重難點(diǎn)33 立體幾何解答題十七大題型【2024高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)題型突破】（原卷版）

高中數(shù)學(xué)精編資源2/2重難點(diǎn)專題33立體幾何解答題十七大題型匯總題型1中位線法證明線面平行 1題型2平行四邊形法證明線面平行 4題型3做平行平面證明線面平行 6題型4線線垂直證明線面平行 9題型5面面平行 11題型6線線垂直 13題型7線面垂直 15題型8面面垂直 18題型9向量法證明平行與垂直 20題型10畫(huà)圖問(wèn)題 23題型11角度問(wèn)題 26題型12距離問(wèn)題 28題型13探索性問(wèn)題 30題型14最值取值范圍問(wèn)題 33題型15交線未知型 36題型16建系有難度型 39題型17幾何法的運(yùn)用 42題型1中位線法證明線面平行通過(guò)構(gòu)造三角形中位線，證明線線平行【例題1】（2023·陜西漢中·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2,E為PB的中點(diǎn)，F(xiàn)為AC與BD的交點(diǎn)．

(1)證明：EF//平面PCD；(2)求三棱錐E-ABF的體積．【變式1-1】1.（2023秋·四川瀘州·高三校考階段練習(xí)）如圖，在四棱錐P-ABCD中，BD⊥PC，四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°,AB=PA=1，PB=2,E是棱

(1)證明PB//平面AEC(2)求三棱錐C-BDE的體積；【變式1-1】2.（2023秋·四川南充·高三四川省南充高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，PA⊥底面ABCD，M，N分別為CD，PD的中點(diǎn)，AC與BM交于點(diǎn)E，AB=62，AD=6，K為PA上一點(diǎn)，PK=

(1)證明：KE//MN(2)求證：平面PAC⊥平面BMNK.【變式1-1】3.（2023秋·北京·高三北京八中校考階段練習(xí)）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C(1)求證：平面A1BC⊥平面(2)求證：B1C//(3)若A1B⊥AC1，【變式1-1】4.（2023秋·上海松江·高三?？茧A段練習(xí)）如圖，在正方體ABCD-A1B(1)證明：EF//平面AD(2)求DP與面MNP所成角的正弦值；【變式1-1】5.（2023秋·廣東珠?！じ呷？奸_(kāi)學(xué)考試）在如圖所示的四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn).

(1)證明：PB//平面ACE；(2)若PA=AD=1，AB=2，求平面ABC與平面AEC的夾角的余弦值.題型2平行四邊形法證明線面平行1.利用平移法做出平行四邊形2.利用中位線做出平行四邊形【例題2】（2023·陜西西安·?？家荒＃┤鐖D，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BA⊥BC，BA=BC=BB

(1)證明：EF//平面ACC(2)求直線CE與平面DEF所成角的正弦值.【變式2-1】1.（2023秋·江蘇·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD//BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD,M是棱PC（不與端點(diǎn)重合）上的點(diǎn)，N,Q分別為

(1)證明：BN//平面PCD(2)當(dāng)PM的長(zhǎng)為何值時(shí)，平面QMB與平面PDC的夾角的大小為π3【變式2-1】2.（2023秋·江蘇連云港·高三?？茧A段練習(xí)）如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ABEF為正方形，DF⊥平面ABEF，CD//EF，DF=2，EF=2CD=2，EN=2NC，(1)求證：MN//平面ACF；(2)求直線AD與平面BCE所成角的正弦值.【變式2-1】3.（2023春·山西·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）如圖，在四棱錐S-ABCD中．平面SAD⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，AD=2AB=2BC，AS=DS，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AS，CD的中點(diǎn)．

(1)證明：BE∥平面SCD；(2)若AB=1，AS=3，求二面角C-AS-F【變式2-1】4.（2023秋·山西晉城·高三晉城市第一中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知正方體ABCD-A1B1C

