1.第十一章三角形能力培優(yōu)

-PAGE6-第十一章三角形11.1與三角形有關(guān)的線(xiàn)段專(zhuān)題一三角形個(gè)數(shù)的確定1．如圖，圖中三角形的個(gè)數(shù)為（）A．2B．18C．19D．202．如圖所示，第1個(gè)圖中有1個(gè)三角形，第2個(gè)圖中共有5個(gè)三角形，第3個(gè)圖中共有9個(gè)三角形，依此類(lèi)推，則第6個(gè)圖中共有三角形__________個(gè)．

3．閱讀材料，并填表：

在△ABC中，有一點(diǎn)P1，當(dāng)P1、A、B、C沒(méi)有任何三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上時(shí)，可構(gòu)成三個(gè)不重疊的小三角形（如圖）．當(dāng)△ABC內(nèi)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)增加時(shí)，若其他條件不變，三角形內(nèi)互不重疊的小三角形的個(gè)數(shù)情況怎樣？

完成下表：△ABC內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)123…1007構(gòu)成不重疊的小三角形的個(gè)數(shù)35…專(zhuān)題二根據(jù)三角形的三邊不等關(guān)系確定未知字母的范圍4．三角形的三邊分別為3，1－2a，8，則aA．－6＜a＜－3B．－5＜a＜－2C．2＜a＜5D．a(chǎn)＜－5或a＞5.在△ABC中，三邊長(zhǎng)分別為正整數(shù)a、b、c，且c≥b≥a＞0，如果b=4，則這樣的三角形共有______個(gè)．6．若三角形的三邊長(zhǎng)分別是2、x、8，且x是不等式＞的正整數(shù)解，試求第三邊x的長(zhǎng)．狀元筆記【知識(shí)要點(diǎn)】1．三角形的三邊關(guān)系三角形兩邊的和大于第三邊，兩邊的差小于第三邊．2．三角形三條重要線(xiàn)段(1)高：從三角形的頂點(diǎn)向?qū)吽诘闹本€(xiàn)作垂線(xiàn)，頂點(diǎn)與垂足之間的線(xiàn)段叫做三角形的高．(2)中線(xiàn)：連接三角形的頂點(diǎn)與對(duì)邊中點(diǎn)的線(xiàn)段叫做三角形的中線(xiàn)．(3)角平分線(xiàn)：三角形內(nèi)角的平分線(xiàn)與對(duì)邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線(xiàn)段叫做三角形的角平分線(xiàn)．3．三角形的穩(wěn)定性三角形具有穩(wěn)定性．【溫馨提示】1．以“是否有邊相等”，可以將三角形分為兩類(lèi)：三邊都不相等的三角形和等腰三角形．而不是分為三類(lèi)：三邊都不相等的三角形、等腰三角形、等邊三角形，等邊三角形是等腰三角形的一種．2．三角形的高、中線(xiàn)、角平分線(xiàn)都是線(xiàn)段，而不是直線(xiàn)或射線(xiàn)．【方法技巧】1．根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判定三條線(xiàn)段能否組成三角形時(shí)，要看兩條較短邊之和是否大于最長(zhǎng)邊．2．三角形的中線(xiàn)將三角形分成兩個(gè)同底等高的三角形，這兩個(gè)三角形面積相等．參考答案:1．D解析：線(xiàn)段AB上有5個(gè)點(diǎn)，線(xiàn)段AB與點(diǎn)C組成5×（5－1）÷2=10個(gè)三角形；同樣，線(xiàn)段DE上也有5個(gè)點(diǎn)，線(xiàn)段DE與點(diǎn)C組成5×（5－1）÷2=10個(gè)三角形，圖中三角形的個(gè)數(shù)為20個(gè)．故選D．2．21解析：根據(jù)前邊的具體數(shù)據(jù)，再結(jié)合圖形，不難發(fā)現(xiàn)：后邊的總比前邊多4，若把第一個(gè)圖形中三角形的個(gè)數(shù)看作是1=4－3，則第n個(gè)圖形中，三角形的個(gè)數(shù)是4n－3．所以當(dāng)n=6時(shí)，原式=21．3．解：填表如下：△ABC內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)123…1007構(gòu)成不重疊的小三角形的個(gè)數(shù)357…2015解析：當(dāng)△ABC內(nèi)有1個(gè)點(diǎn)時(shí)，構(gòu)成不重疊的三角形的個(gè)數(shù)是3=1×2＋1；當(dāng)△ABC內(nèi)有2個(gè)點(diǎn)時(shí)，構(gòu)成不重疊的三角形的個(gè)數(shù)是5=2×2＋1；參考上面數(shù)據(jù)可知，三角形的個(gè)數(shù)與點(diǎn)的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系是：三角形內(nèi)有n個(gè)點(diǎn)時(shí)，三角形內(nèi)互不重疊的小三角形的個(gè)數(shù)是2n+1，故當(dāng)有3個(gè)點(diǎn)時(shí)，三角形的個(gè)數(shù)是3×2＋1=7；當(dāng)有1007個(gè)點(diǎn)時(shí)，三角形的個(gè)數(shù)是1007×2＋1=2015．4．B解析：根據(jù)題意，得8－3＜1－2a＜8＋3，即5＜1－2a＜11，解得－5＜5．10解析：∵在△ABC中，三邊長(zhǎng)分別為正整數(shù)a、b、c，且c≥b≥a＞0，∴c＜a+b．∵b=4，

