第02講 數(shù)列中的新定義綜合（學(xué)生版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫

Page第02講數(shù)列中的新定義綜合（8類核心考點(diǎn)精講精練）新高考改革后，數(shù)列作為高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，在考試中占據(jù)了重要的地位。數(shù)列的考查不僅限于傳統(tǒng)的等差數(shù)列、等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)，還涉及到了一些新的定義和概念。這些新定義通常要求考生具備較強(qiáng)的邏輯推理能力和創(chuàng)新思維。在新定義數(shù)列的考題中，有以下幾種情況：新定義的數(shù)列類型：例如，斐波那契數(shù)列的變種、遞推數(shù)列、分段定義的數(shù)列等。這些數(shù)列的定義和性質(zhì)可能與傳統(tǒng)數(shù)列有所不同，需要考生仔細(xì)閱讀題目，準(zhǔn)確理解新定義。數(shù)列性質(zhì)的探究：考生可能需要探究新定義數(shù)列的通項(xiàng)公式、遞推關(guān)系、特殊項(xiàng)的性質(zhì)等。這要求考生能夠靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法、數(shù)列極限等數(shù)學(xué)工具。數(shù)列與函數(shù)、不等式等其他數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合應(yīng)用：新定義數(shù)列的題目往往與其他數(shù)學(xué)知識(shí)相結(jié)合，考查考生的綜合運(yùn)用能力。例如，數(shù)列與函數(shù)的圖像、數(shù)列與不等式的解法等。實(shí)際問題的數(shù)學(xué)建模：新高考數(shù)學(xué)注重考查學(xué)生的實(shí)際應(yīng)用能力，因此，數(shù)列問題可能會(huì)與實(shí)際問題相結(jié)合，要求考生建立數(shù)學(xué)模型來(lái)解決實(shí)際問題。為了應(yīng)對(duì)新定義數(shù)列的考題，考生需要：熟悉并掌握高中數(shù)學(xué)數(shù)列的基本概念和性質(zhì)。增強(qiáng)閱讀理解能力，準(zhǔn)確把握新定義數(shù)列的特點(diǎn)。培養(yǎng)邏輯推理和創(chuàng)新思維，能夠獨(dú)立探究數(shù)列的性質(zhì)。加強(qiáng)與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系，提高綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力。注重實(shí)際問題的數(shù)學(xué)建模訓(xùn)練，提升解決實(shí)際問題的能力。總之，新高考數(shù)學(xué)數(shù)列部分的考查更加注重考生的綜合能力，考生需要在平時(shí)的學(xué)習(xí)中注重基礎(chǔ)知識(shí)的積累，同時(shí)加強(qiáng)思維訓(xùn)練和實(shí)際應(yīng)用能力的培養(yǎng)?？键c(diǎn)一、斐波那契數(shù)列1．（2024·黑龍江大慶·模擬預(yù)測(cè)）意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣的一列數(shù)：，該數(shù)列的特點(diǎn)是：從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，人們把這樣的一列數(shù)所組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”，則是斐波那契數(shù)列中的第項(xiàng)．2．（2024·貴州遵義·模擬預(yù)測(cè)）（多選）數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…稱為斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割該數(shù)列，從第三項(xiàng)開始，各項(xiàng)等于其前相鄰兩項(xiàng)之和，即（），則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．B．C．D．3．（23-24高三上·河北廊坊·期末）意大利數(shù)學(xué)家斐波那契以兔子繁殖數(shù)量為例，引入數(shù)列：1，1，2，3，5，8，該數(shù)列從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)之和，即，故此數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列，又稱為“兔子數(shù)列”，其通項(xiàng)公式為，設(shè)是不等式的正整數(shù)解，則的最小值為（

）A．6 B．7 C．8 D．91．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）我們把由0和1組成的數(shù)列稱為數(shù)列，數(shù)列在計(jì)算機(jī)科學(xué)和信息技術(shù)領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用，把斐波那契數(shù)列（，）中的奇數(shù)換成0，偶數(shù)換成1可得到數(shù)列an，若數(shù)列an的前項(xiàng)和為，且，則的值可能是（

）A．100 B．201 C．302 D．3992．（24-25高二上·山東青島·階段練習(xí)）在數(shù)學(xué)上，斐波納契數(shù)列定義為：，，，斐波納契數(shù)列有種看起來(lái)很神奇的巧合，如根據(jù)可得，所以，類比這一方法，可得（