(1)證明：AQ//平面PBD(2)求二面角P-BD-C的平面角的余弦值.題型3做平行平面證明線面平行通過(guò)構(gòu)造面面平行，證明線面平行【例題3】（2023秋·江西宜春·高三江西省豐城拖船中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為菱形，(1)證明：AE//平面BC(2)求CE與平面BC【變式3-1】1.（2022·四川南充·四川省南充高級(jí)中學(xué)校考一模）如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD與ABEF均為直角梯形，平面ABCD⊥平面ABEF，AD//BC，AF//BE，AD⊥AB，

(1)已知點(diǎn)G為AF的中點(diǎn)，求證：BG//平面DCE(2)求多面體ABCDEF的體積．【變式3-1】2.（2023·四川南充·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，在圓錐DO中，D為圓錐的頂點(diǎn)，O為底面圓圓心，AB是圓O的直徑，C為底面圓周上一點(diǎn)，四邊形AODE是矩形．

(1)若點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，求證：DF//平面ACE；(2)若AB=2,∠BAC=∠ACE=π3，求三棱錐【變式3-1】3.（2023秋·四川眉山·高三?？茧A段練習(xí)）如圖所示，在圓錐DO中，D為圓錐的頂點(diǎn)，O為底面圓圓心，AB是圓O的直徑，C為底面圓周上一點(diǎn)，四邊形AODE是矩形．

(1)若點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，求證：DF//平面ACE；(2)若AB=2,∠BAC=∠ACE=π3，求直線CD與平面【變式3-1】4.（2023·湖南永州·統(tǒng)考一模）如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)面PAD為正三角形，且AD=2AB=4,M、N分別為PD、BC的中點(diǎn)，H在線段PC上，且PC=3PH．

(1)求證：MN//平面PAB；(2)當(dāng)AM⊥PC時(shí)，求平面AMN與平面HMN的夾角的余弦值．【變式3-1】5.（2023·甘肅隴南·統(tǒng)考一模）如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，

(1)證明：DE//平面ACC(2)若三棱錐A-A1DC的體積為33，求點(diǎn)題型4線線垂直證明線面平行通過(guò)兩條直線同時(shí)垂直同一個(gè)平面，證明線線平行，在證明線面平行【例題4】（2023秋·江蘇·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，三棱錐A-BCD中，AB⊥平面BCD，E是空間中一點(diǎn)，且AE⊥平面ABC.

(1)證明：AE//平面BCD；(2)若BD⊥CD,AB=BD=CD，求平面CAE與平面DAE的夾角的余弦值.【變式4-1】1.（2023秋·江蘇揚(yáng)州·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）如圖，在多面體ABCDE中，AB⊥平面BCD，平面ECD⊥平面BCD，其中△ECD是邊長(zhǎng)為2的正三角形，△BCD是以∠BDC為直角的等腰三角形．

(1)證明：AB//平面CDE(2)若平面ACE與平面BDE的夾角的余弦值為21919，求線段【變式4-1】2.（2023秋·河南洛陽(yáng)·高三洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在多面體ABCDE中，平面ACD⊥平面ABC,BE⊥平面ABC,△ABC和△ACD均為正三角形，AC=2,BE=3，點(diǎn)M為棱CD

(1)求證：DE//平面ABC；(2)若M為DC中點(diǎn)，求平面AMB與平面ACD所成銳二面角的余弦值．【變式4-1】3.（2022·新疆·統(tǒng)考三模）多面體ABDEC中，△BCD與△ABC均為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，△CDE為腰長(zhǎng)為5的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)．(1)求證：AF∥(2)求多面體ABDEC的體積．題型5面面平行由線面平行推理面面平行【例題5】（2023秋·寧夏銀川·高三銀川一中?？茧A段練習(xí)）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，且四邊形ABCD是正方形，E，F(xiàn)，G分別是棱BC，AD，PA的中點(diǎn).

