高等數(shù)學(xué)（第五版）課件 第二節(jié) 三角函數(shù)與反三角函數(shù)

第一章函數(shù)第一章函數(shù)

函數(shù)是數(shù)學(xué)的基本概念，也是高等數(shù)學(xué)的主要研究對象。本章將介紹函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)與初等函數(shù)的基本知識，為極限與連續(xù)的學(xué)習(xí)奠定必要的基礎(chǔ)。第一節(jié)函數(shù)的概念

第二節(jié)三角函數(shù)與反三角函數(shù)

第三節(jié)初等函數(shù)的概述

第四節(jié)MATLAB數(shù)學(xué)實驗（一）

第二節(jié)三角函數(shù)與反三角函數(shù)

引例1.2【升國旗】升國旗時,某同學(xué)站在離旗桿底24m處行注目禮當(dāng)國物升至旗桿頂端時，該同學(xué)視線的仰角恰為60°,若雙眼離地面1.6m，請問旗桿高度為多少米?1.任意角的三角函數(shù)1.6m60°24m第二節(jié)三角函數(shù)與反三角函數(shù)

oyxP(x，y)

的終邊

r

定義1.4一般地，稱

為角α的正弦，記作sinα，即sinα=

；稱

為角α的正弦，記作cosα，即cosα=；當(dāng)角α的終邊不在

軸上時，稱

為角α的正弦，記作tanα，即tanα=；當(dāng)角α的終邊不在

軸上時，稱

為角α的正弦，記作cotα，即cotα=；當(dāng)角α的終邊不在

軸上時，稱

為角α的正弦，記作secα，即secα=；當(dāng)角α的終邊不在

軸上時，稱

為角α的正弦，記作cscα，即cscα=.xy第二節(jié)三角函數(shù)與反三角函數(shù)

oxyoxyoxy規(guī)律：

“一全正、二正弦正、三正切正、四余弦正”.第二節(jié)三角函數(shù)與反三角函數(shù)

第二節(jié)三角函數(shù)與反三角函數(shù)

例1.8在平面直角坐標(biāo)系中，角α的始邊為x軸的正半軸，終邊上有一點，坐標(biāo)為

，請求出角α的所有三角函數(shù)值。xyoPα終邊第二節(jié)三角函數(shù)與反三角函數(shù)

三角函數(shù)的性質(zhì)與圖像（1）正弦函數(shù)定義域：R值域：[-1,1]當(dāng)且僅當(dāng)

時，函數(shù)

的最大值

；當(dāng)且僅當(dāng)

時，函數(shù)

的最小值

；正弦函數(shù)是奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點中心對稱；正弦函數(shù)是一個周期函數(shù)，

是它的周期，其最小正周期為

；正弦函數(shù)在區(qū)間

上單調(diào)增加，在區(qū)間

上單調(diào)減少。第二節(jié)三角函數(shù)與反三角函數(shù)

三角函數(shù)的性質(zhì)與圖像（2）余弦函數(shù)定義域：R值域：[-1,1]當(dāng)且僅當(dāng)

時，函數(shù)

的最大值

；當(dāng)且僅當(dāng)

時，函數(shù)

的最小值

；余弦函數(shù)是偶函數(shù)，其圖像關(guān)于

軸對稱；余弦函數(shù)是一個周期函數(shù)，

是它的周期，其最小正周期為

；余弦函數(shù)在區(qū)間

上單調(diào)增加，在區(qū)間

上單調(diào)減少。第二節(jié)三角函數(shù)與反三角函數(shù)

動腦筋想一想？（1）正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖像有什么關(guān)系？（2）正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的關(guān)系。第二節(jié)三角函數(shù)與反三角函數(shù)

三角函數(shù)的性質(zhì)與圖像（3）正切函數(shù)定義域：值域：R正切函數(shù)是奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點中心對稱；正切函數(shù)是一個周期函數(shù)，

是它的周期，其最小正周期為

；正切函數(shù)在每一個開區(qū)間

上都是單調(diào)增加的。學(xué)有所思正切函數(shù)在定義域上是單調(diào)增加函數(shù)嗎？第二節(jié)三角函數(shù)與反三角函數(shù)

三角函數(shù)的性質(zhì)與圖像（4）余切函數(shù)定義域：值域：R余切函數(shù)是奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點中心對稱；余切函數(shù)是一個周期函數(shù)，

是它的周期，其最小正周期為

；余切函數(shù)在每一個開區(qū)間

上都是單調(diào)減少的。第二節(jié)三角函數(shù)與反三角函數(shù)

動腦筋想一想？（1）正切函數(shù)和余切函數(shù)的圖像有啥特點？（2）正切函數(shù)和余切函數(shù)的關(guān)系。第二節(jié)三角函數(shù)與反三角函數(shù)

三角函數(shù)的性質(zhì)與圖像（5）正割函數(shù)定義域：值域：正割函數(shù)是偶函數(shù)，其圖像關(guān)于

軸對稱；正割函數(shù)是一個周期函數(shù)，

是它的周期，其最小正周期為

。第二節(jié)三角函數(shù)與反三角函數(shù)

三角函數(shù)的性質(zhì)與圖像（6）余割函數(shù)定義域：值域：余割函數(shù)是奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點中心對稱；余割函數(shù)是一個周期函數(shù)，

