（講評用卷）2024年河南省信陽三模·數(shù)學

數(shù)學試卷第頁（共頁）2024年河南省信陽三?！?shù)學全卷總分:120分考試時間:100分鐘一、選擇題1.2024的相反數(shù)是（）A．2024B．﹣2024C．|2024|D．11.B2.2024年1月，國家統(tǒng)計局公布了2023年的主要數(shù)據(jù)，其中人口的變化最引人矚目.2023年全年出生人口數(shù)約為9020000，又創(chuàng)新低．其中數(shù)字9020000用科學記數(shù)法表示為（）A．902×104 B．90.2×105C．9.02×106 D．0.902×1072.C【解析】9020000＝9.02×106．3.“斗”是我國古代稱量糧食的量器，它無蓋，其示意圖如圖所示，下列圖形是“斗”的俯視圖的是（）A．B．C．D．3.C【解析】從上面看，看到的圖形為一個正方形，在這個正方形里面還有一個小正方形，即看到的圖形為.4.下列計算正確的是（）A．a(chǎn)3+3a3＝4a6 B．a(chǎn)?a2＝a3C．a(chǎn)6÷a2＝a3 D．（a3）2＝a54.B【解析】A.a3+3a3＝4a3，故此選項不符合題意；B.a?a2＝a3，故此選項符合題意；C.a6÷a2＝a4，故此選項不符合題意；D.（a3）2＝a6，故此選項不符合題意.5.二元一次方程組

x+A．

x=0y=2

C．

x=0y=?25.C【解析】x+y=?2①2x?y=2②，①+②得，3x＝0，解得x＝0，把x＝0代入①6.如圖，E、F分別是矩形ABCD邊AB，CD上的點，將矩形ABCD沿EF折疊，使A，D分別落在A′和D′處，若∠1＝50°，則∠2的度數(shù)是（）A．65° B．60° C．50° D．40°6.A【解析】由折疊的性質得，∠AEF＝∠A′EF，∵∠1＝50°，∴∠AEF＝∠A′EF

=180°?∠12=65°，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠7.“二十四節(jié)氣”是中華上古農(nóng)耕文明的智慧結晶，被國際氣象界譽為“中國第五大發(fā)明”．小明購買了“二十四節(jié)氣”主題郵票，他要將“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四張郵票中的兩張送給朋友小亮，小明將它們背面朝上放在案面上（郵票背面完全相同），讓小亮從中隨機抽取兩張，則小亮抽到的兩張郵票恰好是“秋分”和“大寒”的概率是（）A．

12

B．

1C．

18

D．

7.B【解析】把“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四張郵票分別記為A、B、C、D，畫樹狀圖如下，由樹狀圖知，共有12種等可能的結果，其中小亮抽到的兩張郵票恰好是“秋分”和“大寒”的結果有2種，∴小亮抽到的兩張郵票恰好是“秋分”和“大寒”的概率是

2128.若關于x的一元二次方程2x2﹣4x+k＝0沒有實數(shù)根，則k的取值范圍為（）A．k＜2 B．k＞2C．k＞4 D．k≥28.B【解析】根據(jù)方程沒有實數(shù)根，得到b2﹣4ac＝16﹣8k＜0，解得：k＞2．∴實數(shù)k的取值范圍是：k＞2．9.如圖，PA，PB是⊙O的切線，切點分別為A，B，PO的延長線交⊙O于點C，連接OA，OB，BC．若AO＝5，OP＝10，則∠C等于（）A．60° B．20° C．30° D．45°9.C【解析】由題意得，OB⊥PB，OA＝OB＝5，∴∠OBP＝90°，在Rt△OBP中，∵cos∠BOP

=OBOP=510=12，∴∠BOP＝60°10.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8，動點P在△ABC內，且使得△ACP的面積為3，點Q為AB中點，則PB+PQ的最小值為（）A．65

B．73

C．109

D．58+10.C【解析】∵∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8，∴AC

=AB2?BC2=6，如圖，過P作PD⊥AC，交AC于點D，∵△ACP的面積為3，S△ACP

=12×AC×PD，∴PD＝1，過點P作直線l∥AC，則l與AC的距離為1，點P在直線l上運動且在△ABC內，B到直線l的距離為7，作B關于直線l的對稱點E，連接EQ，交直線l于點P′，∴EP′＝BP′，∴PB+PQ≥BP′+P′Q＝EP′+P′Q＝EQ，EQ即PB+PQ的最小值，過Q作QF⊥BC，交BC于點F，∵點Q為AB中點，∴BQ＝AQ＝CQ＝5，∴CF＝BF＝4，∵BQ＝5，∠QFB＝90°，∴QF

