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文檔簡介
廣東省部分地區(qū)2025屆高考沖刺數(shù)學(xué)模擬試題注意事項1.考生要認真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知等差數(shù)列的前n項和為,且,則()A.4 B.8 C.16 D.22.如圖,在平行四邊形中,為對角線的交點,點為平行四邊形外一點,且,,則()A. B.C. D.3.如圖,在三棱柱中,底面為正三角形,側(cè)棱垂直底面,.若分別是棱上的點,且,,則異面直線與所成角的余弦值為()A. B. C. D.4.若集合,,則()A. B. C. D.5.一個幾何體的三視圖如圖所示,則這個幾何體的體積為()A. B.C. D.6.已知平面向量滿足與的夾角為,且,則實數(shù)的值為()A. B. C. D.7.已知數(shù)列為等差數(shù)列,且,則的值為()A. B. C. D.8.記其中表示不大于x的最大整數(shù),若方程在在有7個不同的實數(shù)根,則實數(shù)k的取值范圍()A. B. C. D.9.設(shè)函數(shù),則使得成立的的取值范圍是().A. B.C. D.10.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限11.已知函數(shù)是上的偶函數(shù),是的奇函數(shù),且,則的值為()A. B. C. D.12.若平面向量,滿足,則的最大值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在正方體中,已知點在直線上運動,則下列四個命題中:①三棱錐的體積不變;②;③當(dāng)為中點時,二面角的余弦值為;④若正方體的棱長為2,則的最小值為;其中說法正確的是____________(寫出所有說法正確的編號)14.已知在△ABC中,(2sin32°,2cos32°),(cos77°,﹣cos13°),則?_____,△ABC的面積為_____.15.若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個零點,則實數(shù)的取值范圍有___________.16.假如某人有壹元、貳元、伍元、拾元、貳拾元、伍拾元、壹佰元的紙幣各兩張,要支付貳佰壹拾玖(219)元的貨款,則有________種不同的支付方式.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)等比數(shù)列中,.(Ⅰ)求的通項公式;(Ⅱ)記為的前項和.若,求.18.(12分)已知函數(shù).(1)討論的零點個數(shù);(2)證明:當(dāng)時,.19.(12分)為了解本學(xué)期學(xué)生參加公益勞動的情況,某校從初高中學(xué)生中抽取100名學(xué)生,收集了他們參加公益勞動時間(單位:小時)的數(shù)據(jù),繪制圖表的一部分如表.(1)從男生中隨機抽取一人,抽到的男生參加公益勞動時間在的概率:(2)從參加公益勞動時間的學(xué)生中抽取3人進行面談,記為抽到高中的人數(shù),求的分布列;(3)當(dāng)時,高中生和初中生相比,那學(xué)段學(xué)生平均參加公益勞動時間較長.(直接寫出結(jié)果)20.(12分)為了解甲、乙兩個快遞公司的工作狀況,假設(shè)同一個公司快遞員的工作狀況基本相同,現(xiàn)從甲、乙兩公司各隨機抽取一名快遞員,并從兩人某月(30天)的快遞件數(shù)記錄結(jié)果中隨機抽取10天的數(shù)據(jù),整理如下:甲公司員工:410,390,330,360,320,400,330,340,370,350乙公司員工:360,420,370,360,420,340,440,370,360,420每名快遞員完成一件貨物投遞可獲得的勞務(wù)費情況如下:甲公司規(guī)定每件0.65元,乙公司規(guī)定每天350件以內(nèi)(含350件)的部分每件0.6元,超出350件的部分每件0.9元.(1)根據(jù)題中數(shù)據(jù)寫出甲公司員工在這10天投遞的快件個數(shù)的平均數(shù)和眾數(shù);(2)為了解乙公司員工每天所得勞務(wù)費的情況,從這10天中隨機抽取1天,他所得的勞務(wù)費記為(單位:元),求的分布列和數(shù)學(xué)期望;(3)根據(jù)題中數(shù)據(jù)估算兩公司被抽取員工在該月所得的勞務(wù)費.21.(12分)某職稱晉級評定機構(gòu)對參加某次專業(yè)技術(shù)考試的100人的成績進行了統(tǒng)計,繪制了頻率分布直方圖(如圖所示),規(guī)定80分及以上者晉級成功,否則晉級失敗.晉級成功晉級失敗合計男16女50合計(1)求圖中的值;(2)根據(jù)已知條件完成下面列聯(lián)表,并判斷能否有的把握認為“晉級成功”與性別有關(guān)?(3)將頻率視為概率,從本次考試的所有人員中,隨機抽取4人進行約談,記這4人中晉級失敗的人數(shù)為,求的分布列與數(shù)學(xué)期望.(參考公式:,其中)0.400.250.150.100.050.0250.7801.3232.0722.7063.8415.02422.(10分)已知函數(shù)()(1)函數(shù)在點處的切線方程為,求函數(shù)的極值;(2)當(dāng)時,對于任意,當(dāng)時,不等式恒成立,求出實數(shù)的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
