2023-2024學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 專題09 期中-綜合大題必刷（壓軸16考點(diǎn)49題）（解析版）

專題09期中-綜合大題必刷（壓軸16考點(diǎn)49題）

一．冪的乘方與積的乘方（共4小題）1．定義：如果2m＝n（m，n為正數(shù)），那么我們把m叫做n的D數(shù)，記作m＝D（n）．（1）根據(jù)D數(shù)的定義，填空：D（2）＝1，D（16）＝4．（2）D數(shù)有如下運(yùn)算性質(zhì)：D（s?t）＝D（s）+D（t），D（）＝D（q）﹣D（p），其中q＞p．根據(jù)運(yùn)算性質(zhì)，計(jì)算：①若D（a）＝1，求D（a3）；②若已知D（3）＝2a﹣b，D（5）＝a+c，試求D（15），D（），D（108），D（）的值（用a、b、c表示）．【答案】（1）D（2）＝1，D（16）＝4，（2）①D（a3）＝3，②D（15）＝3a﹣b+c，，D（108）＝6a﹣3b+2，＝5a﹣3b﹣c﹣2，【解答】解：（1）∵21＝2，∴D（2）＝1，∵24＝16，∴D（16）＝4，故答案為：1；4．（2）①∵21＝a，∴a＝2．∴23＝23．∴D（a3）＝3．②D（15）＝D（3×5），＝D（3）+D（5）＝（2a﹣b）+（a+c）＝3a﹣b+c，＝（a+c）﹣（2a﹣b）＝﹣a+b+c．D（108）＝D（3×3×3×2×2），＝D（3）+D（3）+D（3）+D（2）+D（2）＝3×D（3）+2×D（2）＝3×（2a﹣b）+2×1＝6a﹣3b+2．，＝D（3×3×3）﹣D（5×2×2）＝D（3）+D（3）+D（3）﹣[D（5）+D（2）+D（2）]＝3×D（3）﹣[D（5）+2D（2）]＝3×（2a﹣b）﹣[a+c+2×1]＝6a﹣3b﹣a﹣c﹣2＝5a﹣3b﹣c﹣2，2．若am＝an（a＞0且a≠1，m、n是正整數(shù)），則m＝n．利用上面結(jié)論解決下面的問(wèn)題：（1）若3x×9x×27x＝312，求x的值．（2）若x＝5m﹣3，y＝4﹣25m，用含x的代數(shù)式表示y．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）3x×9x×27x＝3x×（32）x×（33）x＝3x×32x×33x＝36x．∵36x＝312，∴6x＝12，∴x＝2．（2）∵x＝5m﹣3，∴5m＝x+3，∵y＝4﹣25m＝4﹣（52）m＝4﹣（5m）2＝4﹣（x+3）2，∴y＝﹣x2﹣6x﹣5．3．規(guī)定兩數(shù)a，b之間的一種運(yùn)算記作a※b，如果ac＝b，那么a※b＝c．例如：因?yàn)?2＝9，所以3※9＝2．（1）根據(jù)上述規(guī)定，填空：2※16＝4，±※36＝﹣2；（2）小明在研究這種運(yùn)算時(shí)發(fā)現(xiàn)一個(gè)現(xiàn)象：3n※4n＝3※4，小明給出了如下的證明；設(shè)3n※4n＝x，則（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，所以3x＝4，即3※4＝x，所以3n※4n＝3※4．請(qǐng)你嘗試運(yùn)用這種方法解決下列問(wèn)題：①證明：5※7+5※9＝5※63；②猜想：（x﹣2）n※（y+1）n+（x﹣2）n※（y﹣3）n＝（x﹣2）※[（y+1）（y﹣3）]（結(jié)果化成最簡(jiǎn)形式）．【答案】（1）4，±；（2）①證明見(jiàn)解析；②（x﹣2），[（y+1）（y﹣3）]．【解答】解：（1）∵2c＝16＝24，∴2※16＝4，∵a※36＝﹣2，∴a﹣2＝36，∴a﹣2＝（±6）2＝，∴a＝±．（2）①∵設(shè)5※7＝x，5※9＝y(tǒng)，∴5x＝7，5y＝9，∴5x×5y＝7×9＝63，∴5x+y＝63，∴5※63＝x+y，即5※7+5※9＝5※63；②∵3n※4n＝3※4，∴（x﹣2）n※（y+1）n+（x﹣2）n※（y﹣3）n＝（x﹣2）※（y+1）+（x﹣2）※（y﹣3）＝（x﹣2）※[（y+1）（y﹣3）]．故答案為：（1）4，±；（2）①證明見(jiàn)解析；②（x﹣2），[（y+1）（y﹣3）]．；（2）①證明見(jiàn)解析；②（x﹣2），[（y+1）（y﹣3）]．4．規(guī)定兩數(shù)a，b之間的一種運(yùn)算，記作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因?yàn)?3＝8，所以（2，8）＝3．（1）根據(jù)上述規(guī)定，填空：（3，27）＝3，（5，1）＝0，（2，）＝﹣2．（2）小明在研究這種運(yùn)算時(shí)發(fā)現(xiàn)一個(gè)現(xiàn)象：（3n，4n）＝（3，4），小明給出了如下的證明：設(shè)（3n，4n）＝x，則（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n所以3x＝4，即（3，4）＝x，所以（3n，4n）＝（3，4）．請(qǐng)你嘗試運(yùn)用這種方法證明下面這個(gè)等式：（3，4）+（3，5）＝（3，20）【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵33＝27，∴（3，27）＝3；∵50＝1，∴（5，1）＝0；∵2﹣2＝，∴（2，）＝﹣2；（2）設(shè)（3，4）＝x，（3，5）＝y(tǒng)，則3x＝4，3y＝5，∴3x+y＝3x?3y＝20，∴（3，20）＝x+y，∴（3，4）+（3，5）＝（3，20）．故答案為：3，0，﹣2．二．同底數(shù)冪的除法（共1小題）5．已知，3m＝2，3n＝5，求（1）33m+2n；（2）34m﹣3n．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：∵3m＝2，3n＝5，∴（1）33m+2n＝33m×32n＝（3m）3×（3n）2＝8×25＝200；（2）34m﹣3n＝34m÷33n＝（3m）4÷（3n）3＝16÷125＝．三．完全平方公式（共1小題）6．閱讀下列材料若x滿足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．設(shè)9﹣x＝a，x﹣4＝b，則（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，∴（4﹣x）2+（x﹣9）2＝（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．請(qǐng)仿照上面的方法求解下面問(wèn)題：（1）若x滿足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值；（2）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為x，E，F(xiàn)分別是AD、DC上的點(diǎn)，且AE＝1，CF＝3，長(zhǎng)方形EMFD的面積是48，分別以MF、DF為邊作正方形．①M(fèi)F＝x﹣1，DF＝x﹣3；（用含x的式子表示）②求陰影部分的面積．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）設(shè)5﹣x＝a，x﹣2＝b，則（5﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，a+b＝（5﹣x）+（x﹣2）＝3，∴（5﹣x）2+（x﹣2）2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5；（2）①M(fèi)F＝DE＝x﹣1，DF＝x﹣3，故答案為：x﹣1；x﹣3；②（x﹣1）（x﹣3）＝48，陰影部分的面積＝FM2﹣DF2＝（x﹣1）2﹣（x﹣3）2．設(shè)x﹣1＝a，x﹣3＝b，則（x﹣1）（x﹣3）＝ab＝48，a﹣b＝（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2，∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝22+4×48＝196，∴a+b＝±14，又∵a+b＞0，∴a+b＝14，∴（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝14×2＝28．即陰影部分的面積是28．四．完全平方公式的幾何背景（共2小題）7．現(xiàn)有長(zhǎng)與寬分別為a、b的小長(zhǎng)方形若干個(gè)，用兩個(gè)這樣的小長(zhǎng)方形拼成如圖1的圖形，用四個(gè)相同的小長(zhǎng)方形拼成圖2的圖形，請(qǐng)認(rèn)真觀察圖形，解答下列問(wèn)題：（1）根據(jù)圖中條件，請(qǐng)寫(xiě)出圖1和圖2所驗(yàn)證的關(guān)于a、b的關(guān)系式：（用含a、b的代數(shù)式表示出來(lái)）；圖1表示：（a+b）2＝a2+b2+2ab；圖2表示：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；（2）根據(jù)上面的解題思路與方法，解決下列問(wèn)題：①若x+y＝4，x2+y2＝10，求xy的值；②請(qǐng)直接寫(xiě)出下列問(wèn)題答案：若2m+3n＝5，mn＝1，則6n﹣4m＝±2；若（7﹣m）（5﹣m）＝9，則（7﹣m）2+（5﹣m）2＝22．（3）如圖3，長(zhǎng)方形ABCD中，AD＝2CD＝2x，AE＝44，CG＝30，長(zhǎng)方形EFGD的面積是200，四邊形NGDH和MEDQ都是正方形，四邊形PQDH是長(zhǎng)方形．延長(zhǎng)MP至T，使PT＝PQ，延長(zhǎng)MF至O，使FO＝FE，過(guò)點(diǎn)O、T作MO、MT的垂線，兩垂線相交于點(diǎn)R，求四邊形MORT的面積．（結(jié)果必須是一個(gè)具體的數(shù)值）【答案】（1）（a+b）2＝a2+b2+2ab，（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；（2）①3；②±2，22；（3）1856．【解答】解：（1）圖1中，由圖可知S大正方形＝（a+b）2，S組成大正方形的四部分的面積之和＝a2+b2+2ab，由題意得，S大正方形＝S組成大正方形的四部分的面積之和，即（a+b）2＝a2+b2+2ab，故答案為：（a+b）2＝a2+b2+2ab．