=BQ2?BF二、填空題（每小題3分，共15分）11.x?5中x的取值范圍是11.x≥5【解析】由題意得：x﹣5≥0，解得x≥5．12.因式分解：x2﹣4＝

．12.(x+2)(x﹣2)13.如圖，將△AOB繞點O按逆時針方向旋轉50°后得到△COD，若∠AOB＝15°，則∠AOD＝

度．13.35【解析】由題意得，∠BOD＝50°，∵∠AOB＝15°，∴∠AOD＝∠BOD﹣∠AOB＝50°﹣15°＝35°.14.如圖，點A在雙曲線

y=1x上，點B在雙曲線y

=3x上，且AB∥x軸，C，D在x軸上，若四邊形ABCD為矩形，14.2【解析】如圖，延長BA交y軸于E，∵AB∥x軸，∴AE垂直于y軸，∵點A在雙曲線

y=1x上，∴四邊形AEOD的面積為1，∵點B在雙曲線y

=3x上，且AB∥x軸，∴四邊形BEOC的面積為3，∴矩形ABCD的面積為315.如圖，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝8．點Q為射線DC上的一個動點，將△ADQ沿AQ翻折，點D的對應點D'恰好落在直線BQ上，則DQ的長為

.15.4或16【解析】①當點Q在線段DC上時，如圖①，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝10，BC＝AD＝8，AB∥CD，∠BCQ＝90°，∴∠AQD＝∠BAQ．由翻折得∠AQD＝∠AQD'，∴∠BAQ＝∠AQD′．∴BQ＝AB＝10，在Rt△BCQ中，CQ

=BQ2?BC2=102?82=6，∴DQ＝CD﹣CQ＝10﹣6＝4；②當點Q在DC的延長線上時，如圖②，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠AQD＝∠BAQ，由翻折得∠AQD＝∠AQB，∴∠BAQ＝∠AQB，∴BQ＝AB＝10．在Rt△BCQ中，CQ

=BQ2?BC

三、解答題（本大題共8個小題，共75分）16.（1）計算：|

?4|

?(π

?3.14)0+(

13)﹣1（2）化簡：(2x+y)2+(x+y)(x

?y)．16.解：（1）原式＝4

?1+3＝6；（2）原式＝4x2+4xy+y2+x2

?y2＝5x2+4xy．17.問題情境：某公司計劃購入語音識別輸入軟件，提高辦公效率．市面上有A，B兩款語音識別輸入軟件，該公司準備擇優(yōu)購買．實踐發(fā)現(xiàn)：測試員小林隨機選取了20段短文，其中每段短文都有10個文字．他用標準普通話以相同的語速朗讀每段短文來測試這兩款軟件，并將語音識別結果整理數(shù)據(jù)如下．A款軟件每段短文中識別正確的字數(shù)記錄為：5，5，6，6，6，6，6，6，6，7，9，9，9，9，9，10，10，10，10，10實踐探究：A，B兩款軟件每段短文中識別正確的字數(shù)分析數(shù)據(jù)如表：軟件平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)識別正確9字及以上的段數(shù)所占百分比A款7.76850%B款7.7ab30%問題解決：（1）上述表格中：a＝

，b＝

；（2）若你是測試員小林，根據(jù)上述數(shù)據(jù)，你會向公司推薦哪款軟件？請說明理由（寫出一條理由即可）．（3）若會議記錄員用A，B兩款軟件各識別了400段短文，每段短文有10個文字，請估計這兩款軟件一字不差地識別正確的短文共有多少段？17.解：（1）8，8；【解法提示】根據(jù)圖形可知，B款軟件每段短文中識別正確的字數(shù)最多的是8，故B款的眾數(shù)為8，即a＝8；由折線圖可得，將B款語音識別輸入軟件每次識別正確的字數(shù)從小到大排列，第10，11個數(shù)都是8，故中位數(shù)為8，即b＝8.（2）會向公司推薦A款軟件；理由如下：A款語音識別輸入軟件中更準確，∵在9字及以上次數(shù)所占百分比中，A款是50%，大于B款30%，說明A款識別準確率更高，∴會向公司推薦A款軟件；（答案不唯一，合理即可）(3