）A．714 B．1870 C．4895 D．48963．（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）（多選）意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子的繁殖問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣的一列數(shù)：1，1，2，3，5，8，13，21，….該數(shù)列的特點(diǎn)如下：前兩個(gè)數(shù)均為1，從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和.人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列，若用表示斐波那契數(shù)列的第項(xiàng)，則數(shù)列滿足：，.則下列說法正確的是（

）A．B．C．D．考點(diǎn)二、差數(shù)列及階差數(shù)列1．（23-24高二上·云南昆明·期末）數(shù)學(xué)家楊輝在其專著《詳解九章算術(shù)法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的高階等差數(shù)列．其中二階等差數(shù)列是一個(gè)常見的高階等差數(shù)列，如數(shù)列2，4，7，11，16從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差組成的新數(shù)列2，3，4，5是等差數(shù)列，則稱數(shù)列2，4，7，11，16為二階等差數(shù)列．現(xiàn)有二階等差數(shù)列，其前六項(xiàng)分別為1，3，6，10，15，21，則的最小值為．2．（23-24高三下·重慶·階段練習(xí)）定義：滿足為常數(shù)，）的數(shù)列稱為二階等比數(shù)列，為二階公比.已知二階等比數(shù)列的二階公比為，則使得成立的最小正整數(shù)為（

）A．7 B．8 C．9 D．103．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）給定數(shù)列，稱為的差數(shù)列（或一階差數(shù)列），稱數(shù)列的差數(shù)列為的二階差數(shù)列……(1)求的二階差數(shù)列；(2)用含的式子表示的階差數(shù)列，并求其前項(xiàng)和．1．（2024·四川自貢·一模）南末數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項(xiàng)之差并不相等，但是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列.對(duì)這類高階等差數(shù)列的研究，在楊輝之后一般稱為“垛積術(shù)”.現(xiàn)有高階等差數(shù)列，其前項(xiàng)分別為，則該數(shù)列的第項(xiàng)（

）A． B． C． D．2．（2024·四川南充·三模）對(duì)于數(shù)列，規(guī)定為數(shù)列的一階差分，其中，規(guī)定為數(shù)列的k階差分，其中．若，則（

）A．7 B．9 C．11 D．133．（2024·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于數(shù)列，稱為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列，其中.對(duì)正整數(shù)，稱為數(shù)列的階差分?jǐn)?shù)列，其中已知數(shù)列的首項(xiàng)，且為的二階差分?jǐn)?shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列，對(duì)，是否都有成立？并說明理由；（其中為組合數(shù)）(3)對(duì)于（2）中的數(shù)列，令，其中.證明：.考點(diǎn)三、平方數(shù)列與類平方數(shù)列1．（23-24高三上·四川綿陽(yáng)·階段練習(xí)）若數(shù)列滿足則稱為“平方遞推數(shù)列”.已知數(shù)列是“平方遞推數(shù)列”，且則（

）A．是等差數(shù)列 B．是等差數(shù)列C．是“平方遞推數(shù)列” D．是“平方遞推數(shù)列”1．（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知數(shù)列an滿足：①；②，，，，則稱數(shù)列an為“類平方數(shù)列”，若數(shù)列bn滿足：①數(shù)列bn不是“類平方數(shù)列”；②將數(shù)列bn中的項(xiàng)調(diào)整一定的順序后可使得新數(shù)列成為“類平方數(shù)列”，則稱數(shù)列bn為“變換類平方數(shù)列”，則（

