（講評用卷）2023年河南新鄉(xiāng)一模·數(shù)學

數(shù)學試卷第頁（共頁）2023年河南新鄉(xiāng)一模·數(shù)學全卷總分:120分考試時間:100分鐘一、選擇題1.下列各組數(shù)中互為相反數(shù)的是()A.

-12與B.-1與-(＋1)C.-(-3)與-3

D.2與|-2|1.C2.《全國防沙治沙規(guī)劃(2021－2030年)》正式印發(fā)實施，提出到2030年，規(guī)劃完成沙化土地治理任務1.86億畝．數(shù)據(jù)“1.86億”用科學記數(shù)法表示為()A.

1.86×107

B.

1.86×108

C.

0.186×108

D.

18.6×1062.B3.如圖是幾個相同的小立方塊所搭的幾何體的俯視圖，小正方形中的數(shù)字表示該位置上小立方塊的個數(shù)，則這個幾何體的主視圖是()3.B4.下列運算正確的是()A.

3a2－2a2＝1

B.

(a－b)2＝a2－b2C.

（－3D.

2－1＝

14.D5.將一次函數(shù)y＝2x＋1的圖象向下平移2個單位長度后，所得新圖象的函數(shù)表達式為()A.

y＝2x－1

B.

y＝2x－3C.

y＝2x

D.

y＝2x＋35.A6.在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，AC＝

5，過點A作直線m∥BC，將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)到如圖所示位置，此時點C的對應點C′恰好落在直線m上，則∠CBC′的度數(shù)為()A.

30° B.

45° C.

60° D.

75°6.A7.夏至是二十四節(jié)氣之一，俗語道“不過夏至不熱”，如圖是我省某地夏至后某一周的最高氣溫折線統(tǒng)計圖，則這一周最高氣溫的眾數(shù)是()A.35

℃ B.

30

℃ C.

33

℃ D.

37

℃7.C【解析】由圖可知這組數(shù)據(jù)中33出現(xiàn)次數(shù)最多，∴這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是33℃.8.若關(guān)于x的一元二次方程ax2－x＋1＝0沒有實數(shù)根，則a的值可以是()A.

－2

B.

0

C.

14

8.D【解析】由題意得，b2-4ac＝(－1)2－4a＜0，a≠0，解得a＞

14，∴a的值可以是9.如圖，正方形ABCD的頂點均在坐標軸上，且點B的坐標為(1，0)，以AB為邊構(gòu)造菱形ABEF，將菱形ABEF與正方形ABCD組成的圖形繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，則第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點F的對應點F2023的坐標為()A.

(－2，－1)

B.

(1，－2)

C.

(2，－1)

D.

(－1，2)9.B【解析】∵360°÷90°＝4，∴每旋轉(zhuǎn)4次是一個循環(huán)，∴2023÷4＝505……3，即第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點F2023坐標與第3次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時點F3的坐標相同．F3的位置如圖所示，過點F3作F3M⊥y軸于點M，連接OF，OF3.易證△AOF≌△MF3O.∵B(1，0)，∴OB＝1.∵四邊形ABCD為正方形，∴OA＝OB＝1.∴AB＝

2.

∵四邊形ABEF是菱形，∴AF＝AB＝

2.∵△AOF≌△MF3O，∴MF3＝OA＝1，OM＝AF＝

2，∴點F3的坐標為(1，－

2)，則點F2023的坐標為(1，－

2)．10.如圖①，在矩形ABCD(AB＞AD)中，動點P從點B出發(fā)，沿B→C做勻速運動，到達點C后停止運動，動點Q從點D出發(fā)，沿D→C以同樣的速度做勻速運動，到達點C后也停止運動．已知點P，Q同時開始運動．連接AP，AQ，設DQ＝x，AP－AQ＝y(tǒng)，其中y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖②所示，則圖中m的值為()A.

35－32B.

10－2C.

410－2D.

