第03講 圓中的切線方程、切點(diǎn)弦方程及圓系方程（高階拓展、競(jìng)賽適用）（學(xué)生版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫

Page第03講圓中的切線方程、切點(diǎn)弦方程及圓系方程（高階拓展、競(jìng)賽適用）（6類核心考點(diǎn)精講精練）1.5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2024年新Ⅱ卷，第10題,6分圓中切線問(wèn)題切線長(zhǎng)根據(jù)拋物線方程求焦點(diǎn)或準(zhǔn)線直線與拋物線交點(diǎn)相關(guān)問(wèn)題2023年新I卷，第6題,5分圓中切線問(wèn)題給值求值型問(wèn)題余弦定理解三角形2022年新I卷，第14題,5分圓的公切線方程判斷圓與圓的位置關(guān)系2021年新I卷，第11題,5分切線長(zhǎng)直線與圓的位置關(guān)系求距離的最值2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的選考內(nèi)容，設(shè)題不定，難度中等，分值為5-6分【備考策略】1.熟練掌握?qǐng)A中切線問(wèn)題的快速求解2.熟練掌握?qǐng)A系方程的快速求解【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的拓展內(nèi)容，需要大家掌握二級(jí)結(jié)論來(lái)快速解題，需強(qiáng)化練習(xí)知識(shí)講解一、圓中切線問(wèn)題已知圓方程為:,若已知切點(diǎn)在圓上,則切線只有一條,其方程是:已知圓方程為:,若已知切點(diǎn)在圓上,則該圓過(guò)點(diǎn)的切線方程為;已知圓方程為圓:.(1)過(guò)圓上的點(diǎn)的切線方程為.(2)過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線,則切點(diǎn)弦方程為.4.過(guò)圓外一點(diǎn)引圓(標(biāo)準(zhǔn)方程,一般方程)的切線長(zhǎng)度一般方程(標(biāo)準(zhǔn)方程)二、常見(jiàn)的圓系方程1、同心圓圓系(1)以為圓心的同心圓圓系方程:;(2)與圓同心圓的圓系方程為:;2、過(guò)線圓交點(diǎn)的圓系過(guò)直線與圓交點(diǎn)的圓系方程為:;3、過(guò)兩圓交點(diǎn)的圓系過(guò)兩圓交點(diǎn)的圓系方程為,此圓系不含)(1)特別地,當(dāng)時(shí),上述方程為一次方程,兩圓相交時(shí),表示公共弦方程;兩圓相切時(shí),表示公切線方程.(2)為了避免利用上述圓系方程時(shí)討論圓過(guò),可等價(jià)轉(zhuǎn)化為過(guò)圓和兩圓公共弦所在直線交點(diǎn)的圓系方程:考點(diǎn)一、過(guò)圓上一點(diǎn)的切線問(wèn)題1．（23-24高二上·四川成都·階段練習(xí)）過(guò)點(diǎn)作圓的切線l，求切線l的方程2．（23-24高三下·福建·開(kāi)學(xué)考試）過(guò)點(diǎn)的直線l與圓相切，則直線l的方程為（

）A． B． C． D．1．（22-23高二上·上海浦東新·期中）已知圓，則過(guò)點(diǎn)的圓的切線方程為.2．（11-12高二上·浙江杭州·期中）圓在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B．C． D．考點(diǎn)二、過(guò)圓外一點(diǎn)的切線問(wèn)題1．（23-24高三上·陜西西安·階段練習(xí)）過(guò)點(diǎn)且與圓：相切的直線方程為2．（22-23高三上·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）過(guò)點(diǎn)作圓的切線，則切線方程為（

）A． B．C．或 D．或3．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知圓，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則的正切值為（

）A． B． C． D．1．（24-25高三上·山東濰坊·開(kāi)學(xué)考試）已知圓，則過(guò)點(diǎn)的圓的切線方程是（

）A． B．C． D．2．（22-23高二上·湖南岳陽(yáng)·期中）經(jīng)過(guò)向圓作切線，切線方程為（

）A．B．C．或D．或3．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)過(guò)點(diǎn)與圓相切的兩條直線的夾角為，則（

）A． B． C． D．考點(diǎn)三、切點(diǎn)弦方程1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知圓外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為和，則直線的方程為.2．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）過(guò)點(diǎn)作圓：的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則原點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B． C． D．1．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知圓：，點(diǎn)，若直線分別切圓于兩點(diǎn)，則直線的方程為（

）A． B． C． D．2．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知圓外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為和，則直線的方程為.考點(diǎn)四、切線長(zhǎng)1．（2024·四川攀枝花·三模）由直線上的一點(diǎn)向圓引切線，切點(diǎn)為，則的最小值為（

）A． B．2 C． D．2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知P為直線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓的一條切線，切點(diǎn)為A，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．21．（24-25高三上·陜西·開(kāi)學(xué)考試）由直線上的一點(diǎn)向圓引切線，則切線段的最小值為（

）A．3 B． C． D．2．（24-25高三上·湖南衡陽(yáng)·階段練習(xí)）已知圓，過(guò)直線上的動(dòng)點(diǎn)作圓C的一條切線，切點(diǎn)為A，則的最小值為（