A．已知數(shù)列，則數(shù)列an為“類平方數(shù)列”B．已知數(shù)列an為：3，5，6，11，則數(shù)列aC．已知數(shù)列an的前頂和為，則數(shù)列an為“類平方數(shù)列”D．已知，.則數(shù)列an為“變換類平方數(shù)列”考點(diǎn)四、數(shù)列的單調(diào)性1．（2024·江西新余·模擬預(yù)測(cè)）我們規(guī)定：若數(shù)列為遞增數(shù)列且也為遞增數(shù)列，則為“數(shù)列”.(1)已知：，，，數(shù)列中其中只有一個(gè)數(shù)列，它是：；請(qǐng)從另外兩個(gè)數(shù)列中任選一個(gè)證明其不是數(shù)列.(2)已知數(shù)列an滿足：，為an的前項(xiàng)和，試求an的通項(xiàng)并判斷數(shù)列是否為數(shù)列并證之.(3)已知數(shù)列an、bn均為數(shù)列，且，，求證：數(shù)列也為數(shù)列.1．（24-25高三上·河南·開學(xué)考試）若數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或幾項(xiàng)之間的關(guān)系由函數(shù)確定，則稱為的遞歸函數(shù)．設(shè)的遞歸函數(shù)為．(1)若，（），證明：為遞減數(shù)列；(2)若，且，的前項(xiàng)和記為．①求；②我們稱為取整函數(shù)，亦稱高斯函數(shù)，它表示不超過的最大整數(shù)，例如，．若，求．2．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）已知是各項(xiàng)均為正整數(shù)的無(wú)窮遞增數(shù)列，對(duì)于，定義集合，設(shè)為集合中的元素個(gè)數(shù)，特別規(guī)定：若時(shí)，．(1)若，寫出，及的值；(2)若數(shù)列是等差數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)設(shè)集合，，求證：且．考點(diǎn)五、數(shù)列的凹凸性1．（2024·安徽池州·模擬預(yù)測(cè)）定義：若對(duì)恒成立，則稱數(shù)列為“上凸數(shù)列”．(1)若，判斷是否為“上凸數(shù)列”，如果是，給出證明；如果不是，請(qǐng)說明理由．(2)若為“上凸數(shù)列”，則當(dāng)時(shí)，．（?。┤魯?shù)列為的前項(xiàng)和，證明：；（ⅱ）對(duì)于任意正整數(shù)序列（為常數(shù)且），若恒成立，求的最小值．1．（24-25高三上·安徽亳州·開學(xué)考試）已知數(shù)列，對(duì)于任意的，都有，則稱數(shù)列為“凹數(shù)列”．(1)判斷數(shù)列是否為“凹數(shù)列”，請(qǐng)說明理由；(2)已知等差數(shù)列，首項(xiàng)為4，公差為，且為“凹數(shù)列”，求的取值范圍；(3)證明：數(shù)列為“凹數(shù)列”的充要條件是“對(duì)于任意的，當(dāng)時(shí)，有”．2．（24-25高二上·上?！るA段練習(xí)）已知數(shù)列，對(duì)于任意的正整數(shù)，都有則稱數(shù)列是嚴(yán)格凹數(shù)列．(1)若數(shù)列，的通項(xiàng)公式分別為，判斷數(shù)列，是否為嚴(yán)格凹數(shù)列，無(wú)需說明理由；(2)證明：“對(duì)于任意正整數(shù)的，當(dāng)時(shí)，有”是“數(shù)列為嚴(yán)格凹數(shù)列”的充要條件；(3)函數(shù)是定義在正實(shí)數(shù)集上的嚴(yán)格增函數(shù)，且數(shù)列是嚴(yán)格凹數(shù)列，嚴(yán)格增數(shù)列（正整數(shù)為常數(shù)且）各項(xiàng)均為互不相等的正整數(shù)，若恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．考點(diǎn)六、數(shù)列的周期性1．（2024·上海青浦·二模）若無(wú)窮數(shù)列滿足：存在正整數(shù)，使得對(duì)一切正整數(shù)成立，則稱是周期為的周期數(shù)列．(1)若（其中正整數(shù)m為常數(shù)，），判斷數(shù)列是否為周期數(shù)列，并說明理由；(2)若，判斷數(shù)列是否為周期數(shù)列，并說明理由；(3)設(shè)是無(wú)窮數(shù)列，已知．求證：“存在，使得是周期數(shù)列”的充要條件是“是周期數(shù)列”．2．（2024·廣東珠?！ひ荒＃?duì)于數(shù)列an，若存在常數(shù)，，使得對(duì)任意的正整數(shù)，恒有成立，則稱數(shù)列an是從第項(xiàng)起的周期為的周期數(shù)列．當(dāng)時(shí)，稱數(shù)列an為純周期數(shù)列；當(dāng)時(shí)，稱數(shù)列an為混周期數(shù)列．記x為不超過的最大整數(shù)，設(shè)各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列an滿足：.(1)若對(duì)任意正整數(shù)都有，請(qǐng)寫出三個(gè)滿足條件的的值；(2)若數(shù)列an是純周期數(shù)列，請(qǐng)寫出滿足條件的的表達(dá)式，并說明理由；(3)證明：不論為何值，總存在使得．3．（2024·湖南長(zhǎng)沙·一模）對(duì)于數(shù)列，如果存在正整數(shù)，使得對(duì)任意，都有，那么數(shù)列就叫做周期數(shù)列，叫做這個(gè)數(shù)列的周期.若周期數(shù)列滿足：存在正整數(shù)，對(duì)每一個(gè)，都有，我們稱數(shù)列和為“同根數(shù)列”.(1)判斷數(shù)列是否為周期數(shù)列.如果是，寫出該數(shù)列的周期，如果不是，說明理由；(2)若和是“同根數(shù)列”，且周期的最小值分別是和，求的最大值.1．（24-25高三上·黑龍江牡丹江·階段練習(xí)）對(duì)于數(shù)列，若存在常數(shù)，，使得對(duì)任意的正整數(shù)，恒有成立，則稱數(shù)列是從第項(xiàng)起的周期為的周期數(shù)列．當(dāng)時(shí)，稱數(shù)列為純周期數(shù)列；當(dāng)時(shí)，稱數(shù)列為混周期數(shù)列．記為不超過的最大整數(shù)，設(shè)各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列滿足：.(1)若對(duì)任意正整數(shù)都有，請(qǐng)寫出三個(gè)滿足條件的的值；(2)若數(shù)列是常數(shù)列，請(qǐng)寫出滿足條件的的表達(dá)式，并說明理由；(3)證明：不論為何值，總存在使得．2．（23-24高三上·北京豐臺(tái)·期末）對(duì)于數(shù)列，如果存在正整數(shù)，使得對(duì)任意，都有，那么數(shù)列就叫做周期數(shù)列，叫做這個(gè)數(shù)列的周期．若周期數(shù)列，滿足：存在正整數(shù)，對(duì)每一個(gè)，都有，我們稱數(shù)列和為“同根數(shù)列”．(1)判斷下列數(shù)列是否為周期數(shù)列．如果是，寫出該數(shù)列的周期，如果不是，說明理由；①；②(2)若和是“同根數(shù)列”，且周期的最小值分別是3和5，求證：；(3)若和是“同根數(shù)列”，且周期的最小值分別是和，求的最大值．考點(diǎn)七、數(shù)列的新概念1．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）定義：已知數(shù)列的首項(xiàng)，前項(xiàng)和為.設(shè)與是常數(shù)，若對(duì)一切正整數(shù)，均有成立，則稱此數(shù)列為“”數(shù)列.若數(shù)列是“”數(shù)列，則數(shù)列的通項(xiàng)公式（