圖2中，由圖可知S大正方形＝（a+b）2，S小正方形＝（a﹣b）2，S四個(gè)長(zhǎng)方形＝4ab，由題圖可知，S大正方形＝S小正方形+S四個(gè)長(zhǎng)方形，即（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，故答案為：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab．（2）①∵（x+y）2＝x2+y2+2xy，∴xy＝[（x+y）2﹣（x2+y2）]，∵x+y＝4，x2+y2＝10，∴xy＝（16﹣10）＝3；②由圖2可得（2m﹣3n）2＝（2m+3n）2﹣24mn，∵2m+3n＝5，mn＝1，∴（2m﹣3n）2＝52﹣24＝1，∴2m﹣3n＝±1，∴6n﹣4m＝±2，故答案為：＝±2；由圖1可得[（7﹣m）﹣（5﹣m）]2＝（7﹣m）2+（5﹣m）2﹣2（7﹣m）（5﹣m），∴（7﹣m）2+（5﹣m）2＝[（7﹣m）﹣（5﹣m）]2+2（7﹣m）（5﹣m），∵（7﹣m）（5﹣m）＝9，∴原式＝4+2×9＝22，故答案為：22；（3）∵ED＝AD﹣AE，DG＝DC﹣CG，∴ED＝2x﹣44，DG＝x﹣30，∴MT＝MO＝（2x﹣44）+2（x﹣30），∵長(zhǎng)方形EFGD的面積是200，∴（2x﹣44）（x﹣30）＝200，∴2（x﹣30）（2x﹣44）＝400，令a＝2x﹣44，b＝2（x﹣30），∴ab＝400，a﹣b＝16，∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝256，∴a2+b2＝256+2ab＝1056，∴四邊形MORT的面積＝MT2＝（a+b）2＝a2+b2+2ab＝1056+800＝1856．8．把幾個(gè)圖形拼成一個(gè)新的圖形，再通過(guò)圖形面積的計(jì)算，常常可以得到一些有用的式子，或可以求出一些不規(guī)則圖形的面積．（1）如圖1，是將幾個(gè)面積不等的小正方形與小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為a+b+c的正方形．①若用不同的方法計(jì)算這個(gè)邊長(zhǎng)為a+b+c的正方形面積，就可以得到一個(gè)等式，這個(gè)等式可以為（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac．②因式分解：a2+4b2+9c2+4ab+12bc+6ca．（2）如圖2，是將兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為a和b的正方形拼在一起，B，C，G三點(diǎn)在同一直線上，連接BD和BF，若兩正方形的邊長(zhǎng)滿足a+b＝6，ab＝8，請(qǐng)求出陰影部分的面積．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）①這個(gè)等式可以為（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；故答案為：（a+b+c），a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；②a2+4b2+9c2+4ab+12bc+6ca＝（a+2b）2+6c（a+2b）+9c2＝（a+2b+3c）2．（2）∵a+b＝6，ab＝8，∴S陰影＝a2+b2﹣（a+b）?b﹣a2＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣ab＝×62﹣×8＝6．五．平方差公式的幾何背景（共1小題）9．（1）如圖1，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，正方形FGCH的邊長(zhǎng)為b，長(zhǎng)方形ABGE和EFHD為陰影部分，則陰影部分的面積是a2﹣b2（寫(xiě)成平方差的形式）（2）將圖1中的長(zhǎng)方形ABGE和EFHD剪下來(lái)，拼成圖2所示的長(zhǎng)方形，則長(zhǎng)方形AHDE的面積是（a+b）（a﹣b）（寫(xiě)成多項(xiàng)式相乘的形式）（3）比較圖1與圖2的陰影部分的面積，可得乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．（4）利用所得公式計(jì)算：2（1+）（1+）（1+）（1+）+．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）根據(jù)題意得：陰影部分面積為a2﹣b2；（2）根據(jù)題意得：陰影部分面積為（a+b）（a﹣b）；（3）可得（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（4）原式＝4（1﹣）（1+）（1+）（1+）（1+）+＝4（1﹣））（1+）（1+）（1+）+＝4（1﹣）（1+）（1+）+＝4（1﹣）（1+）+＝4（1﹣）+＝4﹣+＝4．故答案為：（1）a2﹣b2；（2）（a+b）（a﹣b）；（3）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2六．整式的混合運(yùn)算（共1小題）10．閱讀材料：求1+2+22+23+24+…+22013的值．解：設(shè)S＝1+2+22+23+24+…+22012+22013，將等式兩邊同時(shí)乘2，得2S＝2+22+23+24+25+…+22013+22014．將下式減去上式，得2S﹣S＝22014一1即S＝22014一1，即1+2+22+23+24+…+22013＝22014一1仿照此法計(jì)算：（1）1+3+32+33+…+3100（2）1++…+．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）設(shè)S＝1+3+32+33+…+3100，兩邊乘以3得：3S＝3+32+33+34+35+…+3100+3101，將下式減去上式，得3S﹣S＝3101﹣1即S＝，即1+3+32+33+34+…+3100＝（2）設(shè)S＝1++++…+，兩邊乘以得：S＝++…+，將下式減去上式得：﹣S＝﹣1，解得：S＝2﹣，即1++++…+＝2﹣．七．因式分解的應(yīng)用（共2小題）11．閱讀材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．根據(jù)你的觀察，探究下面的問(wèn)題：（1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，求xy的值；（2）已知△ABC的三邊長(zhǎng)a、b、c都是正整數(shù)，且滿足a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，求△ABC的最大邊c的值．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，∴（x2﹣2xy+y2）+（y2+6y+9）＝0，∴（x﹣y）2+（y+3）2＝0，∴x﹣y＝0，y+3＝0，∴x＝﹣3，y＝﹣3，∴xy＝（﹣3）×（﹣3）＝9，即xy的值是9．（2）∵a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，∴（a2﹣10a+25）+（b2﹣12b+36）＝0，∴（a﹣5）2+（b﹣6）2＝0，∴a﹣5＝0，b﹣6＝0，∴a＝5，b＝6，∵6﹣5＜c＜6+5，c≥6，∴6≤c＜11，∴△ABC的最大邊c的值可能是6、7、8、9、10．12．仔細(xì)閱讀下面例題，解答問(wèn)題：例題：已知二次三項(xiàng)式x2﹣4x+m有一個(gè)因式是（x+3），求另一個(gè)因式以及m的值．解：設(shè)另一個(gè)因式為（x+n），得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n），則x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n∴解得：n＝﹣7，m＝﹣21∴另一個(gè)因式為（x﹣7），m的值為﹣21．問(wèn)題：仿照以上方法解答下面問(wèn)題：（1）已知二次三項(xiàng)式2x2+3x﹣k有一個(gè)因式是（2x﹣5），求另一個(gè)因式以及k的值．（2）已知二次三項(xiàng)式6x2+4ax+2有一個(gè)因式是（2x+a），a是正整數(shù)，求另一個(gè)因式以及a的值．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）設(shè)另一個(gè)因式是（x+b），則（2x﹣5）（x+b）＝2x2+2bx﹣5x﹣5b＝2x2+（2b﹣5）x﹣5b＝2x2+3x﹣k，則，解得：．則另一個(gè)因式是：x+4，k＝20．（2）設(shè)另一個(gè)因式是（3x+m），則（2x+a）（3x+m）＝6x2+（2m+3a）x+am＝6x2+4ax+2，則，解得或，另一個(gè)因式是3x﹣1，a的值是﹣2（不合題意舍去），故另一個(gè)因式是3x+1，a的值是2．八．二元一次方程的應(yīng)用（共2小題）13．某電器經(jīng)銷商計(jì)劃同時(shí)購(gòu)進(jìn)一批甲、乙兩種型號(hào)的微波爐，若購(gòu)進(jìn)1臺(tái)甲型微波爐和2臺(tái)乙型微波爐，共需要資金2600元；若購(gòu)進(jìn)2臺(tái)甲型微波爐和3臺(tái)乙型微波爐．共需要資金4400元．（1）求甲、乙型號(hào)的微波爐每臺(tái)進(jìn)價(jià)為多少元？（2）該店計(jì)劃購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種型號(hào)的微波爐銷售共20臺(tái)進(jìn)行銷售，請(qǐng)問(wèn)有幾種進(jìn)貨方案？請(qǐng)寫(xiě)出進(jìn)貨方案；（3）該店計(jì)劃購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種型號(hào)的微波爐銷售共20臺(tái)進(jìn)行銷售，其中甲型微波爐a臺(tái)，甲型微波爐的售價(jià)為1400元，售出一臺(tái)乙型微波爐的利潤(rùn)甲為45%．為了促銷，公司決定甲型微波爐九折出售，而每售出一臺(tái)乙型微波爐，返還顧客現(xiàn)金m元，若全部售出購(gòu)進(jìn)的微波爐所獲得的利潤(rùn)與a無(wú)關(guān)，則m的值應(yīng)為多少？【答案】（1）甲型號(hào)微波爐每臺(tái)進(jìn)價(jià)為1000元，乙型號(hào)微波爐每臺(tái)進(jìn)價(jià)800元；（2）共有21種方案，如解答所示；（3）若全部售出購(gòu)進(jìn)的微波爐所獲得的利潤(rùn)與a無(wú)關(guān)，m的值為100．