利用等差的求和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)即可求得.【詳解】.故選:.【點睛】本題考查等差數(shù)列的求和公式和等差數(shù)列的性質(zhì),考查基本量的計算,難度容易.2、D【解析】
連接,根據(jù)題目,證明出四邊形為平行四邊形,然后,利用向量的線性運算即可求出答案【詳解】連接,由,知,四邊形為平行四邊形,可得四邊形為平行四邊形,所以.【點睛】本題考查向量的線性運算問題,屬于基礎(chǔ)題3、B【解析】
建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法計算出異面直線與所成角的余弦值.【詳解】依題意三棱柱底面是正三角形且側(cè)棱垂直于底面.設(shè)的中點為,建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示.所以,所以.所以異面直線與所成角的余弦值為.故選:B【點睛】本小題主要考查異面直線所成的角的求法,屬于中檔題.4、A【解析】
用轉(zhuǎn)化的思想求出中不等式的解集,再利用并集的定義求解即可.【詳解】解:由集合,解得,則故選:.【點睛】本題考查了并集及其運算,分式不等式的解法,熟練掌握并集的定義是解本題的關(guān)鍵.屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】
還原幾何體可知原幾何體為半個圓柱和一個四棱錐組成的組合體,分別求解兩個部分的體積,加和得到結(jié)果.【詳解】由三視圖還原可知,原幾何體下半部分為半個圓柱,上半部分為一個四棱錐半個圓柱體積為:四棱錐體積為:原幾何體體積為:本題正確選項:【點睛】本題考查三視圖的還原、組合體體積的求解問題,關(guān)鍵在于能夠準(zhǔn)確還原幾何體,從而分別求解各部分的體積.6、D【解析】
由已知可得,結(jié)合向量數(shù)量積的運算律,建立方程,求解即可.【詳解】依題意得由,得即,解得.故選:.【點睛】本題考查向量的數(shù)量積運算,向量垂直的應(yīng)用,考查計算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】
由等差數(shù)列的性質(zhì)和已知可得,即可得到,代入由誘導(dǎo)公式計算可得.【詳解】解:由等差數(shù)列的性質(zhì)可得,解得,,故選:B.【點睛】本題考查等差數(shù)列的下標(biāo)和公式的應(yīng)用,涉及三角函數(shù)求值,屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】
做出函數(shù)的圖象,問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象在有7個交點,而函數(shù)在上有3個交點,則在上有4個不同的交點,數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖所示,由圖可知方程在上有3個不同的實數(shù)根,則在上有4個不同的實數(shù)根,當(dāng)直線經(jīng)過時,;當(dāng)直線經(jīng)過時,,可知當(dāng)時,直線與的圖象在上有4個交點,即方程,在上有4個不同的實數(shù)根.故選:D.【點睛】本題考查方程根的個數(shù)求參數(shù),利用函數(shù)零點和方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點是解題的關(guān)鍵,運用數(shù)形結(jié)合是解決函數(shù)零點問題的基本思想,屬于中檔題.9、B【解析】
由奇偶性定義可判斷出為偶函數(shù),由單調(diào)性的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增,由此知在上單調(diào)遞減,從而將所求不等式化為,解絕對值不等式求得結(jié)果.【詳解】由題意知:定義域為,,為偶函數(shù),當(dāng)時,,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,則在上單調(diào)遞減,由得:,解得:或,的取值范圍為.故選:.【點睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性求解函數(shù)不等式的問題;奇偶性的作用是能夠確定對稱區(qū)間的單調(diào)性,單調(diào)性的作用是能夠?qū)⒑瘮?shù)值的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量的大小關(guān)系,進而化簡不等式.10、B【解析】