是它的周期，其最小正周期為

。第二節(jié)三角函數(shù)與反三角函數(shù)

六邊形記憶法圖形結(jié)構(gòu):上弦/中切/下割，左正/右余/中間1.記憶方法:(1)對角線上兩個函數(shù)的積為1;(2)陰影三角形兩個上頂點的平方和等于下頂點的平方;(3)任一頂點的三角函數(shù)值等于相鄰兩個頂點的函數(shù)值之積，2.三角函數(shù)的關(guān)系①第二節(jié)三角函數(shù)與反三角函數(shù)

倒數(shù)關(guān)系商的關(guān)系平方關(guān)系正割余割余切2.三角函數(shù)的關(guān)系常用公式第二節(jié)三角函數(shù)與反三角函數(shù)

和差化積公式積化和差公式2.三角函數(shù)的關(guān)系第二節(jié)三角函數(shù)與反三角函數(shù)

二倍角公式降冪公式2.三角函數(shù)的關(guān)系第二節(jié)三角函數(shù)與反三角函數(shù)

3.反三角函數(shù)（1）反正弦函數(shù)正弦函數(shù)

在

上的反函數(shù)，稱為反正弦函數(shù)。定義域：[-1,1]值域：反正弦函數(shù)是奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點中心對稱；反正弦函數(shù)在定義域范圍內(nèi)是單調(diào)增加的。反三角函數(shù)的概念與性質(zhì)第二節(jié)三角函數(shù)與反三角函數(shù)

例1.9求函數(shù)

的定義域。第二節(jié)三角函數(shù)與反三角函數(shù)

3.反三角函數(shù)（2）反余弦函數(shù)余弦函數(shù)

在

上的反函數(shù)，稱為反余弦函數(shù)。定義域：[-1,1]值域：反余弦函數(shù)是非奇非偶函數(shù)；反余弦函數(shù)在定義域范圍內(nèi)是單調(diào)減少的。第二節(jié)三角函數(shù)與反三角函數(shù)

3.反三角函數(shù)（3）反正切函數(shù)正切函數(shù)

在

上的反函數(shù)，稱為反正切函數(shù)。定義域：R值域：反正切函數(shù)是奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點中心對稱；反正切函數(shù)在定義域范圍內(nèi)是單調(diào)增加的。第二節(jié)三角函數(shù)與反三角函數(shù)

3.反三角函數(shù)（4）反余切函數(shù)余切函數(shù)

在

上的反函數(shù)，稱為反余切函數(shù)。定義域：R值域：反余切函數(shù)是非奇非偶函數(shù)；反余切函數(shù)在定義域范圍內(nèi)是單調(diào)減少的。第二節(jié)三角函數(shù)與反三角函數(shù)

3.反三角函數(shù)反三角函數(shù)的關(guān)系（1）余角關(guān)系（2）負(fù)數(shù)關(guān)系第二節(jié)三角函數(shù)與反三角函數(shù)

例1.10求下列各反三角函數(shù)的值：（1）

（2）

（3）

（4）案例1.4

【別墅造價】

第二節(jié)三角函數(shù)與反三角函數(shù)

第二節(jié)三角函數(shù)與反三角函數(shù)

案例1.4

【別墅造價】

一棟新農(nóng)村別墅，它的屋頂由四坡屋面構(gòu)成，如圖1.12所示.其中,前后兩坡屋面ABFE和CDEF是全等的等腰梯形,左右兩坡屋面EAD和FBC是全等的三角形,點F在平面ABCD和FBC上的射影分別為H和M.已知HM=5m,BC=10m,梯形ABFE的面積是三角形FBC面積的2.2倍，∠FMH=θ.已知屋頂造價與屋頂面積成正比，比例系數(shù)為k(k為正的常數(shù))，下部主體造價與其高度成正比，比例系數(shù)為16k.現(xiàn)欲造一棟上、下總高度為6m的別墅,求該別墅的總造價.解：在Rt△FHM中，HM=5m，∠FMH=θ，則

，因此，△FBC的面積為：從而，屋頂?shù)拿娣e為：第二節(jié)三角函數(shù)與反三角函數(shù)

案例1.4

【別墅造價】

一棟新農(nóng)村別墅，它的屋頂由四坡屋面構(gòu)成，如圖1.12所示.其中,前后兩坡屋面ABFE和CDEF是全等的等腰梯形,左右兩坡屋面EAD和FBC是全等的三角形,點F在平面ABCD和FBC上的射影分別為H和M.已知HM=5m,BC=10m,梯形ABFE的面積是三角形FBC面積的2.2倍，∠FMH=θ.已知屋頂造價與屋頂面積成正比，比例系數(shù)為k(k為正的常數(shù))，下部主體造價與其高度成正比，比例系數(shù)為16k.現(xiàn)欲造一棟上、下總高度為6m的別墅,求該別墅的總造價.又因為在Rt△FHM中，F(xiàn)H=5tanθm，所以下部主體高度h=6-5tanθm，所以，別墅的總造價為升學(xué)直通車

1.函數(shù)

是（

）（A）偶函數(shù)

（B）奇函數(shù)

（C）非奇非偶函數(shù)

（D）無法判斷奇偶性小結(jié)本次課主要介紹了三角函數(shù)與反三角函數(shù)的解析表達(dá)式、定義域、主要