）A． B． C． D．2．（23-24高三下·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）對(duì)于無(wú)窮數(shù)列，若對(duì)任意，且，存在，使得成立，則稱為“數(shù)列”.(1)若數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為，試判斷數(shù)列bn是否為“數(shù)列”，并說明理由；(2)已知數(shù)列an①若an是“數(shù)列”，，且，求所有可能的取值；②若對(duì)任意，存在，使得成立，求證：數(shù)列an為“數(shù)列”.3．（2024·遼寧·三模）若實(shí)數(shù)列滿足，有，稱數(shù)列為“數(shù)列”.(1)判斷是否為“數(shù)列”，并說明理由；(2)若數(shù)列為“數(shù)列”，證明：對(duì)于任意正整數(shù)，且，都有(3)已知數(shù)列為“數(shù)列”，且.令，其中表示中的較大者.證明：，都有.4．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）若無(wú)窮數(shù)列滿足：對(duì)于，其中為常數(shù)，則稱數(shù)列為數(shù)列．(1)若一個(gè)公比為的等比數(shù)列為“數(shù)列”，求的值；(2)若是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，在與之間依次插入數(shù)列中的項(xiàng)構(gòu)成新數(shù)列，求數(shù)列中前30項(xiàng)的和．(3)若一個(gè)“數(shù)列"滿足，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為．是否存在正整數(shù)，使不等式對(duì)一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．1．（2024·北京東城·二模）設(shè)無(wú)窮正數(shù)數(shù)列，如果對(duì)任意的正整數(shù)，都存在唯一的正整數(shù)，使得，那么稱為內(nèi)和數(shù)列，并令，稱為的伴隨數(shù)列，則（