【解答】解：（1）設(shè)甲型號(hào)微波爐每臺(tái)進(jìn)價(jià)為x元，乙型號(hào)微波爐每臺(tái)進(jìn)價(jià)為y元，依題意得，，解得，答：甲型號(hào)微波爐每臺(tái)進(jìn)價(jià)為1000元，乙型號(hào)微波爐每臺(tái)進(jìn)價(jià)800元；（2）由購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種型號(hào)的微波爐銷售共20臺(tái)，得共有21種方案：方案一：購(gòu)進(jìn)甲型號(hào)0臺(tái)，乙型號(hào)20臺(tái)；方案二：購(gòu)進(jìn)甲型號(hào)1臺(tái)，乙型號(hào)19臺(tái)；方案三：購(gòu)進(jìn)甲型號(hào)2臺(tái)，乙型號(hào)18臺(tái)；方案四：購(gòu)進(jìn)甲型號(hào)3臺(tái)，乙型號(hào)17臺(tái)；方案五：購(gòu)進(jìn)甲型號(hào)4臺(tái)，乙型號(hào)16臺(tái)；方案六：購(gòu)進(jìn)甲型號(hào)5臺(tái)，乙型號(hào)15臺(tái)；方案七：購(gòu)進(jìn)甲型號(hào)6臺(tái)，乙型號(hào)14臺(tái)；方案八：購(gòu)進(jìn)甲型號(hào)7臺(tái)，乙型號(hào)13臺(tái)；方案九：購(gòu)進(jìn)甲型號(hào)8臺(tái)，乙型號(hào)12臺(tái)；方案十：購(gòu)進(jìn)甲型號(hào)9臺(tái)，乙型號(hào)11臺(tái)；方案十一：購(gòu)進(jìn)甲型號(hào)10臺(tái)，乙型號(hào)10臺(tái)；方案十二：購(gòu)進(jìn)甲型號(hào)11臺(tái)，乙型號(hào)9臺(tái)；方案十三：購(gòu)進(jìn)甲型號(hào)12臺(tái)，乙型號(hào)8臺(tái)；方案十四：購(gòu)進(jìn)甲型號(hào)13臺(tái)，乙型號(hào)7臺(tái)；方案十五：購(gòu)進(jìn)甲型號(hào)14臺(tái)，乙型號(hào)6臺(tái)；方案十六：購(gòu)進(jìn)甲型號(hào)15臺(tái)，乙型號(hào)5臺(tái)；方案十七：購(gòu)進(jìn)甲型號(hào)16臺(tái)，乙型號(hào)4臺(tái)；方案十八：購(gòu)進(jìn)甲型號(hào)17臺(tái)，乙型號(hào)3臺(tái)；方案十九：購(gòu)進(jìn)甲型號(hào)18臺(tái)，乙型號(hào)2臺(tái)；方案二十：購(gòu)進(jìn)甲型號(hào)19臺(tái)，乙型號(hào)1臺(tái)；方案二十一：購(gòu)進(jìn)甲型號(hào)20臺(tái)，乙型號(hào)0臺(tái)；（3）設(shè)總利潤(rùn)為w元，則w＝（1400×0.9﹣1000）a+（800×0.45﹣m）（20﹣a），整理得w＝（m﹣100）a+7200﹣20m，∵所獲得利潤(rùn)與a無(wú)關(guān)，∴m﹣100＝0，解得m＝100，答：若全部售出購(gòu)進(jìn)的微波爐所獲得的利潤(rùn)與a無(wú)關(guān)，m的值為100．14．去年某生態(tài)枇杷園喜獲豐收，生態(tài)園老板準(zhǔn)備租車把枇杷運(yùn)往外地去銷售，經(jīng)租車公司負(fù)責(zé)人介紹，用2輛甲型車和3輛乙型車裝滿枇杷一次可運(yùn)貨12噸；用3輛甲型車和4輛乙型車裝滿枇杷一次可運(yùn)貨17噸，現(xiàn)有15噸枇杷，計(jì)劃同時(shí)租用甲型車m輛，乙型車n輛，一次運(yùn)完，且恰好每輛車都裝滿枇杷，根據(jù)以上信息．解答下列問(wèn)題：（1）1輛甲型車和1輛乙型車都裝滿枇杷一次可分別運(yùn)貨多少噸？（2）請(qǐng)你幫生態(tài)園老板設(shè)計(jì)共有多少種租車方案？【答案】（1）1輛甲型車裝滿枇杷一次可運(yùn)貨3噸，1輛乙型車都裝滿枇杷一次可運(yùn)貨2噸；（2）3種方案．【解答】解：（1）設(shè)1輛甲型車裝滿枇杷一次可運(yùn)貨x噸，輛乙型車裝滿枇杷一次可運(yùn)貨y噸，由題意得，，∴，答：1輛甲型車裝滿枇杷一次可運(yùn)貨3噸，1輛乙型車都裝滿枇杷一次可運(yùn)貨2噸；（2）由題意得，3m+2n＝15，∴或或，∴共三種租車方案，答：生態(tài)園老板設(shè)計(jì)共有三種租車方案：甲車1輛，乙車6輛；甲車3輛，乙車3輛；只租5輛甲車．九．二元一次方程組的解（共2小題）15．已知方程組和有相同的解，求a、b的值．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：先解方程組，解得：，將x＝2、y＝3代入另兩個(gè)方程，得方程組：，解得：．16．已知方程組，甲正確地解得，而乙粗心地把c看錯(cuò)了，得，試求出a，b，c的值．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：根據(jù)題意得：，解得：，把代入方程5x﹣cy＝1，得到：10﹣3c＝1，解得：c＝3．故a＝3，b＝﹣1，c＝3．一十．解二元一次方程組（共1小題）17．閱讀材料：善于思考的小軍在解方程組時(shí)，采用了一種“整體代換”的解法．解：將方程②變形：4x+10y+y＝5即2（2x+5y）+y＝5③，把方程①代入③得：2×3+y＝5，y＝﹣1，把y＝﹣1代入①得x＝4，所以，方程組的解為．請(qǐng)你解決以下問(wèn)題：（1）模仿小軍的“整體代換”法解方程組．（2）已知x，y滿足方程組，求x2+4y2﹣xy的值．【答案】（1）；（2）15．【解答】解：（1），由②得：3（2x﹣3y）﹣2y＝9③，把①代入③得：15﹣2y＝9，解得：y＝3，把y＝3代入①得：2x﹣9＝5，解得：x＝7，所以原方程組的解為；由①得：3（x2+4y2）﹣2xy＝47，化簡(jiǎn)得：，把③代入②得：，解得：xy＝2，把xy＝2代入③得x2+4y2＝17，∴x2+4y2﹣xy＝15．一十一．二元一次方程組的應(yīng)用（共3小題）18．已知：用2輛A型車和1輛B型車載滿貨物一次可運(yùn)貨10噸；用1輛A型車和2輛B型車載滿貨物一次可運(yùn)貨11噸，某物流公司現(xiàn)有26噸貨物，計(jì)劃A型車a輛，B型車b輛，一次運(yùn)完，且恰好每輛車都載滿貨物．根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：（1）1輛A型車和1輛車B型車都載滿貨物一次可分別運(yùn)貨多少噸？（2）請(qǐng)你幫該物流公司設(shè)計(jì)租車方案；（3）若A型車每輛需租金100元/次，B型車每輛需租金120元/次．請(qǐng)選出最省錢車方案，并求出最少租車費(fèi)．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）設(shè)1輛A型車和1輛B型車都裝滿貨物一次可分別運(yùn)貨λ噸、μ噸，由題意得：，解得：λ＝3，μ＝4．故1輛A型車和1輛B型車都裝滿貨物一次可分別運(yùn)貨3噸、4噸．（2）由題意和（1）得：3a+4b＝26，∵a、b均為非負(fù)整數(shù)，∴或，∴共有2種租車方案：①租A型車6輛，B型車2輛，②租A型車2輛，B型車5輛．（3）方案①的租金為：6×100+2×120＝840（元），方案②的租金為：2×100+5×120＝800（元），∵840＞800，∴最省錢的租車方案為方案②，租車費(fèi)用為800元．19．某鐵件加工廠用如圖1的長(zhǎng)方形和正方形鐵片（長(zhǎng)方形的寬與正方形的邊長(zhǎng)相等）加工成如圖2的豎式與橫式兩種無(wú)蓋的長(zhǎng)方體鐵容器．（加工時(shí)接縫材料不計(jì)）（1）如果加工豎式鐵容器與橫式鐵容器各1個(gè)，則共需要長(zhǎng)方形鐵片7張，正方形鐵片3張；（2）現(xiàn)有長(zhǎng)方形鐵片2014張，正方形鐵片1176張，如果加工成這兩種鐵容器，剛好鐵片全部用完，那加工的豎式鐵容器、橫式鐵容器各有多少個(gè)？（3）把長(zhǎng)方體鐵容器加蓋可以加工成為鐵盒．現(xiàn)用35張鐵板做成長(zhǎng)方形鐵片和正方形鐵片，已知每張鐵板可做成3個(gè)長(zhǎng)方形鐵片或4個(gè)正方形鐵片，也可以將一張鐵板裁出1個(gè)長(zhǎng)方形鐵片和2個(gè)正方形鐵片．該如何充分利用這些鐵板加工成鐵盒，最多可以加工成多少個(gè)鐵盒？【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）如果加工豎式鐵容器與橫式鐵容器各1個(gè)，則共需要長(zhǎng)方形鐵片7張，正方形鐵片3張；（2）設(shè)加工的豎式鐵容器有x個(gè)，橫式鐵容器有y個(gè)，根據(jù)題意得，解得答：豎式鐵容器加工100個(gè)，橫式鐵容器加工538個(gè)；（3）設(shè)做長(zhǎng)方形鐵片的鐵板為m塊，做正方形鐵片的鐵板為n塊，依題意，得：，解得：．∵在這35塊鐵板中，25塊做長(zhǎng)方形鐵片可做25×3＝75（張），9塊做正方形鐵片可做9×4＝36（張），剩下1塊可裁出1張長(zhǎng)方形鐵片和2張正方形鐵片，∴共做長(zhǎng)方形鐵片75+1＝76（張），正方形鐵片36+2＝38（張），∴可做鐵盒76÷4＝19（個(gè)）．答：最多可以加工成19個(gè)鐵盒．20．如圖，欣欣食品加工廠與湖州、杭州兩地有公路、鐵路相連，該食品加工廠從湖州收購(gòu)一批每噸2000元的枇杷運(yùn)回工廠加工，制成每噸8000元的枇杷干運(yùn)到杭州銷售，已知公路運(yùn)價(jià)為0.8元/（噸?千米），鐵路運(yùn)價(jià)為0.5元/（噸?千米），且這次運(yùn)輸共支出公路運(yùn)輸費(fèi)960元，鐵路運(yùn)輸費(fèi)1900元．求：（1）該工廠從湖州購(gòu)買了多少噸枇杷？制成運(yùn)往杭州的枇杷干多少噸？（2）這批枇杷干的銷售款比購(gòu)買枇杷費(fèi)用與運(yùn)輸費(fèi)用的和多多少元？【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）設(shè)該工廠從湖州購(gòu)買了x噸枇杷，制成運(yùn)往杭州的枇杷干y噸，根據(jù)題意得：，解得：．答：該工廠從湖州購(gòu)買了50噸枇杷，制成運(yùn)往杭州的枇杷干20噸．