2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第10章計(jì)數(shù)原理概率隨機(jī)變量及其分布第4講隨機(jī)事件的概率創(chuàng)新教學(xué)案含解析新人教版

PAGE第4講隨機(jī)事務(wù)的概率[考綱解讀]1.了解隨機(jī)事務(wù)發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義，了解頻率與概率的區(qū)分．2．會(huì)用頻率估計(jì)概率，駕馭概率的基本性質(zhì)．(重點(diǎn))3．了解兩個(gè)互斥事務(wù)的概率加法公式．(難點(diǎn))[考向預(yù)料]從近三年高考狀況來(lái)看，本講內(nèi)容一般不作獨(dú)立考查，預(yù)料2024年將會(huì)考查：①對(duì)立、互斥與古典概型結(jié)合考查隨機(jī)事務(wù)概率的計(jì)算；②隨機(jī)事務(wù)與統(tǒng)計(jì)圖表相結(jié)合考查用頻率估計(jì)概率．試題難度不大，屬中、低檔題型.1.事務(wù)的分類(lèi)2．頻率和概率(1)在相同的條件S下重復(fù)n次試驗(yàn)，視察某一事務(wù)A是否出現(xiàn)，稱(chēng)n次試驗(yàn)中事務(wù)A出現(xiàn)的eq\o(□,\s\up1(01))次數(shù)nA為事務(wù)A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱(chēng)事務(wù)A出現(xiàn)的比例fn(A)＝eq\o(□,\s\up1(02))eq\f(nA,n)為事務(wù)A出現(xiàn)的頻率．(2)對(duì)于給定的隨機(jī)事務(wù)A，假如隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事務(wù)A發(fā)生的eq\o(□,\s\up1(03))頻率fn(A)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)上，把這個(gè)常數(shù)記作P(A)，稱(chēng)為事務(wù)A的概率，簡(jiǎn)稱(chēng)為A的概率．3．事務(wù)的關(guān)系與運(yùn)算定義符號(hào)表示包含關(guān)系假如事務(wù)A發(fā)生，則事務(wù)Beq\o(□,\s\up1(01))肯定發(fā)生，這時(shí)稱(chēng)事務(wù)B包含事務(wù)A(或稱(chēng)事務(wù)A包含于事務(wù)B)eq\o(□,\s\up1(02))B?A(或A?B)相等關(guān)系若B?A且A?B，那么稱(chēng)事務(wù)A與事務(wù)B相等A＝B并事務(wù)(和事務(wù))若某事務(wù)發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)eq\o(□,\s\up1(03))事務(wù)A發(fā)生或事務(wù)B發(fā)生，稱(chēng)此事務(wù)為事務(wù)A與事務(wù)B的并事務(wù)(或和事務(wù))A∪B(或A＋B)交事務(wù)(積事務(wù))若某事務(wù)發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)eq\o(□,\s\up1(04))事務(wù)A發(fā)生且事務(wù)B發(fā)生，則稱(chēng)此事務(wù)為事務(wù)A與事務(wù)B的交事務(wù)(或積事務(wù))eq\o(□,\s\up1(05))A∩B(或AB)互斥事務(wù)若A∩B為eq\o(□,\s\up1(06))不行能事務(wù)，那么稱(chēng)事務(wù)A與事務(wù)B互斥A∩B＝?對(duì)立事務(wù)若A∩B為eq\o(□,\s\up1(07))不行能事務(wù)，A∪B為eq\o(□,\s\up1(08))必定事務(wù)，那么稱(chēng)事務(wù)A與事務(wù)B互為對(duì)立事務(wù)A∩B＝?且A∪B＝U4．概率的幾個(gè)基本性質(zhì)(1)概率的取值范圍：eq\o(□,\s\up1(01))0≤P(A)≤1.(2)必定事務(wù)的概率P(E)＝eq\o(□,\s\up1(02))1.(3)不行能事務(wù)的概率P(F)＝eq\o(□,\s\up1(03))0.(4)概率的加法公式假如事務(wù)A與事務(wù)B互斥，則P(A∪B)＝eq\o(□,\s\up1(04))P(A)＋P(B)．(5)對(duì)立事務(wù)的概率若事務(wù)A與事務(wù)B互為對(duì)立事務(wù)，則P(A)＝eq\o(□,\s\up1(05))1－P(B)．1．概念辨析(1)“方程x2＋x＋1＝0有兩個(gè)實(shí)根”是不行能事務(wù)．