化簡復(fù)數(shù)為的形式,然后判斷復(fù)數(shù)的對應(yīng)點所在象限,即可求得答案.【詳解】對應(yīng)的點的坐標(biāo)為在第二象限故選:B.【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算,考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】
根據(jù)函數(shù)的奇偶性及題設(shè)中關(guān)于與關(guān)系,轉(zhuǎn)換成關(guān)于的關(guān)系式,通過變形求解出的周期,進而算出.【詳解】為上的奇函數(shù),,而函數(shù)是上的偶函數(shù),,,故為周期函數(shù),且周期為故選:B【點睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性,函數(shù)的周期性的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】
可根據(jù)題意把要求的向量重新組合成已知向量的表達,利用向量數(shù)量積的性質(zhì),化簡為三角函數(shù)最值.【詳解】由題意可得:,,,故選:C【點睛】本題主要考查根據(jù)已知向量的模求未知向量的模的方法技巧,把要求的向量重新組合成已知向量的表達是本題的關(guān)鍵點.本題屬中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、①②④【解析】
①∵,∴平面
,得出上任意一點到平面的距離相等,所以判斷命題①;②由已知得出點P在面上的射影在上,根據(jù)線面垂直的判定和性質(zhì)或三垂線定理,可判斷命題②;③當(dāng)為中點時,以點D為坐標(biāo)原點,建立空間直角系,如下圖所示,運用二面角的空間向量求解方法可求得二面角的余弦值,可判斷命題③;④過作平面交于點,做點關(guān)于面對稱的點,使得點在平面內(nèi),根據(jù)對稱性和兩點之間線段最短,可求得當(dāng)點在點時,在一條直線上,取得最小值.可判斷命題④.【詳解】①∵,∴平面
,所以上任意一點到平面的距離相等,所以三棱錐的體積不變,所以①正確;
②在直線上運動時,點P在面上的射影在上,所以DP在面上的射影在上,又,所以,所以②正確;③當(dāng)為中點時,以點D為坐標(biāo)原點,建立空間直角系,如下圖所示,設(shè)正方體的棱長為2.則:,,所以,設(shè)面的法向量為,則,即,令,則,設(shè)面的法向量為,,即,,由圖示可知,二面角是銳二面角,所以二面角的余弦值為,所以③不正確;④過作平面交于點,做點關(guān)于面對稱的點,使得點在平面內(nèi),則,所以,當(dāng)點在點時,在一條直線上,取得最小值.因為正方體的棱長為2,所以設(shè)點的坐標(biāo)為,,,所以,所以,又所以,所以,,,故④正確.
故答案為:①②④.【點睛】本題考查空間里的線線,線面,面面關(guān)系,幾何體的體積,在求解空間里的兩線段的和的最小值,仍可以運用對稱的思想,兩點之間線段最短進行求解,屬于難度題.14、【解析】
①根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示結(jié)合兩角差的正弦公式的逆用即可得解;②結(jié)合①求出,根據(jù)面積公式即可得解.【詳解】①2(sin32°?cos77°﹣cos32°?sin77°),②,,∴,∴.故答案為:.【點睛】此題考查平面向量與三角函數(shù)解三角形綜合應(yīng)用,涉及平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示,三角恒等變換,根據(jù)三角形面積公式求解三角形面積,綜合性強.15、或【解析】
函數(shù)的零點方程的根,求出方程的兩根為,,從而可得或,即或.【詳解】函數(shù)在區(qū)間的零點方程在區(qū)間的根,所以,解得:,,因為函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個零點,所以或,即或.【點睛】本題考查函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系,在求含絕對值方程時,要注意對絕對值內(nèi)數(shù)的正負進行討論.16、1【解析】