（2）8000×20﹣2000×50﹣960﹣1900＝57140（元）．答：這批枇杷干的銷售款比購(gòu)買枇杷費(fèi)用與運(yùn)輸費(fèi)用的和多57140元．一十二．平行線的性質(zhì)（共12小題）21．【問(wèn)題情景】如圖1，若AB∥CD，∠AEP＝45°，∠PFD＝120°．過(guò)點(diǎn)P作PM∥AB，求∠EPF；【問(wèn)題遷移】如圖2，AB∥CD，點(diǎn)P在AB的上方，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，CD上，連接PE，PF，過(guò)P點(diǎn)作PN∥AB，判斷∠PEA，∠PFC，∠EPF之間滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；【聯(lián)想拓展】如圖3所示，在（2）的條件下，已知∠EPF＝36°，∠PEA的平分線和∠PFC的平分線交于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G作GH∥AB，求∠EGF．【答案】問(wèn)題情境：105°；問(wèn)題遷移：∠PFC＝∠PEA+∠FPE，理由見(jiàn)解答；聯(lián)想拓展：18°．【解答】解：（1）∵AB∥PM，∴∠1＝∠AEP＝45°，∵AB∥CD，∴PM∥CD，∴∠2+∠PFD＝180°，∵∠PFD＝120°，∴∠2＝180°﹣120°＝60°，∴∠1+∠2＝45°+60°＝105°．即∠EPF＝105°；（2）∠PFC＝∠PEA+∠EPF．理由：∵PN∥AB，∴∠PEA＝∠NPE，∵∠FPN＝∠NPE+∠FPE，∴∠FPN＝∠PEA+∠FPE，∵PN∥AB，AB∥CD，∴PN∥CD，∴∠FPN＝∠PFC，∴∠PFC＝∠PEA+∠FPE；（3）∵GH∥AB，AB∥CD，∴GH∥AB∥CD，∴∠HGE＝∠AEG，∠HGF＝∠CFG，又∵∠PEA的平分線和∠PFC的平分線交于點(diǎn)G，∴，由（2）可知，∠CFP＝∠FPE+∠AEP，∴∠HGF＝（∠FPE+∠AEP），∴∠EGF＝∠HGF﹣∠HGE＝（36°+∠AEP）﹣∠HGE＝18°．22．如圖，已知AB∥CD，直線MN交AB于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)N．點(diǎn)E是線段MN上一點(diǎn)，P，Q分別在射線MA，NC上，連接PE，QE，PF平分∠MPE，QF平分∠CQE．（1）如圖1，若PE⊥QE，∠EQN＝63°，則∠MPE＝27°，∠PFQ＝135°；（2）如圖2，求∠PEQ與∠PFQ之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）如圖3，當(dāng)PE⊥QE時(shí)，若∠APE＝150°，∠MND＝110°，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥QF交QF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．將直線MN繞點(diǎn)N順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，速度為每秒6°，直線MN旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)直線為M′N，同時(shí)△FPH繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，速度為每秒12°，△FPH旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)三角形為△F′PH′，當(dāng)直線MN首次落到CD上時(shí)，整個(gè)運(yùn)動(dòng)停止．在此運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，經(jīng)過(guò)t秒后，直線M′N恰好平行于△F′PH′的一條邊，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿足條件的t的值．【答案】（1）27；135；（2）2∠PFQ﹣∠PEQ＝180°；（3）t＝或或或．【解答】解：（1）如圖1，延長(zhǎng)PE交CD于G，設(shè)PE，F(xiàn)Q交于點(diǎn)H，設(shè)∠BPE＝2α，則∠FPE＝∠BPE＝α，∵AB∥CD，∴∠PGQ＝∠BPE＝2α，∵PE⊥QE，∴∠QEH＝QEG＝90°，∴∠EQC＝∠QEG+∠PGQ＝90°+2α，∴∠EQH＝∠EQC＝45°+α，∵∠EQN＝63°，∴∠EGQ＝27°，∴∠BPE＝27°．在△EQH和△PFH中，∵∠HEQ+∠HQE+∠EHQ＝180°，∠FPH+∠FHP+∠PFH＝180°，∠PHF＝∠EHQ，∴∠HEQ+∠HQE＝∠FPH+∠PFH，即：90°+45°+α＝α+∠PFH，∴∠PFH＝135°，故答案為：27；135；（2）如圖1，延長(zhǎng)PE交CD于G，設(shè)PE，F(xiàn)Q交于點(diǎn)H，設(shè)∠BPE＝2α，則∠FPE＝∠BPE＝α，∵AB∥CD，∴∠PGQ＝∠BPE＝2α，∵∠GEQ＝180°﹣∠PEQ，∴∠EQC＝∠QEG+∠PGQ＝180°﹣∠PEQ+2α，∴∠HQE＝∠EQC＝90°+α﹣∠PEQ，在△EQH和△PFH中，∵∠PEQ+∠HQE+∠EHQ＝180°，∠FPH+∠FHP+∠PFH＝180°，∠PHF＝∠EHQ，∴∠PEQ+∠HQE＝∠FPH+∠PFH，即：∠PEQ+90°+α﹣∠PEQ＝α+∠PFQ∴2∠PFQ﹣∠PEQ＝180°；（3）根據(jù)題意，需要分三種情況：如圖3（1），當(dāng)M′N∥PH′時(shí)，12t﹣180°﹣15°＝110°﹣6t，∴；如圖3（2），當(dāng)NM′∥F′H′時(shí)，90﹣（180﹣12t﹣30）＝110﹣6t，∴t＝，如圖3（3），當(dāng)NM′∥PF′時(shí)，110﹣6t＝12t﹣15，∴t＝，如圖3（4），當(dāng)M′N∥PH′時(shí)，360﹣30﹣12t+110﹣6t＝180，∴t＝，如圖3（5），當(dāng)NM′∥F′H′時(shí)，12t﹣180﹣15﹣45＝110﹣6t，∴t＝（舍），如圖3（6），當(dāng)NM′∥PF′時(shí)，30+12t﹣180＝110﹣6t，∴t＝，30﹣15+12t﹣180＝110﹣6t，t＝．綜上所述：t＝或或或．23．已知AB∥CD，點(diǎn)M、N分別是AB、CD上的兩點(diǎn)，點(diǎn)G在AB、CD之間，連接MG、NG．（1）如圖1，若MG⊥NG，求∠BMG+∠DNG的度數(shù)；（2）如圖2，點(diǎn)P是CD下方一點(diǎn)，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP．若∠BMG＝30°，求∠MGN+∠MPN的度數(shù)；（3）如圖3，點(diǎn)E是AB上方一點(diǎn)，連接EM、EN，且GM的延長(zhǎng)線MF平分∠AME，NE平分∠CNG．若∠AME＝50°，則2∠MEN+∠MGN的度數(shù)為105°．【答案】（1）90°；（2）90°；（3）105°．【解答】解：（1）如圖1，過(guò)G作GH∥AB，∵AB∥CD，∴GH∥AB∥CD，∴∠BMG＝∠HGM，∠CNG＝∠HGN，∵M(jìn)G⊥NG，∴∠MGN＝∠MGH+∠NGH＝∠AMG+∠DNG＝90°；（2）如圖2，過(guò)G作GK∥AB，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AB，設(shè)∠GND＝α，∵GK∥AB，AB∥CD，∴GK∥CD，∴∠KGN＝∠GND＝α，∵GK∥AB，∠BMG＝30°，∴∠MGK＝∠BMG＝30°，∵M(jìn)G平分∠BMP，ND平分∠GNP，∴∠GMP＝∠BMG＝30°，∴∠BMP＝60°，∵PQ∥AB，∴∠MPQ＝∠BMP＝60°，∵ND平分∠GNP，∴∠DNP＝∠GND＝α，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠QPN＝∠DNP＝α，∴∠MGN＝30°+α，∠MPN＝60°﹣α，∴∠MGN+∠MPN＝30°+α+60°﹣α＝90°；（3）如圖3，過(guò)G作GK∥AB，過(guò)E作ET∥AB，設(shè)∠AMF＝x，∠GND＝y(tǒng)，∵AB，F(xiàn)G交于M，MF平分∠AME，∴∠FME＝∠FMA＝∠BMG＝25°，∴∠AME＝50°，∵GK∥AB，∴∠MGK＝∠BMG＝25°，∵ET∥AB，∴∠TEM＝∠EMA＝50°，∵CD∥AB∥KG，∴GK∥CD，∴∠KGN＝∠GND＝y(tǒng)，∴∠MGN＝x+y，∵∠CND＝180°，NE平分∠CNG，∴∠CNG＝180°﹣y，∠CNE＝∠CNG＝90°﹣y，∵ET∥AB∥CD，∴ET∥CD，∴∠TEN＝∠CNE＝90°﹣y，∴∠MEN＝∠TEN﹣∠TEM＝90°﹣y﹣2x，∠MGN＝x+y，∵2∠MEN+∠G＝105°，∴2（90°﹣y﹣50）+25+y＝105°．故答案為：105°．24．已知，AB∥CD．點(diǎn)M在AB上，點(diǎn)N在CD上．（1）如圖1中，∠BME、∠E、∠END的數(shù)量關(guān)系為：∠BME＝∠MEN﹣∠END；（不需要證明）如圖2中，∠BMF、∠F、∠FND的數(shù)量關(guān)系為：∠BMF＝∠MFN+∠FND；（不需要證明）（2）如圖3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E+∠F＝180°，求∠FME的度數(shù)；（3）如圖4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，則∠FEQ的大小是否發(fā)生變化，若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由，若不變化，求出∠FEQ的度數(shù)．【答案】（1）∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN+∠FND；（2）∠FME＝120°；（3）∠FEQ的大小沒(méi)發(fā)生變化，∠FEQ＝30°．【解答】解：（1）過(guò)E作EH∥AB，如圖1，∴∠BME＝∠MEH，∵AB∥CD，∴HE∥CD，∴∠END＝∠HEN，∴∠MEN＝∠MEH+∠HEN＝∠BME+∠END，即∠BME＝∠MEN﹣∠END．