()(2)頻率隨著試驗(yàn)次數(shù)改變而改變，而概率是一個(gè)常數(shù)．()(3)兩個(gè)事務(wù)的和事務(wù)發(fā)生是指兩個(gè)事務(wù)同時(shí)發(fā)生．()(4)對(duì)于隨意事務(wù)A，B，總有公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．()(5)對(duì)立事務(wù)肯定是互斥事務(wù)，互斥事務(wù)不肯定是對(duì)立事務(wù)．()答案(1)√(2)√(3)×(4)×(5)√2．小題熱身(1)某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)去參與演講競(jìng)賽，事務(wù)“至少有一名女生”與事務(wù)“全是男生”()A．是互斥事務(wù)，不是對(duì)立事務(wù)B．是對(duì)立事務(wù)，不是互斥事務(wù)C．既是互斥事務(wù)，也是對(duì)立事務(wù)D．既不是互斥事務(wù)也不是對(duì)立事務(wù)答案C解析3名男生和2名女生，從中任選2名有以下可能：①全是男生；②恰有1名女生；③全是女生，所以“至少有一名女生”與“全是男生”既是互斥事務(wù)，也是對(duì)立事務(wù)．(2)給出下列三個(gè)命題，其中正確的命題有________個(gè)．①有一大批產(chǎn)品，已知次品率為10%，從中任取100件，必有10件是次品；②做7次拋硬幣的試驗(yàn)，結(jié)果3次出現(xiàn)正面，因此正面出現(xiàn)的概率是eq\f(3,7)；③隨機(jī)事務(wù)發(fā)生的頻率就是這個(gè)隨機(jī)事務(wù)發(fā)生的概率．答案0解析由概率的概念，知從中任取100件，可能有10件次品，并不是必有10件次品，則①是假命題；拋硬幣時(shí)出現(xiàn)正面的概率是eq\f(1,2)，不是eq\f(3,7)，則②是假命題；頻率和概率不是同一個(gè)概念，則③是假命題．綜上可知，正確的命題有0個(gè)．(3)從一箱產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件，設(shè)事務(wù)A＝{抽到一等品}，事務(wù)B＝{抽到二等品}，事務(wù)C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，則事務(wù)“抽到的不是一等品”的概率為_(kāi)_______．答案0.35解析“抽到的不是一等品”與“抽到一等品”是對(duì)立事務(wù)，所以抽到的不是一等品的概率P＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.(4)劉老師在某高校連續(xù)3年主講經(jīng)濟(jì)學(xué)院的高等數(shù)學(xué)，下表是劉老師這門(mén)課3年來(lái)學(xué)生的考試成果分布：成果人數(shù)90分以上4280～89分17270～79分24060～69分8650～59分5250分以下8經(jīng)濟(jì)學(xué)院一年級(jí)的學(xué)生王小明下學(xué)期將選修劉老師的高等數(shù)學(xué)課，用已有的信息估計(jì)他得以下分?jǐn)?shù)的概率：①90分以上的概率是________；②不及格(60分及以上為及格)的概率是________．答案①0.07②0.1解析用已有的信息估計(jì)王小明得90分以上的概率為eq\f(42,600)＝0.07，不及格的概率為eq\f(52＋8,600)＝0.1.題型一互斥、對(duì)立事務(wù)的推斷1．有一個(gè)嬉戲，其規(guī)則是甲、乙、丙、丁四個(gè)人從同一地點(diǎn)隨機(jī)地向東、南、西、北四個(gè)方向前進(jìn)，每人一個(gè)方向．事務(wù)“甲向南”與事務(wù)“乙向南”是()A．互斥但非對(duì)立事務(wù) B．對(duì)立事務(wù)C．相互獨(dú)立事務(wù) D．以上都不對(duì)答案A解析“甲向南”與“乙向南”不會(huì)同時(shí)發(fā)生，但有可能都不發(fā)生，所以這兩個(gè)事務(wù)互斥但不對(duì)立．2．從1,2,3,4,5中有放回地依次取出兩個(gè)數(shù)，則下列各對(duì)事務(wù)是互斥而不是對(duì)立事務(wù)的是()A．恰有1個(gè)是奇數(shù)和全是奇數(shù)B．恰有1個(gè)是偶數(shù)和至少有1個(gè)是偶數(shù)C．至少有1個(gè)是奇數(shù)和全是奇數(shù)D．至少有1個(gè)是偶數(shù)和全是偶數(shù)答案A解析從1,2,3,4,5中有放回地依次取出兩個(gè)數(shù)，共有三種狀況：A＝{兩個(gè)奇數(shù)}，B＝{一個(gè)奇數(shù)，一個(gè)偶數(shù)}，C＝{兩個(gè)偶數(shù)}，且兩兩互斥，A中兩個(gè)事務(wù)是互斥事務(wù)而不是對(duì)立事務(wù)；B，C，D中兩個(gè)事務(wù)不互斥．