）A．若為等差數(shù)列，則為內(nèi)和數(shù)列B．若為等比數(shù)列，則為內(nèi)和數(shù)列C．若內(nèi)和數(shù)列為遞增數(shù)列，則其伴隨數(shù)列為遞增數(shù)列D．若內(nèi)和數(shù)列的伴隨數(shù)列為遞增數(shù)列，則為遞增數(shù)列2．（2024·湖北荊州·三模）“數(shù)列”定義：數(shù)列的前項(xiàng)和為，如果對(duì)于任意的正整數(shù)，總存在正整數(shù)使則稱數(shù)列是“數(shù)列”.(1)若數(shù)列的前項(xiàng)和為求證：數(shù)列是“數(shù)列”；(2)已知數(shù)列是“數(shù)列”，且數(shù)列是首項(xiàng)為，公差小于的等差數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)若數(shù)列滿足：求數(shù)列的前項(xiàng)和.3．（2024·黑龍江·二模）如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比都大于3，則稱這個(gè)數(shù)列為“型數(shù)列”．(1)若數(shù)列滿足，判斷是否為“型數(shù)列”，并說明理由；(2)已知正項(xiàng)數(shù)列為“型數(shù)列”，，數(shù)列滿足，，是等比數(shù)列，公比為正整數(shù)，且不是“型數(shù)列”，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）定義：若對(duì)于任意的，數(shù)列滿足，則稱這個(gè)數(shù)列是“數(shù)列”．(1)已知首項(xiàng)為1的等差數(shù)列是“數(shù)列”，且恒成立，求的取值范圍．(2)已知各項(xiàng)均為正整數(shù)的等比數(shù)列是“數(shù)列”，數(shù)列不是“數(shù)列”．記，若數(shù)列是“數(shù)列”．①求數(shù)列的通項(xiàng)公式．②是否存在正整數(shù)，使成等差數(shù)列？若存在，求出的所有值；若不存在，請(qǐng)說明理由．考點(diǎn)八、數(shù)列的新性質(zhì)1．（2024·山東青島·三模）（多選）若有窮整數(shù)數(shù)列滿足：，且，則稱具有性質(zhì).則（

）A．存在具有性質(zhì)的B．存在具有性質(zhì)的C．若具有性質(zhì)，則中至少有兩項(xiàng)相同D．存在正整數(shù)，使得對(duì)任意具有性質(zhì)的，有中任意兩項(xiàng)均不相同2．（2024·河南·三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若存在常數(shù)，使得對(duì)任意都成立，則稱數(shù)列具有性質(zhì)．(1)若數(shù)列為等差數(shù)列，且，求證：數(shù)列具有性質(zhì)；(2)設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且具有性質(zhì)．①若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，且，求的值；②求的最小值．1．（23-24高二下·安徽六安·期末）如果無(wú)窮數(shù)列滿足“對(duì)任意正整數(shù)，都存在正整數(shù)，使得”，則稱數(shù)列具有“性質(zhì)”.(1)若等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且公比，求證：數(shù)列具有“性質(zhì)”；(2)若等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差，求證：數(shù)列具有“性質(zhì)”，當(dāng)且僅當(dāng)；(3)如果各項(xiàng)均為正整數(shù)的無(wú)窮等比數(shù)列具有“性質(zhì)”，且四個(gè)數(shù)中恰有兩個(gè)出現(xiàn)在數(shù)列中，求的所有可能取值之和.2．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）若項(xiàng)數(shù)為的數(shù)列滿足兩個(gè)性質(zhì)：①；②存在，使得，并記是數(shù)列的最大項(xiàng)，．則稱數(shù)列具有性質(zhì)．(1)若，寫出所有具有性質(zhì)的數(shù)列；(2)數(shù)列具有性質(zhì),若，求的最大項(xiàng)的最大值；(3)數(shù)列具有性質(zhì),若，且還滿足以下兩條性質(zhì)：（?。?duì)于滿足的項(xiàng)和，在的余下的項(xiàng)中，總存在滿足的項(xiàng)和，使得；（ⅱ）對(duì)于滿足的項(xiàng)和，在的余下的項(xiàng)中，總存在滿足的項(xiàng)和，使得．求滿足上述性質(zhì)的的最小值．一、填空題1．（2023·陜西銅川·一模）定義“等和數(shù)列”：在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和.已知數(shù)列是等和數(shù)列，且，公和為1，那么這個(gè)數(shù)列的前2024項(xiàng)和.2．（2024·北京通州·三模）若數(shù)列、均為嚴(yán)格增數(shù)列，且對(duì)任意正整數(shù)n，都存在正整數(shù)m，使得，則稱數(shù)列為數(shù)列的“M數(shù)列”．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則下列結(jié)論中正確的是．①存在等差數(shù)列，使得是的“M數(shù)列”②存在等比數(shù)列，使得是的“M數(shù)列”③存在等差數(shù)列，使得是的“M數(shù)列”④存在等比數(shù)列，使得是的“M數(shù)列”3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）將正整數(shù)n分解為兩個(gè)正整數(shù)，的積，即，當(dāng)，兩數(shù)差的絕對(duì)值最小時(shí)，我們稱其為最優(yōu)分解.如，其中即為12的最優(yōu)分解，當(dāng)，是n的最優(yōu)分解時(shí)，定義，則數(shù)列的前2024項(xiàng)的和為（

