完全平方式，我們可以通過添加項，湊成完全平方式，再減去這個添加項，使整個式子的值不變，這樣也可以將多項式進行分解，并解決一些最值問題．例如：（1）分解因式：x2﹣2x﹣3．x2﹣2x﹣3＝x2﹣2x+1﹣1﹣3＝（x﹣1）2﹣4＝（x﹣1）2﹣22＝（x﹣1+2）（x﹣1﹣2）＝（x+1）（x﹣3）．（2）求代數(shù)式x2﹣2x﹣3的最小值．x2﹣2x﹣3＝x2﹣2x+1﹣4＝（x﹣1）2﹣4∵（x﹣1）2≥0，∴當x＝1時，代數(shù)式x2﹣2x﹣3有最小值﹣4．結合以上材料解決下面的問題：（1）若二次三項式x2﹣kx+9恰好是完全平方式，k的值是6或﹣6；（2）分解因式：x2﹣8x+15；（3）當x為何值時，x2﹣8x+15有最小值？最小值是多少？【答案】（1）6或﹣6；（2）（x﹣3）（x﹣5）；（3）當x＝4時，代數(shù)式x2﹣8x+15有最小值﹣1．【解答】解：（1）∵a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2這樣的式子叫做完全平方式，而x2﹣kx+9恰好是完全平方式，同時x2﹣kx+9可以整理為x2﹣kx+32，∴k＝6或﹣6，故答案為：6或﹣6．（2）x2﹣8x+15＝x2﹣8x+42﹣1＝（x﹣4）2﹣1＝（x﹣4）2﹣12＝（x﹣4+1）（x﹣4﹣1）＝（x﹣3）（x﹣5）；（3）x2﹣8x+15＝（x﹣4）2﹣1，∵（x﹣4）2≥0，∴當x＝4時，代數(shù)式x2﹣8x+15有最小值﹣1．【變式4-1】（2022春?金東區(qū)期末）通常情況下，a+b不一定等于ab，觀察下列幾個式子：第1個：2+2＝2×2；第2個：3+＝3×；第3個：4+＝4×…我們把符合a+b＝ab的兩個數(shù)叫做“和積數(shù)對”．（1）寫出第4個式子．（2）寫出第n個式子，并檢驗．（3）若m，n是一對“和積數(shù)對”，求代數(shù)式的值．【答案】（1）第4個式子為5+＝5×；（2）第n個式子（n+1）+＝（n+1）×；檢驗過程見解答．（3）．【解答】解：（1）第4個式子為5+＝5×；（2）第n個式子（n+1）+＝（n+1）×；檢驗：左邊＝+＝＝右邊；（3）∵m，n是一對“和積數(shù)對”，∴m+n＝mn，設m+n＝mn＝x，原式＝＝＝；【變式4-2】（2023秋?哈密市期末）閱讀材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：（1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，求xy的值；（2）已知△ABC的三邊長a、b、c都是正整數(shù)，且滿足a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，求△ABC的最大邊c的值．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）∵x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，∴（x2﹣2xy+y2）+（y2+6y+9）＝0，∴（x﹣y）2+（y+3）2＝0，∴x﹣y＝0，y+3＝0，∴x＝﹣3，y＝﹣3，∴xy＝（﹣3）×（﹣3）＝9，即xy的值是9．（2）∵a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，∴（a2﹣10a+25）+（b2﹣12b+36）＝0，∴（a﹣5）2+（b﹣6）2＝0，∴a﹣5＝0，b﹣6＝0，∴a＝5，b＝6，∵6﹣5＜c＜6+5，c≥6，∴6≤c＜11，∴△ABC的最大邊c的值可能是6、7、8、9、10．【變式4-3】（2023春?羅湖區(qū)校級期中）閱讀材料：要把多項式am+an+bm+bn因式分解，可以先把它進行分組再因式分解：am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+m）+b（m+n）＝（m+n）（a+b）這種因式分解的方法叫做分組分解法．（1）請用上述方法因式分解：x2﹣y2+2x﹣2y；（2）知a、b、c是△ABC三邊的長，且滿足a2+c2﹣2b（a﹣b+c）＝0，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；（3）若m、n、p為非零實數(shù)，且（m﹣n）2＝（p﹣n）（m﹣p），求證：2p＝m+n．【答案】（1）（x﹣y）（x+y+2）；（2）見解答；（3）見解答．【解答】解：（1）x2﹣y2+2x﹣2y＝（x2﹣y2）+2（x﹣y）＝（x+y）（x﹣y）+2（x﹣y）＝（x﹣y）（x+y+2）；（2）△ABC的形狀是等邊三角形，理由如下：a2+c2﹣2b（a﹣b+c）＝0，a2+c2﹣2ba+2b2﹣2bc＝0，（a2﹣2ba+b2）+（c2+b2﹣2bc）＝0，（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，∴a＝b＝c，∴△ABC的形狀是等邊三角形．