推斷互斥、對(duì)立事務(wù)的兩種方法(1)定義法推斷互斥事務(wù)、對(duì)立事務(wù)一般用定義推斷，不行能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事務(wù)為互斥事務(wù)；兩個(gè)事務(wù)，在任何一次試驗(yàn)中，若有且僅有一個(gè)發(fā)生，則這兩個(gè)事務(wù)為對(duì)立事務(wù)，對(duì)立事務(wù)肯定是互斥事務(wù)．(2)集合法①由各個(gè)事務(wù)所含的結(jié)果組成的集合彼此的交集為空集，則事務(wù)互斥．②事務(wù)A的對(duì)立事務(wù)eq\o(A,\s\up6(－))所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事務(wù)A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集．某小組有3名男生和2名女生，從中選2名同學(xué)去參與演講競(jìng)賽，下列有4個(gè)事務(wù)：①恰有1名男生和恰有2名男生；②至少有1名男生和至少有1名女生；③至少有1名男生和全是男生；④至少有1名男生和全是女生，其中是互斥事務(wù)的是________(填序號(hào))．答案①④解析對(duì)于事務(wù)①，恰有1名男生是1男1女和恰有2名男生互斥；對(duì)于事務(wù)②，至少有1名男生和至少有1名女生兩者有可能同時(shí)發(fā)生，所以不是互斥事務(wù)；對(duì)于③，至少有1名男生和全是男生也有可能同時(shí)發(fā)生，所以不是互斥事務(wù)；對(duì)于事務(wù)④，至少有1名男生和全是女生不行能同時(shí)發(fā)生，是互斥事務(wù)．題型二隨機(jī)事務(wù)的頻率與概率1．(2024·石家莊模擬)袋中有大小、形態(tài)完全相同的四個(gè)小球，分別寫(xiě)有“和”“諧”“校”“園”四個(gè)字，有放回地從中隨意摸出一個(gè)小球，直到“和”“諧”兩個(gè)字都摸到就停止摸球，用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)恰好在第三次停止摸球的概率．利用電腦隨機(jī)產(chǎn)生1到4之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，分別用1,2,3,4代表“和”“諧”“?！薄皥@”這四個(gè)字，以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，表示摸球三次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下18組隨機(jī)數(shù)：343432341342234142243331112342241244431233214344142134由此可以估計(jì)，恰好第三次就停止摸球的概率為()A.eq\f(1,9) B.eq\f(1,6)C.eq\f(2,9) D.eq\f(5,18)答案C解析由題意，得隨機(jī)數(shù)的前兩位只能出現(xiàn)1或2中的一個(gè)，第三位出現(xiàn)另外一個(gè)，所以滿意條件的隨機(jī)數(shù)為142,112,241,142，故恰好第三次就停止摸球的概率為eq\f(4,18)＝eq\f(2,9).故選C.2．某教授為了測(cè)試貧困地區(qū)和發(fā)達(dá)地區(qū)的同齡兒童的智力，出了10道智力題，每道題10分，然后作了統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如表．貧困地區(qū)參與測(cè)試的人數(shù)3050100200500800得60分以上的人數(shù)162752104256402得60分以上的頻率發(fā)達(dá)地區(qū)參與測(cè)試的人數(shù)3050100200500800得60分以上的人數(shù)172956111276440得60分以上的頻率(1)計(jì)算兩地區(qū)參與測(cè)試的兒童得60分以上的頻率(保留兩位小數(shù))；(2)依據(jù)頻率估計(jì)兩地區(qū)參與測(cè)試的兒童得60分以上的概率．解(1)貧困地區(qū)表格從左到右分別為0.53,0.54,0.52,0.52,0.51,0.50；發(fā)達(dá)地區(qū)表格從左到右分別為0.57,0.58,0.56,0.56,0.55,0.55.(2)依據(jù)頻率估計(jì)貧困地區(qū)參與測(cè)試的兒童得60分以上的概率為0.52，發(fā)達(dá)地區(qū)參與測(cè)試的兒童得60分以上的概率為0.56.1．概率與頻率的關(guān)系2．