重難點(diǎn)42 圓錐曲線焦點(diǎn)弦二級(jí)結(jié)論十大題型【2024高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)題型突破】（解析版）

高中數(shù)學(xué)精編資源2/2重難點(diǎn)專(zhuān)題42圓錐曲線焦點(diǎn)弦二級(jí)結(jié)論十大題型匯總題型1圓錐曲線通徑二級(jí)結(jié)論 1題型2橢圓焦點(diǎn)弦三角形周長(zhǎng)二級(jí)結(jié)論 5題型3雙曲線焦點(diǎn)弦周長(zhǎng)二級(jí)結(jié)論（同支） 12題型4雙曲線焦點(diǎn)弦周長(zhǎng)問(wèn)題二級(jí)結(jié)論（不同支） 19題型5橢圓傾斜角式焦點(diǎn)弦長(zhǎng)二級(jí)結(jié)論 23題型6雙曲線傾斜角式焦點(diǎn)弦長(zhǎng)二級(jí)結(jié)論 29題型7拋物線傾斜角式焦點(diǎn)弦長(zhǎng)二級(jí)結(jié)論 33題型8橢圓、雙曲線點(diǎn)坐標(biāo)式焦半徑公式二級(jí)結(jié)論 40題型9拋物線點(diǎn)坐標(biāo)式焦半徑公式二級(jí)結(jié)論 44題型10焦點(diǎn)弦定比分點(diǎn)求離心率二級(jí)結(jié)論 46題型1圓錐曲線通徑二級(jí)結(jié)論橢圓，雙曲線的通徑長(zhǎng)AB=【例題1】（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）過(guò)橢圓的焦點(diǎn)的弦中最短弦長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由過(guò)橢圓焦點(diǎn)的最短弦所在直線不垂直y軸，設(shè)出其方程并與橢圓方程聯(lián)立求出直線被橢圓所截弦長(zhǎng)即可推理作答.【詳解】顯然過(guò)橢圓焦點(diǎn)的最短弦所在直線l不垂直y軸，設(shè)l的方程為：x=my+c，由消去x并整理得：，設(shè)直線l與橢圓交于點(diǎn)，則有，則有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，于是，當(dāng)，即直線l垂直于x軸時(shí)，，所以過(guò)橢圓的焦點(diǎn)的最短弦是與焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸垂直的弦，最短弦長(zhǎng)是.故選：A【變式1-1】1.（2021秋·河北邯鄲·高三?？茧A段練習(xí)）已知過(guò)橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)A．53 B．32 C．2【答案】D【分析】把x=-c代入橢圓方程求得P的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)∠F1PF2【詳解】由題意知點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-c，b2a∵∠F∴2cb即2ac=3∴3e∴e=33或故選D．【點(diǎn)睛】】本題主要考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了考生綜合運(yùn)用橢圓的基礎(chǔ)知識(shí)和分析推理的能力，屬中檔題．【變式1-1】2.（2023秋·四川內(nèi)江·高三期末）橢圓的焦點(diǎn)為、，點(diǎn)在橢圓上且軸，則到直線的距離為（

）A． B．3 C． D．【答案】A【分析】先求出、的坐標(biāo)，再由軸，可求出，再由勾股定理可求出，然后利用等面積法可求得結(jié)果.【詳解】由，得，所以，所以，，當(dāng)時(shí)，，解得，因?yàn)檩S，所以，所以，設(shè)到直線的距離為，因?yàn)?，所以，解得，故選：A【變式1-1】3.（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）過(guò)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)且與雙曲線的實(shí)軸垂直的弦叫做雙曲線的通徑，則雙曲線的通徑長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線的通徑長(zhǎng)公式計(jì)算．【詳解】由已知，雙曲線的通徑長(zhǎng)，故選：B.【變式1-1】4.（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）拋物線的通徑（過(guò)拋物線的焦點(diǎn)且與其對(duì)稱(chēng)軸垂直的弦）的長(zhǎng)為．【答案】【分析】先求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，然后求解過(guò)焦點(diǎn)且與對(duì)稱(chēng)軸垂直的弦長(zhǎng)得到答案.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)(1,0)，當(dāng)時(shí)，可得：，解得．所以過(guò)焦點(diǎn)且與對(duì)稱(chēng)軸垂直的弦的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)為所以過(guò)拋物線的焦點(diǎn)且與其對(duì)稱(chēng)軸垂直的弦長(zhǎng)為4．故答案為：4．【變式1-1】5.（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線C：x2＝2py的焦點(diǎn)為F，過(guò)F且垂直于y軸的直線與C相交于A，B兩點(diǎn)，若△AOB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為18，則p＝．【答案】6【分析】首先根據(jù)條件求點(diǎn)的坐標(biāo)，再代入面積公式，即可求解.【詳解】拋物線C：x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)為F(0，)，將y＝代入x2＝2py可得x＝±p，即有A(p，)，B(－p，)，所以＝2p，所以S△AOB＝××2p＝18，解得p＝6.故答案為：6【變式1-1】6.（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)作直線和橢圓交于A、B兩點(diǎn)，且，則這樣直線的條數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】先求過(guò)左焦點(diǎn)的通徑長(zhǎng)度，由橢圓的性質(zhì)：過(guò)左焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)最短為通徑長(zhǎng)，最長(zhǎng)為長(zhǎng)軸長(zhǎng)，結(jié)合已知弦長(zhǎng)判斷直線的條數(shù)即可.【詳解】左焦點(diǎn)為，若直線垂直x軸，則直線為，代入橢圓方程得，可得，此時(shí)通徑長(zhǎng)，所以，由橢圓性質(zhì)知：的直線有僅只有一條.故選：B題型2橢圓焦點(diǎn)弦三角形周長(zhǎng)二級(jí)結(jié)論1．