專(zhuān)題11 四邊形壓軸（講練）

專(zhuān)題11四邊形壓軸考點(diǎn)要求命題預(yù)測(cè)四邊形壓軸在中考中，涉及四邊形壓軸題的相關(guān)題目單獨(dú)出題的可能性還是比較大的，多以選擇、填空題型出現(xiàn)，但是四邊形結(jié)合其它幾何圖形、函數(shù)出成壓軸題的幾率特別大，所占分值也是比較多，屬于是中考必考的中等偏上難度的考點(diǎn).考點(diǎn)四邊形壓軸真題演練題型01與四邊形有關(guān)的多結(jié)論問(wèn)題（選/填）1．（2023·黑龍江·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E,F分別是AB,BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AF⊥DE，垂足為G，將△ABF沿AF翻折，得到△AMF,AM交DE于點(diǎn)P，對(duì)角線(xiàn)BD交AF于點(diǎn)H，連接HM,CM,DM,BM，下列結(jié)論正確的是：①AF=DE；②BM∥DE；③若CM⊥FM，則四邊形BHMF是菱形；④當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AB的中點(diǎn)，tan∠BHF=22；⑤EP?DH=2AG?BH．（

A．①②③④⑤ B．①②③⑤ C．①②③ D．①②⑤2．（2022·湖北黃岡·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB＜BC，連接AC，分別以點(diǎn)A，C為圓心，大于12AC的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)M，N，直線(xiàn)MN分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)．下列結(jié)論：①四邊形AECF是菱形；②∠AFB＝2∠ACB；③AC?EF＝CF?CD；④若AF平分∠BAC，則CF＝2BF．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．13．（2021·四川南充·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB=15，BC=20，把邊AB沿對(duì)角線(xiàn)BD平移，點(diǎn)A'，B'分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)A，B．給出下列結(jié)論：①順次連接點(diǎn)A'，B'，C，D的圖形是平行四邊形；②點(diǎn)C到它關(guān)于直線(xiàn)AA'的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的距離為48；③A'C?B'C的最大值為15；④A'C+B'C的最小值為917．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)4．（2023·山東日照·中考真題）如圖，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，點(diǎn)P在對(duì)角線(xiàn)BD上，過(guò)點(diǎn)P作MN⊥BD，交邊AD，BC于點(diǎn)M，N，過(guò)點(diǎn)M作ME⊥AD交BD于點(diǎn)E，連接EN，BM，DN．下列結(jié)論：①EM=EN；②四邊形MBND的面積不變；③當(dāng)

題型02與四邊形有關(guān)的平移問(wèn)題1．（2023·吉林·中考真題）【操作發(fā)現(xiàn)】如圖①，剪兩張對(duì)邊平行的紙條，隨意交叉疊放在一起，使重合的部分構(gòu)成一個(gè)四邊形EFMN．轉(zhuǎn)動(dòng)其中一張紙條，發(fā)現(xiàn)四邊形EFMN總是平行四邊形其中判定的依據(jù)是__________．【探究提升】取兩張短邊長(zhǎng)度相等的平行四邊形紙條ABCD和EFGH（AB<BC，F(xiàn)G≤BC），其中AB=EF，∠B=∠FEH，將它們按圖②放置，EF落在邊BC上，F(xiàn)G，EH與邊AD分別交于點(diǎn)M，N．求證：【結(jié)論應(yīng)用】保持圖②中的平行四邊形紙條ABCD不動(dòng)，將平行四邊形紙條EFGH沿BC或CB平移，且EF始終在邊BC上．當(dāng)MD=MG時(shí)，延長(zhǎng)CD，HG交于點(diǎn)P，得到圖③．若四邊形ECPH的周長(zhǎng)為40，sin∠EFG=45

2．（2023·天津·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，菱形ABCD的頂點(diǎn)A(3,0),B(0,1),D(23,1)，矩形(1)填空：如圖①，點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(kāi)_______，點(diǎn)G的坐標(biāo)為_(kāi)_______；(2)將矩形EFGH沿水平方向向右平移，得到矩形E'F'G'H'，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為E'，F(xiàn)'，G'，

①如圖②，當(dāng)邊E'F'與AB相交于點(diǎn)M、邊G'H'與BC相交于點(diǎn)N，且矩形E'F'②當(dāng)233≤t≤3．（2021·山東淄博·中考真題）已知：在正方形ABCD的邊BC上任取一點(diǎn)F，連接AF，一條與AF垂直的直線(xiàn)l（垂足為點(diǎn)P）沿AF方向，從點(diǎn)A開(kāi)始向下平移，交邊AB于點(diǎn)E．（1）當(dāng)直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)D時(shí)，如圖1所示．求證：AE=BF；（2）當(dāng)直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)AF的中點(diǎn)時(shí)，與對(duì)角線(xiàn)BD交于點(diǎn)Q，連接FQ，如圖2所示．求∠AFQ的度數(shù)；（3）直線(xiàn)l繼續(xù)向下平移，當(dāng)點(diǎn)P恰好落在對(duì)角線(xiàn)BD上時(shí)，交邊CD于點(diǎn)G，如圖3所示．設(shè)AB=2,BF=x,DG=y，求y與x之間的關(guān)系式．題型03與四邊形有關(guān)的翻折問(wèn)題1．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，將矩形ABCD(AD>AB)沿對(duì)角線(xiàn)BD翻折，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C'，以矩形ABCD的頂點(diǎn)A為圓心、r為半徑畫(huà)圓，⊙A與BC'相切于點(diǎn)E，延長(zhǎng)DA交⊙A于點(diǎn)F，連接EF交AB

(1)求證：BE=BG．(2)當(dāng)r=1，AB=2時(shí)，求BC的長(zhǎng)．2．（2023·江蘇無(wú)錫·中考真題）如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的菱形，∠A=60°，點(diǎn)Q為CD的中點(diǎn)，P為線(xiàn)段AB上的動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將四邊形PBCQ沿PQ翻折得到四邊形PB

(1)當(dāng)∠QPB=45°時(shí)，求四邊形BB(2)當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上移動(dòng)時(shí)，設(shè)BP=x，四邊形BB'C'C的面積為S3．（2023·山東煙臺(tái)·中考真題）【問(wèn)題背景】如圖1，數(shù)學(xué)實(shí)踐課上，學(xué)習(xí)小組進(jìn)行探究活動(dòng)，老師要求大家對(duì)矩形ABCD進(jìn)行如下操作：①分別以點(diǎn)B,C為圓心，以大于12BC的長(zhǎng)度為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，作直線(xiàn)EF交BC于點(diǎn)O，連接AO；②將△ABO沿AO翻折，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在點(diǎn)P處，作射線(xiàn)AP交CD于點(diǎn)

【問(wèn)題提出】在矩形ABCD中，AD=5，AB=3，求線(xiàn)段【問(wèn)題解決】經(jīng)過(guò)小組合作、探究、展示，其中的兩個(gè)方案如下：方案一：連接OQ，如圖2．經(jīng)過(guò)推理、計(jì)算可求出線(xiàn)段CQ的長(zhǎng)；方案二：將△ABO繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°至△RCO處，如圖3．經(jīng)過(guò)推理、計(jì)算可求出線(xiàn)段CQ的長(zhǎng)．請(qǐng)你任選其中一種方案求線(xiàn)段CQ的長(zhǎng)．4．（2023·四川達(dá)州·中考真題）（1）如圖①，在矩形ABCD的AB邊上取一點(diǎn)E，將△ADE沿DE翻折，使點(diǎn)A落在BC上A'處，若AB=6,BC=10，求AE

（2）如圖②，在矩形ABCD的BC邊上取一點(diǎn)E，將四邊形ABED沿DE翻折，使點(diǎn)B落在DC的延長(zhǎng)線(xiàn)上B'處，若BC?CE=24,AB=6，求BE（3）如圖③，在△ABC中，∠BAC=45°,AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D,AD=10,AE=6，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AD交AC于點(diǎn)F，連接DF，且滿(mǎn)足∠DFE=2∠DAC，直接寫(xiě)出BD+5題型04與四邊形有關(guān)的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題1．（2023·遼寧阜新·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，線(xiàn)段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到CE處，旋轉(zhuǎn)角為α，點(diǎn)F在直線(xiàn)DE上，且AD=AF，連接BF．

(1)如圖1，當(dāng)0°<α<90°時(shí)，①求∠BAF的大小（用含α的式子表示）．②求證：EF=2(2)如圖2，取線(xiàn)段EF的中點(diǎn)G，連接AG，已知AB=2，請(qǐng)直接寫(xiě)出在線(xiàn)段CE旋轉(zhuǎn)過(guò)程中（0°<α<360°）△ADG面積的最大值．2．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）數(shù)學(xué)興趣小組探究了以下幾何圖形．如圖①，把一個(gè)含有45°角的三角尺放在正方形ABCD中，使45°角的頂點(diǎn)始終與正方形的頂點(diǎn)C重合，繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)三角尺時(shí)，45°角的兩邊CM，CN始終與正方形的邊AD，AB所在直線(xiàn)分別相交于點(diǎn)M，N，連接MN，可得△CMN．

【探究一】如圖②，把△CDM繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBH，同時(shí)得到點(diǎn)H在直線(xiàn)AB上．求證：∠CNM=∠CNH；【探究二】在圖②中，連接BD，分別交CM，CN于點(diǎn)E，F(xiàn)．求證：△CEF∽△CNM；【探究三】把三角尺旋轉(zhuǎn)到如圖③所示位置，直線(xiàn)BD與三角尺45°角兩邊CM，CN分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)．連接AC交BD于點(diǎn)O，求EFNM3．（2023·浙江紹興·中考真題）在平行四邊形ABCD中（頂點(diǎn)A,B,C,D按逆時(shí)針?lè)较蚺帕校?，AB=12,AD=10,∠B為銳角，且sinB=