隨機(jī)事務(wù)概率的求法對(duì)一批襯衣進(jìn)行抽樣檢查，結(jié)果如表：抽取件數(shù)n50100200500600700800次品件數(shù)m021227273540次品率eq\f(m,n)(1)求次品出現(xiàn)的頻率(次品率)；(2)記“任取一件襯衣是次品”為事務(wù)A，求P(A)；(3)為了保證買(mǎi)到次品的顧客能夠剛好更換，銷(xiāo)售1000件襯衣，至少需進(jìn)貨多少件？解(1)次品率依次為0,0.02,0.06,0.054,0.045,0.05,0.05.(2)由(1)，知出現(xiàn)次品的頻率eq\f(m,n)在0.05旁邊搖擺，故P(A)＝0.05.(3)設(shè)需進(jìn)貨x件，則x(1－0.05)≥1000，解得x≥1053，故至少需進(jìn)貨1053件．題型三互斥事務(wù)與對(duì)立事務(wù)的概率角度1互斥事務(wù)概率公式的應(yīng)用1．(2024·全國(guó)卷Ⅲ)若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.45，既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為0.15，則不用現(xiàn)金支付的概率為()A．0.3 B．0.4C．0.6 D．0.7答案B解析設(shè)事務(wù)A為只用現(xiàn)金支付，事務(wù)B為只用非現(xiàn)金支付，事務(wù)C為既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付，則P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，因?yàn)镻(A)＝0.45，P(C)＝0.15，所以P(B)＝0.4.故選B.角度2對(duì)立事務(wù)概率公式的應(yīng)用2．某班選派5人參與學(xué)校實(shí)行的數(shù)學(xué)競(jìng)賽，獲獎(jiǎng)的人數(shù)及其概率如下：獲獎(jiǎng)人數(shù)/人012345概率0.10.16xy0.2z(1)若獲獎(jiǎng)人數(shù)不超過(guò)2人的概率為0.56，求x的值；(2)若獲獎(jiǎng)人數(shù)最多4人的概率為0.96，最少3人的概率為0.44，求y，z的值．解記事務(wù)“在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，有k人獲獎(jiǎng)”為Ak(k∈N，k≤5)，則事務(wù)Ak彼此互斥．(1)∵獲獎(jiǎng)人數(shù)不超過(guò)2人的概率為0.56，∴P(A0)＋P(A1)＋P(A2)＝0.1＋0.16＋x＝0.56.解得x＝0.3.(2)由獲獎(jiǎng)人數(shù)最多4人的概率為0.96，得P(A5)＝1－0.96＝0.04，即z＝0.04.由獲獎(jiǎng)人數(shù)最少3人的概率為0.44，得P(A3)＋P(A4)＋P(A5)＝0.44，即y＋0.2＋0.04＝0.44，解得y＝0.2.求困難的互斥事務(wù)概率的方法(1)干脆法(2)間接法(正難則反)1．(2024·天津紅橋一模)經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在銀行一個(gè)營(yíng)業(yè)窗口每天上午9點(diǎn)鐘排隊(duì)等候的人數(shù)及相應(yīng)概率如下表：排隊(duì)人數(shù)01234≥5概率0.10.160.30.30.10.04則該營(yíng)業(yè)窗口上午9點(diǎn)鐘時(shí)，至少有2人排隊(duì)的概率是________．答案0.74解析由已知條件可得，至少有2人排隊(duì)的概率是0.3＋0.3＋0.1＋0.04＝0.74.2．某超市為了了解顧客的購(gòu)物量及結(jié)算時(shí)間等信息，支配一名員工隨機(jī)收集了在該超市購(gòu)物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示．一次購(gòu)物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顧客數(shù)(人)x3025y10結(jié)算時(shí)間(分鐘/人)11.522.53已知這100位顧客中一次購(gòu)物量超過(guò)8件的顧客占55%.(1)確定x，y的值，并估計(jì)顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間的平均值；(2)求一位顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間不超過(guò)2分鐘的概率(將頻率視為概率)．解(1)由已知，得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.