(1)求證：PE//平面BFG(2)若PD=AB=2，求異面直線PA與BF所成角的余弦值.【變式5-1】1.（2022秋·黑龍江哈爾濱·高三哈師大附中?？计谥校┤鐖D，AA1，BB1為圓柱OO1的母線，BC是底面圓O的直徑，D，E分別是AA

(1)證明：DE//平面ABC；(2)若BB1=BC【變式5-1】2.（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐S-ABCD中，AB//CD，AB⊥BC，SA=SD=1，AB=2CD=2BC=2，SB=3，點(diǎn)M為棱CD的中點(diǎn)，點(diǎn)N在棱SA上，且AN=3SN

(1)證明：MN//平面SBC；(2)求直線SC與平面SBD所成角的正弦值．【變式5-1】3.（2023秋·陜西商洛·高三陜西省山陽(yáng)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，

(1)證明：平面ABD∥平面FEC(2)求點(diǎn)F到平面ABD的距離.【變式5-1】4.（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐P-ABCD中，∠ABC=∠CDA=90°，∠BAD=120°，AB=AD=2，E為PC的中點(diǎn).

(1)求證：BE∥平面PAD；(2)若PC=PD=23，平面PCD⊥平面ABCD，求二面角B-CP-D題型6線線垂直線面垂直的性質(zhì)定理，與面面垂直均可判定線線垂直【例題6】（2023·遼寧撫順·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在幾何體ABCDEF中，CD⊥平面ABC，CD=λAE0<λ<1，側(cè)面ABFE為正方形，AB=BC=2

(1)證明：DM⊥AB；(2)若直線MF與平面DME所成角的正弦值為155【變式6-1】1.（2023秋·四川成都·高三石室中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在幾何體ABCDEF中，平面四邊形ABCD是菱形，平面BDEF⊥平面ABCD，DF//BE，且DF=2BE=2，EF=3，BD=22(1)證明：BE⊥AD；(2)若cos∠BAD=【變式6-1】2.（2023秋·四川成都·高三石室中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在幾何體ABCDEF中，平面四邊形ABCD是菱形，平面BDFE⊥平面ABCD，DF//BE，且DF=2BE=2，EF=3，BD=22

(1)證明：BE⊥AD(2)若二面角A-EF-C是直二面角，求直線AE與直線FC所成角的余弦值．【變式6-1】3.（2023秋·廣東茂名·高三信宜市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，PA=PD,BC∥AD,DC⊥DA,BC=CD=1,AD=2,E,F分別為AD,PC的中點(diǎn)，PE⊥CD.

(1)證明：PE⊥BD；(2)若PC與AB所成角為45°，求平面FBE與平面BCE【變式6-1】4.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別為AD、CD的中點(diǎn)，EF交BD于點(diǎn)H，將△DEF沿EF折起到△D(1)證明：AC⊥BD(2)若AB=AC=4，AO=2，OD'=題型7線面垂直由線線垂直推理線面垂直【例題7】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱柱P-ABC中，AB=AC=1，PA=2，∠BAC=90°，PA⊥平面ABC，D為PC上一點(diǎn)，且PD=4CD.

(1)證明：PC⊥平面ABD；(2)若E為PB上一點(diǎn)，DE⊥PB，求三棱錐P-ADE的體積.【變式7-1】1.（2023秋·浙江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在正三棱臺(tái)ABC-A1B1C1中，側(cè)棱長(zhǎng)為1，且BC=2B1C

(1)證明：DE⊥平面BCC1B(2)求平面BDE與平面ABC夾角的余弦值.【變式7-1】2.（2023秋·河北石家莊·高三石家莊市第二十七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在三棱錐S-BCD中，E是BC的中點(diǎn)，△SCD與△SBD均為正三角形．

(1)證明：BC⊥SD．(2)若BE=DE，點(diǎn)F滿足SF=DE，求二面角【變式7-1】3.（2023·陜西商洛·陜西省丹鳳中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠ABC=60°，AP=AB，PB=22，平面PAB⊥平面ABCD，E，F(xiàn)分別為CD，PB

(1)證明：CD⊥平面PAE；(2)求點(diǎn)A到平面PEF的距離.【變式7-1】4.（2023秋·江蘇常州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AB//CD，AB⊥BC，AB=2，BC=1，平面PAD⊥底面ABCD，△PAD為等腰直角三角形，PA=PD，M為PC上一點(diǎn)，PM=2MC，PA//平面MBD．(1)求CD的長(zhǎng)度；(2)求證：PA⊥平面PBD；(3)求PA與平面PBC所成角的正弦值．題型8面面垂直由線面垂直推理面面垂直【例題8】（2023秋·四川宜賓·高三校考階段練習(xí)）如圖，該幾何體是由等高的半個(gè)圓柱和14個(gè)圓柱拼接而成.C,E,D,G在同一平面內(nèi)，且CG=DG