(1)如圖1，求AB邊上的高CH的長(zhǎng)．(2)P是邊AB上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C,D同時(shí)繞點(diǎn)P按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得點(diǎn)C'①如圖2，當(dāng)點(diǎn)C'落在射線(xiàn)CA上時(shí)，求BP②當(dāng)△AC'D4．（2022·遼寧阜新·中考真題）已知，四邊形ABCD是正方形，△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)（DE<AB），∠EDF=90°，DE=DF，連接AE，CF．(1)如圖1，求證：△ADE≌△CDF；(2)直線(xiàn)AE與CF相交于點(diǎn)G．①如圖2，BM⊥AG于點(diǎn)M，BN⊥CF于點(diǎn)N，求證：四邊形BMGN是正方形；②如圖3，連接BG，若AB=4，DE=2，直接寫(xiě)出在△DEF旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，線(xiàn)段BG長(zhǎng)度的最小值．題型05與四邊形有關(guān)的最值問(wèn)題1．（2023·山東濟(jì)南·中考真題）在矩形ABCD中，AB=2，AD=23，點(diǎn)E在邊BC上，將射線(xiàn)AE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，交CD延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，以線(xiàn)段AE，AG為鄰邊作矩形AEFG(1)如圖1，連接BD，求∠BDC的度數(shù)和DGBE(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)F在射線(xiàn)BD上時(shí)，求線(xiàn)段BE的長(zhǎng)；(3)如圖3，當(dāng)EA=EC時(shí)，在平面內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)P，滿(mǎn)足PE=EF，連接PA，PC，求PA+PC的最小值．2．（2023·江蘇徐州·中考真題）【閱讀理解】如圖1，在矩形ABCD中，若AB=a,BC=b，由勾股定理，得AC2=a2【探究發(fā)現(xiàn)】如圖2，四邊形ABCD為平行四邊形，若AB=a,BC=b，則上述結(jié)論是否依然成立？請(qǐng)加以判斷，并說(shuō)明理由．【拓展提升】如圖3，已知BO為△ABC的一條中線(xiàn)，AB=a,BC=b,AC=c．求證：BO【嘗試應(yīng)用】如圖4，在矩形ABCD中，若AB=8,BC=12，點(diǎn)P在邊AD上，則PB

3．（2023·重慶·中考真題）如圖，在等邊△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，E為線(xiàn)段AD上一動(dòng)點(diǎn)（不與A，D重合），連接BE，CE，將CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線(xiàn)段CF，連接AF．(1)如圖1，求證：∠CBE=∠CAF；(2)如圖2，連接BF交AC于點(diǎn)G，連接DG，EF，EF與DG所在直線(xiàn)交于點(diǎn)H，求證：EH=FH；(3)如圖3，連接BF交AC于點(diǎn)G，連接DG，EG，將△AEG沿AG所在直線(xiàn)翻折至△ABC所在平面內(nèi)，得到△APG，將△DEG沿DG所在直線(xiàn)翻折至△ABC所在平面內(nèi)，得到△DQG，連接PQ，QF．若AB=4，直接寫(xiě)出PQ+QF的最小值．4．（2023·山東淄博·中考真題）在數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動(dòng)課上，小紅以“矩形的旋轉(zhuǎn)”為主題開(kāi)展探究活動(dòng)．(1)操作判斷小紅將兩個(gè)完全相同的矩形紙片ABCD和CEFG拼成“L”形圖案，如圖①．試判斷：△ACF的形狀為_(kāi)_______．

(2)深入探究小紅在保持矩形ABCD不動(dòng)的條件下，將矩形CEFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，若AB=2，AD=4．探究一：當(dāng)點(diǎn)F恰好落在AD的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，設(shè)CG與DF相交于點(diǎn)M，如圖②．求△CMF的面積．探究二：連接AE，取AE的中點(diǎn)H，連接DH，如圖③．求線(xiàn)段DH長(zhǎng)度的最大值和最小值．

5．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）已知，點(diǎn)E、F、G、H分別在正方形ABCD的邊AB、BC、CD、AD上．(1)如圖1，當(dāng)四邊形EFGH是正方形時(shí)，求證：AE+AH=AB；(2)如圖2，已知AE=AH，CF=CG，當(dāng)AE、CF的大小有_________關(guān)系時(shí)，四邊形EFGH是矩形；(3)如圖3，AE=DG，EG、FH相交于點(diǎn)O，OE:OF=4:5，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為16，F(xiàn)H長(zhǎng)為20，當(dāng)△OEH的面積取最大值時(shí)，判斷四邊形EFGH是怎樣的四邊形？證明你的結(jié)論．題型06與四邊形有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題1．（2023·海南·中考真題）如圖1，在菱形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O，AB=6，∠ABC=60°，點(diǎn)P為線(xiàn)段BO上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，O重合），連接CP并延長(zhǎng)交邊AB于點(diǎn)G，交DA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H．

(1)當(dāng)點(diǎn)G恰好為AB的中點(diǎn)時(shí)，求證：△AGH≌△BGC；(2)求線(xiàn)段BD的長(zhǎng)；(3)當(dāng)△APH為直角三角形時(shí)，求HPPC(4)如圖2，作線(xiàn)段CG的垂直平分線(xiàn)，交BD于點(diǎn)N，交CG于點(diǎn)M，連接NG，在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，∠CGN的度數(shù)是否為定值？如果是，求出這個(gè)定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．2．（2023·廣東廣州·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，E是邊AD上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，D重合）．邊BC關(guān)于BE對(duì)稱(chēng)的線(xiàn)段為BF，連接AF．

(1)若∠ABE=15°，求證：△ABF是等邊三角形；(2)延長(zhǎng)FA，交射線(xiàn)BE于點(diǎn)G；①△BGF能否為等腰三角形？如果能，求此時(shí)∠ABE的度數(shù)；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；②若AB=3+6，求△BGF3．（2023·吉林·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，AB=4cm，點(diǎn)O是對(duì)角線(xiàn)AC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A，B同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以1cm/s的速度沿邊AB向終點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以2cm/s的速度沿折線(xiàn)BC?CD向終點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng)．連接PO并延長(zhǎng)交邊CD于點(diǎn)M，連接QO并延長(zhǎng)交折線(xiàn)DA?AB于點(diǎn)N，連接PQ，QM，MN，NP，得到四邊形PQMN．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（s）（0<x<4），四邊形PQMN的面積為y（cm

(1)BP的長(zhǎng)為_(kāi)_________cm，CM的長(zhǎng)為_(kāi)________cm．（用含x的代數(shù)式表示）(2)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍．(3)當(dāng)四邊形PQMN是軸對(duì)稱(chēng)圖形時(shí)，直接寫(xiě)出x的值．4．（2022·四川資陽(yáng)·中考真題）如圖，平行四邊形ABCD中，AB=5,BC=10,BC邊上的高AM=4，點(diǎn)E為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合，過(guò)點(diǎn)E作直線(xiàn)AB的垂線(xiàn)，垂足為F，連接DE、DF．(1)求證：△ABM∽△EBF；(2)當(dāng)點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)時(shí)，求DE的長(zhǎng)；(3)設(shè)BE=x,△DEF的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)x為何值時(shí)，y有最大值，最大值是多少？題型07與四邊形有關(guān)的新定義問(wèn)題1．（2023·江蘇·中考真題）綜合與實(shí)踐定義：將寬與長(zhǎng)的比值為22n+1?12n（1）概念理解：當(dāng)n=1時(shí)，這個(gè)矩形為1階奇妙矩形，如圖（1），這就是我們學(xué)習(xí)過(guò)的黃金矩形，它的寬（AD）與長(zhǎng)CD的比值是_________．（2）操作驗(yàn)證：用正方形紙片ABCD進(jìn)行如下操作（如圖（2））：第一步：對(duì)折正方形紙片，展開(kāi)，折痕為EF，連接CE；第二步：折疊紙片使CD落在CE上，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)H，展開(kāi)，折痕為CG；第三步：過(guò)點(diǎn)G折疊紙片，使得點(diǎn)A、B分別落在邊AD、BC上，展開(kāi)，折痕為GK．試說(shuō)明：矩形GDCK是1階奇妙矩形．

（3）方法遷移：用正方形紙片ABCD折疊出一個(gè)2階奇妙矩形．要求：在圖（3）中畫(huà)出折疊示意圖并作簡(jiǎn)要標(biāo)注．（4）探究發(fā)現(xiàn)：小明操作發(fā)現(xiàn)任一個(gè)n階奇妙矩形都可以通過(guò)折紙得到．他還發(fā)現(xiàn)：如圖（4），點(diǎn)E為正方形ABCD邊AB上（不與端點(diǎn)重合）任意一點(diǎn)，連接CE，繼續(xù)（2）中操作的第二步、第三步，四邊形AGHE的周長(zhǎng)與矩形GDCK的周長(zhǎng)比值總是定值．請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)定值，并說(shuō)明理由．2．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）定義：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，當(dāng)點(diǎn)N在圖形M的內(nèi)部，或在圖形M上，且點(diǎn)N的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等時(shí)，則稱(chēng)點(diǎn)N為圖形M的“夢(mèng)之點(diǎn)”．

(1)如圖①，矩形ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A?1,2，B?1,?1，C3,?1，D3,2，在點(diǎn)M11,1，(2)點(diǎn)G2,2是反比例函數(shù)y1=kx圖象上的一個(gè)“夢(mèng)之點(diǎn)”，則該函數(shù)圖象上的另一個(gè)“夢(mèng)之點(diǎn)”H的坐標(biāo)是___________，直線(xiàn)GH的解析式是y(3)如圖②，已知點(diǎn)A，B是拋物線(xiàn)y=?12x2+x+92上的“夢(mèng)之點(diǎn)”，點(diǎn)C是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，連接AC3．（2020·湖南益陽(yáng)·中考真題）定義：若四邊形有一組對(duì)角互補(bǔ)，一組鄰邊相等，且相等鄰邊的夾角為直角，像這樣的圖形稱(chēng)為“直角等鄰對(duì)補(bǔ)”四邊形，簡(jiǎn)稱(chēng)“直等補(bǔ)”四邊形，根據(jù)以上定義，解決下列問(wèn)題：（1）如圖1，正方形ABCD中，E是CD上的點(diǎn)，將ΔBCE繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使BC與BA重合，此時(shí)點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F在DA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，則四邊形BEDF為“直等補(bǔ)”四邊形，為什么？（2）如圖2，已知四邊形ABCD是“直等補(bǔ)”四邊形，AB=BC=5，CD=1，AD>AB，點(diǎn)B到直線(xiàn)AD的距離為BE．①求BE的長(zhǎng)．②若M、N分別是AB、AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，求ΔMNC周長(zhǎng)的最小值．題型08與四邊形有關(guān)的閱讀理解問(wèn)題1．（2023·山西·中考真題）閱讀與思考：下面是一位同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)筆記，請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．瓦里尼翁平行四邊形我們知道，如圖1，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E,F,G,H分別是邊AB,BC,CD，DA的中點(diǎn)，順次連接E,F,G,H，得到的四邊形EFGH是平行四邊形．我查閱了許多資料，得知這個(gè)平行四邊形EFGH被稱(chēng)為瓦里尼翁平行四邊形．瓦里尼翁Varingnon，