按照個位上的9元的支付情況分類,三個數(shù)位上的錢數(shù)分步計算,相加即可.【詳解】9元的支付有兩種情況,或者,①當(dāng)9元采用方式支付時,200元的支付方式為,或者或者共3種方式,10元的支付只能用1張10元,此時共有種支付方式;②當(dāng)9元采用方式支付時:200元的支付方式為,或者或者共3種方式,10元的支付只能用1張10元,此時共有種支付方式;所以總的支付方式共有種.故答案為:1.【點睛】本題考查了分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理,屬于中檔題.做題時注意分類做到不重不漏,分步做到步驟完整.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)或(Ⅱ)12【解析】
(1)先設(shè)數(shù)列的公比為,根據(jù)題中條件求出公比,即可得出通項公式;(2)根據(jù)(1)的結(jié)果,由等比數(shù)列的求和公式,即可求出結(jié)果.【詳解】(1)設(shè)數(shù)列的公比為,,,或.(2)時,,解得;時,,無正整數(shù)解;綜上所述.【點睛】本題主要考查等比數(shù)列,熟記等比數(shù)列的通項公式與求和公式即可,屬于基礎(chǔ)題型.18、(1)見解析(2)見解析【解析】
(1)求出,分別以當(dāng),,時,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和最值判斷零點的個數(shù).(2)令,結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出;同理可求出滿足,從而可得,進而證明.【詳解】解析:(1),,當(dāng)時,,單調(diào)遞減,,,此時有1個零點;當(dāng)時,無零點;當(dāng)時,由得,由得,∴在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,∴在處取得最小值,若,則,此時沒有零點;若,則,此時有1個零點;若,則,,求導(dǎo)易得,此時在,上各有1個零點.綜上可得時,沒有零點,或時,有1個零點,時,有2個零點.(2)令,則,當(dāng)時,;當(dāng)時,,∴.令,則,當(dāng)時,,當(dāng)時,,∴,∴,,∴,即.【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)零點問題,考查了運用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題,考查了分類的數(shù)學(xué)思想.本題的難點在于第二問不等式的證明中,合理設(shè)出函數(shù),通過比較最值證明.19、(1)(2)詳見解析(3)初中生平均參加公益勞動時間較長【解析】
(1)由圖表直接利用隨機事件的概率公式求解;(2)X的所有可能取值為0,1,2,3.由古典概型概率公式求概率,則分布列可求;(3)由圖表直接判斷結(jié)果.【詳解】(1)100名學(xué)生中共有男生48名,其中共有20人參加公益勞動時間在,設(shè)男生中隨機抽取一人,抽到的男生參加公益勞動時間在的事件為,那么;(2)的所有可能取值為0,1,2,3.∴;;;.∴隨機變量的分布列為:(3)由圖表可知,初中生平均參加公益勞動時間較長.【點睛】本小題主要考查古典概型的計算,考查超幾何分布的分布列的計算,屬于基礎(chǔ)題.20、(1)平均數(shù)為360,眾數(shù)為330;(2)見詳解;(3)甲公司:7020(元),乙公司:7281(元)【解析】
(1)將圖中甲公司員工A的所有數(shù)據(jù)相加,再除以總的天數(shù)10,即可求出甲公司員工A投遞快遞件數(shù)的平均數(shù).從中發(fā)現(xiàn)330出現(xiàn)的次數(shù)最多,故為眾數(shù);(2)由題意能求出的可能取值為340,360,370,420,440,分別求出相對應(yīng)的概率,由此能求出的分布列和數(shù)學(xué)期望;(3)利用(1)(2)的結(jié)果,可估算兩公司的每位員工在該月所得的勞務(wù)費.【詳解】解:(1)由題意知甲公司員工在這10天投遞的快遞件數(shù)的平均數(shù)為.眾數(shù)為330.(2)設(shè)乙公司員工1天的投遞件數(shù)為隨機變量,則當(dāng)時,當(dāng)時,當(dāng)時,當(dāng)時,當(dāng)時,的分布列為204219228273291(元);(3)由(1)估計甲公司被抽取員工在該月所得的勞務(wù)費為(元)由(2)估計乙公司被抽取員工在該月所得的勞務(wù)費為(元).【點睛】本題考查頻率分布表的應(yīng)用,考查概率的求法,考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法,是中檔題.21、(1);(2)列聯(lián)表見解析,有超過的把握認為“晉級成功”與性別有關(guān);(3)分布列見解析,=3【解析】
(1)由頻率和為1,列出方程求的值;(2)由頻率分布直方圖求出晉級成功的頻率,計算晉級成功的人數(shù),填寫列聯(lián)表,計算觀
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