如圖2，過(guò)F作FH∥AB，∴∠BMF＝∠MFK，∵AB∥CD，∴FH∥CD，∴∠FND＝∠KFN，∴∠MFN＝∠MFK﹣∠KFN＝∠BMF﹣∠FND，即：∠BMF＝∠MFN+∠FND．故答案為∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN+∠FND．（2）由（1）得∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN+∠FND．∵NE平分∠FND，MB平分∠FME，∴∠FME＝∠BME+∠BMF，∠FND＝∠FNE+∠END，∵2∠MEN+∠MFN＝180°，∴2（∠BME+∠END）+∠BMF﹣∠FND＝180°，∴2∠BME+2∠END+∠BMF﹣∠FND＝180°，即2∠BMF+∠FND+∠BMF﹣∠FND＝180°，解得∠BMF＝60°，∴∠FME＝2∠BMF＝120°；（3）∠FEQ的大小沒(méi)發(fā)生變化，∠FEQ＝30°．由（1）知：∠MEN＝∠BME+∠END，∵EF平分∠MEN，NP平分∠END，∴∠FEN＝∠MEN＝（∠BME+∠END），∠ENP＝∠END，∵EQ∥NP，∴∠NEQ＝∠ENP，∴∠FEQ＝∠FEN﹣∠NEQ＝（∠BME+∠END）﹣∠END＝∠BME，∵∠BME＝60°，∴∠FEQ＝×60°＝30°．25．如圖，已知直線AB∥CD．（1）在圖1中，點(diǎn)E在直線AB上，點(diǎn)F在直線CD上，點(diǎn)G在AB、CD之間，若∠1＝30°，∠3＝75°，則∠2＝45°；（2）如圖2，若FN平分∠CFG，延長(zhǎng)GE交FN于點(diǎn)M，EM平分∠AEN，當(dāng)∠N+∠FGE＝54°時(shí)，求∠AEN的度數(shù)；（3）如圖3，直線MF平分∠CFG，直線NE平分∠AEG相交于點(diǎn)H，試猜想∠G與∠H的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）如圖1所示，過(guò)G作GH∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥GH，∴∠1＝∠EGH，∠2＝∠FGH，∴∠1+∠2＝∠EGF，即30°+∠2＝75°，∴∠2＝45°，故答案為：45°；（2）∵FN平分∠CFG，EM平分∠AEN，∴可設(shè)∠AEM＝∠NEM＝α，∠CFN＝∠GFN＝β，如圖2所示，過(guò)G作GP∥CD，過(guò)N作NQ∥AB，∵AB∥CD，∴NQ∥AB∥CD∥PG，∴∠QNF＝∠CFN＝β，∠QNE＝∠AEN＝2α，∠PGE＝∠AEM＝α，∠PGF＝∠DFG＝180°﹣2β，∴∠FNE＝∠QNF﹣∠QNE＝β﹣2α，∠FGE＝∠PGE+∠PGF＝α+180°﹣2β，又∵∠FNE+∠FGE＝54°，∴β﹣2α+（α+180°﹣2β）＝54°，∴α＝24°，∴∠AEN＝2α＝48°；（3）猜想：∠G＝2∠H．理由：∵M(jìn)F平分∠CFG，NE平分∠AEG，∴可設(shè)∠AEN＝∠NEG＝α，∠CFM＝∠GFM＝β，如圖3所示，過(guò)H作HP∥CD，過(guò)G作GQ∥AB，∵AB∥CD，∴GQ∥AB∥CD∥PH，∴∠QGE＝∠AEG＝2α，∠QGF＝∠CFG＝2β，∠PHM＝∠CFM＝β，∠PHN＝∠AEN＝α，∴∠EGF＝∠QGE﹣∠QGF＝2α﹣2β，∠EHF＝∠PHN﹣∠PHM＝α﹣β，∴∠EGF＝2∠EHF．26．如圖，AD∥BC，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)G，∠BCD＝90°．（1）試說(shuō)明：∠BAG＝∠BGA；（2）如圖1，點(diǎn)F在AG的反向延長(zhǎng)線上，連接CF交AD于點(diǎn)E，若∠BAG﹣∠F＝45°，求證：CF平分∠BCD．（3）如圖2，線段AG上有點(diǎn)P，滿足∠ABP＝3∠PBG，過(guò)點(diǎn)C作CH∥AG．若在直線AG上取一點(diǎn)M，使∠PBM＝∠DCH，求的值．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】（1）證明：∵AD∥BC，∴∠GAD＝∠BGA，∵AG平分∠BAD，∴∠BAG＝∠GAD∴∠BAG＝∠BGA；（2）解：∵∠BGA＝∠F+∠BCF，∴∠BGA﹣∠F＝∠BCF，∵∠BAG＝∠BGA，∴∠∠BAG﹣∠F＝∠BCF，∵∠BAG﹣∠F＝45°，∴∠BCF＝45°，∵∠BCD＝90°，∴CF平分∠BCD；（3）解：有兩種情況：①當(dāng)M在BP的下方時(shí)，如圖5，設(shè)∠ABC＝4x，∵∠ABP＝3∠PBG，∴∠ABP＝3x，∠PBG＝x，∵AG∥CH，∴∠BCH＝∠AGB＝＝90°﹣2x，∵∠BCD＝90°，∴∠DCH＝∠PBM＝90°﹣（90°﹣2x）＝2x，∴∠ABM＝∠ABP+∠PBM＝3x+2x＝5x，∠GBM＝2x﹣x＝x，∴∠ABM：∠GBM＝5x：x＝5；②當(dāng)M在BP的上方時(shí)，如圖6，同理得：∠ABM＝∠ABP﹣∠PBM＝3x﹣2x＝x，∠GBM＝2x+x＝3x，∴∠ABM：∠GBM＝x：3x＝．綜上，的值是5或．27．如圖，MN∥OP，點(diǎn)A為直線MN上一定點(diǎn)，B為直線OP上的動(dòng)點(diǎn)，在直線MN與OP之間且在線段AB的右方作點(diǎn)D，使得AD⊥BD．設(shè)∠DAB＝α（α為銳角）．（1）求∠NAD與∠PBD的和；（提示過(guò)點(diǎn)D作EF∥MN）（2）當(dāng)點(diǎn)B在直線OP上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試說(shuō)明∠OBD﹣∠NAD＝90°；（3）當(dāng)點(diǎn)B在直線OP上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，若AD平分∠NAB，AB也恰好平分∠OBD，請(qǐng)求出此時(shí)α的值【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)D作EF∥MN，則∠NAD＝∠ADE．∵M(jìn)N∥OP，EF∥MN，∴EF∥OP．∴∠PBD＝∠BDE，∴∠NAD+∠PBD＝∠ADE+∠BDE＝∠ADB．∵AD⊥BD，∴∠ADB＝90°，∴∠NAD+∠PBD＝90°．（2）由（1）得：∠NAD+∠PBD＝90°，則∠NAD＝90°﹣∠PBD．∵∠OBD+∠PBD＝180°，∴∠OBD＝180°﹣∠PBD，∴∠OBD﹣∠NAD＝（180°﹣∠PBD）﹣（90°﹣∠PBD）＝90°．（3）若AD平分∠NAB，AB也恰好平分∠OBD，則有∠NAD＝∠BAD＝α，∠NAB＝2∠BAD＝2α，∠OBD＝2∠OBA．∵OP∥MN，∴∠OBA＝∠NAB＝2α，∴∠OBD＝4α．由（2）知：∠OBD﹣∠NAD＝90°，則4α﹣α＝90°，解得：α＝30°．28．已知ABCD為四邊形，點(diǎn)E為邊AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)．【探究】：（1）如圖1，∠ADC＝110°，∠BCD＝120°，∠DAB和∠CBE的平分線交于點(diǎn)F，則∠AFB＝25°；（2）如圖2，∠ADC＝α，∠BCD＝β，且α+β＞180°，∠DAB和∠CBE的平分線交于點(diǎn)F，則∠AFB＝；（用α，β表示）（3）如圖3，∠ADC＝α，∠BCD＝β，當(dāng)∠DAB和∠CBE的平分線AG，BH平行時(shí)，α，β應(yīng)該滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論；【挑戰(zhàn)】：如果將（2）中的條件α+β＞180°改為α+β＜180°，再分別作∠DAB和∠CBE的平分線，若兩平分線所在的直線交于點(diǎn)F，則∠AFB與α，β有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)畫(huà)出圖形并直接寫(xiě)出結(jié)論．【答案】（1）25°；（2）；（3）若AG∥BH，則α+β＝180°；90°﹣．【解答】解：（1）如圖1．∵BF平分∠CBE，AF平分∠DAB，∴∠FBE＝∠CBE，∠FAB＝∠DAB．∵∠D+∠DCB+∠DAB+∠ABC＝360°，∴∠DAB+∠ABC＝360°﹣∠D﹣∠DCB＝360°﹣120°﹣110°＝130°．又∵∠F+∠FAB＝∠FBE，∴∠F＝∠FBE﹣∠FAB＝＝＝（180°﹣130°）＝25°；（2）如圖2．由（1）得：∠AFB＝，∠DAB+∠ABC＝360°﹣∠D﹣∠DCB．∴∠AFB＝＝．（3）若AG∥BH，則α+β＝180°．證明：如圖3．若AG∥BH，則∠GAB＝∠HBE．∵AG平分∠DAB，BH平分∠CBE，∴∠DAB＝2∠GAB，∠CBE＝2∠HBE．∴∠DAB＝∠CBE．∴AD∥BC．∴∠DAB+∠DBC＝α+β＝180°．挑戰(zhàn)：如圖4．∵AM平分∠DAB，BN平分∠CBE，∴∠BAM＝，．∵∠D+∠DAB+∠ABC+∠BCD＝360°，∴∠DAB+∠ABC＝360°﹣∠D﹣BCD＝360°﹣α﹣β．∴∠DAB+180°﹣∠CBE＝360°﹣α﹣β．∴∠DAB﹣∠CBE＝180°﹣α﹣β．∵∠ABF與∠NBE是對(duì)頂角，∴∠ABF＝∠NBE．又∵∠F+∠ABF＝∠MAB，∴∠F＝∠MAB﹣∠ABF．∴∠F＝＝＝90°﹣．29．（1）如圖1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC度數(shù)；（2）如圖2，AD∥BC，點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）在（2）的條件下，如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、O三點(diǎn)不重合），請(qǐng)你寫(xiě)出∠CPD、∠α、∠β間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】（1）∠APC＝110°．（2）∠CPD＝∠α+∠β．（3）當(dāng)P在A的左側(cè)時(shí)，∠CPD＝∠β﹣∠α；當(dāng)P在B的右側(cè)時(shí)，∠CPD＝∠α﹣∠β．【解答】解：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)P作GH∥AB．∴∠BAP+∠APH＝180°．∴∠APH＝180°﹣∠BAP＝180°﹣130°＝50°∵AB∥CD，GH∥AB．∴CD∥GH．∴∠PCD+∠HPC＝180°．∴∠HPC＝180°﹣∠PCD＝180°﹣120°＝60°．∴∠APC＝∠HPC+∠APH＝60°+50°＝110°．