210－210.B【解析】根據(jù)函數(shù)圖象可知AB－AD＝

2.∵點P，Q的速度相同，∴當x＝

2，點P與點C重合，此時BC＝DQ＝

2，AP－AQ＝m.∵四邊形ABCD為矩形，∴AD＝BC＝

2，AB＝CD，∴AB＝CD＝AD＋

2＝2

2.當x＝

2時，在Rt△ABP中，AP＝

（2）2＋（22）2＝

10，在Rt△ADQ中，AQ＝

（2）2＋（二、填空題11.分式方程2x－3＝1的解11.x＝5【解析】去分母得，x－3＝2，解得x＝5.經(jīng)檢驗，x＝5是原分式方程的解．12.新定義：對于任何實數(shù)m，符號[m]表示不大于m的最大整數(shù)．已知[x]＝a，則a≤x＜a＋1.例如：若[x]＝4，則4≤x＜5.如果[x－1]＝2021，那么x的取值范圍是

．12.2022≤x＜2023【解析】由題意可得，2021≤x－1＜2022，解得2022≤x＜2023.13.現(xiàn)有4張卡片的正面分別寫有數(shù)字1，2，3，4，除此之外完全相同，現(xiàn)將這4張卡片背面朝上洗勻，從中隨機抽取兩張，則所抽卡片上的數(shù)字之和為偶數(shù)的概率是

．13.1【解析】畫樹狀圖如下，由圖可知，共有12種等可能的結(jié)果，其中所抽卡片上的數(shù)字之和為偶數(shù)的結(jié)果有4種，∴P(所抽卡片上的數(shù)字之和為偶數(shù))＝

412＝

114.在如圖所示的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，每個小正方形的頂點為格點，已知△ABC的三個頂點均在格點上，且∠BAC＝90°，點M為AC上一點，以點A為圓心，AM的長為半徑作圓與邊BC相切于點N，已知

MN⌒為該圓的一部分．則圖中由線段CN、CM及

MN⌒所圍成的陰14.17【解析】如圖，連接AN.根據(jù)網(wǎng)格線可得，AB＝

12＋42＝

17，AC＝

12＋42＝

17，∴AB＝AC.∵邊BC與

MN⌒所在的圓相切于點N，∴AN⊥BC，∴∠CAN＝

12∠BAC＝45°.在Rt△ACN中，AN＝

22AC＝

342，∴S△ACN＝

12AN·CN＝

12×

342×

342＝

174，∴S扇形AMN＝

45π×（34215.如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，點P在邊BC上，且BP＝

34BC，連接AP，將△ABP沿AP折疊，若點B的對應點Q落在矩形ABCD的邊上，則PC的長為

15.1或

2【解析】①當點Q在AD邊上時，如圖①，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝90°，∵將△ABP沿AP折疊，點B的對應點Q落在AD邊上，易得四邊形ABPQ為正方形，∴AB＝BP＝3，∴BC＝

43BP＝4，∴PC＝1；②當點Q落在CD邊上時，如圖②，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°.設PC＝x，∵BP＝

34BC，∴BC＝4x，BP＝3x.由折疊可知PQ＝BP＝3x，∠AQP＝∠B＝90°，AQ＝AB＝3，在Rt△PCQ中，CQ＝

PQ2?PC2＝2

2x，∠PQC＝∠DAQ＝90°－∠AQD，∠D＝∠C＝90°，∴△ADQ∽△QCP，∴

AQPQ＝

ADCQ，即

33x

三、解答題16.(1)計算：(－

13)0－|－3|－

1(2)化簡：(

1－2xx＋16.解：(1)原式＝1－3－

12＝－

5(2)原式＝

1－2x＝

1－xx＝－

xx17.為慶祝黨的二十大勝利召開，培養(yǎng)學生的愛國情懷，某校組織七、八年級學生參加“學習二十大，永遠跟黨走”主題知識競賽(百分制，成績不低于80分即為掌握情況良好)，并將測試成績分為四個分數(shù)段：60＜x≤70，70＜x＜80，