F1?,?F2為橢圓C:x2a2.F1?,?F2為橢圓C:x2a注意：橢圓的焦點(diǎn)弦三角形周長(zhǎng)為定值，即長(zhǎng)軸長(zhǎng)的2倍，與過(guò)焦點(diǎn)的直線的傾斜角無(wú)關(guān)．【例題2】（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，橢圓C:x24+y23=1的左焦點(diǎn)為【答案】8【分析】確定a=2，利用橢圓的定義可推得△ABF2的周長(zhǎng)為【詳解】由x24+由橢圓定義可得|AF1|+|A故△ABF2=2a+2a=4a=4×2=8，所以△ABF【變式2-1】1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率為22，過(guò)F1作直線l交C于A,B兩點(diǎn)，且ΔABF【答案】x【詳解】試題分析：依題意：4a＝16，即a＝4，又e＝ca＝22，∴c＝∴橢圓C的方程為x【變式2-1】2.橢圓焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，過(guò)F1A．33 B．13 C．2【答案】C【詳解】試題分析：設(shè)橢圓方程為x2a2P、Q坐標(biāo)為：M(-c,b2a),N(-c,-所以，2·b2a=10，△PF2|PF2|=|F2Q|=a2=b所以(a-9)(a+4)=0因?yàn)閍>0,所以，a=9，橢圓的離心率為23考點(diǎn)：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)．點(diǎn)評(píng)：過(guò)F1的最短弦PQ垂直于x軸，另外，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性，△PF【變式2-1】3.（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2A．4 B．5 C．16 D．32【答案】C【分析】根據(jù)短軸長(zhǎng)得出b值，再根據(jù)離心率得到a值，再利用橢圓定義則得到三角形周長(zhǎng).【詳解】由題意，橢圓x2a2+y所以c2a2=a2-所以△ABF2的周長(zhǎng)為故選：C.【變式2-1】4.（2020下·四川內(nèi)江·高三威遠(yuǎn)中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2，過(guò)點(diǎn)F1的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn)，交yA．x25+y24【答案】A【分析】根據(jù)橢圓的定義及△F2AB的周長(zhǎng)為45，可求出a=5，根據(jù)F1，C是線段AB的三等分點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可先求出點(diǎn)【詳解】由橢圓的定義，得AF△F2AB的周長(zhǎng)A所以橢圓E:x不妨令點(diǎn)C是F1A的中點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，因?yàn)樗渣c(diǎn)A的橫坐標(biāo)為c，所以c25+y2由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得B(-2c,-b4c25+b420所以5-c2=20-16c2所以，橢圓的方程為x2故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的定義，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，關(guān)鍵是利用中點(diǎn)坐標(biāo)求相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，用點(diǎn)在曲線上求出b2【變式2-1】5.（2014·全國(guó)·高考真題）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦點(diǎn)為FA．x23+y22【答案】A【詳解】若△AF1B的周長(zhǎng)為43,由橢圓的定義可知4a=43,∴a=∵e=ca=∴b所以方程為x2考點(diǎn)：橢圓方程及性質(zhì)【變式2-1】6.古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德用“逼近法”得到橢圓面積的4倍除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的積.已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在y軸上，其面積為43π，過(guò)點(diǎn)F1的直線l與橢圓C交于點(diǎn)A，BA．y216C．x216【答案】A【分析】由題中所給結(jié)論得ab=43，由△F2【詳解】依題意得4×43ππ由△F2AB的周長(zhǎng)為16結(jié)合橢圓定義可得4a=16，所以a=4又橢圓焦點(diǎn)在y軸上，故橢圓方程為y2故選：A.【變式2-1】7.（2014·安徽·高考真題）設(shè)F1,F2分別是橢圓E：x2a2+yb（1）若|AB|=4,ΔABF2的周長(zhǎng)為16，求（2）若cos∠AF2【答案】（1）5；（2）22【詳解】試題分析：（1）由題意|AF1|=3|F1B|,|AB|=4可以求得|AF1|=3,|F1B|=1，而ΔABF2的周長(zhǎng)為16，再由橢圓定義可得4a=16,|AF1|+|AF2|=2a=8.故|AF2|=2a-|AF1|=8-3=5.（2）設(shè)出（1）由|AF1|=3|F1B|,|AB|=4，得|AF1|=3,|（2）設(shè)|F1B|=k，則k>0且|A在ΔABF2中，由余弦定理可得|AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2|?|BF2|cos∠A考點(diǎn)：1.橢圓的定義；2.橢圓的離心率求解.【變式2-1】8.（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知直線l經(jīng)過(guò)橢圓C：x2(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線m與直線l的傾斜角互補(bǔ)，且交橢圓C于點(diǎn)M，N，MN2【答案】(1)x(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)橢圓定義與右焦點(diǎn)坐標(biāo)可得到橢圓方程；（2）設(shè)直線與橢圓聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式得到|MN|2與AB的表達(dá)式，根據(jù)兩者關(guān)系解出t值，最后聯(lián)立兩直線解得橫坐標(biāo)為定值12【詳解】（1）由已知，得c=14a=8，∴c=1a=2∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（2）證明：若直線l的斜率不存在，則直線m的斜率也不存在，這與直線m與直線l相交于點(diǎn)P矛盾，∴直線l的斜率存在,又因?yàn)閮芍本€傾斜角互補(bǔ)，所以直線l斜率不為0.