∴a=1，2，3，4．a(chǎn)=1時(shí)，c=4；a=2時(shí)，c=4或5；a=3時(shí)，c=4，5，6；a=4時(shí)，c=4，5，6，7．∴這樣的三角形共有1+2+3+4=10個(gè)．6．解：原不等式可化為3（x+2）＞－2（1－2x），解得x＜8．

∵x是它的正整數(shù)解，

∴x可取1，2，3，5，6，7．再根據(jù)三角形三邊關(guān)系，得6＜x＜10，

∴x=7．11.2與三角形有關(guān)的角專(zhuān)題一利用三角形的內(nèi)角和求角度1．如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線(xiàn)與∠ACB的外角平分線(xiàn)相交于D點(diǎn)，∠A=50°，則∠D=（）A．15°B．20°C．25°D．30°2．如圖，已知：在直角△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC且交AC于D.若AP平分∠BAC且交BD于P，求∠BPA的度數(shù)．3．已知：如圖1，線(xiàn)段AB、CD相交于點(diǎn)O，連接AD、CB，如圖2，在圖1的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線(xiàn)AP和CP相交于點(diǎn)P，并且與CD、AB分別相交于M、N．試解答下列問(wèn)題：

（1）在圖1中，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系：__________；（2）在圖2中，若∠D=40°，∠B=30°，試求∠P的度數(shù)；（寫(xiě)出解答過(guò)程）

（3）如果圖2中∠D和∠B為任意角，其他條件不變，試寫(xiě)出∠P與∠D、∠B之間的數(shù)量關(guān)系．（直接寫(xiě)出結(jié)論即可）

專(zhuān)題二利用三角形外角的性質(zhì)解決問(wèn)題4．如圖，∠ABD，∠ACD的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)P，若∠A=50°，∠D=10°，則∠P的度數(shù)為（） A．15° B．20° C．25° D．30°5．如圖，△ABC中，CD是∠ACB的角平分線(xiàn)，CE是AB邊上的高，若∠A=40°，∠B=72°．

（1）求∠DCE的度數(shù)；

（2）試寫(xiě)出∠DCE與∠A、∠B的之間的關(guān)系式．（不必證明）6．如圖：

（1）求證：∠BDC=∠A+∠B+∠C；

（2）如果點(diǎn)D與點(diǎn)A分別在線(xiàn)段BC的兩側(cè)，猜想∠BDC、∠A、∠ABD、∠ACD這4個(gè)角之間有怎樣的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．狀元筆記【知識(shí)要點(diǎn)】1．三角形內(nèi)角和定理三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°．2．直角三角形的性質(zhì)及判定性質(zhì)：直角三角形的兩個(gè)銳角互余．判定：有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形．3．三角形的外角及性質(zhì)外角：三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線(xiàn)組成的角，叫做三角形的外角．性質(zhì)：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．【溫馨提示】1．三角形的外角是一邊與另一邊的延長(zhǎng)線(xiàn)組成的角，而不是兩邊延長(zhǎng)線(xiàn)組成的角．2．三角形的外角的性質(zhì)中的內(nèi)角一定是與外角不相鄰的內(nèi)角．【方法技巧】1．在直角三角形中已知一個(gè)銳角求另一個(gè)銳角時(shí)，可直接使用“直角三角形的兩個(gè)銳角互余”．2．由三角形的外角的性質(zhì)可得出：三角形的外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角．參考答案:1．C解析：∵∠ABC的平分線(xiàn)與∠ACB的外角平分線(xiàn)相交于點(diǎn)D，∴∠1=∠ACE，∠2=∠ABC．又∵∠D=∠1－∠2，∠A=∠ACE－∠ABC，∴∠D=∠A=25°．故選C．2．解：（法1）因?yàn)椤螩=90°，所以∠BAC＋∠ABC=90°，所以(∠BAC＋∠ABC)=45°.因?yàn)锽D平分∠ABC，AP平分∠BAC，∠BAP=∠BAC，∠ABP=∠ABC，即∠BAP＋∠ABP=45°，所以∠APB=180°－45°=135°.（法2）因?yàn)椤螩=90°，所以∠BAC＋∠ABC=90°，所以(∠BAC＋∠ABC)=45°，因?yàn)锽D平分∠ABC，AP平分∠BAC，∠DBC=∠ABC，∠PAC=∠BAC，所以∠DBC＋∠PAD=45°.所以∠APB=∠PDA＋∠PAD=∠DBC＋∠C＋∠PAD=∠DBC＋∠PAD＋∠C=45°＋90°=135°.3．解：（1）∠A+∠D=∠B+∠C；

