新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 圓錐曲線專項重難點突破專題05 橢圓中的離心率問題(解析版)

專題05橢圓中的離心率問題限時：120分鐘滿分：150分一、單選題：本大題共8小題，每個小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知橢圓C：SKIPIF1<0的左、右焦點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點P在橢圓C上，且SKIPIF1<0，過P作SKIPIF1<0的垂線交x軸于點A，若SKIPIF1<0，記橢圓的離心率為e，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0.在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0.由橢圓的定義可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選:A.

2．已知點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的左、右焦點，點P是橢圓E上的一點，若SKIPIF1<0的內(nèi)心是G，且SKIPIF1<0，則橢圓E的離心率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】設(shè)點G到SKIPIF1<0各邊的距離為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，

即SKIPIF1<0，由橢圓定義知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，所以橢圓E的離心率SKIPIF1<0.故選：B3．已知橢圓SKIPIF1<0的左焦點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上關(guān)于原點對稱的兩點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的離心率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】設(shè)橢圓的右焦點為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，由橢圓的對稱性知，四邊形SKIPIF1<0為矩形，所以SKIPIF1<0，

由橢圓的定義知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以離心率SKIPIF1<0．故選：D．4．已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是橢圓上關(guān)于原點對稱的兩點，SKIPIF1<0是橢圓上任意一點，且直線SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的斜率分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)，若SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，則橢圓的離心率為SKIPIF1<0（

）.A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】設(shè)橢圓方程為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0，

由SKIPIF1<0與SKIPIF1<0，相減得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0取等號，因此SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，橢圓的離心率為SKIPIF1<0.故選：D5．已知SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的右焦點，點P在橢圓SKIPIF1<0上，線段SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相切于點SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則橢圓SKIPIF1<0的離心率等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】設(shè)橢圓的左焦點為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，設(shè)圓心為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則圓心坐標(biāo)為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0線段SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0相切于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故選：D．

6．設(shè)橢圓SKIPIF1<0的左右焦點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是橢圓上不與頂點重合的一點，記SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的內(nèi)心．直線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0軸于SKIPIF1<0點，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則橢圓SKIPIF1<0的離心率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】不妨設(shè)點SKIPIF1<0位于第一象限，如圖所示，

因為SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的內(nèi)心，所以SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的角平分線，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由橢圓的定義可知，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理可得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故選：B.7．設(shè)橢圓SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的右焦點為F，橢圓C上的兩點A、B關(guān)于原點對稱，且滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則橢圓C的離心率的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】如圖所示：設(shè)橢圓的左焦點SKIPIF1<0，由橢圓的對稱性可知，四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以平行四邊形SKIPIF1<0為矩形，故SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，在直角SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因為對勾函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以橢圓離心率的取值范圍是SKIPIF1<0.故選：B.8．已知焦點在x軸上的橢圓SKIPIF1<0的內(nèi)接平行四邊形的一組對邊分別經(jīng)過其兩個焦點（如圖），當(dāng)這個平行四邊形為矩形時，其面積最大，則橢圓離心率的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】橢圓C：SKIPIF1<0的焦點在x軸上，設(shè)SKIPIF1<0所在直線方程為SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0為橢圓的半焦距.則由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0所在直線方程為SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的距離為：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0要使得SKIPIF1<0最大值，則只需SKIPIF1<0的值最大，即SKIPIF1<0的值最小即可.根據(jù)條件當(dāng)這個平行四邊形為矩形時，其面積最大.即當(dāng)SKIPIF1<0時SKIPIF1<0有最大值，也即是SKIPIF1<0時SKIPIF1<0最小，由函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增.所以函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增.因為函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，當(dāng)SKIPIF1<0時取得最小值，則SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，同時除以SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0,故選：A二、多選題：本大題共4小題，每個小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，只有一項或者多項是符合題目要求的.9．若橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，則實數(shù)SKIPIF1<0的值可能為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．4【解析】因為橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，當(dāng)焦點在SKIPIF1<0軸上時，即SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；當(dāng)焦點在SKIPIF1<0軸上時，即SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故選：AD.10．在平面直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，橢圓SKIPIF1<0上存在點SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為橢圓的左、右焦點，則該橢圓的離心率可能為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】根據(jù)橢圓定義，得SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.又∵橢圓的離心率SKIPIF1<0，∴該橢圓離心率的取值范圍是SKIPIF1<0.故符合題意的選項有BCD.故選：BCD.11．設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是橢圓SKIPIF1<0的左、右焦點，點P在橢圓C上，若線段SKIPIF1<0的中點在y軸上，設(shè)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，e為橢圓的離心率，則下列正確的有（