）A． B． C． D．4．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·三模）若對(duì)項(xiàng)數(shù)為的數(shù)列中的任意一項(xiàng)，也是該數(shù)列中的一項(xiàng)，則稱這樣的數(shù)列為“可倒數(shù)數(shù)列”.已知正項(xiàng)等比數(shù)列是“可倒數(shù)數(shù)列”，其公比為，所有項(xiàng)和為，寫出一個(gè)符合題意的的值.5．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）定義首項(xiàng)為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“數(shù)列”.已知數(shù)列（）的前項(xiàng)和為，且滿足，.設(shè)為正整數(shù).若存在“數(shù)列”（），對(duì)任意正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，都有成立，則的最大值為.二、多選題6．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)列中，若對(duì)，都有（為常數(shù)），則稱數(shù)列為“等差比數(shù)列”，為公差比，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和是，則下列說法一定正確的是（

）A．等差數(shù)列是等差比數(shù)列B．若等比數(shù)列是等差比數(shù)列，則該數(shù)列的公比與公差比相同C．若數(shù)列是等差比數(shù)列，則數(shù)列是等比數(shù)列D．若數(shù)列是等比數(shù)列，則數(shù)列等差比數(shù)列7．（23-24高三上·上海普陀·期末）對(duì)于無(wú)窮數(shù)列，給出如下三個(gè)性質(zhì)：①；②對(duì)于任意正整數(shù)，都有；③對(duì)于任意正整數(shù)，存在正整數(shù)，使得定義：同時(shí)滿足性質(zhì)①和②的數(shù)列為“s數(shù)列”，同時(shí)滿足性質(zhì)①和③的數(shù)列為“t數(shù)列”，則下列說法正確的是（

）A．若為“s數(shù)列”，則為“t數(shù)列”B．若，則為“t數(shù)列”C．若，則為“s數(shù)列”D．若等比數(shù)列為“t數(shù)列”則為“s數(shù)列”8．（2024·河北承德·二模）對(duì)于給定的數(shù)列，如果存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意成立，我們稱數(shù)列是“線性數(shù)列”，則下列說法正確的是（

）A．等差數(shù)列是“線性數(shù)列”B．等比數(shù)列是“線性數(shù)列”C．若且，則D．若且，則是等比數(shù)列的前項(xiàng)和9．（2024·湖南衡陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）在股票市場(chǎng)中，股票的價(jià)格是有界的，投資者通常會(huì)通過價(jià)格的變化來(lái)確保自己的風(fēng)險(xiǎn)，這種變化的價(jià)格類似于我們數(shù)學(xué)中的數(shù)列，定義如果存在正數(shù)，使得對(duì)一切正整數(shù)，都有，則稱為有界數(shù)列，數(shù)列收斂指數(shù)列有極限，我們把極限存在（不含無(wú)窮大）的數(shù)列稱為收斂數(shù)列，如數(shù)列，顯然對(duì)一切正整數(shù)都有，而的極限為，即數(shù)列既有界也收斂.如數(shù)列，顯然對(duì)一切正整數(shù)都有，但不存在極限，即數(shù)列有界但不收斂.下列數(shù)列是有界數(shù)列但不收斂的數(shù)列有（

）A． B．C． D．10．（2024·河南·一模）對(duì)于數(shù)列（），定義為，，…，中最大值（）（），把數(shù)列稱為數(shù)列的“M值數(shù)列”.如數(shù)列2，2，3，7，6的“M值數(shù)列”為2，2，3，7，7，則（