該超市全部顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間組成一個(gè)總體，所收集的100位顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間可視為總體的一個(gè)容量為100的簡(jiǎn)潔隨機(jī)樣本，顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間的平均值可用樣本平均數(shù)估計(jì)，其估計(jì)值為eq\f(1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10,100)＝1.9(分鐘)．(2)記A為事務(wù)“一位顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間不超過(guò)2分鐘”，A1，A2分別表示事務(wù)“該顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間為2.5分鐘”和事務(wù)“該顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間為3分鐘”，將頻率視為概率，得P(A1)＝eq\f(20,100)＝eq\f(1,5)，P(A2)＝eq\f(10,100)＝eq\f(1,10).P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－eq\f(1,5)－eq\f(1,10)＝eq\f(7,10).故一位顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間不超過(guò)2分鐘的概率為eq\f(7,10).組基礎(chǔ)關(guān)1．(2024·銀川四校聯(lián)考)下列結(jié)論正確的是()A．事務(wù)A的概率P(A)必滿意0<P(A)<1B．事務(wù)A的概率P(A)＝0.999，則事務(wù)A是必定事務(wù)C．用某種藥物對(duì)患有胃潰瘍的500名病人進(jìn)行治療，結(jié)果有380人有明顯療效，現(xiàn)有一名胃潰瘍病人服用此藥，則估計(jì)有明顯療效的可能性為76%D．某獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)率為50%，則某人購(gòu)買(mǎi)此獎(jiǎng)券10張，肯定有5張中獎(jiǎng)答案C解析A錯(cuò)誤，應(yīng)當(dāng)有0≤P(A)≤1；由概率的意義可知，B，D錯(cuò)誤，C正確．2．把紅、黃、藍(lán)、白4張紙牌隨機(jī)地分發(fā)給甲、乙、丙、丁四人，則事務(wù)“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”()A．是對(duì)立事務(wù)B．是不行能事務(wù)C．是互斥事務(wù)但不是對(duì)立事務(wù)D．不是互斥事務(wù)答案C解析“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”不會(huì)同時(shí)發(fā)生，但可能都不發(fā)生，所以這兩個(gè)事務(wù)互斥但不對(duì)立．3．圍棋盒子中有多粒黑子和白子，已知從中取出2粒都是黑子的概率是eq\f(1,7)，都是白子的概率是eq\f(12,35).則從中隨意取出2粒恰好是同一色的概率是()A.eq\f(1,7) B.eq\f(12,35)C.eq\f(17,35) D．1答案C解析因?yàn)閺闹腥〕?粒都是黑子的概率為eq\f(1,7)，都是白子的概率是eq\f(12,35)，所以從中隨意取出2粒恰好是同一色的概率為eq\f(1,7)＋eq\f(12,35)＝eq\f(17,35).4．(2024·石家莊模擬)某產(chǎn)品分甲、乙、丙三級(jí)，其中乙、丙兩級(jí)均屬次品，在正常生產(chǎn)狀況下，出現(xiàn)乙級(jí)品和丙級(jí)品的概率分別是5%和3%，則抽檢一件是正品(甲級(jí))的概率為()A．0.95 B．0.97C．0.92 D．0.08答案C解析記抽檢的產(chǎn)品是甲級(jí)品為事務(wù)A，是乙級(jí)品為事務(wù)B，是丙級(jí)品為事務(wù)C，這三個(gè)事務(wù)彼此互斥，因而所求概率為P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－5%－3%＝92%＝0.92.5．從某班學(xué)生中隨意找出一人，假如該同學(xué)的身高小于160cm的概率為0.3，該同學(xué)的身高在[160,175](單位：cm)內(nèi)的概率為0.5，那么該同學(xué)的身超群過(guò)175cm的概率為()A．0.2 B．0.3C．0.7 D．0.8答案A解析由題意，得身超群過(guò)175cm的概率為P＝1－0.3－0.5＝0.2.6．