)A款語音識別完全正確的百分比是

520×100%＝B款語音識別完全正確的百分比是

220×100%＝估計這兩款軟件一字不差地識別正確的短文共有400×25%+400×10%＝140（段），答：估計這兩款軟件一字不差地識別正確的短文共有140段．18.如圖，AC是矩形ABCD的對角線．（1）請用無刻度的直尺和圓規(guī)作點B關于AC的對稱點E．（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）連接AE，交DC于點F．求證：AF＝CF．18.（1）解：如圖所示，點E即為所求．（作法不唯一）（2）證明：如圖，記AC與BE交于點O，AE與CD交于點F，由對稱的性質，可知AC垂直平分線段BE，∴AB＝AE，BO＝EO，∴∠EAC＝∠BAC．∵四邊形ABCD為矩形，∴CD∥AB．∴∠DCA＝∠BAC．∴∠EAC＝∠DCA．∴AF＝CF．19.如圖，以△ABC的BC邊上一點O為圓心的圓，經(jīng)過A、B兩點，且與BC邊交于點E，D為優(yōu)弧AB?上一點，DO⊥BE于點O，連接AD交BC于點F，AC＝（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）若BF＝8，

DF=210（3）若∠ADB＝60°，BD＝2，則陰影部分的面積為

．19.（1）證明：如圖，連接OA，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AC＝CF，∴∠CAF＝∠CFA，∵OD⊥BE，∴∠DOF＝90°，∴∠OFD+∠ODA＝90°，∵∠CAF＝∠CFA，∠OFD＝∠CFA，∴∠CAF+∠OAD＝90°，即OA⊥AC，∵OA為⊙O的半徑，∴AC是⊙O的切線；（2）解：設⊙O的半徑為r，∴BO＝DO＝r，∵BF＝8，∴OF＝8﹣r，∵∠DOF＝90°，∴在Rt△ODF中，由勾股定理得OF2+OD2＝DF2，∵

DF∴（8﹣r）2+r2＝（2

10）2，解得r＝6或r＝2（不符合題意舍），∴⊙O的半徑為6；（3）解：∵BO＝DO，BD＝2，∠DOB＝90°，∴在Rt△BOD中，由勾股定理得BO2+OD2＝BD2，∴OB＝OD

=2即⊙O的半徑為

2，∵∠ADB＝60°，∴∠AOB＝2∠ADB＝120°，∴∠AOC＝180°﹣∠AOB＝60°，由（1）知，OA⊥AC，∴∠OAC＝90°，在Rt△OAC中，tan∠AOC＝tan60°

=A∵OA

=2∴AC

=3OA

=∴S△OAC

=12OA?AC

=12×2×∴陰影部分的面積為S△OAC﹣S扇形AOE

=320.為培養(yǎng)學生的閱讀能力，某校八年級購進《朝花夕拾》和《西游記》兩種書籍，分別花費了14000元和7000元，已知《朝花夕拾》的訂購單價是《西游記》訂購單價的1.4倍，并且訂購的《朝花夕拾》的數(shù)量比《西游記》的數(shù)量多300本．（1）求該校八年級訂購的兩種書籍的單價分別是多少元；（2）該校八年級計劃再訂購這兩種書籍共100本作為備用，且兩種書總花費不超過1200元，求最多購買《朝花夕拾》多少本．20.解：（1）設該校八年級訂購的《西游記》的單價是x元，則《朝花夕拾》的單價是1.4x元，由題意得，