①當(dāng)原四邊形的對(duì)角線(xiàn)滿(mǎn)足一定關(guān)系時(shí)，瓦里尼翁平行四邊形可能是菱形、矩形或正方形．②瓦里尼翁平行四邊形的周長(zhǎng)與原四邊形對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)度也有一定關(guān)系．③瓦里尼翁平行四邊形的面積等于原四邊形面積的一半．此結(jié)論可借助圖1證明如下：證明：如圖2，連接AC，分別交EH,FG于點(diǎn)P,Q，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AC于點(diǎn)M，交HG于點(diǎn)N．∵H,G分別為AD,CD的中點(diǎn)，∴HG∥AC,HG=1

∴DNNM=DGGC．∵∵四邊形EFGH是瓦里尼翁平行四邊形，∴HE∥GF，即HP∥GQ．∵HG∥AC，即HG∥PQ，∴四邊形HPQG是平行四邊形．（依據(jù)2）∴S?HPQG∵S△ADC=1任務(wù)：(1)填空：材料中的依據(jù)1是指：_____________．依據(jù)2是指：_____________．(2)請(qǐng)用刻度尺、三角板等工具，畫(huà)一個(gè)四邊形ABCD及它的瓦里尼翁平行四邊形EFGH，使得四邊形EFGH為矩形；（要求同時(shí)畫(huà)出四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)）(3)在圖1中，分別連接AC,BD得到圖3，請(qǐng)猜想瓦里尼翁平行四邊形EFGH的周長(zhǎng)與對(duì)角線(xiàn)AC,BD長(zhǎng)度的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

2．（2022·貴州黔東南·中考真題）閱讀材料：小明喜歡探究數(shù)學(xué)問(wèn)題，一天楊老師給他這樣一個(gè)幾何問(wèn)題：如圖，△ABC和△BDE都是等邊三角形，點(diǎn)A在DE上．求證：以AE、AD、AC為邊的三角形是鈍角三角形．(1)【探究發(fā)現(xiàn)】小明通過(guò)探究發(fā)現(xiàn)：連接DC，根據(jù)已知條件，可以證明DC=AE，∠ADC=120°，從而得出△ADC為鈍角三角形，故以AE、AD、AC為邊的三角形是鈍角三角形．請(qǐng)你根據(jù)小明的思路，寫(xiě)出完整的證明過(guò)程．(2)【拓展遷移】如圖，四邊形ABCD和四邊形BGFE都是正方形，點(diǎn)A在EG上．①試猜想：以AE、AG、AC為邊的三角形的形狀，并說(shuō)明理由．②若AE2+A3．（2020·湖南湘潭·中考真題）閱讀材料：三角形的三條中線(xiàn)必交于一點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)稱(chēng)為三角形的重心．

（1）特例感知：如圖（一），已知邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC的重心為點(diǎn)O，求△OBC與△ABC的面積．（2）性質(zhì)探究：如圖（二），已知△ABC的重心為點(diǎn)O，請(qǐng)判斷ODOA、S（3）性質(zhì)應(yīng)用：如圖（三），在正方形ABCD中，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，連接BE交對(duì)角線(xiàn)AC于點(diǎn)M．①若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，求EM的長(zhǎng)度；②若S△CME=1，求正方形題型09與四邊形有關(guān)的存在性問(wèn)題1．（2023·黑龍江·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形AOCB的邊OC在x軸上，∠AOC=60°，OC的長(zhǎng)是一元二次方程x2?4x?12=0的根，過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線(xiàn)，交對(duì)角線(xiàn)OB于點(diǎn)D，直線(xiàn)AD分別交x軸和y軸于點(diǎn)F和點(diǎn)E，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)O以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿OD向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)F以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿FE向終點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)．兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

(1)求直線(xiàn)AD的解析式．(2)連接MN，求△MDN的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式．(3)點(diǎn)N在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)Q．使得以A，C，N，Q為項(xiàng)點(diǎn)的四邊形是矩形．若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．2．（2022·四川資陽(yáng)·中考真題）已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(1,4)，且與x軸交于點(diǎn)B(?1,0)．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖，將二次函數(shù)圖象繞x軸的正半軸上一點(diǎn)P(m,0)旋轉(zhuǎn)180°，此時(shí)點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)C、D．①連結(jié)AB、BC、CD、DA，當(dāng)四邊形ABCD為矩形時(shí)，求m的值；②在①的條件下，若點(diǎn)M是直線(xiàn)x=m上一點(diǎn)，原二次函數(shù)圖象上是否存在一點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)B、C、M、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．3．（2022·貴州安順·中考真題）如圖1，在矩形ABCD中，AB=10，AD=8，E是AD邊上的一點(diǎn)，連接CE，將矩形ABCD沿CE折疊，頂點(diǎn)D恰好落在AB邊上的點(diǎn)F處，延長(zhǎng)CE交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G．(1)求線(xiàn)段AE的長(zhǎng)；(2)求證四邊形DGFC為菱形；(3)如圖2，M，N分別是線(xiàn)段CG，DG上的動(dòng)點(diǎn)（與端點(diǎn)不重合），且∠DMN=∠DCM，設(shè)DN=x，是否存在這樣的點(diǎn)N，使△DMN是直角三角形？若存在，請(qǐng)求出x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．4．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）同學(xué)們還記得嗎？圖①、圖②是人教版八年級(jí)下冊(cè)教材“實(shí)驗(yàn)與探究”中我們研究過(guò)的兩個(gè)圖形．受這兩個(gè)圖形的啟發(fā)，數(shù)學(xué)興趣小組提出了以下三個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)你回答：(1)【問(wèn)題一】如圖①，正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)O，點(diǎn)O又是正方形A1B1C1O的一個(gè)頂點(diǎn)，OA1交AB于點(diǎn)E，OC(2)【問(wèn)題二】受圖①啟發(fā)，興趣小組畫(huà)出了圖③：直線(xiàn)m、n經(jīng)過(guò)正方形ABCD的對(duì)稱(chēng)中心O，直線(xiàn)m分別與AD、BC交于點(diǎn)E、F，直線(xiàn)n分別與AB、CD交于點(diǎn)G、H，且m⊥n，若正方形ABCD邊長(zhǎng)為8，求四邊形OEAG的面積；(3)【問(wèn)題三】受圖②啟發(fā)，興趣小組畫(huà)出了圖④：正方形CEFG的頂點(diǎn)G在正方形ABCD的邊CD上，頂點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且BC=6，CE=2．在直線(xiàn)BE上是否存在點(diǎn)P，使△APF為直角三角形？若存在，求出BP的長(zhǎng)度；若不存在，說(shuō)明理由．題型10四邊形與圓綜合1．（2023·廣東·中考真題）綜合探究如圖1，在矩形ABCD中(AB>AD)，對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)A關(guān)于BD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A'，連接AA'交BD于點(diǎn)E，連接

(1)求證：AA'⊥CA'；(2)以點(diǎn)O為圓心，OE為半徑作圓．①如圖2，⊙O與CD相切，求證：AA'=3②如圖3，⊙O與CA'相切，AD=1，求⊙O的面積．2．（2023·上?！ぶ锌颊骖}）如圖（1）所示，已知在△ABC中，AB=AC，O在邊AB上，點(diǎn)F為邊OB中點(diǎn)，為以O(shè)為圓心，BO為半徑的圓分別交CB，AC于點(diǎn)D，E，聯(lián)結(jié)EF交OD于點(diǎn)G．

(1)如果OG=DG，求證：四邊形CEGD為平行四邊形；(2)如圖（2）所示，聯(lián)結(jié)OE，如果∠BAC=90°,∠OFE=∠DOE,AO=4，求邊OB的長(zhǎng)；(3)聯(lián)結(jié)BG，如果△OBG是以O(shè)B為腰的等腰三角形，且AO=OF，求OGOD3．（2022·浙江舟山·中考真題）如圖1．在正方形ABCD中，點(diǎn)F，H分別在邊AD，AB上，連結(jié)AC，F(xiàn)H交于點(diǎn)E，已知CF=CH．(1)線(xiàn)段AC與FH垂直嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)如圖2，過(guò)點(diǎn)A，H，F(xiàn)的圓交CF于點(diǎn)P，連結(jié)PH交AC于點(diǎn)K．求證：KHCH(3)如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)K是線(xiàn)段AC的中點(diǎn)時(shí)，求CPPF題型11四邊形與函數(shù)綜合1．（2023·江蘇泰州·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(m，0)，B(m?a，0)(a>m>0)的位置和函數(shù)y1=mx(x>0)、y2=m?ax(x<0)的圖像如圖所示．以AB為邊在x軸上方作正方形ABCD，AD邊與函數(shù)y1的圖像相交于點(diǎn)E，CD邊與函數(shù)y1、y2

(1)m=2，a=4，求函數(shù)y3的表達(dá)式及△PGH(2)當(dāng)a、m在滿(mǎn)足a>m>0的條件下任意變化時(shí)，△PGH的面積是否變化？請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)試判斷直線(xiàn)PH與BC邊的交點(diǎn)是否在函數(shù)y22．（2023·江蘇連云港·中考真題）【問(wèn)題情境