80＜x≤90，90＜x≤100，抽樣和分析過程如下：【收集數(shù)據(jù)】從兩個年級中各隨機抽取20名學生，測試成績(單位：分)如下：七年級：95，75，80，90，70，80，95，75，100，90，78，80，80，95，65，100，88，85，85，80八年級：83，79，98，69，95，87，75，66，88，77，76，94，79，79，82，82，96，81，71，79整理以上數(shù)據(jù)，繪制了頻數(shù)分布表：

分數(shù)段頻數(shù)年級60＜x≤7070＜x≤8080＜x≤9090＜x≤100七年級2855八年級2864【分析數(shù)據(jù)】根據(jù)以上數(shù)據(jù)，得到以下統(tǒng)計量：平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)七年級84.3a80八年級81.880b根據(jù)以上信息，回答下列問題：(1)表格中的a＝

，b＝

；(2)根據(jù)上述數(shù)據(jù)，你認為哪個年級的測試成績更好，并說明理由；(3)請對該校七年級學生“學習二十大，永遠跟黨走”知識的掌握情況作出合理的評價．17.解：

(1)82.5，79；【解法提示】七年級的測試成績從小到大排列，處在第10，11位的數(shù)分別是80，85，∴七年級的中位數(shù)a＝

80＋852＝82.5.八年級的測試成績中出現(xiàn)次數(shù)最多的為79分，∴(2)七年級的測試成績更好．理由：∵84.3＞81.8，82.5＞80，∴七年級測試成績的平均數(shù)、中位數(shù)都高于八年級，∴七年級的測試成績更好；(3)由數(shù)據(jù)可知七年級測試成績不低于80分的學生有15人，占七年級所抽取人數(shù)的

1520×100%＝75%，說明該校七年級大部分學生對“學習二十大，永遠跟黨走”知識的掌握情況較好．(答案不唯一，合理即可18.如圖，直線AB：y1＝kx＋b(k≠0)交坐標軸于點C，D，且與反比例函數(shù)y1＝

nx(x＞0)的圖象相交于點A(m，3)，B(m＋4，1)(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達式；(2)連接OA，在x軸上找一點M，使△AOM是以OA為腰的等腰三角形，求出點M的坐標．18.(1)解：∵A(m，3)，B(m＋4，1)，∴n＝3m＝(m＋4)×1，解得m＝2，∴n＝3×2＝6，∴點A的坐標為(2，3)，點B的坐標為(6，1)，∴反比例函數(shù)的表達式為y2＝6x∵A(2，3)，B(6，1)在y1＝kx＋b上，∴

2k解得

k=∴一次函數(shù)的表達式為y1＝－12x＋4(2)∵點A的坐標為(2，3)，∴OA＝22＋32①當OM＝OA＝13時，點M的坐標為(13，0)或(－13，0)；②如圖，當AM＝OA時，作AP⊥x軸于點P，則MP＝OP＝2，∴OM＝4.∴點M的坐標為(4，0)．綜上所述，當△AOM是以OA為腰的等腰三角形時，點M的坐標為(13，0)，(－13，0)或(4，0)．19.中原大佛，位于河南省平頂山市魯山縣．某校數(shù)學活動小組到景區(qū)測量這尊佛像的高度，如圖，他們從點B處測得佛像頂部A的仰角為35°，然后向前走89m后到達點C，點C處測得佛像頂部A的仰角為45°，已知點B、C、D在同一水平直線上，且佛像底座ED高100m，求佛像AE的高度．(結(jié)果精確到1m，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70)19.解：由題意得，∠ACD＝45°，∠ADC＝90°，DE＝100

m，BC＝89

m，∴∠CAD＝45°.∴CD＝AD.設AD＝CD＝xm，則BD＝(x＋89)

m.在Rt△BDA中，tan35°＝

xx+解得x≈207.7，∴AE＝AD－ED＝207.7－100≈108m．答：佛像AE的高度為108m．20.某公司決定為優(yōu)秀員工購買A、B兩種獎品，已知購買3個A種獎品比購買2個B種獎品多花140元，購買4個A種獎品與購買5個B種獎品所需錢數(shù)相同．(1)求兩種獎品每個的價格；(2)商家推出了促銷活動，A種獎品打九折．若該公司打算購買，兩種獎品共30個，且B種獎品的個數(shù)不多于A種獎品個數(shù)的一半，則該公司最少花費多少錢？20.解：(1)設每個A種獎品的價格為x元，每個B種獎品價格為y元，根據(jù)題意得，