依據(jù)某醫(yī)療探討所的調(diào)查，某地區(qū)居民血型的分布為O型50%，A型15%，B型30%，AB型5%.現(xiàn)有一血液為A型的病人須要輸血，若在該地區(qū)任選一人，那么能為病人輸血的概率為()A．15% B．20%C．45% D．65%答案D解析因?yàn)樵摰貐^(qū)居民血型的分布為：O型50%，A型15%，B型30%，AB型5%.現(xiàn)在能為A型病人輸血的有O型和A型，故能為該病人輸血的概率為50%＋15%＝65%.故選D.7．?dāng)S一個(gè)骰子的試驗(yàn)，事務(wù)A表示“出現(xiàn)小于5的偶數(shù)點(diǎn)”，事務(wù)B表示“出現(xiàn)小于5的點(diǎn)數(shù)”，若eq\o(B,\s\up6(－))表示B的對(duì)立事務(wù)，則一次試驗(yàn)中，事務(wù)A∪eq\o(B,\s\up6(－))發(fā)生的概率為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(5,6)答案C解析擲一個(gè)骰子的試驗(yàn)有6種可能結(jié)果．依題意P(A)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，∴P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝1－P(B)＝1－eq\f(2,3)＝eq\f(1,3).∵eq\o(B,\s\up6(－))表示“出現(xiàn)5點(diǎn)或6點(diǎn)”的事務(wù)，因此事務(wù)A與eq\o(B,\s\up6(－))互斥，從而P(A∪eq\o(B,\s\up6(－)))＝P(A)＋P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).8．某射擊選手在同一條件下進(jìn)行射擊，結(jié)果如下：射擊次數(shù)102050100200500擊中靶心的次數(shù)8194492178455則這名射擊選手射擊一次，擊中靶心的概率約為_(kāi)_______(精確到0.1)．答案0.9解析依據(jù)已知條件列出下表：射擊次數(shù)102050100200500擊中靶心的次數(shù)8194492178455頻率0.800.950.880.920.890.91由表中數(shù)據(jù)可估計(jì)這名射擊選手射擊一次，擊中靶心的概率約為0.9.9．假如事務(wù)A與B是互斥事務(wù)，且事務(wù)A∪B發(fā)生的概率是0.64，事務(wù)B發(fā)生的概率是事務(wù)A發(fā)生的概率的3倍，則事務(wù)A發(fā)生的概率為_(kāi)_______．答案0.16解析設(shè)P(A)＝x，則P(B)＝3x，又因?yàn)镻(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝x＋3x＝0.64，所以x＝0.16，則P(A)＝0.16.10．一個(gè)不透亮的袋子中裝有7個(gè)紅球，3個(gè)綠球，這些球除顏色外完全相同，從中無(wú)放回地隨意抽取兩次，每次只取一個(gè)，取得兩個(gè)紅球的概率為eq\f(7,15)，取得兩個(gè)綠球的概率為eq\f(1,15)，則取得兩個(gè)同顏色球的概率為_(kāi)_______，至少取得一個(gè)紅球的概率為_(kāi)_______．答案eq\f(8,15)eq\f(14,15)解析由于“取得兩個(gè)紅球”與“取得兩個(gè)綠球”是互斥事務(wù)，因此事務(wù)C：“取得兩個(gè)同顏色球”，只需兩互斥事務(wù)有一個(gè)發(fā)生即可，因而取得兩個(gè)同顏色球的概率為P(C)＝eq\f(7,15)＋eq\f(1,15)＝eq\f(8,15).由于事務(wù)A：“至少取得一個(gè)紅球”與事務(wù)B：“取得兩個(gè)綠球”是對(duì)立事務(wù)，則至少取得一個(gè)紅球的概率為P(A)＝1－P(B)＝1－eq\f(1,15)＝eq\f(14,15).組實(shí)力關(guān)1．在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，彼此互斥的事務(wù)A，B，C，D發(fā)生的概率分別是0.2,0.2,0.3,0.3，則下列說(shuō)法正確的是()A．A∪B與C是互斥事務(wù)，也是對(duì)立事務(wù)B．B∪C與D是互斥事務(wù)，也是對(duì)立事務(wù)C．A∪C與B∪D是互斥事務(wù)，但不是對(duì)立事務(wù)D．