(1)證明：平面BFD⊥平面BCG；(2)若直線GC與平面ABG所成角的正弦值為105，求平面BFD與平面ABG【變式8-1】1.（2023秋·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示的幾何體是一個(gè)圓柱沿軸截面ABCD切開(kāi)后剩余的一半，AB=1，BC=2，O，O1分別為底面直徑BC，AD的中點(diǎn)，G是CB的中點(diǎn)，H是DA

(1)證明：平面DOG⊥平面ABCD；(2)若BH=2，求直線BH與平面DOG【變式8-1】2.（2023秋·廣西·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在底面為菱形的四棱錐P-ABCD中，∠BAD=120°，AB=PA=PB=2，PD=10(1)證明：平面PAB⊥平面ABCD．(2)求二面角B-PA-D的余弦值．【變式8-1】3.（2023秋·福建福州·高三福建省福清第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PC⊥底面ABCD,ABCD是直角梯形，AD⊥DC,AB∥DC,AB=2AD=2CD=2，點(diǎn)E是PB的中點(diǎn).

(1)證明：平面EAC⊥平面PBC；(2)若直線PB與平面PAC所成角的正弦值為33，求平面PAC與平面ACE【變式8-1】4.（2023秋·江西新余·高三新余市第一中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是梯形，AB//CD，AB⊥BC，AB=2CD，側(cè)棱PA=PB=PC．

(1)證明：平面PAC⊥平面ABCD；(2)若PA=AB=BC，Q是PD的中點(diǎn)，求二面角Q-BC-D的正弦值．題型9向量法證明平行與垂直平行于垂直也可以通過(guò)向量法進(jìn)行證明【例題9】（2023秋·天津紅橋·高三天津市瑞景中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC,AC⊥BC,AC=BC=2，CC1

(1)求證：C1(2)求平面BB1E(3)求直線AB與平面DB(4)求點(diǎn)B到平面DB【變式9-1】1.（2023秋·山東濱州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD與ABEF均為直角梯形，AD∥BC，AF∥BE，(1)已知點(diǎn)G為AF上一點(diǎn)，AG=AD，求證：BG與平面DCE不平行；(2)已知直線BF與平面DCE所成角的正弦值為55【變式9-1】2.（2023秋·陜西西安·高三階段練習(xí)）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等腰直角三角形，且AB⊥BC，M是AC

(1)求證：AN⊥平面(2)求平面ABM與平面A1【變式9-1】3.（2023秋·北京·高三東直門中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB，點(diǎn)E、F、G分別為PC、PA、BC的中點(diǎn).(1)求證：FG//平面PCD；(2)求平面EFG與平面PAD所成銳二面角的余弦值；(3)求直線DE與平面EFG所成角的大小.【變式9-1】4.（2023秋·天津北辰·高三?？茧A段練習(xí)）已知底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA//DQ，PA=AD=3DQ=3，點(diǎn)E、F分別為線段PB、(1)求證：EF//平面PADQ(2)求直線EF與平面PCQ夾角的正弦值；(3)求點(diǎn)F到面PAC的距離【變式9-1】5.（2023秋·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知多面體ABCDEF的底面ABCD為矩形，四邊形BDEF為平行四邊形，平面FBC⊥平面ABCD，F(xiàn)B=FC=BC=1，AB=2，G是CF的中點(diǎn)．

(1)證明：BG∥(2)求直線AE與平面BDEF所成角的余弦值．題型10畫(huà)圖問(wèn)題【例題10】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PBC⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，O,E分別是BC,PA的中點(diǎn)，平面α經(jīng)過(guò)點(diǎn)O,D,E與棱PB交于點(diǎn)F．