3x－2y∴每個A種獎品的價格為100元，每個B種獎品的價格為80元；(2)設購買A種獎品a個，則購買B種獎品(30－a)個，根據(jù)題意得，30－a≤

12a，解得a設購買獎品的總花費為w元，根據(jù)題意得，w＝0.9×100a＋80(30－a)＝10a＋2400，∵10＞0，∴w隨著a的增大而增大，∴當a＝20時，w取得最小值，w最?。?0×20＋2400＝2600.答：該公司最少花費2600元．21.如圖，點D為⊙O上一點，BE為⊙O的直徑，延長BE到點A，連接BD，AD，并過點B作BC⊥AD，交⊙O于點F，交AD的延長線于點C，已知BD恰好為∠CBA的平分線．(1)求證：AC為⊙O的切線；(2)若BC＝2，AB＝6，求線段BF的長．21.(1)證明：如圖①，連接OD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵OD＝OB，∴∠ABD＝∠BDO，∴∠BDO＝∠CBD，∴BC∥OD，∵BC⊥AD，∴∠BCA＝90°，∴∠ODA＝∠BCA＝90°，∴OD⊥AC，∵OD是⊙O的半徑，∴AC為⊙O的切線；答案圖①(2)解：如圖②，連接EF，∵∠BCA＝90°，BC＝2，AB＝6，∴sin∠CAB＝

26＝

1設OB＝OD＝r，則OA＝6－r，∵AC是⊙O切線，∴∠ADO＝90°，∴sin∠CAB＝sin∠DAO＝

ODOA＝∴

r6－r＝

13，解得r∴OB＝OD＝

32，BE＝3∵BE為⊙O直徑，∴∠BFE＝90°，∴FE∥CA，∴∠FEB＝∠CAB，∴sin∠FEB＝

13，即

BFBE∴BF＝1.答案圖②22.根據(jù)《平頂山市志》記載，中興路湛河橋是“市區(qū)第一座橫跨湛河的大橋”．已知該橋的橋拱為拋物線形，在正常水位時測得水面AB的寬為50米，最高點G距離水面10米，如圖所示以AB所在的直線為x軸，AB的中點為原點建立平面直角坐標系．(1)求該拋物線的表達式；(2)某次大雨后水面上漲至EF，測得最高點G距離EF的高度為3.6米，求橋拱下水面EF的寬度．22.解：(1)由題意得，OA＝

12AB＝

12×50＝25m，點G的坐標為(0，∴A的坐標為(－25，0)．設拋物線的表達式為y＝ax2＋10(a≠0)，將A(－25，0)代入，得625a＋10＝0，解得a＝－2125∴該拋物線的表達式為y＝－2125x2＋10(2)∵點G的坐標為(0，10)，∴OG＝10

m.由題意得，GD＝3.6

m，∴OD＝OG－GD＝10－3.6＝6.4m，由題意得，y＝－2125x2＋10＝6.4解得x1＝15，x2＝－15.∴點E的坐標為(－15，6.4)，點F的坐標為(15，6.4)，∴EF＝15－(－15)＝30m．答：橋拱下水面EF的寬度為30m．23.已知點C為△ABC和△CDE的公共頂點，將△CDE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)α(0°＜α＜360°)，連接BD，AE，請完成如下問題：(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖①，若△ABC和△CDE均為等邊三角形，①線段BD與線段AE的數(shù)量關(guān)系是

；②直線BD與直線AE相交所夾銳角的度數(shù)是

；(2)類比探究：如圖②，若∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD＝60°，其他條件不變，則(1)中的結(jié)論是否都成立？請說明