）A．若數(shù)列是遞減數(shù)列，則為常數(shù)列B．若數(shù)列是遞增數(shù)列，則有C．滿足為2，3，3，5，5的所有數(shù)列的個(gè)數(shù)為8D．若，記為的前n項(xiàng)和，則三、解答題11．（2024·內(nèi)蒙古包頭·二模）已知數(shù)列為有窮數(shù)列，且，若數(shù)列滿足如下兩個(gè)性質(zhì)，則稱數(shù)列為的增數(shù)列：①；②對(duì)于，使得的正整數(shù)對(duì)有個(gè).(1)寫出所有4的1增數(shù)列；(2)當(dāng)時(shí)，若存在的6增數(shù)列，求的最小值.12．（23-24高二下·廣東深圳·階段練習(xí)）若在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的和，形成新的數(shù)列，再把所得數(shù)列按照同樣的方法不斷構(gòu)造出新的數(shù)列．現(xiàn)對(duì)數(shù)列1，2進(jìn)行構(gòu)造，第一次得到數(shù)列1，3，2；第二次得到數(shù)列1，4，3，5，2；依次構(gòu)造，第次得到的數(shù)列的所有項(xiàng)之和記為.(1)設(shè)第次構(gòu)造后得的數(shù)列為，則，請(qǐng)用含的代數(shù)式表達(dá)出，并推導(dǎo)出與滿足的關(guān)系式；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)證明：13．（2024·貴州貴陽(yáng)·二模）給定數(shù)列，若滿足且，對(duì)于任意的，都有，則稱數(shù)列an為“指數(shù)型數(shù)列".(1)已知數(shù)列an滿足，判斷數(shù)列是不是“指數(shù)型數(shù)列"？若是，請(qǐng)給出證明，若不是，請(qǐng)說明理由;(2)若數(shù)列an是“指數(shù)型數(shù)列”，且，證明:數(shù)列an14．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）若正整數(shù)m，n只有1為公約數(shù)，則稱m，n互質(zhì)，歐拉函數(shù)是指，對(duì)于一個(gè)正整數(shù)n，小于或等于n的正整數(shù)中與n互質(zhì)的正整數(shù)（包括1）的個(gè)數(shù)，記作，例如，．(1)求，，；(2)設(shè)，，求數(shù)列an的前項(xiàng)和；(3)設(shè)，，數(shù)列bn的前項(xiàng)和為，證明：，15．（23-24高三下·云南昆明·階段練習(xí)）表示正整數(shù)a，b的最大公約數(shù)，若，且，，則將k的最大值記為，例如：，．(1)求，，；(2)設(shè)．（i）求數(shù)列的通項(xiàng)公式，（ii）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．16．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)滿足以下兩個(gè)條件的有窮數(shù)列為階“曼德拉數(shù)列”：①；②.(1)若某階“曼德拉數(shù)列”是等比數(shù)列，求該數(shù)列的通項(xiàng)（，用表示）；(2)若某階“曼德拉數(shù)列”是等差數(shù)列，求該數(shù)列的通項(xiàng)（，用表示）；(3)記階“曼德拉數(shù)列”的前項(xiàng)和為，若存在，使，試問：數(shù)列能否為階“曼德拉數(shù)列”？若能，求出所有這樣的數(shù)列；若不能，請(qǐng)說明理由.17．（2024·廣東梅州·二模）已知an是由正整數(shù)組成的無(wú)窮數(shù)列，該數(shù)列前項(xiàng)的最大值記為，即；前項(xiàng)的最小值記為，即，令（），并將數(shù)列稱為an的“生成數(shù)列”．(1)若，求其生成數(shù)列的前項(xiàng)和；(2)設(shè)數(shù)列的“生成數(shù)列”為，求證：；(3)若是等差數(shù)列，證明：存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，，是等差數(shù)列．18．（2024·山東濰坊·二模）數(shù)列中，從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與其前一項(xiàng)的差組成的數(shù)列稱為的一階差數(shù)列，記為，依此類推，的一階差數(shù)列稱為的二階差數(shù)列，記為，…．如果一個(gè)數(shù)列的p階差數(shù)列是等比數(shù)列，則稱數(shù)列為p階等比數(shù)列．(1)已知數(shù)列滿足，．（?。┣?，，；（ⅱ）證明：是一階等比數(shù)列；(2)已知數(shù)列為二階等比數(shù)列，其前5項(xiàng)分別為，求及滿足為整數(shù)的所有n值．19．（2024·貴州·模擬預(yù)測(cè)）若給定一個(gè)數(shù)列，其連續(xù)兩項(xiàng)之差構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列：，，，…，，…，這個(gè)數(shù)列稱為原數(shù)列的“一階差數(shù)列”，記為，其中.再由的連續(xù)兩項(xiàng)的差得到新數(shù)列，，，…，，…，此數(shù)列稱為原數(shù)列的“二階差數(shù)列”，記為，其中.以此類推，可得到的“p階差數(shù)列”.如果數(shù)列的“p階差數(shù)列”是非零常數(shù)數(shù)列，則稱為“p階等差數(shù)列”.(1)證明由完全立方數(shù)組成的數(shù)列是“3階等差數(shù)列”；(2)若（且，），證明數(shù)列是“k階等差數(shù)列”，并且若將的“k階差數(shù)列”記作，則.20．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)任意一個(gè)無(wú)窮數(shù)列的前項(xiàng)之積為，若，，則稱是數(shù)列．