140001.4x解得x＝10，經(jīng)檢驗，x＝10是所列方程的解，且符合題意，∴1.4×10＝14（元），答：該校八年級訂購的《西游記》的單價是10元，《朝花夕拾》的單價是14元；（2）設購買《朝花夕拾》m本，則購買《西游記》（100﹣m）本，由題意得，14m+10（100﹣m）≤1200，解得m≤50，答：最多購買《朝花夕拾》50本．21.某數(shù)學興趣小組用所學的數(shù)學知識來解決實際問題，實踐報告如下：活動課題遮陽篷前擋板的設計問題背景我們所在的社區(qū)服務中心在窗外安裝了遮陽篷，結果發(fā)現(xiàn)夏日正午時納涼面積不夠，現(xiàn)在為使房前的納涼區(qū)域增加到2.76m寬，計劃在遮陽篷前端加裝一塊前擋板（前擋板垂直于地面），如圖①，現(xiàn)在要計算所需前擋板的寬度BC的長．測量數(shù)據(jù)抽象模型我們實地測量了相關數(shù)據(jù)，并畫出了側面示意圖，如圖②，遮陽篷AB長為4m，其與墻面的夾角∠BAD＝70°，其靠墻端離地高AD為3.5m．通過查閱資料，了解到本地夏日正午的太陽高度角（太陽光線與地面夾角∠CFE）最小為60°，若假設此時房前恰好有2.76m寬的陰影DF，如圖③，求出BC的長即可．解決思路經(jīng)過討論，我們準備按照如下步驟解決問題：（1）運用所學的三角函數(shù)的相關知識，構造直角三角形，先求出遮陽篷前端B到墻面AD的距離；（2）繼續(xù)構造直角三角形，求出∠CFE為60°時，BC的長度．運算過程…該報告運算過程還沒有完成，請按照解決思路，幫助興趣小組完成該部分．（結果精確到0.01m，參考數(shù)據(jù)：sin70°≈0.940，cos70°≈0.342，tan70°≈2.747，

3≈1.73221.解：如圖，過點B作BG⊥AD，垂足為G，延長BC交DE于點H，由題意得，BG＝DH，BH＝DG，BH⊥DE，在Rt△ABG中，∵AB＝4m，∠BAG＝70°，∴AG＝AB?cos70°≈4×0.342＝1.368（m），BG＝AB?sin70°≈4×0.94＝3.76（m），∴DH＝BG＝3.76m，∵AD＝3.5m，∴DG＝BH＝AD﹣AG＝3.5﹣1.368＝2.132（m），∵DF＝2.76m，∴FH＝DH﹣DF＝3.76﹣2.76＝1（m），在Rt△CFH中，∠CFH＝60°，∴CH＝FH?tan60°

=3（m∴BC＝BH﹣CH＝2.132﹣1.732＝0.40（m），∴BC的長度約為0.40m．22.在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y＝x2﹣2tx+t2﹣t．（1）求拋物線的頂點坐標（用含t的代數(shù)式表示）；（2）點P（x1，y1），Q（x2，y2）在拋物線上，其中t﹣1≤x1≤t+2，x2＝1﹣t．①若y1的最小值是﹣2，求y1的最大值；②若對于x1，x2，都有y1＜y2，直接寫出t的取值范圍．22.解：（1）∵y＝x2﹣2tx+t2﹣t＝（x﹣t）2﹣t，∴拋物線的頂點坐標為（t，﹣t）；（2）①∵y＝x2﹣2tx+t2﹣t＝（x﹣t）2﹣t，∴拋物線的對稱軸為直線x＝t，∵1＞0，∴拋物線開口向上，∵t﹣1≤x1≤t+2，∴當x1＝t時，y1的最小值為﹣t，∵y1的最小值是﹣2，∴t＝2，∵|t﹣1﹣t|＝1，|t+2﹣t|＝2，∴當x1＝t+2時，y1最大＝（t+2﹣t）2﹣t＝4﹣t＝4﹣2＝2，即y1的最大值為2；②∵點P（x1，y1），Q（x2，y2）在拋物線y＝（x﹣t）2﹣t上，∴y1＝（x1﹣t）2﹣t，y2＝（x2﹣t）2﹣t，∵對于x1，x2都有y1＜y2，∴y2﹣y1＝（x2﹣t）2﹣t﹣（x1﹣t）2+t＝（x2﹣t）2﹣（x1﹣t）2＝（x2﹣x1）（x2+x1﹣2t）＞0，∴

x2當

x2?由①知，x2＞x1，∵t﹣1≤x1≤t+2，x2＝1﹣t，∴1﹣t＞t+2，∴t

＜?由②知，x2+x1＞2t，∵t﹣1≤x1≤t+2，x2＝1﹣t，∴0≤x2+x1≤3，∴2t＜0，∴t＜0，即t

＜?當

x2?由③得，x2＜x1，∵t﹣1≤x1≤t+2，x2＝1﹣t，∴1﹣t＜t﹣1，∴t＞1，由④知，x2+x1＜2t，∵t﹣1≤x1≤t+2，x2＝1﹣t，∴0≤x2+x1≤3，∴2t＞3，∴t

＞3即t

＞3綜上所述，滿足條件的t的取值范圍為t

＜?12或t23.背景：在數(shù)