（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)P作EF∥AD．∴∠ADP＝∠DPF，即∠α＝∠DPF．∵EF∥AD，AD∥BC，∴EF∥BC．∴∠FPC＝∠PCB，即∠FPC＝∠β．∴∠CPD＝∠DPF+∠CPF＝∠α+∠β．∴∠CPD＝∠α+∠β．（3）當(dāng)P在A的左側(cè)，如圖3．∵AD∥BC，∴∠DKC＝∠BCP＝∠β．又∵∠DKC＝∠CPD+∠ADP，∴∠β＝∠CPD+∠α，即∠CPD＝∠β﹣∠α．當(dāng)P在B的右側(cè)，如圖4．∵AD∥BC，∴∠ADP＝∠DQC＝∠α．又∵∠DQC＝∠CPD+∠BCP，∴∠α＝∠CPD+∠β．∴∠CPD＝∠α﹣∠β．30．如圖，直線AC∥BD，連接AB，直線AC、BD及線段AB把平面分成①、②、③、④四個(gè)部分，規(guī)定：線上各點(diǎn)不屬于任何部分．當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在某個(gè)部分時(shí)，連接PA、PB，構(gòu)成∠PAV、∠APB、∠PBD三個(gè)角．（1）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第①部分時(shí)，如圖1，求證：∠APB＝∠PAC+∠PBD；（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第②部分時(shí)，∠APB＝∠PAC+∠PBD是否成立？在圖2中畫(huà)出圖形，若成立，寫(xiě)出推理過(guò)程，若不成立，直線寫(xiě)出這三個(gè)角之間的關(guān)系；（3）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第③部分時(shí)，延長(zhǎng)BA，點(diǎn)P在射線BA的左側(cè)和右側(cè)時(shí)，分別探究∠PAC、∠APB、∠PBD之間關(guān)系，在圖3中畫(huà)出圖形，并直接寫(xiě)出相應(yīng)的結(jié)論．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）延長(zhǎng)AP交BD于M，如圖1，∵AC∥BD，∴∠PAC＝∠AMB，∵∠APB＝∠AMB+∠PBD，∴∠APB＝∠PAC+∠PBD．（2）∠APB＝∠PAC+∠PBD不成立，如圖2，理由是：過(guò)P作EF∥AC，∵AC∥BD，∴AC∥EF∥BD，∴∠PAC+∠APF＝180°，∠PBD+∠BPF＝180°，∴∠PAC+∠APF+∠PBD+∠BPF＝360°，∴∠APB+∠PAC+∠PBD＝360°，∴∠APB＝360°﹣∠PAC﹣∠PBD，∵∠APB≠180°，∴∠APB＝∠PAC+∠PBD不成立．（3）①當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在射線BA的右側(cè)時(shí)，如圖3，結(jié)論是∠PBD＝∠PAC+∠APB，理由是：∵AC∥BD，∴∠PMC＝∠PBD，∵∠PMC＝∠PAC+∠APB，∴∠PBD＝∠PAC+∠APB．②當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在射線BA上時(shí)，如圖4，結(jié)論是：∠PBD＝∠PAC+∠APB（或∠PAC＝∠PBD+∠APB或∠APB＝0°），理由是：∵AC∥BD，∴∠PAC＝∠PBD，∵∠APB＝0°，∴∠PBD＝∠PAC+∠APB或∠PAC＝∠PBD+∠APB．③當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在射線BA的左側(cè)時(shí)，如圖5，結(jié)論是：∠PAC＝∠APB+∠PBD，理由是：∵AC∥BD，∴∠PMC＝∠PBD，∵∠PAC＝∠APB+∠PMC，∴∠PAC＝∠APB+∠PBD．31．已知：如圖，直線PQ∥MN，點(diǎn)C是PQ，MN之間（不在直線PQ，MN上）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）若∠1與∠2都是銳角，如圖1，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠C與∠1，∠2之間的數(shù)量關(guān)系．（2）若小明把一塊三角板（∠A＝30°，∠C＝90°）如圖2放置，點(diǎn)D，E，F(xiàn)是三角板的邊與平行線的交點(diǎn)，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的度數(shù)．（3）將圖2中的三角板進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖3，直角頂點(diǎn)C始終在兩條平行線之間，點(diǎn)G在線段CD上，連接EG，且有∠CEG＝∠CEM，給出下列兩個(gè)結(jié)論：①的值不變；②∠GEN﹣∠BDF的值不變．其中只有一個(gè)是正確的，你認(rèn)為哪個(gè)是正確的？并求出不變的值是多少．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∠C＝∠1+∠2．理由：如圖1，過(guò)C作CD∥PQ，∵PQ∥MN，∴CD∥MN，∴∠1＝∠ACD，∠2＝∠BCD，∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝∠1+∠2．（2）∵∠AEN＝∠A＝30°，∴∠MEC＝30°，由（1）可得，∠C＝∠MEC+∠PDC＝90°，∴∠PDC＝90°﹣∠MEC＝60°，∴∠BDF＝∠PDC＝60°；（3）結(jié)論①的值不變是正確的，設(shè)∠CEG＝∠CEM＝x，則∠GEN＝180°﹣2x，由（1）可得，∠C＝∠CEM+∠CDP，∴∠CDP＝90°﹣∠CEM＝90°﹣x，∴∠BDF＝90°﹣x，∴＝＝2（定值），即的值不變，值為2．32．如圖1，AD∥BC，DE平分∠ADB，∠BDC＝∠BCD．（1）求證：∠DEC+∠ECD＝90°；（2）如圖2，BF平分∠ABD交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若∠ABC＝100°，求∠F的大??；（3）如圖3，若H是BC上一動(dòng)點(diǎn)，K是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，KH交BD于點(diǎn)M，交AD于點(diǎn)O，KG平分∠BKH，交DE于點(diǎn)N，交BC于點(diǎn)G，當(dāng)點(diǎn)H在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不與點(diǎn)B重合），求的值．【答案】（1）證明見(jiàn)解答；（2）∠F＝40°；（3）2．【解答】（1）證明：如圖1，∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD＝180°，即∠BCD+∠BDC+∠ADB＝180°，∵DE平分∠ADB，∴∠ADB＝2∠EDB，∵∠BDC＝∠BCD，∴2（∠BDC+∠EDB）＝180°，∴∠BDC+∠EDB＝90°，即∠CDE＝90°，∴∠DEC+∠ECD＝90°；（2）解：如圖2，∵BF平分∠ABD，∴∠ABF＝∠DBF，設(shè)∠ABF＝∠DBF＝α，∵∠ABC＝100°，∴∠CBD＝100°﹣2α，∵∠BDC＝∠BCD，∴∠BDC＝∠BCD＝（180°﹣∠CBD）＝40°+α，∵∠BDC＝∠F+∠DBF，∴∠F＝∠BDC﹣∠DBF＝40°+α﹣α＝40°；（3）解：在△BMK中，∠BMK＝∠DMH＝180°﹣∠ABD﹣∠BKH，又∵∠BAD＝180°﹣（∠ABD+∠ADB），∴∠DMH+∠BAD＝（180°﹣∠ABD﹣∠BKH）+（180°﹣∠ABD﹣∠ADB）＝360°﹣∠BKH﹣2∠ABD﹣∠ADB＝2[180°﹣（∠BKH+∠ADB）﹣∠ABD]，∵KG平分∠BKH，DE平分∠ADB，∴∠BKG＝∠BKH，∠BDE＝∠ADB，∴∠DNG＝∠KNE＝180°﹣∠BKG﹣∠AED＝180°﹣∠BKH﹣∠ABD﹣∠BDE＝180°﹣（∠BKH+∠ADB）﹣∠ABD，∴＝＝2．一十三．平行線的判定與性質(zhì)（共11小題）33．如圖1，已知兩條直線AB，CD被直線EF所截，分別交于點(diǎn)E，點(diǎn)F，EM平∠AEF交CD于點(diǎn)M，且∠FEM＝∠FME．（1）判斷直線AB與直線CD是否平行，并說(shuō)明理由；（2）如圖2，點(diǎn)G是射線MD上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)M，F(xiàn)重合），EH平分∠FEG交CD于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)H作HN⊥EM于點(diǎn)N，設(shè)∠EHN＝α，∠EGF＝β．①當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F的右側(cè)時(shí)，若α＝30°，求β的度數(shù)；②當(dāng)點(diǎn)G在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，α和β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，并加以證明．【答案】（1）AB∥CD，理由見(jiàn)解析；（2）①β＝60°；②當(dāng)點(diǎn)G在F的右側(cè)時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)G在F的左側(cè)時(shí)，．【解答】解：（1）結(jié)論：AB∥CD．理由：如圖1中，∵EM平分∠AEF交CD于點(diǎn)M，∴∠AEM＝∠MEF，∵∠FEM＝∠FME．∴∠AEM＝∠FME，∴AB∥CD．（2）①如圖2中，∵HN⊥EM，∴∠HNE＝90°，∵α＝30°，∴∠EHN＝90°﹣∠HEN＝30°．∴∠HEN＝60°，∵EH平分∠FEG，∴∠HEF＝∠HEG，∵∠AEM＝∠EMF，∴，∴∠AEG＝120°，則∠GEB＝60°，∵AB∥CD，∴∠BEG＝∠EGH＝β＝60°；②猜想：或，理由：1）當(dāng)點(diǎn)G在F的右側(cè)時(shí)，如圖2，∵AB∥CD，∴∠BEG＝∠EGH＝β，∴∠AEG＝180°﹣β，∵∠AEM＝∠EMF，∠HEF＝∠HEG，∴，∵HN⊥EM，∴∠HNE＝90°，∴．