建構(gòu)函數(shù)】（1）如圖1，在矩形ABCD中，AB=4,M是CD的中點(diǎn)，AE⊥BM，垂足為E．設(shè)BC=x,AE=y，試用含x的代數(shù)式表示y．

【由數(shù)想形

新知初探】（2）在上述表達(dá)式中，y與x成函數(shù)關(guān)系，其圖像如圖2所示．若x取任意實(shí)數(shù)，此時(shí)的函數(shù)圖像是否具有對(duì)稱(chēng)性？若有，請(qǐng)說(shuō)明理由，并在圖2上補(bǔ)全函數(shù)圖像．

【數(shù)形結(jié)合

深度探究】（3）在“x取任意實(shí)數(shù)”的條件下，對(duì)上述函數(shù)繼續(xù)探究，得出以下結(jié)論：①函數(shù)值y隨x的增大而增大；②函數(shù)值y的取值范圍是?42<y<42；③存在一條直線(xiàn)與該函數(shù)圖像有四個(gè)交點(diǎn)；④在圖像上存在四點(diǎn)A、B、C、D【抽象回歸

拓展總結(jié)】（4）若將（1）中的“AB=4”改成“AB=2k”，此時(shí)y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式是__________；一般地，當(dāng)k≠0,x取任意實(shí)數(shù)時(shí)，類(lèi)比一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的研究過(guò)程，探究此類(lèi)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)（直接寫(xiě)出3條即可）．3．（2022·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）綜合與探究如圖，某一次函數(shù)與二次函數(shù)y=x2+mx+n的圖象交點(diǎn)為A(1)求拋物線(xiàn)的解析式；(2)點(diǎn)C為拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)AC與BC的和最小時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(kāi)；(3)點(diǎn)D為拋物線(xiàn)位于線(xiàn)段AB下方圖象上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸，交線(xiàn)段AB于點(diǎn)E，求線(xiàn)段DE長(zhǎng)度的最大值；(4)在（2）條件下，點(diǎn)M為y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)F為直線(xiàn)AB上一點(diǎn)，點(diǎn)N為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，若以點(diǎn)C，M，F(xiàn)，N為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo)．核心知識(shí)點(diǎn)1.平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的關(guān)系：2.平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)四邊形邊角對(duì)角線(xiàn)對(duì)稱(chēng)性平行四邊形對(duì)邊平行且相等對(duì)角相等兩條對(duì)角線(xiàn)互相平分中心對(duì)稱(chēng)矩形對(duì)邊平行且相等四個(gè)角都是直角兩條對(duì)角線(xiàn)互相平分且相等軸對(duì)稱(chēng)、中心對(duì)稱(chēng)菱形對(duì)邊平行且四條邊都相等對(duì)角相等兩條對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分，且每一條對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角軸對(duì)稱(chēng)、中心對(duì)稱(chēng)正方形對(duì)邊平行且四條邊都相等四個(gè)角都是直角兩條對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分，且每一條對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角軸對(duì)稱(chēng)、中心對(duì)稱(chēng)3平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定四邊形邊角對(duì)角線(xiàn)平行四邊形1）兩組對(duì)邊分別平行2)兩組對(duì)邊分別相等3)一組對(duì)邊平行且相等兩組對(duì)角分別相等兩組對(duì)角線(xiàn)互相平分矩形1）平行四邊形+一直角2）四邊形+三直角平行四邊形+兩條對(duì)角線(xiàn)相等菱形1）平行四邊形+一組鄰邊相等2）四邊形+四條邊都相等平行四邊形+兩條對(duì)角線(xiàn)互相垂直正方形矩形+一組鄰邊相等菱形+一直角兩條對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分且相等的四邊形必刷好題一、單選題1．（2023·廣西·中考真題）如圖，過(guò)y=kx(x>0)的圖象上點(diǎn)A，分別作x軸，y軸的平行線(xiàn)交y=?1x的圖象于B，D兩點(diǎn)，以AB，AD為鄰邊的矩形ABCD被坐標(biāo)軸分割成四個(gè)小矩形，面積分別記為S1，S2，S3，

A．4 B．3 C．2 D．12．（2023·山東泰安·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△AOB的一條直角邊OB在x軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(?6，4)；Rt△COD中，∠COD=90°，OD=43，∠D=30°，連接BC，點(diǎn)M是BC中點(diǎn)，連接AM

A．3 B．62?4 C．23．（2023·四川遂寧·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=10，BC=6，AC=8，點(diǎn)P為線(xiàn)段AB上的動(dòng)點(diǎn)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)B移動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)B時(shí)停止．過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AC于點(diǎn)M、作PN⊥BC于點(diǎn)N，連接MN，線(xiàn)段MN的長(zhǎng)度y與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（秒）的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則函數(shù)圖象最低點(diǎn)

A．5，5 B．6,245 二、填空題4．（2023·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，E在邊CD上，BE交對(duì)角線(xiàn)AC于點(diǎn)F，CM⊥BE于M，∠CME的平分線(xiàn)所在直線(xiàn)分別交CD，AC于點(diǎn)N，P，連接FN．下列結(jié)論：①S△NPF:S△NPC=FM:MC；②CM=PN；③EN?CD=EC?CF；④若EM=1，MB=45．（2023·浙江臺(tái)州·中考真題）如圖，點(diǎn)C，D在線(xiàn)段AB上（點(diǎn)C在點(diǎn)A，D之間），分別以AD，BC為邊向同側(cè)作等邊三角形ADE與等邊三角形CBF，邊長(zhǎng)分別為a，b．CF與DE交于點(diǎn)H，延長(zhǎng)

（1）若四邊形EHFG的周長(zhǎng)與△CDH的周長(zhǎng)相等，則a，b，（2）若四邊形EHFG的面積與△CDH的面積相等，則a，b，c之間的等量關(guān)系為_(kāi)_______．三、解答題6．（2023·廣東深圳·中考真題）（1）如圖，在矩形ABCD中，E為AD邊上一點(diǎn)，連接BE，①若BE=BC，過(guò)C作CF⊥BE交BE于點(diǎn)F，求證：△ABE≌②若S矩形ABCD=20

（2）如圖，在菱形ABCD中，cosA=13，過(guò)C作CE⊥AB交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，過(guò)E作EF⊥AD交AD于點(diǎn)F，若S

（3）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠A=60°，AB=6，AD=5，點(diǎn)E在CD上，且CE=2，點(diǎn)F為BC上一點(diǎn)，連接EF，過(guò)E作EG⊥EF交平行四邊形ABCD的邊于點(diǎn)G，若EF?EG=73時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出AG

7．（2023·湖南·中考真題）問(wèn)題情境：小紅同學(xué)在學(xué)習(xí)了正方形的知識(shí)后，進(jìn)一步進(jìn)行以下探究活動(dòng)：在正方形ABCD的邊BC上任意取一點(diǎn)G，以BG為邊長(zhǎng)向外作正方形BEFG，將正方形BEFG繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．

特例感知：（1）當(dāng)BG在BC上時(shí)，連接DF，AC相交于點(diǎn)P，小紅發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P恰為（2）小紅繼續(xù)連接EG，并延長(zhǎng)與DF相交，發(fā)現(xiàn)交點(diǎn)恰好也是DF中點(diǎn)P，如圖②，根據(jù)小紅發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，請(qǐng)判斷△APE的形狀，并說(shuō)明理由；規(guī)律探究：（3）如圖③，將正方形BEFG繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α，連接DF，點(diǎn)P是DF中點(diǎn)，連接AP，EP，AE，△APE的形狀是否發(fā)生改變？請(qǐng)說(shuō)明理由．8．（2023·吉林長(zhǎng)春·中考真題）如圖①．在矩形ABCD．AB=3，AD=5，點(diǎn)E在邊BC上，且BE=2．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)，沿折線(xiàn)EB?BA?AD以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，作∠PEQ=90°，EQ交邊AD或邊DC于點(diǎn)Q，連續(xù)PQ．當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（

(1)當(dāng)點(diǎn)P和點(diǎn)B重合時(shí)，線(xiàn)段PQ的長(zhǎng)為_(kāi)_________；(2)當(dāng)點(diǎn)Q和點(diǎn)D重合時(shí)，求tan∠PQE(3)當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△PQE的形狀始終是等腰直角三角形．如圖②．請(qǐng)說(shuō)明理由；(4)作點(diǎn)E關(guān)于直線(xiàn)PQ的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F，連接PF、QF，當(dāng)四邊形EPFQ和矩形ABCD重疊部分圖形為軸對(duì)稱(chēng)四邊形時(shí)，直接寫(xiě)出t的取值范圍．9．（2023·湖北襄陽(yáng)·中考真題）【問(wèn)題背景】人教版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教材第63頁(yè)“實(shí)驗(yàn)與探究”問(wèn)題1如下：如圖，正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)O，點(diǎn)O又是正方形A1B1C1O的一個(gè)頂點(diǎn)，而且這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)相等，無(wú)論正方形九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)上面的問(wèn)題又進(jìn)行了拓展探究、內(nèi)容如下：正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)O，點(diǎn)P落在線(xiàn)段OC上，PAPC=k（

【特例證明】（1）如圖1，將Rt△PEF的直角頂點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，兩直角邊分別與邊AB，BC相交于點(diǎn)M，N①填空：k=______；②求證：PM=PN．（提示：借鑒解決【問(wèn)題背景】的思路和方法，可直接證明△PAM?△PBN；也可過(guò)點(diǎn)P分別作AB，BC的垂線(xiàn)構(gòu)造全等三角形證明．請(qǐng)選擇其中一種方法解答問(wèn)題②．）【類(lèi)比探究】（2）如圖2，將圖1中的△PEF沿OC方向平移，判斷PM與PN的數(shù)量關(guān)系（用含k的式子表示），并說(shuō)明理由．【拓展運(yùn)用】（3）如圖3，點(diǎn)N在邊BC上，∠BPN=45°，延長(zhǎng)NP交邊CD于點(diǎn)E，若EN=kPN，求k的值．10．（2023·山東濰坊·中考真題）［材料閱讀]用數(shù)形結(jié)合的方法，可以探究q+q2+例求12方法1：借助面積為1的正方形，觀察圖①可知12即12方法2：借助函數(shù)y=12x+12+122+123即兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)到x軸的距離．因?yàn)閮蓚€(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)(1,1)到x軸的距為1，所以，12【實(shí)踐應(yīng)用】任務(wù)一