設(shè)l:y=k(x-1)(k≠0)，m:y=-k(x+t)，AxA,yA，B將直線m的方程代入橢圓方程y=-k(x+t)x24∴xM+∴|MN|同理，|AB|=1+k2?49k即k2t2=0，此時(shí)，Δ=64k4聯(lián)立直線l方程解得P12,-12【點(diǎn)睛】橢圓中弦長(zhǎng)公式在圓錐曲線難題中經(jīng)常用，對(duì)于互補(bǔ)的直線可以采取換元，用-k換k代換直接得到另一弦長(zhǎng)公式，有時(shí)候定直線問(wèn)題可以采取先猜后證的方法.題型3雙曲線焦點(diǎn)弦周長(zhǎng)二級(jí)結(jié)論（同支）同支問(wèn)題：F1?,?F2為雙曲線C:x2a2-證明：由雙曲線的第一定義知，AF2-AF由①②③，得AF2+BF【例題3】（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）橢圓y249+【答案】24【分析】根據(jù)橢圓與雙曲線方程得到橢圓與雙曲線具有共同的焦點(diǎn)F10,5，從而得到P與雙曲線兩焦點(diǎn)的距離之和PF1+【詳解】由已知得橢圓與雙曲線具有共同的焦點(diǎn)F10,5，由橢圓定義可知：PF故P與雙曲線兩焦點(diǎn)的距離之和為14，又F1因此P與雙曲線兩焦點(diǎn)連線構(gòu)成三角形的周長(zhǎng)為14+10=24.故答案為：24【變式3-1】1.（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，在左支上過(guò)F1的弦AB的長(zhǎng)為5，若2a＝8，那么△ABF2的周長(zhǎng)是（

）A．26 B．21 C．16 D．5【答案】A【分析】根據(jù)雙曲線的定義求|AF2|＋|BF2|，由此可求△ABF2的周長(zhǎng).【詳解】解析：|AF2|－|AF1|＝2a＝8，|BF2|－|BF1|＝2a＝8，∴|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝16，∴|AF2|＋|BF2|＝16＋5＝21，∴△ABF2的周長(zhǎng)為|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝21＋5＝26.故選：A.【變式3-1】2.如圖雙曲線C:x2-y23=1的焦點(diǎn)為F1?F2(1)求弦長(zhǎng)AB的值；(2)求△ABF【答案】(1)3(2)3【分析】（1）聯(lián)立直線l與橢圓的方程，消元整理得8x（2）根據(jù)雙曲線的定義可求得三角形的周長(zhǎng).【詳解】（1）解：因?yàn)殡p曲線C:x2-y2設(shè)Ax聯(lián)立y=33x+2∴AB（2）解：記△ABF2的周長(zhǎng)為C△AB∵BF2=x∴BF2=2同理：點(diǎn)A在左支，∴A∴BF2+AF2=2x2-x1=2A．26 B．21 C．16 D．5【答案】A【分析】根據(jù)雙曲線的定義求|AF2|＋|BF2|，由此可求△ABF2的周長(zhǎng).【詳解】解析：|AF2|－|AF1|＝2a＝8，|BF2|－|BF1|＝2a＝8，∴|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝16，∴|AF2|＋|BF2|＝16＋5＝21，∴△ABF2的周長(zhǎng)為|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝21＋5＝26.故選：A.【變式3-1】4.如果F1、F2分別是雙曲線x216-y2【答案】28【分析】本題涉及到雙曲線上的點(diǎn)和兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形問(wèn)題，可用定義處理，由定義知AF2-AF【詳解】解：由題意知：a=4,b=3，故c=5.由雙曲線的定義知AF2-①＋②得：AF2+所以△ABF2的周長(zhǎng)是故答案為：28.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的定義的應(yīng)用，涉及到雙曲線上的點(diǎn)和兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形問(wèn)題，一般用定義處理.【變式3-1】5.（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若F1,F2分別是雙曲線x2m-y2【答案】9【分析】根據(jù)雙曲線定義得到AF2+BF2=4【詳解】由題意得m>0，根據(jù)雙曲線定義得AF2上述兩式相加得AF即AF2+∴AF∴△ABF2周長(zhǎng)=A故答案為：9.【變式3-1】6.已知雙曲線x2-y23=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1(1)AB的長(zhǎng)；(2)△F【答案】(1)3(2)3+3【分析】（1）設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y（2）求出A，B的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)的距離，即可得到△F2【詳解】（1）解：∵雙曲線的左焦點(diǎn)為F1(-2,0)，設(shè)A(x1，y1則直線AB的方程為y=3代入方程x2-y∴x1+∴|AB|=1+（2）解：F2(2,0)，不妨設(shè)由（1）可得A(1+334，3+334則△F2AB【變式3-1】7.已知雙曲線C經(jīng)過(guò)點(diǎn)P3,2，它的兩條漸近線分別為x+3(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)雙曲線C的左?右焦點(diǎn)分別為F1?F2，過(guò)左焦點(diǎn)F1【答案】(1)x(2)16【分析】（1）設(shè)雙曲線C的方程為x2-3y（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)l:x=-2，可得A?B的坐標(biāo)及△ABC的周長(zhǎng)；當(dāng)直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=k(x+2)，與雙曲線方程聯(lián)立，△ABF2的周長(zhǎng)利用韋達(dá)定理得到z=43+2(【詳解】（1）設(shè)雙曲線C的方程為x2代入點(diǎn)P(3,2)，得所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（2）雙曲線C的左焦點(diǎn)為F1設(shè)A(x1,①若直線l的斜率不存在，則l:x=-2，得A?B的坐標(biāo)分別為(-2,33)此時(shí)△ABC的周長(zhǎng)為163②若直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=k(x+2)，由{y=k(x+2)x2因?yàn)橹本€l交雙曲線的左支于A?B兩點(diǎn)，所以{1-3得k設(shè)△ABFz=|AF設(shè)t=3k2-1，由kz=43+43所以z∈(16綜上，由①②可得△ABF2的周長(zhǎng)的取值范圍題型4雙曲線焦點(diǎn)弦周長(zhǎng)問(wèn)題二級(jí)結(jié)論（不同支）雙曲線異支焦點(diǎn)弦三角形周長(zhǎng)【結(jié)論3】如圖，F(xiàn)1?,?F2為雙曲線C:x2a2-y2b2證明：令A(yù)F2=u?,?BF2又cos∠AF2∴b2-auu=b2+avv?,?