（2）當(dāng)點(diǎn)G在F的左側(cè)時(shí)，∵AB∥CD，∴∠BEG＝180°﹣∠EGH＝180°﹣β，∠AEG＝∠EGH＝β，∵∠AEM＝∠EMF，∠HEF＝∠HEG，∴∠HEN＝∠MEF﹣∠HEF＝，∵HN⊥EM，∴∠HNE＝90°，∴α＝∠EHN＝90°﹣∠HEN＝90°﹣．綜上所述，或．34．如圖甲所示，已知點(diǎn)E在直線AB上，點(diǎn)F，G在直線CD上，且∠GEF＝∠EFG，EF平分∠AEG．（1）判斷直線AB與直線CD是否平行，并說(shuō)明理由．（2）如圖乙所示，H是AB上點(diǎn)E右側(cè)一動(dòng)點(diǎn)，∠EGH的平分線GQ交FE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，①若∠EHG＝90°，∠QGE＝20°，求∠Q的值．②設(shè)∠Q＝α，∠EHG＝β．點(diǎn)H在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，寫(xiě)出α和β的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由．【答案】（1）AB∥CD，見(jiàn)解答過(guò)程；（2）①45°；②α＝β．【解答】解：（1）AB∥CD，理由如下：∵EF平分∠AEG，∴∠AEF＝∠GEF，又∵∠EFG＝∠FEG，∴∠AEF＝∠GFE，∴AB∥CD；（2）①∵∠QGE＝20°，GQ平分∠EGH，∴∠EGH＝2∠QGE＝40°，∵∠EHG＝90°，∴∠HEG＝50°，∴∠AEG＝180°﹣∠HEG＝130°，∵EF平分∠AEG，∴∠FEG＝65°，∴∠Q＝∠FEG﹣∠QGE＝65°﹣20°＝45°；②點(diǎn)H在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，α和β的數(shù)量關(guān)系不發(fā)生變化，∵∠FEG是△EGQ的外角，∠AEG是△EGH的外角，∴∠Q＝∠FEG﹣∠EGQ，∠EHG＝∠AEG﹣∠EGH，又∵FE平分∠AEG，GQ平分∠EGH，∴∠FEG＝∠AEG，∠EGQ＝∠EGH，∴∠Q＝∠FEG﹣∠EGQ＝（∠AEG﹣∠EGH）＝∠EHG，即α＝β．35．如圖1，為了安全起見(jiàn)在某段鐵路兩旁安置了兩座可旋轉(zhuǎn)探照燈．燈A射線AC從AM開(kāi)始．以每秒2度的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線BD從BP開(kāi)始，以每秒1度的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視．主道路是平行的即PQ∥MN，∠BAM：∠BAN＝2：1．（1）填空：∠BAM＝120°；（2）若燈B射線先轉(zhuǎn)動(dòng)10秒，燈A射線才開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈B射線到達(dá)BQ之前，A燈轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒．兩燈的光束互相平行（如圖2，3）？（3）若兩燈同時(shí)開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，兩燈射出的光束交于點(diǎn)C，則在燈B射線到達(dá)BQ之前，A燈轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒時(shí)，∠ACB＝120°．【答案】（1）120°；（2）A燈轉(zhuǎn)動(dòng)10秒或秒，兩燈的光束互相平行；（3）在燈B射線到達(dá)BQ之前，兩燈轉(zhuǎn)動(dòng)140秒或100秒．【解答】解：（1）∵∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝2：1，∴∠BAN＝180°×＝60°，∠BAM＝×180°＝120°故答案為：120°；（2）設(shè)燈A轉(zhuǎn)動(dòng)t秒（0≤t≤170），①如圖2，若AC∥BD，則∠CAB＝∠DBA，又∵QP∥MN，∴∠PBA＝∠MAB，∴∠PBA﹣∠DBA＝∠MAB﹣∠CAB，∴∠CAM＝∠PBD，∴2t＝t+10，∴t＝10；②如圖3，若AC∥BD，則∠CAB＝∠DBA，又∵QP∥MN，∴∠PBA＝∠MAB，∴∠PBA+∠DBA＝∠MAB+∠CAB，∴∠CAM＝∠PBD，∴2t＝t+10或360﹣2t＝t+10，∴t＝10或t＝；綜上，A燈轉(zhuǎn)動(dòng)10秒或秒，兩燈的光束互相平行；（3）設(shè)燈A射線轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為t秒，∵∠CAN＝180°﹣2t，∴∠CBP＝t，又∵∠ACB＝120°∴∠ACB＝∠CAN+∠CBP＝120°＝180°﹣2t+t，解得：t＝60，此時(shí)A射燈找到點(diǎn)B，不符合題意，或120＝2t﹣180+t，解得t＝100，如圖4，當(dāng)∠ACB＝120°時(shí)，∵∠ACB＝∠MAC+∠QBC，∴120°＝360°﹣2t+180°﹣t，∴t＝140，綜上所述，在燈B射線到達(dá)BQ之前，兩燈轉(zhuǎn)動(dòng)140秒或100秒．36．實(shí)驗(yàn)證明，平面鏡反射光線的規(guī)律是：射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的銳角相等．如圖1，一束光線m射到平面鏡a上，被a反射后的光線為n，則入射光線m、反射光線n與平面鏡a所夾的銳角∠1＝∠2．（1）如圖2，一束光線m射到平面鏡a上，被a反射到平面鏡b上，又被b反射．若被b反射出的光線n與光線m平行，且∠1＝50°，則∠2＝100°，∠3＝90°．（2）請(qǐng)你猜想：當(dāng)射到平面鏡a上的光線m，經(jīng)過(guò)平面鏡a、b的兩次反射后，入射光線m與反射光線n平行時(shí)，兩平面鏡a、b間的夾角∠3的大小是否為定值？若是定值，請(qǐng)求出∠3，若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）如圖3，兩面鏡子的夾角為α°（0＜α＜90），進(jìn)入光線與離開(kāi)光線的夾角為β°（0＜β＜90）．試探索α與β的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】（1）100；90；（2）90°；（3）2α+β＝180°．【解答】解：（1）如圖：∵∠1＝∠4＝50°，∴∠5＝180°﹣2×50°＝80°，∵m∥n，∴∠2+∠5＝180°，∴∠2＝100°，∴∠6＝（180°﹣∠2）＝40°，∴∠3＝180°﹣∠4﹣∠6＝90°；故答案為：100，90；（2）當(dāng)∠3＝90°時(shí)，m∥n，理由如下：∵∠3＝90°，∴∠4+∠6＝90°，∴2∠4+2∠6＝180°，∴∠2+∠5＝180°，∴m∥n；（3）解：如圖3，由（1）可得，∠5＝180°﹣2∠2，∠6＝180°﹣2∠3，∵∠2+∠3＝180°﹣∠α，∴∠β＝180°﹣∠5﹣∠6＝2（∠2+∠3）﹣180°＝2（180°﹣∠α）﹣180°＝180°﹣2∠α，∴α與β的數(shù)量關(guān)系為：2α+β＝180°，故答案為：2α+β＝180°．37．已知：如圖，BC∥OA，∠B＝∠A＝100°，試回答下列問(wèn)題：（1）如圖①所示，求證：OB∥AC．（注意證明過(guò)程要寫(xiě)依據(jù)）（2）如圖②，若點(diǎn)E、F在BC上，且滿足∠FOC＝∠AOC，并且OE平分∠BOF．（?。┣蟆螮OC的度數(shù)；（ⅱ）求∠OCB：∠OFB的比值；（ⅲ）如圖③，若∠OEB＝∠OCA．此時(shí)∠OCA度數(shù)等于60°．（在橫線上填上答案即可）【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵BC∥OA，∴∠B+∠O＝180°，（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）∵∠A＝∠B，∴∠A+∠O＝180°，（等量代換）∴OB∥AC．（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）（2）（?。摺螦＝∠B＝100°，由（1）得∠BOA＝180°﹣∠B＝80°；∵∠FOC＝∠AOC，并且OE平分∠BOF，∴∠EOF＝∠BOF，∠FOC＝∠FOA，∴∠EOC＝∠EOF+∠FOC＝（∠BOF+∠FOA）＝∠BOA＝40°．（ⅱ）∵BC∥OA，∴∠FCO＝∠COA，又∵∠FOC＝∠AOC，∴∠FOC＝∠FCO，∴∠OFB＝∠FOC+∠FCO＝2∠OCB，∴∠OCB：∠OFB＝1：2．（ⅲ）∵OB∥AC，∴∠OCA＝∠BOC，設(shè)∠BOE＝∠EOF＝α，∠FOC＝∠COA＝β，∴∠OCA＝∠BOC＝2α+β，∠OEB＝∠EOC+∠ECO＝α+β+β＝α+2β，∵∠OEB＝∠OCA，∴2α+β＝α+2β，∴α＝β，∵∠AOB＝80°，∴α＝β＝20°，∴∠OCA＝2α+β＝40°+20°＝60°．故答案為：60°．38．如圖，AD，BC相交于點(diǎn)O，∠MCD＝∠BCM＝α，∠B＝4α．（1）求證：AB∥CD；（2）若∠A＝∠B，求∠BOD的度數(shù)；（用含α的式子表示）（3）若點(diǎn)E在AB上，連接OE，EP平分∠OEB交CM于點(diǎn)P，如備用圖所示，求證：∠COE＝2∠EPC+∠B．【答案】（1）AB∥CD，（2）∠BOD＝7α，（3）∠COE＝2∠EPC+∠B．【解答】證明：（1）∵∠MCD＝∠BCM＝α，∴∠BCM＝3α，∴∠BCD＝∠BCM+∠MCD＝4α＝∠B，∴AB∥CD．解：（2）過(guò)O做OF，使OF∥AB∥CD∵AB∥CD，∴∠D＝∠A＝∠B＝3α，∵AB∥OF，∴∠B＝∠BOF，CD∥OF，∴∠FOD＝∠D，∠BOD＝∠BOF+∠FOD＝∠B+∠D＝4α+3α＝7α．證明：（3）過(guò)點(diǎn)P作AB、CD的平行線PQ，∵AB∥PQ∥CD，∴∠QPC＝∠PCD＝α，∴∠BEP＝∠EPQ＝∠OEB，∵∠COE＝∠OEP+∠ENO，且∠ENO＝∠B+∠BEN＝∠BNP，∴∠COE＝∠B+∠BEN+∠OEP＝∠B+∠OEB，又∵EP平分∠OEB，∴∠COE＝2∠EPC+∠B．39．如圖1，點(diǎn)A、B分別在直線GH、MN上，∠GAC＝∠NBD，∠C＝∠D．