）A．2 B．4 C． D．3考點(diǎn)五、圓中的公切線問(wèn)題（含根軸）1．（23-24高三下·山東·開(kāi)學(xué)考試）圓和圓的公切線方程是（

）A． B．或C． D．或2．（23-24高二下·江蘇鹽城·階段練習(xí)）（多選）已知直線與圓：和圓：都相切，則直線的方程可能為（

）A． B． C． D．1．（2024·河北張家口·三模）圓與圓的公切線的方程為．2．（23-24高三下·江蘇鎮(zhèn)江·開(kāi)學(xué)考試）與圓和圓都相切的直線方程是．考點(diǎn)六、圓系方程1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知圓系方程（，m為參數(shù)），這些圓的公切線方程為.2．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）若圓與圓相交，我們把經(jīng)過(guò)圓和圓交點(diǎn)的圓稱為圓、圓的圓系方程，其方程可設(shè)為．根據(jù)以上信息，解決如下問(wèn)題：已知圓與交于兩點(diǎn)，則以為直徑的圓的一般方程為．1．（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）（多選）已知圓和圓相交于兩點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．所有過(guò)點(diǎn)的圓系的方程可以記為（其中，）B．直線的方程為C．線段的長(zhǎng)為D．兩圓有兩條公切線與一、單選題1．（23-24高二上·江蘇連云港·期中）圓在點(diǎn)處的切線方程為（）A． B．C． D．2．（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)向圓引兩條切線，切點(diǎn)是、，則直線的方程為（

）A． B．C． D．二、填空題3．（23-24高三上·浙江·階段練習(xí)）過(guò)圓上點(diǎn)的切線方程為．4．（2023·天津武清·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)，，經(jīng)過(guò)點(diǎn)作圓的切線與軸交于點(diǎn)，則．5．（23-24高三上·湖北·開(kāi)學(xué)考試）已知過(guò)點(diǎn)作圓的切線，則切線長(zhǎng)為.6．（23-24高三上·河北邢臺(tái)·期末）已知圓，過(guò)作圓的切線，則直線的傾斜角為．7．（2023·江西·二模）已知圓，圓.請(qǐng)寫(xiě)出一條與兩圓都相切的直線方程：.8．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）寫(xiě)出與圓和圓都相切的一條直線的方程.9．（22-23高二上·河北邢臺(tái)·期末）已知圓的方程為，則過(guò)點(diǎn)的圓的切線方程為.三、解答題10．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）平面上有兩個(gè)圓，它們的方程分別是和，求這兩個(gè)圓的內(nèi)公切線方程．一、單選題1．（23-24高三上·廣西百色·階段練習(xí)）圓，圓，則兩圓的一條公切線方程為（

）A． B．C． D．2．（23-24高二上·江西·階段練習(xí)）過(guò)點(diǎn)作圓：的切線與軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與，軸及軸圍成一個(gè)四邊形，且該四邊形的所有頂點(diǎn)都在圓上，則點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B．C．或 D．或3．（23-24高二上·廣東·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，若圓上存在點(diǎn)P，由點(diǎn)P向圓C引一條切線，切點(diǎn)為M，且滿足，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．4．（23-24高三上·廣東·階段練習(xí)）已知圓M：，P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓M的切線切，，切點(diǎn)為A，B，則四邊形面積的最小值為（

）A．2 B． C．2 D．5．（23-24高三上·浙江·開(kāi)學(xué)考試）過(guò)圓上一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)為，當(dāng)最大時(shí)，直線的斜率為（

）A． B． C． D．1二、多選題6．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知圓C：，P是直線l:上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓C的切線PA，PB，切點(diǎn)分別是A，B，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．圓C上恰有一個(gè)點(diǎn)到直線l的距離為 B．切線長(zhǎng)PA的最小值為1C．的最小值為 D．直線AB恒過(guò)定點(diǎn)7．（2023·廣西·模擬預(yù)測(cè)）已知圓：，點(diǎn)為直線：上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，以下四個(gè)命題表述正確的是（

）A．直線與圓相離B．圓上有2個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1C．過(guò)點(diǎn)向圓引一條切線，其中為切點(diǎn)，則的最小值為D．過(guò)點(diǎn)向圓引兩條切線、，、為切點(diǎn)，則直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)三、填空題8．（23-24高三上·湖南衡陽(yáng)·階段練習(xí)）寫(xiě)出與圓和圓都相切的一條直線的方程.9．（23-24高二上·河北石家莊·階段練習(xí)）過(guò)點(diǎn)P向圓作切線，切點(diǎn)為A，過(guò)點(diǎn)P向圓作切線，切點(diǎn)為B，若，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為10．（23-24高三上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知圓，過(guò)直線上一動(dòng)點(diǎn)P作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則的最小值為．1．（2024·全國(guó)·高考真題）（多選）拋物線C：的準(zhǔn)線為l，P為C上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作的一條切線，Q為切點(diǎn)，過(guò)P作l的垂線，垂足為B，則（

）A．l與相切B．當(dāng)P，A，B三點(diǎn)共線時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，D．滿足的點(diǎn)有且僅有2個(gè)2．（2023·全國(guó)·高考真題）過(guò)點(diǎn)與圓相切的兩條直線的夾角為，則（

）A．1 B． C． D．3．（2022·全國(guó)·高考真題）寫(xiě)出與圓和都相切的一條直線的方程