∴b2u-b2【例題4】（2021·浙江·統(tǒng)考一模）如圖所示，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線C：x2a2-y2bA．2B．15C．13D．3【答案】C【分析】不妨令A(yù)B=3，|BF2|=4，|AF2|=5【詳解】∵|AB|：|BF2|：|AF2|=3：4：5，不妨令∵|AB|2+|B又由雙曲線的定義得：BF1-∴AF∴|BF1|-|B在Rt△BF1又|F1F2∴雙曲線的離心率e=c故選;C【變式4-1】1.（2021下·安徽安慶·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)A．23 B．33 C．4【答案】A【分析】利用雙曲線的定義求出a=1，進(jìn)而得出AF【詳解】∵BF1-∵AF2=4因?yàn)锳F2-AF∴S△A故選：A【變式4-1】2.（2021·高三課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線C:x2-y23=1的右焦點(diǎn)為F，PA．2+42 B．C．32 D．【答案】A【分析】設(shè)雙曲線C的左焦點(diǎn)為F1，則PF-PF1=2a，則由題意可得△PFM的周長(zhǎng)為MF+MP+PF=22+2+MP+PF1，當(dāng)【詳解】設(shè)雙曲線C的左焦點(diǎn)為F1，則PF-PF1=2a．由題可知∴PF=2+PF1，F(xiàn)1∴MF=22，△PFM的周長(zhǎng)為MF+MP+PF=2∵當(dāng)M，P，F(xiàn)1三點(diǎn)共線時(shí)，MP+PF1∴△PFM的周長(zhǎng)的最小值為2+42故選：A【變式4-1】3.已知F1、F2分別是雙曲線x23-（Ⅰ）求線段AB的長(zhǎng)；（Ⅱ）求△AF【答案】（1）1653；（2）【分析】（1）運(yùn)用聯(lián)立方程法結(jié)合弦長(zhǎng)公式求解即可；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果，結(jié)合雙曲線的定義，列等式可求解三角形的周長(zhǎng).【詳解】解：（1）由雙曲線的方程得F1(-3,0)，F(xiàn)直線AB的方程為y=將其代入雙曲線方程消去y得，5x2+6x-27=0①∴|AB|=1+（2）由題意不妨設(shè)點(diǎn)A在雙曲線的左支上，則△ABFl△A根據(jù)雙曲線的定義，Al△AF1B=2|AF∴l(xiāng)題型5橢圓傾斜角式焦點(diǎn)弦長(zhǎng)二級(jí)結(jié)論二級(jí)結(jié)論1.圓錐曲線的角度式焦半徑公式與焦點(diǎn)弦公式設(shè)直線l過(guò)圓錐曲線焦點(diǎn)F且交圓錐曲線于A?,?B兩點(diǎn)，不妨設(shè)AF>BF，若已知直線AF=即圓錐曲線的焦半徑公式與焦點(diǎn)弦公式分別為：AF=二級(jí)結(jié)論2.橢圓的傾斜角式焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式：（1）F1?,?F2為橢圓C:x2a2+y2（2）F1?,?F2為橢圓C:y2a2+x2b說(shuō)明：特殊情形，當(dāng)傾斜角為θ=90°時(shí)，即為橢圓的通徑，通徑長(zhǎng)AB=圓錐曲線統(tǒng)一的傾斜角式焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式：設(shè)直線l過(guò)圓錐曲線焦點(diǎn)F且交圓錐曲線于A?,?B兩點(diǎn)，若已知直線l傾斜角為θ，設(shè)圓錐曲線通徑為【例題5】（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，F(xiàn)1?,?F2為橢圓C:x2a2+y2【答案】2a【分析】由橢圓定義，結(jié)合余弦定理即可得出．【詳解】連結(jié)F2A,F2B，F(xiàn)由橢圓定義得F2A=2a-x在△AF1F2中，由余弦定理得則a-ccosθx=同理在△BF1F則弦長(zhǎng)AB=【變式5-1】1.經(jīng)過(guò)橢圓x22+y2=1的左焦點(diǎn)F1作傾斜角為60°的直線l，直線l與橢圓相交于【答案】8【解析】求出橢圓的左焦點(diǎn)F1(-1,0)，根據(jù)點(diǎn)斜式設(shè)出AB方程，聯(lián)立直線方程與橢圓方程消去y，利用根與系數(shù)的關(guān)系和弦長(zhǎng)公式即可算出弦【詳解】∵橢圓方程為x2∴焦點(diǎn)分別為F1(-1,0)，∵直線AB過(guò)左焦點(diǎn)F1傾斜角為60°∴直線AB的方程為y=3將AB方程與橢圓方程消去y，得7設(shè)A(x1，y1)，x1+∴|x1-故答案為：8【點(diǎn)睛】本題主要考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查弦長(zhǎng)的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和計(jì)算能力.【變式5-1】5.（2022上·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為3【答案】鈍角三角形【分析】由橢圓的離心率可求得b2=2a23，【詳解】由橢圓的離心率可得a2-則橢圓的方程為x橢圓的右焦點(diǎn)為F33由x2a設(shè)Ax1則y=14x所以∠AOB一定為鈍角，所以△AOB(其中O為原點(diǎn))的形狀為鈍角三角形，故答案為：鈍角三角形【變式5-1】3.（2022上·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1,F2，斜率為12的直線l【答案】[【分析】設(shè)A(x1,y1),B(x【詳解】如圖示，由橢圓定義可得|AF則△ABF2的周長(zhǎng)為4a,設(shè)設(shè)△ABF2內(nèi)切圓半徑為r，△ABF故2π=2π由題意得12

得y1-y2=所以由AB=1+1故答案為：8【變式5-1】4.（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）過(guò)橢圓3x2【答案】3x+2【分析】設(shè)直線AB的傾斜角為θ，由焦點(diǎn)弦公式可得斜率，即可得解.【詳解】橢圓3x2+4y2=設(shè)直線AB的傾斜角為θ，則由焦點(diǎn)弦弦長(zhǎng)公式可得|AB|=2ab2所以該直線的傾斜角為tanθ=±則直線AB：y=32(x+2)即3x+2y+23=0【變式5-1】5.（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓x29+y28=1的左右焦點(diǎn)分別為F【答案】24【分析】設(shè)出直線方程，求出點(diǎn)F2到直線AB的距離，再根據(jù)結(jié)論求出|AB|【詳解】直線PF1的方程為y=-2x-2，設(shè)其傾斜角為θ，則k=-2，tanθ=-2，所以θ∈由橢圓方程x29+y28=1，可得a=3，b=2F2到直線AB的距離h=2×1+0+222+所以△ABF2的面積為【變式5-1】6.（2023·四川廣安·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線C:y2=2pxp>0的焦點(diǎn)F與橢圓x2A．3x-y-33C．3x-y-9=0 D．