(1)若是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，請(qǐng)判斷是否為數(shù)列？并說明理由；(2)證明：若的通項(xiàng)公式為，則不是數(shù)列；(3)設(shè)是無(wú)窮等比數(shù)列，其首項(xiàng)，公比為，若是數(shù)列，求的值．21．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測(cè)）定義：一個(gè)正整數(shù)稱為“漂亮數(shù)”，當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)正整數(shù)數(shù)列，滿足①②：①；②．(1)寫出最小的“漂亮數(shù)”；(2)若是“漂亮數(shù)”，證明：是“漂亮數(shù)”；(3)在全體滿足的“漂亮數(shù)”中，任取一個(gè)“漂亮數(shù)”，求是質(zhì)數(shù)的概率．22．（24-25高三上·河南焦作·開學(xué)考試）對(duì)于一個(gè)正項(xiàng)數(shù)列，若存在一正實(shí)數(shù)，使得且，有，我們就稱是-有限數(shù)列.(1)若數(shù)列滿足，，，證明：數(shù)列為1-有限數(shù)列；(2)若數(shù)列是-有限數(shù)列，，使得且，，證明：.23．（2024·北京門頭溝·一模）已知數(shù)列，數(shù)列，其中，且，．記的前項(xiàng)和分別為，規(guī)定．記，且，，且(1)若，，寫出；(2)若，寫出所有滿足條件的數(shù)列an，并說明理由；(3)若，且．證明：，使得．24．（2024·湖北荊州·三模）對(duì)于數(shù)列，如果存在一個(gè)正整數(shù)，使得對(duì)任意，都有成立，那么就把這樣的一類數(shù)列稱作周期為的周期數(shù)列，的最小值稱作數(shù)列的最小正周期，簡(jiǎn)稱周期.(1)判斷數(shù)列和是否為周期數(shù)列，如果是，寫出該數(shù)列的周期，如果不是，說明理由.(2)設(shè)（1）中數(shù)列前項(xiàng)和為，試問是否存在，使對(duì)任意，都有成立，若存在，求出的取值范圍，若不存在，說明理由.(3)若數(shù)列和滿足，且，是否存在非零常數(shù)，使得是周期數(shù)列？若存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的常數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由.25．（2024·安徽蕪湖·三模）若數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且對(duì)任意的相鄰三項(xiàng)，都滿足，則稱該數(shù)列為“對(duì)數(shù)性凸數(shù)列”，若對(duì)任意的相鄰三項(xiàng)，都滿足則稱該數(shù)列為“凸數(shù)列”．(1)已知正項(xiàng)數(shù)列是一個(gè)“凸數(shù)列”，且，（其中為自然常數(shù)，），證明：數(shù)列是一個(gè)“對(duì)數(shù)性凸數(shù)列”，且有；(2)若關(guān)于的函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，其中．證明：數(shù)列是一個(gè)“對(duì)數(shù)性凸數(shù)列”：(3)設(shè)正項(xiàng)數(shù)列是一個(gè)“對(duì)數(shù)性凸數(shù)列”，求證：26．（2024·新疆·二模）我們把滿足下列條件的數(shù)列an稱為數(shù)列：①數(shù)列an②存在正奇數(shù)m，使得數(shù)列an的每一項(xiàng)除以m(1)若a，b，c是公差為2的等差數(shù)列，求證：a，b，c不是數(shù)列；(2)若數(shù)列bn滿足對(duì)任意正整數(shù)p，q，恒有，且，判斷數(shù)列是否是數(shù)列，并證明你的結(jié)論；(3)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列共有100項(xiàng)，且對(duì)任意，恒有，若數(shù)列為數(shù)列，求滿足條件的所有兩位數(shù)k值的和．27．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知正整數(shù)，設(shè)，，…，，，，…，是個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，.若對(duì)于任意，取，，，都有，則稱這個(gè)數(shù)構(gòu)成—孿生數(shù)組.(1)寫出8個(gè)不全相等的數(shù)，使得這8個(gè)數(shù)構(gòu)成—孿生數(shù)組；(2)求最小的，使得，，…，，，，…，構(gòu)成—孿生數(shù)組；(3)若，且，，…，，，，…，構(gòu)成—孿生數(shù)組，求的最大值.參考公式：（i），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等；（ii）當(dāng)正偶數(shù)時(shí)，設(shè)，有；當(dāng)正奇數(shù)時(shí)，設(shè)，有.28．（2024·吉林·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于數(shù)列，若，對(duì)任意的，有，則稱數(shù)列是有界的.當(dāng)正整數(shù)n無(wú)限大時(shí)，若無(wú)限接近于常數(shù)a，則稱常數(shù)a是數(shù)列的極限，或稱數(shù)列收斂于a，記為.單調(diào)收斂原理：“單調(diào)有界數(shù)列一定收斂”可以幫助我們解決數(shù)列的收斂性問題.(1)證明：對(duì)任意的，，恒成