(1)試用所學(xué)知識(shí)確定F在棱PB上的位置；(2)若PB=PC=3,BC=2AB=2，求EF與平面【變式10-1】1.（2023秋·福建廈門·高三廈門大學(xué)附屬科技中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD為正方形，AF⊥平面ABCD，AF∥DE，AB=AF=2DE=2，M是線段BF上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M和直線AD的平面

(1)若M為BF的中點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D中作出線段PQ，并說(shuō)明P，Q的位置及理由；(2)線段BF上是否存在點(diǎn)M，使得直線AC與平面α所成角的正弦值為1010【變式10-1】2.（2023秋·安徽·高三安徽省馬鞍山市第二十二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是AA1，C1

(1)畫(huà)出直線l的位置，并說(shuō)明作圖依據(jù)；(2)正方體被平面DMN截成兩部分，求較小部分幾何體的體積.【變式10-1】3.（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PBC⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，O,E分別是BC,PA的中點(diǎn)，平面α經(jīng)過(guò)點(diǎn)O,D,E，且與棱PB交于點(diǎn)F．

(1)試用所學(xué)知識(shí)確定F在棱PB上的位置；(2)若PB=PC=CD=2，求多面體POCDEF的體積．【變式10-1】4.（2023·陜西西安·西安市大明宮中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐P-ABCD中，BC//AD，

(1)證明：PB//平面MAC；(2)畫(huà)出平面PAB與平面PCD的交線l，并說(shuō)明理由；(3)在（2）的條件下，若平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，PA⊥AD，PA=AD=2AB=2，求l與平面MAC所成角的正弦值．【變式10-1】5.（2023·廣東汕頭·金山中學(xué)?？既＃┤鐖D，圓臺(tái)O1O2的軸截面為等腰梯形A1AC

(1)在平面BCC1內(nèi)，過(guò)C1(2)若四棱錐B-A1ACC1的體積為23，設(shè)平面【變式10-1】6.（2023秋·湖南長(zhǎng)沙·高三湖南師大附中校考階段練習(xí)）如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD為正方形，AF⊥平面ABCD，AF∥DE，AB=AF=2DE=2，M是線段BF上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M和直線AD的平面α與FC，EC分別交于P，

(1)若M為BF的中點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D中作出線段PQ，并說(shuō)明P，Q的位置及作法理由；(2)線段BF上是否存在點(diǎn)M，使得直線AC與平面α所成角的正弦值為1010？若存在，求出MB題型11角度問(wèn)題【例題11】（2023秋·山西運(yùn)城·高三?？茧A段練習(xí)）如圖，已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，AD=4，M為側(cè)棱PC的中點(diǎn).

(1)求異面直線AM與PB所成角；(2)求直線AM與平面BPC所成角的正弦值.【變式11-1】1.（2023秋·內(nèi)蒙古赤峰·高三赤峰二中?？茧A段練習(xí)）如圖，在三棱錐V-ABC中，VA⊥平面ABC，VA=AB=BC=1，AB⊥BC，M是VB的中點(diǎn)，N為BC上的動(dòng)點(diǎn)．

(1)證明：平面AMN⊥平面VBC；(2)VC//平面AMN時(shí)，求平面AMN與平面ABC【變式11-1】2.（2023秋·重慶沙坪壩·高三重慶一中校考階段練習(xí)）如圖，已知在三棱錐A-BCD中，DA=DB=DC=AB=AC,E為BC的中點(diǎn).

(1)證明：BC⊥AD；(2)若∠ABC=π4，ADEF為平行四邊形，求二面角【變式11-1】3.（2023秋·黑龍江大慶·高三大慶市東風(fēng)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD//BC，BC⊥CD，∠ABC=π4，CD=CE=12BE=1，PA=AD=2

(1)證明：AB⊥PE；(2)求二面角A-EF-D的平面角的余弦值．【變式11-1】4.（2023·湖北武漢·華中師大一附中校考模擬預(yù)測(cè)）已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在半徑為2的球面上，且PA=PB=PC=AC=BC，AC⊥BC，N為AB的中點(diǎn)．