（1）求證：GH∥MN；（2）如圖2，AE平分∠GAC，DE平分∠BDC，若∠AED＝∠GAC，求∠GAC與∠ACD之間的數(shù)量關(guān)系；（3）在（2）的條件下，如圖3，BF平分∠DBM，點(diǎn)K在射線BF上，∠KAG＝∠GAC，若∠AKB＝∠ACD，直接寫(xiě)出∠GAC的度數(shù)．【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)解答；（2）∠ACD＝3∠GAC；（3）或（）°．【解答】解：（1）如圖1，延長(zhǎng)AC交MN于點(diǎn)P，∵∠ACD＝∠D，∴AP∥BD，∴∠NBD＝∠NPA，∵∠GAC＝∠NBD，∴∠GAC＝∠NPA，∴GH∥MN；（2）延長(zhǎng)AC交MN于點(diǎn)P，交DE于點(diǎn)Q，∵∠E+∠EAQ+∠AQE＝180°，∠EQA+∠AQD＝180°，∴∠AQD＝∠E+∠EAQ，∵AC∥BD，∴∠AQD＝∠BDQ，∴∠BDQ＝∠E+∠EAQ，∵AE平分∠GAC，DE平分∠BDC，∴∠GAC＝2∠EAQ，∠CDB＝2∠BDQ，∴∠CDB＝2∠E+∠GAC，∵∠AED＝∠GAC，∠ACD＝∠CDB，∴∠ACD＝2∠GAC+∠GAC＝3∠GAC；（3）當(dāng)K在直線GH下方時(shí)，設(shè)射線BF交GH于I，∵GH∥MN，∴∠AIB＝∠FBM，∵BF平分∠MBD，∴∠DBF＝∠FBM＝，∴∠AIB＝∠DBF，∵∠AIB+∠KAG＝∠AKB，∠AKB＝∠ACD，∴∠ACD＝∠DBF+∠KAG，∵∠KAG＝∠GAC，∠GAC＝∠NBD，∴∠GAC+＝∠ACD＝3∠GAC，即∠GAC+∠GAC＝3∠GAC，解得∠GAC＝．當(dāng)K在直線GH上方時(shí)，同法可得∠GAC＝（）°．故答案為或（）°．40．如圖，點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作射線OC，使∠AOC：∠BOC＝1：2，將一直角三角尺的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方，其中∠OMN＝30°．（1）將圖1中的三角尺繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2，使一邊OM在∠BOC的內(nèi)部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度數(shù)；（2）將圖1中的三角尺繞點(diǎn)O按每秒10°的速度沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，在第9或27秒時(shí)，邊MN恰好與射線OC平行；在第0或18或36秒時(shí)，邊MN恰好與射線OC垂直．（直接寫(xiě)出結(jié)果）；（3）將圖1中的三角尺繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖3，使ON在∠AOC的內(nèi)部，請(qǐng)?zhí)骄俊螦OM與∠NOC之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵∠AOC＝60°，∴∠BOC＝120°，又∵OM平分∠BOC，∴∠COM＝∠BOC＝60°，∴∠CON＝∠COM+90°＝150°；（2）∵∠OMN＝30°，∴∠N＝90°﹣30°＝60°，∵∠AOC＝60°，∴當(dāng)ON在直線AB上時(shí)，MN∥OC，此時(shí)旋轉(zhuǎn)角為90°或270°，∵每秒順時(shí)針旋轉(zhuǎn)10°，∴時(shí)間為9或27，∵當(dāng)ON⊥AB時(shí)，MN⊥OC，此時(shí)旋轉(zhuǎn)角為0°或180°或360°，∵每秒順時(shí)針旋轉(zhuǎn)10°，∴時(shí)間為0或18或36；故答案為：9或27；0或18或36．（3）∵∠MON＝90°，∠AOC＝60°，∴∠AON＝90°﹣∠AOM，∠AON＝60°﹣∠NOC，∴90°﹣∠AOM＝60°﹣∠NOC，∴∠AOM﹣∠NOC＝30°，故∠AOM與∠NOC之間的數(shù)量關(guān)系為：∠AOM﹣∠NOC＝30°．41．探索發(fā)現(xiàn)：如圖是一種網(wǎng)紅彈弓的實(shí)物圖，在兩頭上系上皮筋，拉動(dòng)皮筋可形成平面示意圖如圖1圖2，彈弓的兩邊可看成是平行的，即AB∥CD．各活動(dòng)小組探索∠APC與∠A，∠C之間的數(shù)量關(guān)系．已知AB∥CD，點(diǎn)P不在直線AB和直線CD上，在圖1中，智慧小組發(fā)現(xiàn)：∠APC＝∠A+∠C．智慧小組是這樣思考的：過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AB，……．（1）填空：過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AB．∴∠APQ＝∠A，∵PQ∥AB，AB∥CD，∴PQ∥CD（平行于同一直線的兩直線平行），∴∠CPQ＝∠C，∴∠APO+∠CPQ＝∠A+∠C，即∠APC＝∠A+∠C．（2）在圖2中，猜測(cè)∠APC與∠A，∠C之間的數(shù)量關(guān)系，并完成證明．（3）善思小組提出：①如圖3，已知AB∥CD，則角α、β、γ之間的數(shù)量關(guān)系為α+β﹣γ＝180°.（直接填空）②如圖4，AB∥CD，AF，CF分別平分∠BAP，∠DCP．則∠AFC與∠APC之間的數(shù)量關(guān)系為∠AFC＝∠APC．（直接填空）【答案】（1）平行于同一直線的兩直線平行；（2）∠APC+∠A+∠C＝360°，證明過(guò)程見(jiàn)解答；（3）①α+β﹣γ＝180°，理由見(jiàn)答案；②∠AFC＝∠APC，證明過(guò)程見(jiàn)解答．【解答】解：（1）填空：過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AB．∴∠APQ＝∠A，∵PQ∥AB，AB∥CD，∴PQ∥CD（平行于同一直線的兩直線平行），∴∠CPQ＝∠C，∴∠APQ+∠CPQ＝∠A+∠C，即∠APC＝∠A+∠C．故答案為：平行于同一直線的兩直線平行；（2）∠APC+∠A+∠C＝360°；證明：過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AB，延長(zhǎng)BA到M，延長(zhǎng)DC到N，如圖2所示：∴∠APQ＝∠PAM，∵PQ∥AB，AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠APQ＝∠PCN，∴∠APQ+∠CPQ+∠PAB+∠PCD＝180°+180°＝360°，∴∠APC+∠A+∠C＝360°；（3）①α+β﹣γ＝180°；理由如下：過(guò)點(diǎn)M作MQ∥AB，如圖3所示：∴α+∠QMA＝180°，∵M(jìn)Q∥AB，AB∥CD，∴MQ∥CD，∴∠QMD＝γ，∵∠QMA+∠QMD＝β，∴α+β﹣γ＝180°，故答案為：α+β﹣γ＝180°；②∠AFC＝∠APC；證明：過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AB，過(guò)點(diǎn)F作FM∥AB，如圖4所示：∴∠APQ＝∠BAP，∠AFM＝∠BAF，∵AF平分∠BAP，∴∠BAF＝∠PAF，∴∠AFM＝∠BAP，∵PQ∥AB，F(xiàn)M∥AB，AB∥CD，∴PQ∥CD，F(xiàn)M∥CD，∴∠CPQ＝∠DCP，∠CFM＝∠DCF，∵CF平分∠DCP，∴∠DCF＝∠PCF，∴∠CFM＝∠DCP，∴∠APC＝∠BAP+∠DCP，∠AFC＝∠BAP+∠DCP＝（∠BAP+∠DCP），∴∠AFC＝∠APC．故答案為：∠AFC＝∠APC．42．已知：AB∥CD，E、G是AB上的點(diǎn)，F(xiàn)、H是CD上的點(diǎn)，∠1＝∠2．（1）如圖1，求證：EF∥GH；（2）如圖2，過(guò)F點(diǎn)作FM⊥GH交GH延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，作∠BEF、∠DFM的角平分線交于點(diǎn)N，EN交GH于點(diǎn)P，求證：∠N＝45°；（3）如圖3，在（2）的條件下，作∠AGH的角平分線交CD于點(diǎn)Q，若3∠FEN＝4∠HFM，直接寫(xiě)出的值．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）證明：∵AB∥CD，∴∠2＝∠3，又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴EF∥GH；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)N作NK∥CD，∴KN∥CD∥AB，∴∠KNE＝∠4，∠6＝∠7，設(shè)∠4＝x，∠7＝y(tǒng)，∵EN、FN分別平分∠BEF、∠DFM，∴∠ENK＝∠5＝∠4＝x，∠6＝∠8＝∠7＝y(tǒng)，又∵AB∥CD，∴∠EFD＝180°﹣（∠4+∠5）＝180°﹣2x，又∵FM⊥GH，∴∠EFM＝90°，∴180°﹣2x+2y＝90°，∴x﹣y＝45°，∴∠ENF＝∠ENK﹣∠6＝x﹣y＝45°，（3）∵3∠FEN＝4∠HFM，即3x＝4×2y，∴x＝，∴x﹣y＝﹣y＝45°∴y＝27°，x＝72°，又∵EN和GQ是角平分線，∴GQ⊥EN，∴∠GQH＝∠EGQ＝180°﹣90°﹣72°＝18°，又∵∠MPN＝∠FEN＝x＝72°，∴，故答案為．43．某學(xué)習(xí)小組發(fā)現(xiàn)一個(gè)結(jié)論：已知直線a∥b，若直線c∥a，則c∥b．他們發(fā)現(xiàn)這個(gè)結(jié)論運(yùn)用很廣，請(qǐng)你利用這個(gè)結(jié)論解決以下問(wèn)題：已知直線AB∥CD，點(diǎn)E在AB、CD之間，點(diǎn)P、Q分別在直線AB、CD上，連接PE、EQ．（1）如圖1，運(yùn)用上述結(jié)論，探究∠PEQ與∠APE+∠CQE之間的數(shù)量關(guān)系．并說(shuō)明理由；（2）如圖2，PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，當(dāng)∠PEQ＝130°時(shí)，求出∠PFQ的度數(shù)；（3）如圖3，若點(diǎn)E在CD的下方，PF平分∠BPE，QH平分∠EQD，QH的反向延長(zhǎng)線交PF于點(diǎn)F，當(dāng)∠PEQ＝80°時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠PFQ的度數(shù)．【答案】（1）∠PEQ＝∠APE+∠CQE；（2）115°；（3）