完善23

方法1：借助面積為2的正方形，觀察圖③可知23方法2：借助函數(shù)y=23x+因?yàn)閮蓚€(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____，所以，23任務(wù)二

參照上面的過(guò)程，選擇合適的方法，求34任務(wù)三

用方法2，求q+q2+【遷移拓展】長(zhǎng)寬之比為5+1觀察圖⑤，直接寫(xiě)出5?1

11．（2023·吉林長(zhǎng)春·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線(xiàn)y=?x2+bx+2（b是常數(shù)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,2)．點(diǎn)A的坐標(biāo)為(m,0)，點(diǎn)B在該拋物線(xiàn)上，橫坐標(biāo)為1?m(1)求該拋物線(xiàn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)當(dāng)點(diǎn)B在x軸上時(shí)，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；(3)該拋物線(xiàn)與x軸的左交點(diǎn)為P，當(dāng)拋物線(xiàn)在點(diǎn)P和點(diǎn)B之間的部分（包括P、B兩點(diǎn)）的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差為2?m時(shí)，求m的值．(4)當(dāng)點(diǎn)B在x軸上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥y軸于點(diǎn)C，連結(jié)AC、BO．若四邊形AOBC的邊和拋物線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)（不包括四邊形AOBC的頂點(diǎn)），設(shè)這兩個(gè)交點(diǎn)分別為點(diǎn)E、點(diǎn)F，線(xiàn)段BO的中點(diǎn)為D．當(dāng)以點(diǎn)C、E、O、D（或以點(diǎn)C、F、O、D）為頂點(diǎn)的四邊形的面積是四邊形AOBC面積的一半時(shí)，直接寫(xiě)出所有滿(mǎn)足條件的m的值．

專(zhuān)題11四邊形壓軸考點(diǎn)要求命題預(yù)測(cè)四邊形壓軸在中考中，涉及四邊形壓軸題的相關(guān)題目單獨(dú)出題的可能性還是比較大的，多以選擇、填空題型出現(xiàn)，但是四邊形結(jié)合其它幾何圖形、函數(shù)出成壓軸題的幾率特別大，所占分值也是比較多，屬于是中考必考的中等偏上難度的考點(diǎn).考點(diǎn)四邊形壓軸真題演練題型01與四邊形有關(guān)的多結(jié)論問(wèn)題（選/填）1．（2023·黑龍江·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E,F分別是AB,BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AF⊥DE，垂足為G，將△ABF沿AF翻折，得到△AMF,AM交DE于點(diǎn)P，對(duì)角線(xiàn)BD交AF于點(diǎn)H，連接HM,CM,DM,BM，下列結(jié)論正確的是：①AF=DE；②BM∥DE；③若CM⊥FM，則四邊形BHMF是菱形；④當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AB的中點(diǎn)，tan∠BHF=22；⑤EP?DH=2AG?BH．（

A．①②③④⑤ B．①②③⑤ C．①②③ D．①②⑤【答案】B【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得∠AED=∠BFA，從而證明△ABF≌△AED，即可判斷①；由折疊的性質(zhì)可得BM⊥AF，再由平行線(xiàn)的判定即可判斷②；由CM⊥FM可得A,M,C在同一直線(xiàn)上，從而可得∠MCF=∠MFC=45°，再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得∠HBF=∠HMF=45°，BF=MF，再根據(jù)菱形的判定即可判斷③；設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2a，則AE=BF=a，利用勾股定理求得DE=5a=AF，證明△AHD∽△FHB，可得AH=23AF=253a，從而證得△AGE∽△ABF，可得DG=455a，GH=45【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DAE=∠ABF=90°，DA=AB，∵AF⊥DE，∴∠BAF+∠AED=90°，∵∠BAF+∠AFB=90°，∴∠AED=∠BFA，∴△ABF≌△AEDAAS∴AF=DE，故①正確，∵將△ABF沿AF翻折，得到△AMF，∴BM⊥AF，∵AF⊥DE，∴BM∥當(dāng)CM⊥FM時(shí)，∠CMF=90°，∵∠AMF=∠ABF=90°，∴∠AMF+∠CMF=180°，即A,M,C在同一直線(xiàn)上，∴∠MCF=45°，∴∠MFC=90°?∠MCF=45°，通過(guò)翻折的性質(zhì)可得∠HBF=∠HMF=45°，BF=MF，∴∠HMF=∠MFC，∠HBC=∠MFC，∴BC∥∴四邊形BHMF是平行四邊形，∵BF=MF，∴平行四邊形BHMF是菱形，故③正確，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AB的中點(diǎn)，如圖，

設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2a，則AE=BF=a，在Rt△AED中，DE=∵∠AHD=∠FHB,∠ADH=∠FBH=45°，∴△AHD∽△FHB，∴FH∴AH=2∵∠AGE=∠ABF=90°，∴△AGE∽△ABF，∴AE∴EG=55BF=∴DG=ED?EG=455∵∠BHF=∠DHA，在Rt△DGH中，tan由折疊的性質(zhì)可得，△ABF≌△AMF，∴∠EAG=∠PAG，在△EAG和△PAG中，∠EAG=∠PAGAG=AG∴△EAG≌△PAGASA∴EG=PG，∴EG=1∵AD∥∴△AHD∽△FHB，∴DHBH∵AD=AB，∴DHBH∵∠AGE=∠ABF=90°，∠EAG=∠FAB，∴△EAG∽△FAB，∴EGAG∴BHDH∴EG?DH=AG?BH，∴12∴EP?DH=2AG?BH，故⑤正確；綜上分析可知，正確的是①②③⑤．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正切的概念，熟練按照要求做出圖形，利用尋找相似三角形是解題的關(guān)鍵．2．（2022·湖北黃岡·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB＜BC，連接AC，分別以點(diǎn)A，C為圓心，大于12AC的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)M，N，直線(xiàn)MN分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)．下列結(jié)論：①四邊形AECF是菱形；②∠AFB＝2∠ACB；③AC?EF＝CF?CD；④若AF平分∠BAC，則CF＝2BF．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】根據(jù)作圖可得MN⊥AC，且平分AC，設(shè)AC與MN的交點(diǎn)為O，證明四邊形AECF為菱形，即可判斷①，進(jìn)而根據(jù)等邊對(duì)等角即可判斷②，根據(jù)菱形的性質(zhì)求面積即可求解．判斷③，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)可得BF=FO，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】如圖，設(shè)AC與MN的交點(diǎn)為O，根據(jù)作圖可得MN⊥AC，且平分AC，∴AO=OC，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥∴∠EAO=∠OCF，又∵∠AOE=∠COF，AO=CO，∴△AOE≌△COF，∴AE=FC，∵AE∥∴四邊形AECF是平行四邊形，∵M(jìn)N垂直平分AC，∴EA=EC，∴四邊形AECF是菱形，故①正確；②∵FA=FC，∴∠ACB=∠FAC，∴∠AFB＝2∠ACB；故②正確；③由菱形的面積可得12AC?EF＝CF?CD④∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，若AF平分∠BAC，F(xiàn)B⊥AB,FO⊥AC，則BF=FO，∴∠BAF=∠FAC，∵∠FAC=∠FCA，∵∠BAF+∠FAC+∠FCA=90°，∴∠ACB=30°，∴FO=1∵FO=BF，∴CF＝2BF．故④正確；故選B【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)與判定，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，角平分線(xiàn)的性質(zhì)，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．3．（2021·四川南充·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB=15，BC=20，把邊AB沿對(duì)角線(xiàn)BD平移，點(diǎn)A'，B'分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)A，B．給出下列結(jié)論：①順次連接點(diǎn)A'，B'，C，D的圖形是平行四邊形；②點(diǎn)C到它關(guān)于直線(xiàn)AA'的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的距離為48；③A'C?B'C的最大值為15；④A'C+B'C的最小值為917．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)和平行四邊形的判定方法判斷①，再利用等積法得出點(diǎn)C到BD的距離，從而對(duì)②做出判斷，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判斷③，如圖，作D關(guān)于AA'的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D'，DD'交AA'于M,連接BD'，過(guò)D'作D'【詳解】解：由平移的性質(zhì)可得AB//A且AB=A∵四邊形ABCD為矩形∴AB//CD，AB=CD=15∴A'B'//CD且∴四邊形A'B當(dāng)點(diǎn)B'與D重合時(shí)，四邊形不存在，故①錯(cuò)誤在矩形ABCD中，BD=AB2+A過(guò)A作AM⊥BD，CN⊥BD，則AM=CN∴S△ABD=12AB·CD=12BD∴AM=CN=15×2025∴點(diǎn)C到AA∴點(diǎn)C到它關(guān)于直線(xiàn)AA∴故②正確∵A∴當(dāng)A',B此時(shí)B'與D∴A'C?B∴故③正確，如圖，作D關(guān)于AA'的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D'，DD'交AA'于M,連接BD'，過(guò)D則AB//A'B'//KH,AB=KH=15,∴D由?A'B∴B∴A由②同理可得：DM=D∵tan設(shè)HN=3x,則BN=4x,由勾股定理可得：DD∴25整理得：25x∴(5x?7)(5x+43)=0,解得：x1∴NC=20?4x=72∴D∴故④正確故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定，矩形的性質(zhì)以及平移的性質(zhì),銳角三角函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)的知識(shí)是解題的關(guān)鍵．4．（2023·山東日照·中考真題）如圖，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，點(diǎn)P在對(duì)角線(xiàn)BD上，過(guò)點(diǎn)P作MN⊥BD，交邊AD，BC于點(diǎn)M，N，過(guò)點(diǎn)M作ME⊥AD交BD于點(diǎn)E，連接EN，BM，DN．下列結(jié)論：①EM=EN；②四邊形MBND的面積不變；③當(dāng)