(1)證明:PN⊥平面ABC(2)若M是線段PC上的點(diǎn)，且平面MAB與平面PAB的夾角為45°．求AM與平面PBC【變式11-1】5.（2023秋·云南·高三云南師大附中校考階段練習(xí)）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC為正三角形且與

(1)證明：AD⊥BB(2)求平面ABB1A題型12距離問(wèn)題【例題12】（2023秋·山東濰坊·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=4

(1)求點(diǎn)A1到平面BC(2)若直線AA1與BB1距離為4，求【變式12-1】1.（2023秋·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=BC=2，AB=PC=5

(1)求點(diǎn)B到平面PAC的距離；(2)設(shè)點(diǎn)E為線段PB的中點(diǎn)，求二面角A-CE-B的正弦值.【變式12-1】2.（2023秋·山西大同·高三大同一中?？茧A段練習(xí)）如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知

(1)求直線CC1與(2)求點(diǎn)B到平面CDB【變式12-1】3.（2023·江西南昌·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1的體積為

(1)求A到平面A1(2)設(shè)D為A1C的中點(diǎn)，AA1=AB，平面A【變式12-1】4.（2023秋·黑龍江哈爾濱·高三哈師大附中校考階段練習(xí)）已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，AA

(1)求直線BB1與平面(2)證明：直線FC//平面AEC1并且求出直線FC題型13探索性問(wèn)題【例題13】（2023秋·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖1，在矩形ABCD中，AD=1,CD=λAD(λ>0)，延長(zhǎng)BA到點(diǎn)M，且MA=1．現(xiàn)將△MAD沿著AD折起，到達(dá)△PAD的位置，使得PA⊥AB，如圖2所示．過(guò)棱PD的中點(diǎn)E作EF⊥PC于點(diǎn)F．

(1)若AB=AD，求線段AF的長(zhǎng)；(2)若平面AEF與平面ABCD夾角的余弦值為66，求λ【變式13-1】1.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，

(1)證明：BD⊥CC1(2)棱BC上是否存在一點(diǎn)E，使得二面角E-AD1-D的余弦值為1【變式13-1】2.（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四面體ABCD中，E,F分別是線段AD,BD的中點(diǎn)，∠ABD=90

(1)證明：EF⊥平面BCD；(2)是否存在BC，使得平面ACE與平面BCE的夾角的余弦值為13？若存在，求出此時(shí)BC【變式13-1】3.（2023秋·北京·高三北京市第五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在直角梯形ABCD中，AB//CD，∠DAB=90°，AD=DC=12AB.以直線AB為軸，將直角梯形ABCD旋轉(zhuǎn)得到直角梯形ABEF(1)求證：DF//平面BCE；(2)在線段DF上是否存在點(diǎn)P，使得直線AF和平面BCP所成角的正弦值為223？若存在，求出【變式13-1】4.（2023秋·福建福州·高三福建省福州格致中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，點(diǎn)P在平面ABCD內(nèi)的投影落在棱AD上，AD=3．(1)求證：平面PDA⊥平面PDC；(2)若PB=3，PC=6，當(dāng)四棱錐P-ABCD的體積最大時(shí)，求平面PDC與平面PBC【變式13-1】5.（2023秋·山東濰坊·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）把矩形O1O2FB以O(shè)1O2所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)180°，得到幾何體如圖所示.其中等腰梯形ABCD

(1)若P為DE的中點(diǎn)，求證：AP⊥平面BDE；(2)設(shè)DP=λDE，λ∈0,1，試確定λ的值，使得直線AP與平面ABG題型14最值取值范圍問(wèn)題【例題14】（2023秋·湖南·高三湖南省祁東縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，AB=2，PA=PD=5

(1)證明：AD⊥PE．(2)若二面角P-AD-B的平面角為2π3【變式14-1】1.（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，A1M為圓柱O1O2的一條母線，且O1O2=2O1A1.過(guò)點(diǎn)A1且不與圓柱底面平行的平面α與平面O1A1MO2垂直，軸O1O2