A與B∪C∪D是互斥事務(wù)，也是對(duì)立事務(wù)答案D解析由于A，B，C，D彼此互斥，且A∪B∪C∪D是一個(gè)必定事務(wù)，故各事務(wù)的關(guān)系可由如圖所示的Venn圖表示，由圖可知，任何一個(gè)事務(wù)與其余3個(gè)事務(wù)的和事務(wù)必定是對(duì)立事務(wù)，任何兩個(gè)事務(wù)的和事務(wù)與其余兩個(gè)事務(wù)的和事務(wù)也是對(duì)立事務(wù)．2．若隨機(jī)事務(wù)A，B互斥，A，B發(fā)生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，則實(shí)數(shù)aA.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，2)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(3,2)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(3,2))) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(4,3)))答案D解析由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<PA<1，,0<PB<1，,PA＋PB≤1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<2－a<1，,0<4a－5<1，,3a－3≤1，))解得eq\f(5,4)<a≤eq\f(4,3).3．已知某運(yùn)動(dòng)員每次投籃命中的概率都為40%，現(xiàn)采納隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表三次投籃的結(jié)果．經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù)：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989據(jù)此估計(jì)，該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率為_(kāi)_______．答案0.25解析20組隨機(jī)數(shù)中表示三次投籃恰有兩次命中的是191,271,932,812,393，其頻率為eq\f(5,20)＝0.25，以此估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率為0.25.4．某電子商務(wù)公司隨機(jī)抽取1000名網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物者進(jìn)行調(diào)查．這1000名購(gòu)物者2024年網(wǎng)上購(gòu)物金額(單位：萬(wàn)元)均在區(qū)間[0.3,0.9]內(nèi)，樣本分組為：[0.3,0.4)，[0.4,0.5)，[0.5,0.6)，[0.6,0.7)，[0.7,0.8)，[0.8,0.9]，購(gòu)物金額的頻率分布直方圖如下：電子商務(wù)公司確定給購(gòu)物者發(fā)放實(shí)惠券，其金額(單位：元)與購(gòu)物金額關(guān)系如下：購(gòu)物金額分組[0.3,0.5)[0.5,0.6)[0.6,0.8)[0.8,0.9]發(fā)放金額50100150200(1)求這1000名購(gòu)物者獲得實(shí)惠券金額的平均數(shù)；(2)以這1000名購(gòu)物者購(gòu)物金額落在相應(yīng)區(qū)間的頻率作為概率，求一個(gè)購(gòu)物者獲得實(shí)惠券金額不少于150元的概率．解(1)購(gòu)物者的購(gòu)物金額x與獲得實(shí)惠券金額y的頻率分布如下表：x0.3≤x<0.50.5≤x＜0.60.6≤x＜0.80.8≤x≤0.9y50100150200頻率0.40.30.280.02這1000名購(gòu)物者獲得實(shí)惠券金額的平均數(shù)為eq\f(1,1000)×(50×400＋100×300＋150×280＋200×20)＝96.(2)由獲得實(shí)惠券金額y與購(gòu)物金額x的對(duì)應(yīng)關(guān)系及(1)，知P(y＝150)＝P(0.6≤x<0.8)＝0.28，P(y＝200)＝P(0.8≤x≤0.9)＝0.02，從而，獲得實(shí)惠券金額不少于150元的概率為P(y≥150)＝P(y＝150)＋P(y＝200)＝0.28＋0.02＝0.3.組素養(yǎng)關(guān)1．如圖，從A地到火車(chē)站共有兩條路徑L1和L2，現(xiàn)隨機(jī)抽取100位從A地到達(dá)火車(chē)站的人進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下：所用時(shí)間(分鐘)10～2020～3030～4040～5050～60選擇L1的人數(shù)612181212選擇L2的人數(shù)041