【答案】②③④【分析】根據(jù)等腰三角形的三線(xiàn)合一可知MP=PN，可以判斷①；利用相似和勾股定理可以得出BD=10，MN=152，，利用S四邊形MBND【詳解】解：∵EM=EN，MN⊥BD，∴MP=PN，在點(diǎn)P移動(dòng)過(guò)程中，不一定MP=PN，相矛盾，故①不正確；

延長(zhǎng)ME交BC于點(diǎn)H,則ABHM為矩形，∴BD=∵M(jìn)E⊥AD，MN⊥BD，∴∠MED+∠MDE=∠MEP+∠EMN=90°∴∠MDE=∠EMN，∴△MHN∽△DAB，∴MHAD即68解得：HN=9∴S故②正確；∵M(jìn)E∥AB，∴△DME∽△DAB，∴MEAB∴ME=4，∵∠MDE=∠EMN，∠MPE=∠A=90°，∴△MPE∽△DAB，∴S△MPE∴S△MPE故③正確，BM+MN+ND=BM+ND+15即當(dāng)MB+ND最小時(shí)，BM+MN+ND的最小值，作B、D關(guān)于AD、BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B把圖1中的CD1向上平移到圖2位置，使得CD=92，連接B1D1，即這時(shí)B1即BM+MN+ND的最小值是20，故④正確；故答案為：②③④

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型02與四邊形有關(guān)的平移問(wèn)題1．（2023·吉林·中考真題）【操作發(fā)現(xiàn)】如圖①，剪兩張對(duì)邊平行的紙條，隨意交叉疊放在一起，使重合的部分構(gòu)成一個(gè)四邊形EFMN．轉(zhuǎn)動(dòng)其中一張紙條，發(fā)現(xiàn)四邊形EFMN總是平行四邊形其中判定的依據(jù)是__________．【探究提升】取兩張短邊長(zhǎng)度相等的平行四邊形紙條ABCD和EFGH（AB<BC，F(xiàn)G≤BC），其中AB=EF，∠B=∠FEH，將它們按圖②放置，EF落在邊BC上，F(xiàn)G，EH與邊AD分別交于點(diǎn)M，N．求證：【結(jié)論應(yīng)用】保持圖②中的平行四邊形紙條ABCD不動(dòng)，將平行四邊形紙條EFGH沿BC或CB平移，且EF始終在邊BC上．當(dāng)MD=MG時(shí)，延長(zhǎng)CD，HG交于點(diǎn)P，得到圖③．若四邊形ECPH的周長(zhǎng)為40，sin∠EFG=45

【答案】（操作發(fā)現(xiàn)），兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；（探究提升），見(jiàn)解析；（結(jié)論應(yīng)用），8【分析】（操作發(fā)現(xiàn)），根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形解答即可；（探究提升），證明四邊形ABEN是平行四邊形，利用鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可證明結(jié)論成立；（結(jié)論應(yīng)用），證明四邊形ECPH是菱形，求得其邊長(zhǎng)為10，作GQ⊥BC于Q，利用正弦函數(shù)的定義求解即可．【詳解】解：（操作發(fā)現(xiàn)），∵兩張對(duì)邊平行的紙條，隨意交叉疊放在一起，∴MN∥EF，∴四邊形EFMN是平行四邊形（兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形），故答案為：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；（探究提升），∵M(jìn)N∥EF，∴四邊形EFMN是平行四邊形，∵∠B=∠FEH，∴NE∥又AN∥∴四邊形ABEN是平行四邊形，∴EF=AB=NE，∴平行四邊形EFMN是菱形；（結(jié)論應(yīng)用），∵平行四邊形紙條EFGH沿BC或CB平移，∴MD∥GP，∴四邊形MNHG、CDMF、PGMD是平行四邊形，∵M(jìn)D=MG，∴四邊形PGMD是菱形，∵四邊形EFMN是菱形，∴四邊形ECPH是菱形，∵四邊形ECPH的周長(zhǎng)為40，∴FH=GF=10，作GQ⊥BC于Q，

∵sin∠EFG=∴GQGF∴GQ=8，∴四邊形ECPH的面積為10×8=80．故答案為：80．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件．2．（2023·天津·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，菱形ABCD的頂點(diǎn)A(3,0),B(0,1),D(23,1)，矩形(1)填空：如圖①，點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(kāi)_______，點(diǎn)G的坐標(biāo)為_(kāi)_______；(2)將矩形EFGH沿水平方向向右平移，得到矩形E'F'G'H'，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為E'，F(xiàn)'，G'，

①如圖②，當(dāng)邊E'F'與AB相交于點(diǎn)M、邊G'H'與BC相交于點(diǎn)N，且矩形E'F'②當(dāng)233≤t≤【答案】(1)3,2，?(2)①32<t≤【分析】（1）根據(jù)矩形及菱形的性質(zhì)可進(jìn)行求解；（2）①由題意易得EF=E'F'=3,EH=E'H'=1，然后可得∠ABO=60°，則有EM=32，進(jìn)而根據(jù)割補(bǔ)法可進(jìn)行求解面積S；②由①及題意可知當(dāng)23【詳解】（1）解：∵四邊形EFGH是矩形，且E0,∴EF=GH=3∴G?連接AC,BD，交于一點(diǎn)H，如圖所示：

∵四邊形ABCD是菱形，且A(3∴AB=AD=3?02∴AC=2，∴C3故答案為3,2，?（2）解：①∵點(diǎn)E0,12，點(diǎn)F∴矩形EFGH中，EF∥x軸，EH⊥x軸，EF=3∴矩形E'F'G'H'由點(diǎn)A3,0，點(diǎn)B0,1在Rt△ABO中，tan∠ABO=OA在Rt△BME中，由EM=EB?tan60°,EB=1?∴S△BME=1∵EE'=t又S=S∴S=t?3當(dāng)EE'=EM=32時(shí)，則矩形E∴t的取值范圍是32②由①及題意可知當(dāng)233≤t≤332時(shí)，矩形E'F'G'H'∴當(dāng)t=332時(shí)，矩形E

此時(shí)面積S最大，最大值為S=1×3當(dāng)t=1134時(shí)，矩形E

由（1）可知B、D之間的水平距離為23，則有點(diǎn)D到G'F由①可知：∠D=∠B=60°，∴矩形E'F'∴該等邊三角形的邊長(zhǎng)為2×3∴此時(shí)面積S最小，最小值為12綜上所述：當(dāng)233≤t≤【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形、菱形的性質(zhì)及三角函數(shù)、圖形與坐標(biāo)，熟練掌握矩形、菱形的性質(zhì)及三角函數(shù)、圖形與坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．3．（2021·山東淄博·中考真題）已知：在正方形ABCD的邊BC上任取一點(diǎn)F，連接AF，一條與AF垂直的直線(xiàn)l（垂足為點(diǎn)P）沿AF方向，從點(diǎn)A開(kāi)始向下平移，交邊AB于點(diǎn)E．（1）當(dāng)直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)D時(shí)，如圖1所示．求證：AE=BF；（2）當(dāng)直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)AF的中點(diǎn)時(shí)，與對(duì)角線(xiàn)BD交于點(diǎn)Q，連接FQ，如圖2所示．求∠AFQ的度數(shù)；（3）直線(xiàn)l繼續(xù)向下平移，當(dāng)點(diǎn)P恰好落在對(duì)角線(xiàn)BD上時(shí)，交邊CD于點(diǎn)G，如圖3所示．設(shè)AB=2,BF=x,DG=y，求y與x之間的關(guān)系式．【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）∠AFQ=45°；（3）y=【分析】（1）由題意易得AD=AB,∠EAD=∠FBA=90°，進(jìn)而可得∠FAB=∠EDA，則有△ABF≌△DAE，然后問(wèn)題可求證；（2）連接AQ，過(guò)點(diǎn)Q作QM⊥AD于點(diǎn)M，并延長(zhǎng)MQ，交BC于點(diǎn)N，由題意易得AQ=FQ，∠ADB=45°，則有QM=MD，進(jìn)而可得證△AMQ≌△QNF，然后可得∠MQF=90°，則問(wèn)題可求解；（3）過(guò)點(diǎn)D作DH∥EG，交AB于點(diǎn)H，由題意易證四邊形HEGD是平行四邊形，則有AH=BF=x,HE=DG=y，進(jìn)而可得BEDG=BF【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=AB,∠EAD=∠FBA=90°，∵AF⊥ED，∴∠APE=90°，∴∠BAF+∠AEP=∠AEP+∠ADE=90°，∴∠FAB=∠EDA，∴△ABF≌△DAEASA∴AE=BF；（2）解：連接AQ，過(guò)點(diǎn)Q作QM⊥AD于點(diǎn)M，并延長(zhǎng)MQ，交BC于點(diǎn)N，如圖所示：∵點(diǎn)P是AF的中點(diǎn)，AF⊥EQ，∴AQ=FQ，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=DC,∠ADC=∠C=90°,∠ADB=45°，∴四邊形MNCD是矩形，△MDQ是等腰直角三角形，∴MN=CD=AD,MD=MQ，∴AM=QN，∴△AMQ≌△QNFHL∴∠AQM=∠QFN，∵∠FQN+∠QFN=90°，∴∠FQN+∠AQM=90°，即∠AQF=90°，∴△AQF是等腰直角三角形，∴∠AFQ=45°；（3）過(guò)點(diǎn)D作DH∥EG，交AB于點(diǎn)H，如圖所示：∴四邊形HEGD是平行四邊形，∴DG=HE，∵AF⊥EG，∴AF⊥HD，由（1）中結(jié)論可得AH=BF，∵AD//∴△APD∽△FPB，△BPE∽△DPG，∴BFAD∵AB=2,BF=x,DG=y，∴AD=AB=2,AH=BF=x,HE=DG=y，∴BE=2?x?y，∴BEDG∴2?x?yy∴y與x之間的關(guān)系式為y=4?2x【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定、函數(shù)及等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握正方形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定、函數(shù)及等腰直角三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．題型03與四邊形有關(guān)的翻折問(wèn)題1．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，將矩形ABCD(AD>AB)沿對(duì)角線(xiàn)BD翻折，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C'，以矩形ABCD的頂點(diǎn)A為圓心、r為半徑畫(huà)圓，⊙A與BC'相切于點(diǎn)E，延長(zhǎng)DA交⊙A于點(diǎn)F，連接EF交AB