（3）證明：（m﹣n）2＝（p﹣n）（m﹣p），等式兩邊展開移項得：﹣mn++mn﹣pm﹣pn+p2＝0，整理得：（m2+mn+n2）﹣p（m+n）+p2＝0，即[（m+n）﹣p]2＝0，∴（m+n）﹣p＝0，∴2p＝m+n一．選擇題（共8小題）1．（2022秋?內江期末）已知d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，則當x2﹣2x﹣5＝0時，d的值為（）A．25 B．20 C．15 D．10【答案】A【解答】解法一：∵x2﹣2x﹣5＝0，∴x2＝2x+5，∴d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，＝（2x+5）2﹣2x（2x+5）+x2﹣12x﹣5＝4x2+20x+25﹣4x2﹣10x+x2﹣12x﹣5＝x2﹣2x﹣5+25＝25．解法二：∵x2﹣2x﹣5＝0，∴x2﹣2x＝5，∴d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5＝x2（x2﹣2x+1）﹣12x﹣5＝6x2﹣12x﹣5＝6（x2﹣2x）﹣5＝6×5﹣5＝25．故選：A．2．（2022春?蘭西縣校級期末）已知長方形的周長為16cm，它兩鄰邊長分別為xcm，ycm，且滿足（x﹣y）2﹣2x+2y+1＝0，則該長方形的面積為（）cm2．A． B． C．15 D．16【答案】A【解答】解：∵長方形的周長為16cm，∴2（x+y）＝16，∴x+y＝8①；∵（x﹣y）2﹣2x+2y+1＝0，∴（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1＝0，∴（x﹣y﹣1）2＝0，∴x﹣y＝1②．聯(lián)立①②，得，解得：，∴長方形的面積S＝xy＝＝（cm2），故選：A．3．（2023秋?洪山區(qū)期末）已知實數(shù)a滿足a2﹣2a﹣1＝0，則代數(shù)式2a3﹣a2﹣8a+4的值為（）A．9 B．7 C．0 D．﹣9【答案】B【解答】解：∵a2﹣2a﹣1＝0，，∴a2﹣2a＝1，∴2a3﹣a2﹣8a+4＝2a?a2﹣a2﹣8a+4＝2a（2a+1）﹣a2﹣8a+4＝4a2+2a﹣a2﹣8a+4＝3a2﹣6a+4＝3（a2﹣2a）+4＝3×1+4＝7．故選：B．4．（2023秋?商水縣期末）已知m2+n2＝25，mn＝12，則m3n﹣mn3的值為（）A．±300 B．±84 C．±48 D．±12【答案】B【解答】解：m3n﹣mn3＝mn（m2﹣n2）＝mn（m+n）（m﹣n）．∵m2+n2＝25，mn＝12，∴（m+n）2＝m2+n2+2mn＝25+2×12＝49；（m﹣n）2＝m2+n2﹣2mn＝25﹣2×12＝1．∴m+n＝±7；m﹣n＝±1．①m+n＝7，m﹣n＝1．原式＝12×7×1＝84；②m+n＝7，m﹣n＝﹣1．原式＝12×7×（﹣1）＝﹣84；③m+n＝﹣7，m﹣n＝1．原式＝12×（﹣7）×1＝﹣84；④m+n＝﹣7，m﹣n＝﹣1．原式＝12×（﹣7）×（﹣1）＝84．故選：B．5．（2023秋?海安市期末）已知xy＝4，則x2﹣2x+y2﹣2y的最小值是（）A．﹣9 B．﹣2 C．0 D．2【答案】C【解答】解：x2﹣2x+y2﹣2y＝（x2+y2）﹣2（x+y）＝（x+y）2﹣2（x+y）﹣2xy．∵xy＝4，∴原式＝（x+y）2﹣2（x+y）﹣8＝（x+y）2﹣2（x+y）+1﹣9＝（x+y﹣1）2﹣9．設x+y＝a，則y＝a﹣x．∵xy＝4，∴x（a﹣x）＝4．∴ax﹣x2＝4．∴x2﹣ax+4＝0．∴Δ＝（﹣a）2﹣4×1×4＝a2﹣16．∵方程有解，∴a2﹣16≥0．∴a2≥16．∴a≥4或a≤﹣4．當a＝4即x+y＝4時，原式＝0；當a＝﹣4即x+y＝﹣4時，原式＝25﹣9＝16．∵0＜16，∴x2﹣2x+y2﹣2y的最小值是0．故選：C．6．（2023秋?宣化區(qū)期末）小穎利用兩種不同的方法計算下面圖形的面積，并據(jù)此寫出了一個因式分解的等式，此等式是（）A．a2+2ab+b2＝（a+b）（a+b） B．a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b） C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．2a2+3ab+b2＝（2a+b）（a+b）【答案】B【解答】解：根據(jù)題圖可得大長方形是由2個邊長為b的正方形，3個長為b寬為a的長方形和1個邊長為a的正方形組成，∴大長方形的面積為a2+3ab+2b2，另外大長方形可以看作一般長為（a+2b）寬為（a+b）的長方形組成，∴大長方形的面積為（a+2b）（a+b），∴可以得到一個因式分解的等式為a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b），故B正確．