(1)求e的取值范圍；(2)當(dāng)e=55時(shí)，求直線MN與平面【變式14-1】2.（2023·海南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面四邊形ABCD中，AD⊥BD，BC⊥DC,BC=DC=AD=2，將△ABD沿BD向上折起，使得平面ABD與平面ACD所成的銳二面角的平面角最大．

(1)求該幾何體中任意兩點(diǎn)間的距離的最大值；(2)若DE⊥AC，垂足為E，點(diǎn)F是AB上一點(diǎn)，證明：平面DEF⊥平面ABC．【變式14-1】3.（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C是圓O上異于A，B的點(diǎn)，PO垂直于圓O所在的平面，且PO＝OB＝1，(1)若D為線段AC的中點(diǎn)，求證：AC⊥平面PDO；(2)求三棱錐P﹣ABC體積的最大值；(3)若BC＝2，點(diǎn)E在線段PB上，求CE+OE的最小值.【變式14-1】4.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=4.點(diǎn)A2、B2、C2、D2(1)求多面體A2(2)當(dāng)點(diǎn)P在棱BB1上運(yùn)動(dòng)時(shí)（包括端點(diǎn)），求二面角【變式14-1】5.（2023·西藏日喀則·統(tǒng)考一模）《九章算術(shù)·商功》：“斜解立方，得兩塹堵.斜解塹堵，其一為陽(yáng)馬，一為鱉臑.陽(yáng)馬居二，鱉臑居一，不易之率也.合兩鱉臑三而一，驗(yàn)之以棊，其形露矣.”劉徽注：“此術(shù)臑者，背節(jié)也，或曰半陽(yáng)馬，其形有似鱉肘，故以名云.中破陽(yáng)馬，得兩鱉臑，鱉臑之起數(shù)，數(shù)同而實(shí)據(jù)半，故云六而一即得.”

如圖，在鱉臑ABCD中，側(cè)棱AB⊥底面BCD；

(1)若AB=1，BC=2，CD=1，試求異面直線AC與BD所成角的余弦值.(2)若BD⊥CD，AB=BD=CD=2，點(diǎn)P在棱AC上運(yùn)動(dòng).試求△PBD面積的最小值.【變式14-1】6.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖①所示，長(zhǎng)方形ABCD中，AD=2，AB=3，點(diǎn)M是邊CD靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，將△ADM沿AM翻折到△PAM，連接PB，PC，得到圖②的四棱錐P-ABCM.(1)求四棱錐P-ABCM的體積的最大值；(2)設(shè)P-AM-D的大小為θ，若θ∈0,π2，求平面PAM題型15交線未知型【例題15】（2023秋·貴州貴陽(yáng)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，AD=2，PA=PD=2，平面PAD⊥平面ABCD，若平面PAB與平面PCD相交于直線l，M為CD

(1)證明：直線l⊥平面PAD；(2)若BN=13BP，求直線【變式15-1】1.（2023秋·貴州貴陽(yáng)·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）如圖，△ABC是正三角形，四邊形ABB1A1是矩形，平面ABB1A1⊥平面ABC，CC1(1)設(shè)直線l為平面ABC與平面A1B1(2)若三棱錐M-A1B1C1的體積為【變式15-1】2.（2023春·北京東城·高三北京市第十一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=CC1=2，點(diǎn)D、E

(1)設(shè)平面DEF與平面ABC相交于直線m，求證：A1(2)是否存在一點(diǎn)F，使得二面角C-AC1-F的余弦值為1(3)當(dāng)F為線段BB1的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)B到平面【變式15-1】3.（2021秋·廣東廣州·高三西關(guān)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，AB=2CD=2AD=2，矩形ABEF所在的平面垂直于平面ABCD，設(shè)平面BDE與平面ADF的交線為（1）求證：l⊥平面ABCD；（2）若AF的長(zhǎng)度為32，求二面角E-CD-A【變式15-1】4.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，點(diǎn)D,E分別為AB,AC的中點(diǎn)，如圖1，將ΔADE沿DE折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P的位置，且平面PDE⊥平面DBCE，連接（1）證明：平面PDE和平面PBC必定存在交線l，且直線DE//l；（2）若F為PB的中點(diǎn)，求證：DF⊥平面PBC；（3）當(dāng)三棱錐P-DBC的體積為83時(shí)，求點(diǎn)B到平面PEC【變式15-1】5.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知四棱錐P-ABCD的底面為梯形ABCD，且AB//CD，又PA⊥AD，AB=AD=1，CD=2，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面