(1)求證：BE=BG．(2)當(dāng)r=1，AB=2時(shí)，求BC的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)BC=2【分析】（1）連接AE，由切線(xiàn)的性質(zhì)得∠AEB=90°，則∠AEG+∠BEG=90°，由矩形的性質(zhì)得∠BAD=∠BAF=90°，再由直角三角形兩銳角互余得∠F+∠AGF=90°，根據(jù)對(duì)頂角相等和同圓的半徑相等得∠BGE=∠AGE，∠F=∠AEG，然后由等角的余角相等得∠BGE=∠BEG，最后由等角對(duì)等邊得出結(jié)論；（2）由銳角三角函數(shù)得，sin∠ABE=AEAB=12，得∠ABE=30°，由翻折得∠CBD=∠C'BD【詳解】（1）證明：如圖，連接AE．

∵⊙A與BC'相切于點(diǎn)∴∠AEB=90°，∴∠AEG+∠BEG=90°．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠BAF=90°，∴∠F+∠AGF=90°．∵AE=AF，∴∠F=∠AEG．∵∠BGE=∠AGF，∴∠BGE=∠BEG，∴BE=BG．（2）解：在Rt△BCD中，AE=1，AB=2∴sin∠ABE=∴∠ABE=30°，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，由翻折可知，∠CBD=∠C∵四邊形ABCD是矩形，∴CD=AB=2，在Rt△BCD中，tan∴BC=CD【點(diǎn)睛】本題是四邊形與圓的綜合題，考查了矩形的性質(zhì)、切線(xiàn)的性質(zhì)、翻折的有關(guān)性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義，正確作出輔助線(xiàn)，巧用解直角三角形是解答本題的關(guān)鍵．2．（2023·江蘇無(wú)錫·中考真題）如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的菱形，∠A=60°，點(diǎn)Q為CD的中點(diǎn)，P為線(xiàn)段AB上的動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將四邊形PBCQ沿PQ翻折得到四邊形PB

(1)當(dāng)∠QPB=45°時(shí)，求四邊形BB(2)當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上移動(dòng)時(shí)，設(shè)BP=x，四邊形BB'C'C的面積為S【答案】(1)4(2)S=【分析】（1）連接BD、BQ，根據(jù)菱形的性質(zhì)以及已知條件可得△BDC為等邊三角形，根據(jù)∠QPB=45°，可得△PBQ為等腰直角三角形，則PB=23，PQ=26，根據(jù)翻折的性質(zhì)，可得∠BPB'=90°，PB=PB'，則BB'=26（2）等積法求得BE=23xx2+12，則QE=12x2【詳解】（1）如圖，連接BD、BQ，∵四邊形ABCD為菱形，∴CB=CD=4，∠A=∠C=60°，∴△BDC為等邊三角形．∵Q為CD中點(diǎn)，∴CQ=2，BQ⊥CD，∴BQ=23，QB⊥PB∵∠QPB=45°，∴△PBQ為等腰直角三角形，∴PB=23，PQ=2∵翻折，∴∠BPB'=90°∴BB'=2同理CQ=2，∴CC'=2∴S四邊形（2）如圖2，連接BQ、B'Q，延長(zhǎng)PQ交CC∵PB=x，BQ=23，∠PBQ=90°∴PQ=x∵S∴BE=BQ×PB∴QE=12∴S△QEB∵∠BEQ=∠BQC=∠QFC=90°，則∠EQB=90°?∠CQF=∠FCQ，∴△BEQ～△QFC，∴S△QFC∴S△QFC∵S△BQC∴S=2S【點(diǎn)睛】本題考查了菱形與折疊問(wèn)題，勾股定理，折疊的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握菱形的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．3．（2023·山東煙臺(tái)·中考真題）【問(wèn)題背景】如圖1，數(shù)學(xué)實(shí)踐課上，學(xué)習(xí)小組進(jìn)行探究活動(dòng)，老師要求大家對(duì)矩形ABCD進(jìn)行如下操作：①分別以點(diǎn)B,C為圓心，以大于12BC的長(zhǎng)度為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，作直線(xiàn)EF交BC于點(diǎn)O，連接AO；②將△ABO沿AO翻折，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在點(diǎn)P處，作射線(xiàn)AP交CD于點(diǎn)

【問(wèn)題提出】在矩形ABCD中，AD=5，AB=3，求線(xiàn)段【問(wèn)題解決】經(jīng)過(guò)小組合作、探究、展示，其中的兩個(gè)方案如下：方案一：連接OQ，如圖2．經(jīng)過(guò)推理、計(jì)算可求出線(xiàn)段CQ的長(zhǎng)；方案二：將△ABO繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°至△RCO處，如圖3．經(jīng)過(guò)推理、計(jì)算可求出線(xiàn)段CQ的長(zhǎng)．請(qǐng)你任選其中一種方案求線(xiàn)段CQ的長(zhǎng)．【答案】線(xiàn)段CQ的長(zhǎng)為2512【分析】方案一：連接OQ，由翻折的不變性，知AP=AB=3，OP=OB=2.5，證明△QPO≌△QCOHL，推出PQ=CQ，設(shè)PQ=CQ=x，在Rt方案二：將△ABO繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°至△RCO處，證明∠OAQ=∠R，推出QA=QR，設(shè)CQ=x，同方案一即可求解．【詳解】解：方案一：連接OQ，如圖2．

∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD=3，AD=BC=5，由作圖知BO=OC=1由翻折的不變性，知AP=AB=3，OP=OB=2.5，∠APO=∠B=90°，∴OP=OC=2.5，∠QPO=∠C=90°，又OQ=OQ，∴△QPO≌△QCOHL∴PQ=CQ，設(shè)PQ=CQ=x，則AQ=3+x，DQ=3?x，在Rt△ADQ中，AD2解得x=25∴線(xiàn)段CQ的長(zhǎng)為2512方案二：將△ABO繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°至△RCO處，如圖3．

∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD=3，AD=BC=5，由作圖知BO=OC=1由旋轉(zhuǎn)的不變性，知CR=AB=3，∠BAO=∠R，∠B=∠OCR=90°，則∠OCR+∠OCD=90°+90°=180°，∴D、C、R共線(xiàn)，由翻折的不變性，知∠BAO=∠OAQ，∴∠OAQ=∠R，∴QA=QR，設(shè)CQ=x，則QA=QR=3+x，DQ=3?x，在Rt△ADQ中，AD2解得x=25∴線(xiàn)段CQ的長(zhǎng)為2512【點(diǎn)睛】本題考查了作線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)，翻折的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題．4．（2023·四川達(dá)州·中考真題）（1）如圖①，在矩形ABCD的AB邊上取一點(diǎn)E，將△ADE沿DE翻折，使點(diǎn)A落在BC上A'處，若AB=6,BC=10，求AE

（2）如圖②，在矩形ABCD的BC邊上取一點(diǎn)E，將四邊形ABED沿DE翻折，使點(diǎn)B落在DC的延長(zhǎng)線(xiàn)上B'處，若BC?CE=24,AB=6，求BE（3）如圖③，在△ABC中，∠BAC=45°,AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D,AD=10,AE=6，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AD交AC于點(diǎn)F，連接DF，且滿(mǎn)足∠DFE=2∠DAC，直接寫(xiě)出BD+5【答案】（1）54；（2）5；（3）【分析】（1）由矩形性質(zhì)和翻折性質(zhì)、結(jié)合勾股定理求得A'B=2，設(shè)AE=A'E=x則BE=AB?AE=6?x，Rt△A（2）由矩形的性質(zhì)和翻折性質(zhì)得到∠EB'C=∠B'DA'，證明△EB進(jìn)而求得BC=8，CE=3可求解；（3）證明△AEF∽△ADC得到CD=53EF，則BD+53EF=BD+CD=BC；設(shè)EF=3k，CD=5k，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AC于H，證明△CHD≌△FHDASA得到DF=CD=5k，在Rt△EFD中，由勾股定理解得k=1，進(jìn)而可求得AC=55，在圖③中，過(guò)B作BG⊥AC于G，證明∠CBG=∠CDH=∠DAC，則sin∠CBG=sin【詳解】解：（1）如圖①，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC=10，CD=AB=6，∠A=∠B=∠C=90°，由翻折性質(zhì)得A'D=AD=10，在Rt△A'∴A'設(shè)AE=A'E=x在Rt△A'∴6?x2+2∴AE=103，∴AEEB（2）如圖②，∵四邊形ABCD是矩形，∴CD=AB=6，AD=BC，∠A=∠B=∠BCD=90°，由翻折性質(zhì)得，A'B'=AB=6，∴∠EB∴∠EB∴△EB∴CEA'B'=∴B'∴B'在Rt△A'∴BC=AD=A'D=8∴BE=BC?CE=8?3=5；（3）∵AD⊥BC，EF⊥AD，∴EF∥∴△AEF∽△ADC，∵AD=10,AE=6，∴EFCD∴CD=53EF設(shè)EF=3k，CD=5k，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AC于H，如圖③，則∠CHD=∠ADC=90°，∴∠CDH=∠DAC=90°?∠C；

∵EF∥∴∠CDF=∠DFE=2∠DAC=2∠CDH，∴∠CDH=∠FDH，又∵DH=DH，∠CHD=∠FHD=90°，∴△CHD≌△FHDASA∴DF=CD=5k，在Rt△EFD中，由勾股定理得E∴3k2+4∴EF=3，DF=CD=5，在Rt△ADC中，AC=在圖③中，過(guò)B作BG⊥AC于G，則∠BGA=∠BGC=∠CHD=90°，∴BG∥∴∠CBG=∠CDH=∠DAC，∴sin∠CBG=sin∠DAC=∵∠BAC=45°，∠AGB=90°，∴∠ABG=90°?∠BAC=45°=∠BAC，則AG=BG，在Rt△BCG中，BG=BC?cos∠CBG=∵AG+CG=BG+CG=AC，∴255BC+∴BD+5