故選：B．7．（2023秋?鲅魚圈區(qū)期末）已知a﹣b＝5，ab＝﹣6，則a3b﹣2a2b2+ab3的值為（）A．57 B．120 C．﹣39 D．﹣150【答案】D【解答】解：a3b﹣2a2b2+ab3＝ab（a2﹣2ab+b2）＝ab（a﹣b）2，把a﹣b＝5，ab＝﹣6代入，ab（a﹣b）2＝（﹣6）×52＝﹣150，故選：D．8．（2023秋?東興區(qū)校級期中）已知，則代數(shù)式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值是（）A．0 B． C．2 D．3【答案】D【解答】解：∵，∴a﹣b＝﹣1，b﹣c＝﹣1，a﹣c＝﹣2，∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝＝＝＝＝3．故選：D．二．填空題（共5小題）9．（2023秋?烏蘭察布期末）已知a、b是△ABC的兩邊，且滿足a2﹣b2＝ac﹣bc，則△ABC的形狀是等腰三角形．【答案】等腰三角形．【解答】解：∵a2﹣b2＝ac﹣bc，∴（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0．∴（a﹣b）（a+b﹣c）＝0．∵在△ABC中，a+b＞c，∴a+b﹣c＞0．∴a﹣b＝0，即a＝b．∴△ABC是等腰三角形．故答案為：等腰三角形．10．（2023秋?通山縣期末）已知：x2﹣x＝1，則x4﹣x3﹣2x2+x+1的值是0．【答案】0【解答】解：x4﹣x3﹣2x2+x+1＝x2（x2﹣x）﹣2x2+x+1，∵x2﹣x＝1，∴原式＝x2﹣2x2+x+1＝﹣x2+x+1＝﹣1+1＝0．11．（2023秋?沙坪壩區(qū)校級期末）若將多項式2x3﹣x2+m進行因式分解后，有一個因式是x+1，則m的值為3．【答案】3．【解答】解：∵多項式2x3﹣x2+m進行因式分解后，有一個因式是x+1，∴當x＝﹣1時，2x3﹣x2+m＝0，即2×（﹣1）3﹣（﹣1）2+m＝0，解得m＝3．故答案為：3．12．（2022秋?東莞市校級期末）已知a＝x+20，b＝x+19，c＝x+21，則代數(shù)式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值是3．【答案】見試題解答內容【解答】解：由a＝x+20，b＝x+19，c＝x+21，得（a﹣b）x+20﹣x﹣19＝1，同理得：（b﹣c）＝﹣2，（c﹣a）＝1，∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac，＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac），＝[（a2﹣2ab+b2）+（a2﹣2ac+c2）+（b2﹣2bc+c2）]，＝[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]，＝×（1+1+4）＝3．故答案為3．13．（2022秋?芝罘區(qū)期末）計算：20232﹣2023×2022＝2023．【答案】2023．【解答】解：20232﹣2023×2022＝2023×（2023﹣2022）＝2023×1＝2023．故答案為：2023．三．解答題（共3小題）14．（2023秋?梨樹縣期末）已知a﹣b＝7，ab＝﹣12．（1）求a2b﹣ab2的值；（2）求a2+b2的值；（3）求a+b的值．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）∵a﹣b＝7，ab＝﹣12，∴a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）＝﹣12×7＝﹣84；（2）∵a﹣b＝7，ab＝﹣12，∴（a﹣b）2＝49，∴a2+b2﹣2ab＝49，∴a2+b2＝25；（3）∵a2+b2＝25，∴（a+b）2＝25+2ab＝25﹣24＝1，∴a+b＝±1．15．（2023秋?東遼縣期末）先閱讀下列材料：我們已經學過將一個多項式分解因式的方法有提公因式法和運用公式法，其實分解因式的方法還有分組分解法、拆項法、十字相乘法等等．（1）分組分解法：將一個多項式適當分組后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法．如：①ax+by+bx+ay＝（ax+bx）+（ay+by）＝x（a+b）+y（a+b）＝（a+b）（x+y）②2xy+y2﹣1+x2＝x2+2xy+y2﹣1＝（x+y）2﹣1＝（x+y+1）（x+y﹣1）（2）拆項法：將一個多項式的某一項拆成兩項后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法．如：x2+2x﹣3＝