x-3y-3=0【答案】A【分析】根據(jù)橢圓方程求得F，寫(xiě)出直線l的方程并與拋物線方程聯(lián)立，化簡(jiǎn)寫(xiě)出根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合拋物線的定義求得k，由此求得直線l的方程.【詳解】橢圓x225+y216=1，c=25-16=3設(shè)Ax1,y1聯(lián)立y=k(x-3)y2=12x消去y則x1∵|AF|=3|BF|,?x1+3=3x故選：A.題型6雙曲線傾斜角式焦點(diǎn)弦長(zhǎng)二級(jí)結(jié)論二級(jí)結(jié)論：曲線的傾斜角式焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式：（1）F1?,?F2為雙曲線C:x2a2-y2（2）F1?,?F2為雙曲線C:y2a2-x2說(shuō)明：特殊情形，當(dāng)傾斜角為θ=90°時(shí)，即為雙曲線的通徑，通徑長(zhǎng)2p=2圓錐曲線統(tǒng)一的傾斜角式焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式：設(shè)直線l過(guò)圓錐曲線焦點(diǎn)F且交圓錐曲線于A?,?B兩點(diǎn)，若已知直線l傾斜角為θ，設(shè)圓錐曲線通徑為【例題6】（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)雙曲線x2a2-y2b2=1a>0?,?b>0，其中兩焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1【答案】答案見(jiàn)解析【分析】分別討論當(dāng)直線與雙曲線的交點(diǎn)在同一支上或在兩支上時(shí)的焦半徑長(zhǎng)度，結(jié)合焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)可得解.【詳解】當(dāng)arctanba<θ<π-arctanba時(shí)，如圖1，直線連接F2A，F(xiàn)2B，設(shè)由雙曲線定義可得F2A=2a+m由余弦定理可得m2+2c2-2m?2c?則可求得弦長(zhǎng)AB=m+n=當(dāng)0≤θ<arctanba或π-arctanba<θ<π連接F2A，F(xiàn)2B，設(shè)由雙曲線定義可得F2A=2a+m由余弦定理可得m2+2c同理n2+2c則可求得弦長(zhǎng)AB=n-m=因此焦點(diǎn)在x軸的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式：AB=【變式6-1】1.（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）過(guò)雙曲線x24-y28=1【答案】AB【分析】利用公式AB=【詳解】解：雙曲線x24-y28=1利用公式AB=2ab【變式6-1】2.（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）過(guò)雙曲線x2-y2=4的右焦點(diǎn)F作傾斜角為150°【答案】8【分析】利用雙曲線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式，根據(jù)已知條件直接得出弦長(zhǎng)．【詳解】由雙曲線x2-y2所以AB=【變式6-1】3.（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）過(guò)雙曲線x24-y28=1【答案】AB【分析】利用公式AB=【詳解】解：雙曲線x24-y28=1利用公式AB=2ab【變式6-1】4.（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）過(guò)雙曲線x2-y2=4的右焦點(diǎn)F作傾斜角為30°的直線，交雙曲線于A【答案】8【分析】利用雙曲線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式，根據(jù)已知條件直接得出弦長(zhǎng)．【詳解】由雙曲線x2-y2所以AB=【變式6-1】5.（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知雙曲線x23-【答案】12【分析】求出直線方程，求出點(diǎn)F2到直線AB的距離，再根據(jù)結(jié)論求出|AB|=18【詳解】x23-y2所以直線AB方程為y+20+2=x-0點(diǎn)F25,0又|AB|=2a所以S△AB題型7拋物線傾斜角式焦點(diǎn)弦長(zhǎng)二級(jí)結(jié)論二級(jí)結(jié)論：1.拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)：AB=2.過(guò)拋物線y2=2px(p>0)焦點(diǎn)的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn)，則：引伸：M(a,0)(a>0)在拋物線y2Ax3.|AB|=2psin2α(α是直線AB與焦點(diǎn)所在軸的夾角)=4.AF=λBF，則有cos【例題7】（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，拋物線y2=2pxp>0與過(guò)焦點(diǎn)Fp2,0的直線l相交于A,B兩點(diǎn)，若【答案】AB【分析】設(shè)FA=m，F(xiàn)B=n，可得xA=p2+m【詳解】設(shè)FA=m，F(xiàn)B=n，則xA由拋物線定義知：FA=xA∴m=p1-cos∴AB【變式7-1】1.（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）斜率為3的直線過(guò)拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，且與C交于A，B兩點(diǎn)，則AB=．【答案】16【分析】先根據(jù)拋物線的方程求得拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)斜式得直線方程，與拋物線方程聯(lián)立消去y并整理得到關(guān)于x的二次方程，接下來(lái)可以利用弦長(zhǎng)公式或者利用拋物線定義將焦點(diǎn)弦長(zhǎng)轉(zhuǎn)化求得結(jié)果.【詳解】∵拋物線的方程為y2=4x，∴拋物線的焦點(diǎn)F坐標(biāo)為又∵直線AB過(guò)焦點(diǎn)F且斜率為3，∴直線AB的方程為：y=代入拋物線方程消去y并化簡(jiǎn)得3x解法一：解得x1所以|AB|=解法二：Δ=100-36=64>0設(shè)A(x1,過(guò)A,B分別作準(zhǔn)線x=-1的垂線，設(shè)垂足分別為C,D如圖所示.|AB|=|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=x故答案為：16【點(diǎn)睛】本題考查拋物線焦點(diǎn)弦長(zhǎng)，涉及利用拋物線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，弦長(zhǎng)公式，屬基礎(chǔ)題.【變式7-1】2.已知F為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，過(guò)F作兩條互相垂直的直線l1,l2，直線l1與C交于A,B兩點(diǎn)，直線lA．