）A．當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0 B．e隨著k的增大而增大C．e可能等于SKIPIF1<0 D．e可能等于SKIPIF1<0【解析】線段SKIPIF1<0的中點在y軸上，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，故SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得到SKIPIF1<0.對選項A：SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，正確；對選項B：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故e隨著k的增大而增大，正確；對選項C：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，不在范圍內(nèi)，錯誤；對選項D：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，正確；故選：ABD12．已知直線SKIPIF1<0與橢圓CSKIPIF1<0）交于A，B兩點，線段AB的中點為SKIPIF1<0，則C的離心率可能是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，由題意可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，橢圓C的離心率SKIPIF1<0，所以橢圓離心率范圍為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0與SKIPIF1<0滿足要求.故選：BD三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13．已知橢圓C的焦點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，短軸的一個端點為B，且SKIPIF1<0是一個等邊三角形，則橢圓C的離心率為.【解析】因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以依據(jù)題意可知SKIPIF1<0，從而有SKIPIF1<0.14．已知橢圓SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是長軸的左、右端點，動點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，交橢圓于點SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0為常數(shù)，則橢圓離心率為.【解析】由題意設(shè)SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0三點共線，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0為常數(shù)，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以離心率SKIPIF1<0

15．已知橢圓SKIPIF1<0的左、右焦點分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，半焦距為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是橢圓上異于左、右頂點的任意一點，若存在以SKIPIF1<0為半徑的圓內(nèi)切于SKIPIF1<0（SKIPIF1<0的面積滿足SKIPIF1<0），則橢圓的離心率的取值范圍是．【解析】

如圖，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0的內(nèi)切圓半徑為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，16．若橢圓SKIPIF1<0上存在一點M，使得SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為橢圓的左、右焦點），則橢圓的離心率e的取值范圍為.【解析】方法一：設(shè)點M的坐標(biāo)是SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.又點M在橢圓上，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故橢圓的離心率e的取值范圍是SKIPIF1<0.方法二：設(shè)點M的坐標(biāo)是SKIPIF1<0，由方法一可得SKIPIF1<0消去SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由②得SKIPIF1<0，此式恒成立.由①得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.綜上所述，橢圓的離心率e的取值范圍是SKIPIF1<0.方法三：設(shè)橢圓的一個短軸端點為P，∵橢圓上存在一點M，使SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0最大時，M為短軸端點）∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故橢圓的離心率e的取值范圍為SKIPIF1<0.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17．已知橢圓SKIPIF1<0的左右焦點分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，M為橢圓上任意一點，SKIPIF1<0的周長為SKIPIF1<0.(1)求橢圓方程和橢圓的離心率；(2)過橢圓的下頂點SKIPIF1<0及右焦點SKIPIF1<0作直線與橢圓的另一個交點為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面積.【解析】（1）設(shè)橢圓的半焦距為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因為M為橢圓SKIPIF1<0上一點，由橢圓定義可得SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0的周長為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故橢圓方程為SKIPIF1<0，橢圓SKIPIF1<0的離心率SKIPIF1<0；（2）由(1)可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，消SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以點SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0.18．已知橢圓SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0，有相同的左、右焦點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0與SKIPIF1<0在第一象限內(nèi)的交點，且SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的離心率分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范圍.【解析】設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由橢圓的定義可得SKIPIF1<0，由雙曲線的定義可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由于函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上遞增，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0.19．設(shè)SKIPIF1<0分別是橢圓SKIPIF1<0的左、右焦點，SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0上一點且SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸垂直，直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0的另一個交點為SKIPIF1<0．(1)若直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，求橢圓SKIPIF1<0的離心率；(2)若直線SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸上的截距為1，且SKIPIF1<0，求橢圓SKIPIF1<0的方程．【解析】（1）記SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如圖，因為SKIPIF1<0,所以點SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0的上方，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0（舍去）（2）

記直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸的交點為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0SKIPIF1<0軸，垂足為點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0由比例關(guān)系可知，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0將SKIPIF1<0的坐標(biāo)代入橢圓方程得SKIPIF1<0②由①②及SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以橢圓的方程為SKIPIF1<0．20．設(shè)橢圓SKIPIF1<0的左、右焦點分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上一點，SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0的正切值為SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的離心率SKIPIF1<0；(2)過點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點，若SKIPIF1<0面積的最大值為3，求SKIPIF1<0的方程.【解析】（1）設(shè)橢圓C的半焦距c，則SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，不妨點SKIPIF1<0在第一象限，則SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以C的離心率等于SKIPIF1<0.（2）由（1）可設(shè)橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，依題意，設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，代入橢圓方程，得SKIPIF1<0.設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上遞減，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0.

21．設(shè)橢圓SKIPIF1<0的左、右焦點分別為SKIPIF1<0是橢圓上的一點，SKIPIF1<0，原點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0.(1)求橢圓SKIPIF1<0的離心率；(2)平面上點B滿足SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0與SKIPIF1<0平行的直線交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0兩點，若SKIPIF1<0，求橢圓SKIPIF1<0的方程.【解析】（1）由題設(shè)SKIPIF1<0及SKIPIF1<0，不妨設(shè)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），從而SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，原點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0代入整理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以離心率SKIPIF1<0.（2）由（1）問可設(shè)橢圓方程為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為平行四邊形，所以直線SKIPIF1<0過SKIPIF1<0點，則SKIPIF1<0斜率為SKIPIF1<0，則設(shè)直線SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立橢圓方程得SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0