（2）由（1）得，∠1+∠D=∠3+∠P，∠2+∠P=∠4+∠B，

∴∠1－∠3=∠P－∠D，∠2－∠4=∠B－∠P，

又∵AP、CP分別平分∠DAB和∠BCD，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，

∴∠P－∠D=∠B－∠P，

即2∠P=∠B+∠D，

∴∠P=（40°+30°）÷2=35°．

（3）2∠P=∠B+∠D．4．B解析：延長(zhǎng)DC，與AB交于點(diǎn)E．根據(jù)三角形的外角等于不相鄰的兩內(nèi)角和，可得∠ACD=50°+∠AEC=50°+∠ABD+10°，整理得∠ACD－∠ABD=60°．設(shè)AC與BP相交于點(diǎn)O，則∠AOB=∠POC，∴∠P+∠ACD=∠A+∠ABD，即∠P=50°－（∠ACD－∠ABD）=20°．故選B．5．解：（1）∵∠A=40°，∠B=72°，

∴∠ACB=68°．

∵CD平分∠ACB，

∴∠DCB=∠ACB=34°．

∵CE是AB邊上的高，

∴∠ECB=90°－∠B=90°－72°=18°．

∴∠DCE=34°－18°=16°．

（2）∠DCE=（∠B－∠A）．6．（1）證明：延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)E，

∵∠BEC是△ABE的外角，

∴∠BEC=∠A+∠B．

∵∠BDC是△CED的外角，

∴∠BDC=∠C+∠DEC=∠C+∠A+∠B．

（2）猜想：∠BDC+∠ACD+∠A+∠ABD=360°．

證明：∠BDC+∠ACD+∠A+∠ABD=∠3+∠2+∠6+∠5+∠4+∠1

=（∠3+∠2+∠1）+（∠6+∠5+∠4）

=180°+180°=360°．11.3多邊形及其內(nèi)角和專(zhuān)題一根據(jù)正多邊形的內(nèi)角或外角求值1．若一個(gè)正多邊形的每個(gè)內(nèi)角為150°，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是（）A．12B．11C．102．一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都等于36°，則該多邊形的內(nèi)角和等于________°．3．已知一個(gè)多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都相等，且每個(gè)內(nèi)角都等于與它相鄰的外角的9倍，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)．專(zhuān)題二求多個(gè)角的和4．如圖為某公司的產(chǎn)品標(biāo)志圖案，圖中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=（）A．360°B．540°C．630°D．720°5．如圖，∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠F=_________°．6．如圖，求：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)．狀元筆記【知識(shí)要點(diǎn)】1．多邊形及相關(guān)概念多邊形：在平面內(nèi)，由一些線(xiàn)段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形．多邊形的對(duì)角線(xiàn)：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線(xiàn)段，叫做多邊形的對(duì)角線(xiàn)．2．多邊形的內(nèi)角和與外角和內(nèi)角和：n邊形的內(nèi)角和等于(n－2)·180°．外角和：多邊形的外角和等于360°．【溫馨提示】1．從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以做(n－3)條對(duì)角線(xiàn)，它們將n邊形分為(n－2)個(gè)三角形．對(duì)角線(xiàn)的條數(shù)與分成的三角形的個(gè)數(shù)不要弄錯(cuò)．2．多邊形的外角和等于360°，而不是180°．【方法技巧】1．連接多邊形的對(duì)角線(xiàn)，將多邊形轉(zhuǎn)化為多個(gè)三角形，將多邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題來(lái)解決．2．多邊形的內(nèi)角和隨邊數(shù)的變化而變化，但外角和不變，都等于360°，可利用多邊形的外角和不變求多邊形的邊數(shù)等．參考答案:2．1440解析：∵多邊形的邊數(shù)為360°÷36°=10，多邊形的內(nèi)角為180°－36°=144°，∴多邊形的內(nèi)角和等于144°×10=1440°．3．解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)題意，得(n－2)·180°=9×360°，解得n=20．所以這個(gè)多邊形的邊數(shù)為20．4．B解析