(1)判斷直線l和BC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)若點(diǎn)D到平面PBC的距離為23，請(qǐng)從下列①②中選出一個(gè)作為已知條件，求二面角B-l-D①CD⊥AD；②∠PAB為二面角P-AD-B的平面角．題型16建系有難度型【例題16】（2023·福建龍巖·統(tǒng)考二模）三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，側(cè)面A1

(1)求側(cè)棱AA(2)側(cè)棱CC1上是否存在點(diǎn)E，使得直線AE與平面A1BC所成角的正弦值為【變式16-1】1.（2024秋·湖南永州·高三永州市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在三棱臺(tái)ABC-A1B1C1(1)證明：B1(2)若棱臺(tái)的體積為79221，AC=728【變式16-1】2.（2023秋·湖南衡陽(yáng)·高三衡陽(yáng)市八中?？茧A段練習(xí)）如圖所示，△ABC為等邊三角形，EA⊥平面ABC，EA//BD，AB=BD=2，AE=1，M為線段

(1)若M為線段AB的中點(diǎn)，證明：ED⊥MC．(2)若AM=3MB，求二面角D-CM-E的余弦值．【變式16-1】3.（2022秋·江蘇常州·高三常州市第三中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=2,D

(1)證明：AD⊥平面BB(2)己知四邊形BB1C1C【變式16-1】4.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖1，等腰梯形AECD是由三個(gè)全等的等邊三角形拼成，現(xiàn)將△BCE沿BC翻折至△BCP，使得PD=3

(1)求證：PD⊥BC；(2)在直線PD上是否存在點(diǎn)M，使得直線BM與平面APD所成角的余弦值為104？若存在，求出PM【變式16-1】5.（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB=BC=212，AD=CD=AC=23，E，F(xiàn)分別為AC，CD的中點(diǎn)，點(diǎn)G在PF上，且G(1)證明：GE//平面PBC(2)若PA=PC，PA⊥CD，四棱錐P-ABCD的體積為33，求直線GE與平面PCD【變式16-1】6.（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知菱形ABCD中，AB=BD=1，四邊形BDEF為正方形，滿足∠ABF=2(1)證明：CF⊥AE；(2)求直線AE與平面BDEF所成角的正弦值．題型17幾何法的運(yùn)用【例題17】（2023·四川成都·校聯(lián)考二模）如圖，平面ABCD⊥平面ABS，四邊形ABCD為矩形，△ABS為正三角形，SA=2BC，O為

(1)證明：平面SOC⊥平面BDS；(2)已知四棱錐S-AOCD的體積為62，求點(diǎn)D到平面SOC【變式17-1】1.（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）如圖，在正四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1中，AB=2A1B1，AA1=3，

(1)求AEAB(2)當(dāng)正四棱臺(tái)ABCD-A1B1C【變式17-1】2.（2023·重慶·統(tǒng)考三模）如圖，四面體ABCD的頂點(diǎn)都在以AB為直徑的球面上，底面BCD是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，球心O到底面的距離為1．(1)求球O的表面積；(2)求二面角B-AC-D的余弦值．【變式17-1】3.（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖①，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC,AD=3,BC=5,∠BCD=60°,BE=λBC(0<λ<1)，現(xiàn)將△CDE沿DE(1)當(dāng)λ=35時(shí)，求(2)當(dāng)三棱錐P-ABD的體積為9714時(shí)，求【變式17-1】4.（2023秋·廣東陽(yáng)江·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）在正三棱臺(tái)ABC-A1B1C1中，AB=6，A1B1=AA

(1)請(qǐng)作出A1B1與平面CDE的交點(diǎn)M，并寫(xiě)出A(2)求直線BM與平面ABC所成角的正弦值.【變式17-1】5.（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在梯形A