16 B．14 C．12 D．10【答案】A【分析】設(shè)l1的方程為x=my+1，Ax1,y1，Bx2,y2【詳解】因?yàn)閮蓷l互相垂直的直線l1,l2所以設(shè)l1的方程為x=my+1，Ax1聯(lián)立y2=4xx=my+1?y則|AB|=m同理|PQ|=41|AB|+|PQ|=42+m2+1故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問(wèn)題，要注意直線是否過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，若過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過(guò)焦點(diǎn)，則必須用一般弦長(zhǎng)公式．【變式7-1】3.（2021上·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）過(guò)拋物線y2=2pxp>0的焦點(diǎn)F作傾斜角為θθ≠π2的直線，交拋物線于A,B兩點(diǎn)，當(dāng)θ=π（1）求拋物線的方程；（2）試問(wèn)在x軸上是否存在異于F點(diǎn)的定點(diǎn)P，使得FA?PB=【答案】（1）y2=4x；（2）存在點(diǎn)P，【分析】（1）根據(jù)平面幾何性質(zhì)求得A2+（2）設(shè)直線FA的方程與拋物線的方程聯(lián)立，進(jìn)而用y1,y2分別表示出FA,【詳解】（1）設(shè)FA的中點(diǎn)為C，過(guò)C作CE⊥x軸于E，連接CT，因?yàn)橐訤A為直徑的圓與y軸相切于點(diǎn)T0,3，所以CT⊥y于T，故CE=OT=3，因?yàn)棣?π3，即∠CFE=π3，所以CF=2,EF=1，所以C1+p2,（2）設(shè)Px0,0，且F1,0,由題意可知直線FA斜率不為0，故設(shè)直線FA：x=my+1，所以x=my+1y2=4x，聯(lián)立得y2-4my-4=0，設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，則y1y2=-4，而FAFB=y1y【點(diǎn)睛】求定值（定點(diǎn)）問(wèn)題常見(jiàn)的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值（點(diǎn)）與變量無(wú)關(guān)．（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值（定點(diǎn)）．【變式7-1】4.（2020·四川遂寧·統(tǒng)考二模）過(guò)拋物線y2=2pxp>0的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于M，N兩點(diǎn)（M，N的橫坐標(biāo)不相等），弦MN的垂直平分線交x軸于點(diǎn)H，若MNA．14 B．16 C．18 D．20【答案】D【分析】利用點(diǎn)差法，得到弦所在直線的斜率與弦中點(diǎn)縱坐標(biāo)的關(guān)系式，再結(jié)合拋物線的定義即求.【詳解】設(shè)Mx1,y1，Nx2則y1所以y12-則kMN所以弦MN的垂直平分線為y-y令y=0，則xH=x又MN=所以HF=20故選：D．【變式7-1】5.設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F，直線l過(guò)F且與C交于A,B兩點(diǎn).若|AF|=3|BF|，則l的方程為A．y=x-1或y=-x+1B．y=33（X-1）或y=-C．y=3（x-1）或y=-3D．y=22（x-1）或y=-【答案】C【詳解】設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),又F(1,0),則AF=(1-x1,-y1),FB=(x2-1,y2),由題意知AF=3FB,因此{(lán)即{又由A、B均在拋物線上知{解得{直線l的斜率為±233因此直線l的方程為y=3(x-1)或y=-3(x-1).故選C.【變式7-1】6.（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知點(diǎn)F和直線l是離心率為e的雙曲線C的焦點(diǎn)和對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線，焦準(zhǔn)距（焦點(diǎn)到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離）為p．過(guò)點(diǎn)F的弦AB與曲線C的焦點(diǎn)所在的軸的夾角為θ0°<θ≤90°，則有【答案】答案見(jiàn)解析【分析】結(jié)合雙曲線的定義，通過(guò)討論焦點(diǎn)F內(nèi)分、外分弦AB兩種情況，即可證明．【詳解】設(shè)點(diǎn)A，B，F(xiàn)在準(zhǔn)線l上的射影分別為A1，B1，H，l與曲線C的焦點(diǎn)所在的軸交于點(diǎn)H．過(guò)點(diǎn)F作HF的垂線交直線AA1于點(diǎn)M，交直線BB（1）當(dāng)焦點(diǎn)F內(nèi)分弦AB時(shí)，如圖，AA1=A1M+因此AFe=p+AF所以焦半徑AF=ep1-e所以AB=（2）當(dāng)焦點(diǎn)F外分弦AB時(shí)，如圖，AA1=BB1=所以AFe=AF焦半徑AF=epe所以AB=綜合（1）（2）知，AB=題型8橢圓、雙曲線點(diǎn)坐標(biāo)式焦半徑公式二級(jí)結(jié)論一．橢圓的焦半徑及其應(yīng)用：1.焦半徑公式：Px0，y0是橢圓x2a2+y2Px0，y0是橢圓y2a2+x22.橢圓的坐標(biāo)式焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式：（1）橢圓x2AB=2a+exA+x（2）橢圓y2AB=2a-eyA+y二．雙曲線的焦半徑及其應(yīng)用：1:定義：雙曲線上任意一點(diǎn)M與雙曲線焦點(diǎn)的連線段，叫做雙曲線的焦半徑.2.當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線上時(shí)的焦半徑公式，(其中F1?為左焦點(diǎn)，F(xiàn)2為右焦點(diǎn))它是由第二定義導(dǎo)出的，其中a當(dāng)焦點(diǎn)在x軸，P在左支時(shí)：PF1=-當(dāng)焦點(diǎn)在x軸，P在右支時(shí)：PF1=e當(dāng)焦點(diǎn)在y軸:P在上支時(shí)：PF1=e當(dāng)焦點(diǎn)在y軸:P在下支時(shí)：PF1=-三．雙曲線的坐標(biāo)式焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式：（1）雙曲線x2同支弦AB=exA+x（2）雙曲線y2同支弦AB=eyA+y【例題8】（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓x2a2+y【答案】AB=2a+e【分析】由焦半徑公式即可得焦點(diǎn)弦公式【詳解】設(shè)Ax1,?y【點(diǎn)睛】（1）只需要兩根和，即可求得弦長(zhǎng)．（2）橢圓x2|AB|=2a+e(xA+橢圓y2AB=2a-eyA【變式8-1】1.（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓x22+y21=1的左右焦點(diǎn)分別為F1，【答案】AB【分析】由橢圓的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可得AB=2a+e(x1【詳解】由題意，a=2,??則直線AB的方程為x-1+y令A(yù)(x1,y1直線方程與橢圓方程聯(lián)立y=-2x-2x22+所以AB=【點(diǎn)睛】（1）從橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程看出焦點(diǎn)的位置，合理選擇橢圓的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式．（2）一般弦長(zhǎng)公式對(duì)橢圓的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)仍然適用，但是計(jì)算繁瑣，直接利用橢圓的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式就更為簡(jiǎn)捷．【變式8-1】2.（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓x249+y213=1，若過(guò)左焦點(diǎn)的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且A【答案】AB【分析】利用橢圓焦半徑公式求得焦點(diǎn)弦長(zhǎng).【詳解】由已知得a=7，b=13，c=所以離心率e=cAB=a+e【變式8-1】3.（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)雙曲線x2a2【答案】答案見(jiàn)解析【分析】討論弦AB所在直線的斜率k存在,以及直線與同支、異支相交，結(jié)合第二定義即可得到弦長(zhǎng).【詳解】（1）當(dāng)弦AB所在直線的斜率k存在時(shí)，設(shè)直線AB為y=k(x-c)，雙曲線方程x2a2將直線y=k(x-c)代入①整理得，-a設(shè)A(x1當(dāng)k>b∴|AB|=|AF當(dāng)0≤k<b|AB|=|BF（2）當(dāng)弦AB所在直線的斜率k不存在時(shí)，弦AB與x軸垂直，|AB|=2題型9拋物線點(diǎn)坐標(biāo)式焦半徑公式二級(jí)結(jié)論拋物線的坐標(biāo)式焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式：（1）拋物線y2=2pxp>0（2）拋物線y2=-2pxp>0（3）拋物線x2=2pyp>0（4）拋物線x2=-2pyp>0【例題9】（2021·河北·高三專(zhuān)題練習(xí)）過(guò)拋物線y2=2pxp>0【答案】2【詳解】設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，過(guò)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F且傾斜角為45°的直線方程為y＝x－p2，把y＝x－p2代入y2＝2px，得x2－3px＋【變式9-1】1.（2023·北京·人大附中校考三模）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線與該拋物線交于A，B兩點(diǎn)，，AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為4，則．【答案】【分析】根據(jù)拋物線定義有，結(jié)合已知即可求參數(shù)p的值.【詳解】由拋物線定義知：，而AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為4，即，所以，即.故答案為：【變式9-1】2.（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，則過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線截拋物線所得弦長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理以及拋物線的定義可求出結(jié)果.【詳解】由可得，準(zhǔn)線方程為，直線，聯(lián)立，消去并整理得，，設(shè)直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)為，，則，所以直線截拋物線所得弦長(zhǎng)為.故選：B題型10焦點(diǎn)弦定比分點(diǎn)求離心率二級(jí)結(jié)論1.點(diǎn)F是橢圓的焦點(diǎn)，過(guò)F的弦AB與橢圓焦點(diǎn)所在軸的夾角為θ,θ?(0,π2)，k為直線AB的斜率，且當(dāng)曲線焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，e=1+注：λ=AFBF或者λ=BFAF,而不是2.過(guò)F弦AB與雙曲線焦點(diǎn)所在軸夾角為θ,θ?(0,π2)，k為直線AB斜率，且當(dāng)曲線焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，e=1+【例題10】（23·24高三上·云南·階段練習(xí)）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)點(diǎn)F2且傾斜角為【答案】2【分析】由△AF1F2的面積是△BF1F2面積的2倍，得到AF2=2【詳解】如圖，由△AF1F2的面積是不妨設(shè)AF2=2x，BF2=x，在△AF1F2中，得4x2+4在△BF1F2中，得x2+4c①+②×2得x=3整理得c2-a故C的離心率為23故答案為：2【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的難點(diǎn)在于找到a,c之間的關(guān)系，解答時(shí)要注意利用△AF1F2的面積是△BF1F2面積的2倍，得到【變式10-1】1.（2022上·遼寧鞍山·高三鞍山一中?？计谥校┮阎獧E圓C:x2a2+y2b2=1的左焦點(diǎn)為F，過(guò)F斜率為3的直線l與橢圓C相交于【答案】25【分析】設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2【詳解】因?yàn)橹本€AB過(guò)F(-c,0)且斜率為3，所以直線AB為：y=3與橢圓C：x2a2+y設(shè)Ax1因?yàn)锳FBF=32消去y2并化簡(jiǎn)整理得：24將b2=a2-因此，該雙曲線的離心率e=c故答案為：25【變式10-1】2.（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的右焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為3A．58 B．65 C．7【答案】B【分析】設(shè)雙曲線C:x2a2-y2b2=1的右準(zhǔn)線為l，過(guò)A、B分別作AM⊥l于M，BN⊥l于N，BD⊥AM于D，根據(jù)直線AB的斜率為【詳解】設(shè)雙曲線C:x2a過(guò)A、B分別作AM⊥l于M，BN⊥l于N，BD⊥AM于D，如圖所示：因?yàn)橹本€AB的斜率為3，所以直線AB的傾斜角為60°，∴∠BAD=60°，AD=由雙曲線的第二定義得：AM-又∵AF=4∴3e∴e=故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的第二定義的應(yīng)用以及離心率的求法，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.【變式10-1】3.（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F，經(jīng)過(guò)F(1)求橢圓的離心率；(2)若|AB|=15【答案】(1)2(2)x【分析】（1）由圓錐曲線焦點(diǎn)弦的重要公式ecos（2）由圓錐曲線焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)公式|AB|=2ep【詳解】（1）圓錐曲線焦點(diǎn)弦的重要公式ecosθ=λ-1λ+1，因?yàn)锳F=2所以θ=60°，所以ecos60°（2）將e=2|AB|=2ep1-e2cos因?yàn)閜=a2c-c=5所以橢圓方程為：x2【變式10-1】4.（2023·貴州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上頂點(diǎn)為A,F是A．12 B．35 C．2【答案】A【分析】根據(jù)向量關(guān)系得到A,B,F三點(diǎn)共線，表達(dá)出B點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程，求出離心率.【詳解】因?yàn)?AF+5BF=0，所以不妨設(shè)Fc,0，B則AF=由3AF+5BF=0故B8c將其代入C:x2a2+故離心率為12故選：A1.（2023·浙江溫州·樂(lè)清市知臨中學(xué)校考二模）已知橢圓x2a2+y2b2=1A．12 B．22 C．2【答案】C【分析】根據(jù)題意寫(xiě)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理與GF2=2F2H構(gòu)建出關(guān)于【詳解】設(shè)F2c,0，Gx1,y1，H直線方程為y=3x-c，聯(lián)立方程可得a2根據(jù)韋達(dá)定理：y1+y因?yàn)镚F2=2F2所以y1即4c23a2可得4a2=9故選：C.2.（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為433，過(guò)左焦點(diǎn)【答案】3【分析】由題意設(shè)雙曲線的方程為x2a2-3聯(lián)立方程，設(shè)Ax1,y1【詳解】因?yàn)閏a所以3b2=13設(shè)過(guò)左焦點(diǎn)F且斜率為k>0的直線為x=1ky-c與雙曲線x2a2設(shè)Ax1,因?yàn)閨FA|=3|FB|，所以y1所以4y消去y2得169×64×3化簡(jiǎn)得1213-3k2因?yàn)閗>0，所以k=3故答案為：33.（多選）（2022·遼寧沈陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線x2a2-y2b2=1a>0,b>0的離心率為A．PFB．e∈C．若P在以F1FD．若PF1=Q【答案】AD【分析】根據(jù)雙曲線的定義求解判斷A，由由雙曲線的性質(zhì)PF2≥c-a求解判斷B，利用勾股定理求得b【詳解】由雙曲線定義知PF由雙曲線的性質(zhì)PF2≥c-a（P為右頂點(diǎn)時(shí)取等號(hào)），本題中P不可能是右頂點(diǎn)，所以2a>c-a所以e∈(1,3)，B錯(cuò)誤；若P在以F1F2為直徑的圓上，即P所以(4a)2+(2a)2=(2c)2，即c若PF1=QF△PF1F2中，△QF1Fcos∠PF2F1+coscos∠PF2F1=11所以tan∠PF2F1故選：AD．4.（2021·四川成都·石室中學(xué)?？既＃┮阎本€經(jīng)過(guò)拋物線y2=2pxp>0的焦點(diǎn)F并交拋物線于A，B兩點(diǎn)，則AF=4，且在拋物線的準(zhǔn)線上的一點(diǎn)C滿(mǎn)足【答案】2【分析】由所給向量關(guān)系可得點(diǎn)C在直線AB上，過(guò)點(diǎn)A，B分別作拋物線準(zhǔn)線的垂線，結(jié)合拋物線定義求出∠ACN=30【詳解】過(guò)點(diǎn)A，B作拋物線y2=2pxp>0

則有|AN|=|AF|,|BM|=|BF|，因點(diǎn)C在準(zhǔn)線上且滿(mǎn)足CB=2于是有|CB|=2|BM|，得∠ACN=30°，從而有而FK//AN，則有|FK|=12|AN|=所以p=2.故答案為：25.（2020·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)過(guò)點(diǎn)M(3,1)，且左、右頂點(diǎn)分別為（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)F1且斜率為kk>0的直線l與橢圓C交于P,Q兩點(diǎn)，點(diǎn)D在y軸上，且滿(mǎn)足PD=QD，已知E(0,-2)，求【答案】（1）x26+【分析】（1）由△A1B1F（2）設(shè)直線l的方程為y=k(x+2)(k>0)，聯(lián)立橢圓方程，由根與系數(shù)關(guān)系求x1+x2=-12k23【詳解】（1）設(shè)F1(-c,0)，由題意知整理得ca將(3,1)代入C的方程，得由①②及a2=b2+故C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（2）由（1）知F1(-2,0)，則直線l的方程為聯(lián)立直線l與橢圓C的方程，得x2消去y可得3k2+1設(shè)Px1,則x1+x所以|PQ|=1+k易知點(diǎn)E(0,-2)到直線l的距離d=|2+2k|設(shè)線段PQ的中點(diǎn)為N，則xN即N-所以線段PQ垂直平分線的方程為y-2k因?yàn)閨PD|=|QD|，所以點(diǎn)D在線段PQ的垂直平分線上，令x=0，得y=-4k3k所以Sk2當(dāng)且僅當(dāng)k=1k，即故△EPQ與△A2OD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決圓錐曲線最值問(wèn)題的常用方法有三種：一是轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，先引入變量，構(gòu)建與待求量有關(guān)的函數(shù)，然后求最值；二是轉(zhuǎn)化為基本不等式問(wèn)題，利用不等關(guān)系構(gòu)建不等式并求解；三是利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合法求解．如本題第（2）問(wèn)，先建立關(guān)于面積比值的表達(dá)式，然后對(duì)其進(jìn)行轉(zhuǎn)化，最后利用基本不等式求解．6.（2021·江西新余·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)和圓O:x2+y2=a2,F1（1）求圓O和橢圓C的方程（2）若點(diǎn)M是圓O上一點(diǎn)，求當(dāng)AF2,B【答案】（1）x24【分析】（1）由直線被圓截得的弦長(zhǎng)為14，運(yùn)用垂徑定理建立關(guān)于a,b等式即可求解；（2）求直線PQ的方程，因?yàn)橹本€PQ已經(jīng)經(jīng)過(guò)F1(-1,0)，只要再