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、翻折性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，較難，屬于中考?jí)狠S題，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用，添加輔助線(xiàn)求解是解答的關(guān)鍵．題型04與四邊形有關(guān)的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題1．（2023·遼寧阜新·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，線(xiàn)段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到CE處，旋轉(zhuǎn)角為α，點(diǎn)F在直線(xiàn)DE上，且AD=AF，連接BF．

(1)如圖1，當(dāng)0°<α<90°時(shí)，①求∠BAF的大?。ㄓ煤恋氖阶颖硎荆谇笞C：EF=2(2)如圖2，取線(xiàn)段EF的中點(diǎn)G，連接AG，已知AB=2，請(qǐng)直接寫(xiě)出在線(xiàn)段CE旋轉(zhuǎn)過(guò)程中（0°<α<360°）△ADG面積的最大值．【答案】(1)①∠BAF=90°?α；②見(jiàn)解析；(2)△ADG面積的最大值為1+2【分析】（1）①利用等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理計(jì)算得到∠FAD=180°?α，據(jù)此求解即可；②連接BE，計(jì)算得到∠BCE=90°?α=∠BAF，利用SAS證明△BCE≌△BAF，推出△EBF是等腰直角三角形，據(jù)此即可證明EF=2（2）過(guò)點(diǎn)G作AD的垂直，交直線(xiàn)AD于點(diǎn)H，連接AC、BD相交于點(diǎn)O，連接OG，利用直角三角形的性質(zhì)推出點(diǎn)G在以點(diǎn)O為圓心，OB為半徑的一段弧上，得到當(dāng)點(diǎn)H、O、G在同一直線(xiàn)上時(shí)，GH有最大值，則△ADG面積的最大值，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）解：①∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠ADC=∠BCD=∠DAB=90°，由題意得CD=CE，∠DCE=α，∴∠CDE=∠CED=1∴∠ADF=90°?∠CDE=90°?90°?∵AD=AF，∴∠ADF=∠AFD=1∴∠FAD=180°?∠ADF?∠AFD=180°?α，∴∠BAF=∠FAD?∠BAD=180°?α?90°=90°?α；②連接BE，

∵∠DCE=α，∴∠BCE=90°?α=∠BAF，∵CD=CE=AD=AF=BC，∴△BCE≌△BAFSAS∴BF=BE，∠ABF=∠CBE，∵∠ABC=90°，∴∠EBF=90°，∴△EBF是等腰直角三角形，∴EF=2（2）解：過(guò)點(diǎn)G作AD的垂線(xiàn)，交直線(xiàn)AD于點(diǎn)H，連接AC、BD相交于點(diǎn)O，連接OG，

由（1）得△EBF是等腰直角三角形，又點(diǎn)G為斜邊EF的中點(diǎn)，∴BG⊥EF，即∠BGD=90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴OB=OD，∴OB=OD=OG，∴點(diǎn)G在以點(diǎn)O為圓心，OB為半徑的一段弧上，當(dāng)點(diǎn)H、O、G在同一直線(xiàn)上時(shí)，GH有最大值，則△ADG面積的最大值，∴GH=1∴△ADG面積的最大值為12【點(diǎn)睛】本題考查的是正方形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，掌握相關(guān)的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．2．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）數(shù)學(xué)興趣小組探究了以下幾何圖形．如圖①，把一個(gè)含有45°角的三角尺放在正方形ABCD中，使45°角的頂點(diǎn)始終與正方形的頂點(diǎn)C重合，繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)三角尺時(shí)，45°角的兩邊CM，CN始終與正方形的邊AD，AB所在直線(xiàn)分別相交于點(diǎn)M，N，連接MN，可得△CMN．

【探究一】如圖②，把△CDM繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBH，同時(shí)得到點(diǎn)H在直線(xiàn)AB上．求證：∠CNM=∠CNH；【探究二】在圖②中，連接BD，分別交CM，CN于點(diǎn)E，F(xiàn)．求證：△CEF∽△CNM；【探究三】把三角尺旋轉(zhuǎn)到如圖③所示位置，直線(xiàn)BD與三角尺45°角兩邊CM，CN分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)．連接AC交BD于點(diǎn)O，求EFNM【答案】[探究一]見(jiàn)解析；[探究二]見(jiàn)解析；[探究三]EF【分析】[探究一]證明△CNM≌△CNH，即可得證；[探究二]根據(jù)正方形的性質(zhì)證明∠CEF=∠FNB，根據(jù)三角形內(nèi)角和得出∠CEF=∠FNB，加上公共角∠ECF=∠NCM，進(jìn)而即可證明[探究三]先證明△ECD∽△NCA，得出∠CED=∠CNA，ECNC=CDAC=12，將△DMC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△BGC，則點(diǎn)G在直線(xiàn)AB上．得出△NCG≌△NCM，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠MNC=∠GNC，進(jìn)而可得∠CNM=∠CEF，證明△ECF∽△NCM【詳解】[探究一]∵把△CDM繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBH，同時(shí)得到點(diǎn)H在直線(xiàn)AB上，∴CM=CH,∠MCH=90°，∴∠NCH=∠MCH?∠MCN=90°?45°=45°，∴∠MCN=∠HCN，在△CNM與△CNH中CM=CH∴△CNM≌△CNH∴∠CNM=∠CNH[探究二]證明：如圖所示，

∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DBA=45°，又∠MCN=45°，∴∠FBN=∠FCE=45°，∵∠EFC=∠BFN，∴∠CEF=∠FNB，又∵∠CNM=∠CNH，∴∠CEF=∠CNM，又∵公共角∠ECF=∠NCM，∴△CEF∽△CNM；[探究三]證明：∵AC,BD是正方形的對(duì)角線(xiàn)，∴∠CDE=∠CDA+∠EDM=135°，∠CAN=180°?∠BAC=135°，∴∠CDE=∠CAN，∵∠MCN=∠DCA=45°，∴∠MCN?∠DCN=∠DCA?∠DCN，即∠ECD=∠NCA，∴△ECD∽△NCA，∴∠CED=∠CNA，ECNC如圖所示，將△DMC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△BGC，則點(diǎn)G在直線(xiàn)AB上．

∴MC=GC，∠MCG=90°，∴∠NCG=∠NCM=45°，又CN=CN，∴△NCG≌△NCM，∴∠MNC=∠GNC，∵∠CNA=∠CEF，∴∠CNM=∠CEF，又∠ECF=∠NCM，∴△ECF∽△NCM，∴EFNM=EC即EFNM【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．3．（2023·浙江紹興·中考真題）在平行四邊形ABCD中（頂點(diǎn)A,B,C,D按逆時(shí)針?lè)较蚺帕校?，AB=12,AD=10,∠B為銳角，且sinB=

(1)如圖1，求AB邊上的高CH的長(zhǎng)．(2)P是邊AB上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C,D同時(shí)繞點(diǎn)P按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得點(diǎn)C'①如圖2，當(dāng)點(diǎn)C'落在射線(xiàn)CA上時(shí)，求BP②當(dāng)△AC'D【答案】(1)8(2)①BP=347；②BP=6【分析】（1）利用正弦的定義即可求得答案；（2）①先證明△PQC'≌△CHP②分三種情況討論完成，第一種：C'為直角頂點(diǎn)；第二種：A為直角頂點(diǎn)；第三種，D【詳解】（1）在?ABCD中，BC=AD=10，在Rt△BCH中，CH=BCsin（2）①如圖1，作CH⊥BA于點(diǎn)H，由（1）得，BH=BC2作C'Q⊥BA交BA延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)Q，則

∴∠C∵∠∴∠PC由旋轉(zhuǎn)知PC∴△PQC設(shè)BP=x，則PQ=CH=8,C∵C'∴C'∴△AQC∴C'QCH∴x=34∴BP=34②由旋轉(zhuǎn)得△PCD≌△PC'D又因?yàn)锳B∥CD，所以C'情況一：當(dāng)以C'

∵C'∴C'落在線(xiàn)段BA∵PC⊥PC∴PC⊥AB，由（1）知，PC=8，∴BP=6．情況二：當(dāng)以A為直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖3．

設(shè)C'D'與射線(xiàn)BA作CH⊥AB于點(diǎn)H．∵PC⊥PC∴∠CPH+∠TPC∵C'∴∠PC∴∠CPH=∠PC又∵∠CHP=∠PTC∴△CPH≌△PC∴C'設(shè)C'T=PH=t，則∴AT=PT?PA=2+t∵∠C∴△ATD∴ATT∴AT∴(2+t)2化簡(jiǎn)得t2解得t=2±2∴BP=BH+HP=8±2情況三：當(dāng)以D'點(diǎn)P落在BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，不符合題意．綜上所述，BP=6或8±2【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，正弦的定義，全等的判定及性質(zhì)，相似的判定及性質(zhì)，理解記憶相關(guān)定義，判定，性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2022·遼寧阜新·中考真題）已知，四邊形ABCD是正方形，△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)（DE<AB），∠EDF=90°，DE=DF，連接AE，CF．(1)如圖1，求證：△ADE≌△CDF；(2)直線(xiàn)AE與CF相交于點(diǎn)G．①如圖2，BM⊥AG于點(diǎn)M，BN⊥CF于點(diǎn)N，求證：四邊形BMGN是正方形；②如圖3，連接BG，若AB=4，DE=2，直接寫(xiě)出在△DEF旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，線(xiàn)段BG長(zhǎng)度的最小值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①見(jiàn)解析②2【分析】1根據(jù)SAS證明三角形全等即可；2①②作DH⊥AG交AG于點(diǎn)H，作BM⊥AG于點(diǎn)M，證明△BMG是等腰直角三角形，求出BM的最小值，可得結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠ADC=9