2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第一、二章

課堂過關(guān)

第一章集合與常用邏輯用語

第1課時集合的概念（對應(yīng)學(xué)生用書（文）、（理）1?2頁）

課前-亨咫引，領(lǐng)八大

考情分析考點(diǎn)新知

了解集合的含義：體會元素與集合的“屬

亍”關(guān)系；能用自然語言、圖形語言、集

①學(xué)會區(qū)分集合與元素，集合與集合之間的關(guān)系.

合語言（列舉法或描述法）描述不同的教學(xué)

②學(xué)會自然語言、圖形語言、集合語言之間的互化.

對象或數(shù)學(xué)問題；了解集合之間包含與相③集合含義中掌握集合的三要素.

等的含義；能識別給定集合的子集；了解?不要求證明集合相等關(guān)系和包含關(guān)系.

全集與空集的含si.

嚓回歸教材

IIVKMIJIA（K.\1

1.（必修IPio第5題改編）已知集合A={m+2,2m2+m},若3￡A,則m=.

答案：一］3

解析：因為3￡A,所以m+2=3或2m2+m=3.當(dāng)m+2=3,即m=l時，2m2+m=3,

此時集合A中有重復(fù)元素3,所以m=l不合題意，舍去；當(dāng)2m2+m=3時，解得m=-?或

313

m=l（舍去），此時當(dāng)m=-5時，m+2=5W3滿足題意.所以m=一不

2.（必修1P7第4題改編）已知集合{a|0Wa<4,a￡N},用列舉法可以表示為.

答案：{0,1,2,3}

解析：因為a￡N,且0Wa<4,由此可知實(shí)數(shù)a的取值為0,1,2,3.

3.（必修IP17第6題改編）已知集合A=［l,4）,B=（-8,a）,AlB,則a￡.

答案：［4,+°°）

解析：在數(shù)軸上畫出A、B集合，根據(jù)圖彖可知.

4.（原創(chuàng)）設(shè)集合A={x|x=5-4a+a2,a^R},B={y|y=4b?+4b+2,beR）,則A、B

的關(guān)系是.

答案：A=B

解析：化簡得A={x|x21},B={y|y21},所以A=B.

5.（必修IP17第8題改編）滿足條件{1川MI{1,2,3}的集合M的個數(shù)是.

答案：4個

解析：滿足條件{1川MI{L2,3}的集合M有{1},{1,2},{1,3},{1,2,3},共

4個.

7n識清單

1.集合的含義及其表示

（1）集合的定義：一般地，一定范圍內(nèi)某些確定的、不同的對象的全體構(gòu)成一個集合.其

中集合中的每一個對象稱為該集合的元素.

（2）集合中元素的特征：確定性、互異性、無序性.

（3）集合的常用表示方法：列舉法、描述法、Venn圖法.

(4)集合的分類：若按元素的個數(shù)分類，可分為有限集、無限集、空集;若按元素的屬

性分類可分為點(diǎn)集、數(shù)集等.應(yīng)當(dāng)特別注意空集是一個特殊而又重要的集合，解題時切勿忽

視空集的情形.

(5)常用數(shù)集及其記法：自然數(shù)集記作N；正整數(shù)集記作或氈；整數(shù)集記作Z；有

理數(shù)集記作攵；實(shí)數(shù)集記作區(qū)：復(fù)數(shù)集記作工.

2.兩類關(guān)系

(1)元素與集合之間的關(guān)系包括屬于與不屬于關(guān)系,反映了個體與整體之間的從屬關(guān)系.

(2)集合與集合之間的關(guān)系

①包含關(guān)系：如果集合A中的每一個元素都是集合B的元素,那么集合A稱為集合B

的子集,記為AlB或B|_A,讀作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”.

②真包含關(guān)系：如題iB,并且ANB,那么集合A稱為集合B的真子集,讀作“集

合A真包含于集合B”或“集合B真包含集合A”.

③相等關(guān)系：如果兩個集合所含的元素完全相同，即A中的元景都是B中的元素且B

中的元素都是A中的元素,則稱這兩個集合相等.

(3)含有n個元素的集合的子集共有愛個，真子集共有壯L個，非空子集共有壯1

個，非空真子集有絲2

V/乂

、課中?技巧點(diǎn)找,心建，

個—筆fm■一

.題很固圖一適*”叱

題型1正知理斛為運(yùn)用雜合統(tǒng)念

例1已知集合A={x|ax?—3x+2=0,aER).

(1)若A是空集，求a的取值范圍；

(2)若A中只有一個元素，求a的值，并將這個元素寫出來；

(3)若A中至多有一個元素，求a的取值范圍.

9

解：(1)若A是空集，則A=9-8aV0,解得a>\

O

aa

(2)若A中只有一個元素，則△=9—8a=0或a=0,解得a=Q或a=0;當(dāng)a=q時這個

OO

42

元素是,；當(dāng)a=0時，這個元素是?

o

(3)由(1)(2)知，當(dāng)A中至多有一個元素時，a的取值范圍是a2d或a=0.

o

備遙交W(數(shù)嬸專#J

已知aWl時，集合［a,2—a］中有且只有3個整數(shù)，則a的取值范圍是.

答案：一IvaWO

解析：因為aWl,所以2—a2l,所以1必在集合中.若區(qū)間端點(diǎn)均為整數(shù)，則a=0,

集合中有0,1,2三個整數(shù)，所以a=0適合題意；若區(qū)間端點(diǎn)不為整數(shù)，則區(qū)間長度2<2

-2a<4,解得一l<a<0,此時，集合中有0,1,2三個整數(shù)，一l<a<0適合題意.綜上，a的

取值范圍是一l<aW0.

麥代利秣

設(shè)集合M=jxX=E+『kezpN={x［x=w+g，k《Z},則MN.

答案：真包含于

縱型2條合無索的墾界物

例2已知a、bER,集合A={a,a+b,1},B={b,pok且AiB,BiA,求a

-b的值.

解：?.?AiB,BIA,:.A=B.

?手??即

??a0,?a+b=0,a=-b,-a=-l,

b=1,a=—1,/.a—b=-2.

備達(dá)安灰(叔嬸

已知集合人=匕，a+b,a+2b},B={a,ac,ac2}.A=B,貝ljc=.

答案：一3

解析：分兩種情況進(jìn)行討論.

①若a+b=ac且a+2b=ac\消去b得a+ac?—2ac=0.

當(dāng)a=0時，集合B中的三元素均為零，和元素的互異性相矛盾，故aWO.Jc2-2c+l

=0,即c=l.但c=l時，B中的三元素又相同，此時無解.

②若a+b=ac?且a+2b=ac,消去b得2ac?—ac—a=0.

Va*0,:.2C2-C-1=0,即(C-1)(2C+1)=0.

又C#l,故C=一

受K制珠

集合A=卜，p1},集合B={a?,a+b,0),若人=8,求a20i3+b2。]，的值.

解：由于aWO,由1=0,得b=0,則人=匕，0,1),B={a2,a,0).

由A=B,可得a?=1.又a2#=a,則aWl,則a=-1.

所以a2013+b234=-]

致型3根據(jù)雄合的含義求樂數(shù)苒④

例3集合A={x|—2WxW5},集合B={x|m+1WxW2m—1}.

(1)若BiA,求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

(2)當(dāng)x￡R時，沒有元素x使x￡A與x￡B同時成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

解：(1)當(dāng)m+l>2m-l即mV2時，B=正滿足A;

,[m+12—2,

當(dāng)m+l〈2m—l即m22時，要使BlA成立，則?解得2WmW3.

2m—1W5,

綜上所述，當(dāng)mW3時有BiA.

(2)因為x￡R,且A={x|-2WxW5},B={x|m+1WxW2m-1},又沒有元素x使x￡A

與x￡B同時成立，則

①若B=正，即m+l>2m-l,得mV2時滿足條件；

|m+1W2m—1,

②若BW正，則要滿足條件,解得m>4.

Im+1>5,

m+1W2m—1,

或無解.

2m_1<_2,

綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍為mV2或m>4.

備送變式(我憚專事J

22

已知集合A={y|y=-2x,xe[2,3]},B={x|x+3x-a-3a>0).若AlB,求實(shí)數(shù)a

的取值范圍.

解：由題意有人=[-8,-4],B={x|(x-a)(x+a+3)>0}.

①當(dāng)a=一方時，B={xx￡R,x#:-所以AiB恒成立；

②當(dāng)av—2時，B={x|xva或x>-a-3}.因為AiB,所以a>-4或一a-3V—8,解得

.3

a>-4或a>5(舍去)，所以一4<a<一

…3

③當(dāng)a>一/時，B={x|xv—a-3或x>a}.因為AB,所以一a—3>—4或av—8(舍去),

解得一聲avl.

綜上，當(dāng)AiB時，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(一4,1).

新題推薦

1.設(shè)集合A={x|xV2},B=(x|x<a),且滿足A真包含于B,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

答案：(2,+8)

解析：利用數(shù)軸可得實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2,+8).

2.已知集合A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x《A,y《A,x-y^A},貝ijB中元素

的個數(shù)為.

答案：10

解析：B中所含元素有Q,I),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,I),(5,2),

(5,3),(5,4).

3.若x￡A,則“A,就稱A是“伙伴關(guān)系集合”，集合M+1，0,+2,3)的所

有非空子集中具有伙伴關(guān)系的集合的個數(shù)是.

答案：3

解析：具有伙伴關(guān)系的元素組是一1；2,所以具有伙伴關(guān)系的集合有3個：{一1},

4.已知全集U=R,集合乂=兇一2W乂一1忘2}和N={x|x=2k—1,k=l,2,…}的韋

恩(Venn)圖如圖所示，則陰影部分所示的集合的元素共有________個.

答案：2

解析：由題圖示可以看出陰影部分表示集合M和N的交集，所以由M={x|-lWxW3},

得MGN={1,3},有2個.

5.設(shè)P、Q為兩個非空實(shí)數(shù)集合，定義集合P+Q={a+b|a￡P(guān),b￡Q},若P={0,2,

5),Q={1,2,6),則P+Q中元素的個數(shù)為.

答案：8

解析：(1)：P+Q={a+b|a￡P(guān),bEQ},P={0,2,5),Q={l,2,6},/.當(dāng)a=0

時，a+b的值為1,2,6:當(dāng)a=2時，a+b的值為3,4,8:當(dāng)a=5時，a+b的值為6,7,

11,???P+Q={1,2,3,4,6,7,8,11},:.P+Q中有8個元素.

1.已知A={xk—2x—3W0},若實(shí)數(shù)a￡A,則a的取值范圍是.

答案：[-1,3]

解析：由條件，a2-2a~3^0,從而a￡[—1,3].

2.現(xiàn)有含三個元素的集合，既可以表示為卜，31)，也可表示為{a?,a+b,0},則a?。。

+b2O,3=.

答案：一1

解析：由已知得2=0及aWO,所以b=0,于是a?=l,即a=l或a=—1,又根據(jù)集合

a

中元素的互異性可知a=l應(yīng)舍去，因此a=-1,故a2°i3+b233=(-])20i3=-]

3.已知集合A={x[(x-2)[x-(3a+l)]V0},

B=lx---<ol

Ix—(az+1)

(1)當(dāng)a=2時，求AGB：

(2)求使B真包含于A的實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解：(l)AnB=｛x|2VxV5｝.

(2)B=｛x|a<x<a2+l|.

①若a=g時，A=壓，不存在a使BiA;

②若a>g時,2WaW3;③若avg時，-IWaW-)

故a的取值范圍是一1,—U［2,3J.

4.已知A=｛a+2,(a+lRa?+3a+3｝且ISA,求實(shí)數(shù)a的值.

解：由題意知：a+2=l或(a+l)2=l或a?+3a+3=l,

a=-1或一2或0,根據(jù)元素的互異性排除-1,一2,

:.a=0即為所求.

EM疑難指津’//

1.研究一個集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制條件，當(dāng)集合用描

述法表示時，注意弄清其元素表示的意義是什么.注意區(qū)分｛x|y=f(x“、｛y|y=f(x)｝、｛(x,

y)|y=f(x)｝三者的不同.對于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意檢驗集合的元素

是否滿足互異性.

2.空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集.在解題時，若未明確說明集合

非空時，要考慮到集合為空集的可能性.例如：AB,則需考慮人=和A#兩種可能

的情況.

3.判斷兩集合的關(guān)系常有兩種方法：一是化簡集合，從表達(dá)式中尋找兩集合間的關(guān)系；

二是用列舉法表示各集合，從元素中尋找關(guān)系.

4.已知兩集合間的關(guān)系求參數(shù)時，關(guān)鍵是將兩集合間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系，進(jìn)而

轉(zhuǎn)化為參數(shù)滿足的關(guān)系.解決這類問題常常需要合理利用數(shù)釉、Venn圖幫助分析.

怪呼梃赤：請使用課時訓(xùn)練(A)第1課時(見活頁)

［備課札記］

第2課時集合的基本運(yùn)算(對應(yīng)學(xué)生用書(文)、(理)3?4頁)

課前?李座引，領(lǐng)八

考情分析考點(diǎn)新知

理解兩個集合的交集與并集的含義；會求兩①在給定集合中會求一個子集的補(bǔ)集，補(bǔ)集

的含義在數(shù)學(xué)中就是對立面.

個簡單集合的交集與并集，理解給定集合的

②會求兩個簡單集合的交集與并集；交集的

一個子集的補(bǔ)集的含義：會求給定子集的補(bǔ)關(guān)鍵詞是“且“，并集的關(guān)鍵詞是“或”.

集，會用韋恩圖表示集合的關(guān)系及運(yùn)算.③會使用韋恩圖(Venn)表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)

算；對于數(shù)集有時也可以用數(shù)軸表示.

哮回歸教材

IJIA(K\1''

1.(原創(chuàng))集合M={m￡Z|—3Vm<2},N={nWZ|-lWnW3},則MGN=.

答案：{-1,0,1}

解析：M={-2,-1,0,1},N={-1,0,1,2,3),所以MDN={-1,0,1).

2.(必修IPu第13題改編)A、B是非空集合，定義AXB={x|x￡AUB,且xiAOB}.若

A={x|y=^x2—3x},B={y|y=3x|,貝!!AXB=.

答案：(-8,3)

解析：A=(—8,0)U［3,+~),B=(0,+8),AUB=R,ADB=［3,+°°).所以A

XB=(-oo,3).

3.(必修IPio第4題改編)已知全集U={-2,-1,0,1,2},集合A=

卜［x=^px、nez|,貝KuA=.

答案：{0}

解析：因為A={x［x=3、，x、nez|,當(dāng)n=0時，x=-2:當(dāng)n=l時不合題意；當(dāng)

n=2時，x=2;當(dāng)n=3時，x=1;當(dāng)n24時，xlZ;當(dāng)n=—I時，x=—1;當(dāng)nW—2

時，xlZ.故A={-2,2,1,-1(.又U={—2,-1,0,1,2},所以［uA={0}.

4.(必修IPu第8題改編)設(shè)集合U={1,2,3,4,5},A={1,2,3},B={2,3,4},

則Cu(AnB)=.

答案：{1,4,5)

解析：AOB={2,3},所以［U(AAB)={1,4,5).

5.(必修IPi?第6題改編)已知A={1,2,3),B=(xeR|x?-ax+l=0,a^A},則APB

=B時，a=.

答案：1或2

解析：驗證@=1時8=滿足條件；臉證a=2時B={1}也滿足條件.

、知識清單

/ihsHUSGOAN—=

1.集合的運(yùn)算

(1)交集：由屬于A且屬于B的所有元素組成的集合，叫做集合A與B的交集，記作AC1B,

即AcB-{xlxeA.fl.xeB).

(2)并集：由屬于A或?qū)儆贐的所有元素組成的集合，叫做集合A與B的并集，記作AUB,

即AUB=1x|x￡A或x￡Bl.

(3)全集：如果集合S含有我們所研究的各個集合的全部元素，那么這個集合就可以看

作一個全集，通常用U來表示.一切所研究的集合都是這個集合的壬集.

(4)補(bǔ)集：集合A是集合S的一個子集，由S中所有不屬于A的元素組成的集合叫做A

的補(bǔ)集(或余集)，記作CsA,即［sA=1x|x￡S,但xiA).

2.常用運(yùn)算性質(zhì)及一些重要結(jié)論

(1)ADA=A,AnQEADB=BnA；

(2)AUA=A,AU^=A,AUB=BUA；

(3)An(CuA)=^.AU(CuA)=lJ：

(4)AnB=AUAl_B,AUB=AUBlA；

(5)Cu(AnB)=(CuA)U([uB),[u(AUB)=duA)n([uB).

[備課札記]

V/

課中.技專點(diǎn)找小.

精I(xiàn)選

致型1集合的運(yùn)富

例1若全集U={1,2,3,4,5,6},M={2,3},N={1,4},則([uM)n([uN尸

答案：{5,6)

解析：MUN={1,2,3,4),

:.(CUM)D(CUN)=[U(MUN)={5,6}.

變式制秣

若全集U={1,2,3,4,5,6},MAN=N,N={1,4},試求滿足條件的集合M的個

數(shù).

解：由MnN=NMmM應(yīng)N.

含有2個元素的集合M有1個，含有3個元素的集合M有4個，含有4個元素的集合

M有6個，含有5個元素的集合M有4個，含有6個元素的集合M有1個.

因此，滿足條件的集合M有1+4+6+4+1=16個.

致型2求樂超的魚④

例2設(shè)關(guān)于x的不等式x(x—a—l)VO(aWR)的解集為M,不等式x?—2x—3WO的解集

為N.

(1)當(dāng)a=l時，求集合M；

(2)若MUN=N,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解：(1)當(dāng)a=l時，由已知得x(x-2)V0,

解得0VxV2.所以M={x|0VxV2}.

(2)由已知得N-(x|-lWxW3).

①當(dāng)aV-l時，因為a+lVO,所以M={x|a+lVxV0}.

由MUN=N,得MN,所以一iWa+lVO,解得一2WaV-l.

②當(dāng)a=-l時，M=正，顯然有MN,所以a=-l成立.

③當(dāng)a>-l時，因為a+l>0,所以M={x|0VxVa+l}.

因為MlN,所以0Va+lW3,解得一lVa《2.

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是［-2,21.

變式制法

己知A={x|ax—1>0),B={x|x2—3x+2>0).

(1)若AAB=A,求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)若AG［RBW>E,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

1

解：(1)由于人08=慶得人1B,由題意知B={x|x>2或x<l}.若a>0,則x>：a22,

得OVa《］;若a=O,則A=正，成立；若aVO,則xV^Vl,根據(jù)數(shù)軸可知均成立.綜上

za

所述，

(2):RB={x|lWxW2},若a=0,則A=用，不成立；若aVO,則xV;VI,不成立；

a

若a>0,則x>4，由4V2得a>4.綜上所述，a>l

散型3集合保合散

例3已知f(x)=x+§-3,x￡［l,2］.

(1)當(dāng)b=2時，求f(x)的值域；

(2)若b為正實(shí)數(shù)，f(x)的最大值為M,最小值為m,且滿足M-m24,求b的取值范

圍.

2

解：(1)當(dāng)b=2時，f(x)=x+--3,xG［l,2］.

因為f(x)在［1,6］上單調(diào)遞減，在［也，2］上單調(diào)遞增，

所以f(x)的最小值為f(V2)=2\/2-3.

又f(l)=f(2)=O,

所以f(x)的值域為［2啦一3,0］.

⑵①當(dāng)0VbV2時,f(x)在［1,2］上單調(diào)遞增，

則m=b—2,M=］—1,此時M—m=—g+124,得b<—6,與0<bV2矛盾，舍去;

②當(dāng)2WbV4時，f(x)在［1,正］上單調(diào)遞減，在h/E,2］上單調(diào)速增，所以M=max{f(l),

f(2))=b-2,m=f(疵)=2加-3,則M-m=b-2卡+124,得(黃一1)224,解得b29,

與2WbV4矛盾，舍去；

③當(dāng)b24時，f(x)在［1,2］上單調(diào)遞減，則M=b—2,比時M—m=?-l24,

得b210.綜上所述，b的取值范圍是［10,+8).

備遙變K(數(shù)師與SJ

設(shè)集合A={x|x2—2x+2m+4=0},B={x|x<0}.若AC1BK/E,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

解：(解法。據(jù)題意知方程X?-2x+2m+4=0至少有一個負(fù)實(shí)數(shù)根.

設(shè)M={m|關(guān)于x的方程x2-2x+2m+4=0兩根均為非負(fù)實(shí)數(shù)},

△=4(-2m—3)20

XI+X2=2>0,解得一2《mW一方.

{xiX2=2m+420

:.M={m-2WmW一務(wù).

設(shè)全集U={m|A20}={mmW-斗，

:.m的取值范圍是(uM={m|m<—2}.

(解法2)方程的小根x=1-^/-2m-3<0

D2m—3>1—2m—3>1m<—2.

(解法3)設(shè)f(x)=x2—2x+4,這是開口向上的拋物線.因為其對稱軸x=l>0,則據(jù)二次

函數(shù)性質(zhì)知命題又等價于f(O)vODm<—2.

\新題推薦.

1.設(shè)集合A={5,log2(a+3)},集合B={a,b).若AGB={2},則AUB=.

答案：{1,2,5}

解析：由題意知log2(a+3)=2,得a=l,b=2,則AUB={1,2,5).

2.已知全集U=(-8,3］,A=［-l,2),則［uA=.

答案：(-8,-1)U［2,3］

解析：利用數(shù)軸可得CUA=(-8,-|)U［2,3］.

3.如圖，已知U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},集合A={2,3,4,5,6,8},

B={1,3,4,5,7},C={2,4,5,7,8,9),用列舉法寫出圖中陰影部分表示的集合為

答案：{2,8}

解析：陰影部分表示的集合為Ancn(hB)={2,8).

4.已知集合P={(x,y)|x+y=0},Q={(x,y)|x—y=2},則QC1P=.

答案：{(1,-1))

fx+y=0x=l

解析：由‘解得'由于兩集合交集中元素只有一個點(diǎn)，故Qnp={(i,一

[x-y=2,ly=-l.

D).

5.設(shè)P和Q是兩個集合，定義集合P-Q={x|x￡P(guān),且xQ},如果P={x|log2xvl},

Q={x||x-2|<1},那么P-Q=.

答案：{x[0<xWl}

解析：由log2X<l,得0<x<2,所以P={x|0<x<2};

由|x-2|vl,得I<xv3,所以Q={x|lvx<3}.

由題意，得P-Q={x|(XxWl}.

._精/題庫(教坤京享)

1.設(shè)全集U=MUN={1,2,3,4,5},MA[uN={2,4),則N=.

答案：{1,3,5)

解析：畫出韋恩圖，可知N={1,3,5).

2.設(shè)全集為R,集合A={x|xW3或x26},B={x|-2<x<9}.

(1)求AUB,(CRA)AB；

(2)已知C={x[a<x<a+1},若CiB,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解：(1)AUB=R,CRA={x|3<x<6),

:.([RA)nB={x|3<x<6).

(2)VC={x|a<x<a+1),且CiB,

???產(chǎn)一2，

[a+1<9,

.??所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是一2WaW8.

3.設(shè)全集I=R,已知集合乂=卜|(x+3)2W0},N={X|X2+X-6=0}.

(1)求(LM)nN；

(2)記集合A=([iM)nN,已知集aGR},若BUA=A,求實(shí)

數(shù)a的取值范圍.

解：⑴VM={x[(x+3)2W0}={—3},

N={x|x2+x—6=0}={—3,2},

:.hM={x|x￡R且xK-3},

???(CiM)nN={2}.

(2)A=(hM)CN={2},

???AUB=A,JBA,/.B=壓或B={2},

當(dāng)時，a-l>5-a,:.a>3:

a-1=2,

當(dāng)8={2}時，解得a=3.

5-a=2,

綜上所述，所求a的取值范圍為{a|a23}.

4.設(shè)全集U=R,函數(shù)f(x)=lg(|x+l|+a-l)(a<l)的定義域為A,集合B={X|COSTTX=

1).若(CuA)nB恰好有2個元素，求a的取值集合.

解：|x+l|+a-1>0U|x4-1|>l-a,

當(dāng)aVl時，1-a>0,:.x>—a或xVa—2,

:.A=(—°°,a—2)U(—a,4-0°).

*/cosnx=1,nx=2kn,x=2k(k￡Z),

???B={x|x=2k,keZ}.

當(dāng)aVl時，CuA=[a-2,-a]在此區(qū)間上恰有2個偶數(shù).

a<l,

,aW—aV2,-2Va<0.

4<a—2<—2

?|疑難指津7/

1.集合的運(yùn)算結(jié)果仍然是集合.進(jìn)行集合運(yùn)算時應(yīng)當(dāng)注意：

(1)勿忘對空集情形的討論；

(2)勿忘集合中元素的互異性；

(3)對于集合A的補(bǔ)集運(yùn)算，勿忘A必須是全集的子集；

(4)對于含參數(shù)(或待定系數(shù))的集合問題，勿忘對所求數(shù)值進(jìn)行合理取舍.

2.在集合運(yùn)算過程中應(yīng)力求做到“三化”

(1)意義化：首先明確集合的元素的意義，它是怎樣的類型的對象(數(shù)集、點(diǎn)集，圖形等)

是表示函數(shù)的定義域、值域，還是表示方程或不等式的解集？

(2)具體化：具體求出相關(guān)集合中函數(shù)的定義域、值域或方程、不等式的解集等；不能

具體求出的，也應(yīng)力求將相關(guān)集合轉(zhuǎn)化為最簡形式.

(3)直觀化：借助數(shù)軸、直角坐標(biāo)平面、韋恩圖等將有關(guān)集合直觀地表示出來，從而借

助數(shù)形結(jié)合思想解決問題.

&Y隹冷利岳:請使用課時訓(xùn)練(B)第2課時(見活頁)

第3課時簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞

（對應(yīng)學(xué)生用書（文）、（理）5?6頁）

課前?李氏引領(lǐng)八/u、

考情分析考點(diǎn)新知

①會分析四和命題的相互關(guān)系.

了解命題的逆命題、否命題與逆否命題的意義；②會判斷必要條件、充分條件與充要條

件.

理解必要條件、充分條件、充要條件的意義：了

③能用“或”“且”“非”表述相關(guān)的

解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”的含義；了解

數(shù)學(xué)內(nèi)容（真值表不做要求）.

全稱量詞與存在量詞的意義：了解含有一個量詞④能用全稱量詞與存在量詞敘述簡單的

的命題的否定的意義.數(shù)學(xué)內(nèi)容.

⑤能正確地對含有一個量詞的命題進(jìn)行

否定.

嚶回歸教材

IJIACK\1''

1.（選修11P20第4（1）題改編）命題“若a、b、c成等比數(shù)列，則ac=b2"的逆否命題是

答案：若acWb?,則a、b、c不成等比數(shù)列

2.（選修1IP20第6題改編）若命題p的否命題為q,命題q的逆否命題為r,則p與r的關(guān)

系是.

答案：互為逆命題

3.（選修11P20第7題改編）已知p、q是r的充分條件，r是s的充分條件，q是s的必要

條件，則s是p的條件.

答案：必要不充分

4.（原創(chuàng)）寫出命題“若x+y=5,則x=3且y=2”的逆命題、否命題、逆否命題，并判

斷它們的真假.

答案：逆命題：若x=3且y=2,則x+y=5.是真命題.

否命題：若x+y#5,則xW3或yW2.是真命題.

逆否命題：若xW3或yW2,則x+yW5.是假命題.

5.下列命題中的真命題有______.（填序號）

?$xeR.x+（=2：

②$x￡R,sinx=-1；

③°xeR,x2>0；

（4）"x€R,2x>0.

答案：①②?

解析：對于①，x=l時，x+；=2,正確；對于②，當(dāng)*=等時，sinx=—1,正確；對

于③，x=0時，x2=0,錯誤；對于④，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域，正確.

6.命題p：有的三角形是等邊三角形.命題^p：.

答案：所有的三角形都不是等邊三角形

、知識清單

7>IIMIIQC\<>DAN

1.四種命題及其關(guān)系

（1）四種命題

(3)四種命題的真假關(guān)系

兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性:

兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系.

2.充分條件與必要條件

(1)如果pt>q,那么稱D是q的充分條件,a是D的必要條件.

(2)如果pDq,且qp,那么稱p是q的充要條件,記作pUq.

(3)如果RDa,qD_0那么稱p是q的充分不必要條件.

(4)如果gD“Dq,那么稱p是q的必要不充分條件.

(5)如果pD/q,且qDIp,那么稱p是a的既不充分也不必要奈件.

3.簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞

(1)用聯(lián)結(jié)詞“且”聯(lián)結(jié)命題p和命題q,記作山，讀作“送q”.

(2)用聯(lián)結(jié)詞“或”聯(lián)結(jié)命題p和命題q,記作讀作“退辿”.

(3)對一個命題p全盤否定記作留遼，讀作'Ftp”或“p的否定”.

(4)命題pAq,pVq,p的真假判斷

p/\q中p、q有一假為假，pVq有一真為真，D與非D必定是一其一假.

4.6稱量詞與存在量詞

(1)全稱量詞與全稱命題

短語“羽近”“任意”“每一個”等表示全體的量詞在邏輯中稱為全稱量詞，并用符號

“二x”表示.

一含有全稱量詞的命題,叫做全稱命題.

全稱命題“對M中任意一個x,有p(x)成立"可用符號簡記為二x￡M,D(X),讀作“過

任意x屬于M,有p(x)成立”.

(2)存在量詞與存在性命題

短語“有一個”“有些”“存在一個”等表示部分的量詞在邏輯中稱為存在量詞，并用

符號表示.

含.存在量詞的命題,叫做存在性命題.

存在性命題“存在M中的一個x,使p(x)成立"可用符號簡記為』x￡M,”x),讀作“查

在一個X屬于M,使p(x)成立”.

5.含有一個量詞的命題的否定

命題命題的否定

"x￡M,p(x)$x￡M,0p(x)；

$x￡M,p(x)_Mx^M.0p(x).

［備課札記］

課中-技巧點(diǎn)撥

■題里精選uf-柒司H

J---------一月打季

莖型1任命致與命敦否定

例1(1)命題“若a>b,則2a>2b—1”的否命題為;

(2)命題:“若x2+x-m=0沒有實(shí)根,則mWO”是—(填“真”或"假")命題;

(3)命題p：”有些三角形是等腰三角形”，則0P是.

答案：(1)若aWb,則2&W2b—1(2)真(3)所有三角形都不是等腰三角形

解析：(2)很可能許多同學(xué)會認(rèn)為它是假命題原因為當(dāng)m=O時顯然方程有根，其實(shí)不然，

由x?+x—m=O沒實(shí)根可推得m<一而{m|m<一；}是{m|mW0}的真子集，由mv一；可推得

mWO,故原命題為真，而它的逆否命題“若m>0,則x2+x—m=O有實(shí)根”顯然為真，其實(shí)

用逆否命題很容易判斷它是其命題.

(3)0P為“對任意x￡A,有p(x)不成立“，它恰與全稱性命題的否定命題相反.

變?nèi)橹?.

把下列命題改寫成“若p則q”的形式，并寫出它們的逆命題、否命題、逆否命題.

(1)正三角形的三個內(nèi)角相等；

(2)已知a、b^c、d是實(shí)數(shù)，若@=1),c=d,則a+c=b+d.

解：(1)原命題：若一個三角杉是正三角形，則它的三個內(nèi)角相等.

逆命題：若一個三角形的三個內(nèi)角相等，則這個三角形是正三角形.

否命題：若一個三角形不是正三角形，則它的三個內(nèi)角不全相等.

逆否命題：若一個三角形的三個內(nèi)角不全相等，那么這個三角形不是正三角形.

(2)原命題：已知a、b、c、d是實(shí)數(shù)，若a=b,c=d,則a+c=b+d.

逆命題：已知a、b、c、d是尖數(shù)，若a+c=b+d,則a=b且c=d.

否命題：已知a、b、c、d是實(shí)數(shù),若a與b,c與d不都相等，則a+cWb+d.

逆否命題：已知a、b^c^d是實(shí)數(shù)，若a+c2?1tb+d,則a與b,c與d不都相等.

致型2充臺必要條件

例2已知p：X2—8x—20<0,q：x2—2x+1—m2^0(m>0),若0P是0q的必要不充

分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

解：0p：X2_8x_20>0,得xV—2或x>10,

設(shè)A={x|xV-2或x>10},

0q:x2—2x+1—m2>0,得xVl-m,或x>l+m,

設(shè)B={x|x<l—m或x>1+m}.

V0P是0q的必要非充分條件，

[1—2

:.B真包含于A,即,Dm29.

[1+m^lO

:.實(shí)數(shù)m的取值范圍為m29.

備送麥?zhǔn)?秋驕與U

下列四個結(jié)論正確的是.(填序號)

①“xWO”是“x+|x|>0"的必要不充分條件；

②已知a、b￡R,則“|a+b|=|a|+|b|"的充要條件是ab>0；

③“a>0,且八=52—42(:遼0”是“一元二次不等式ax2+bx+c20的解集是R”的充要

條件；

④“xWl”是'42±1"的充分不必要條件.

答案：①@

解析：①因為由xNO推不出x+|x|>0,如x=-1,x+岡=0,而x+|x|>0x#=0,故

①正確；因為a=0時，也有|a+b|=|a|+|b|,故②錯誤，正確的應(yīng)該是“|a+b|=|a|+|b|”的

充分不必要條件是ab>0;由二次函數(shù)的圖象可知③正確：x=-l時，有x2=l,故④錯誤，

正確的應(yīng)該是“xWI”是“X?手1”的必要不充分條件.

致型3全森命盤.與后A帆命題的否定

例3命題”所有不能被2整除的整數(shù)都是奇數(shù)”的否定是

答案：存在一個不能被2整除的整數(shù)不是奇數(shù)

備逡支式(救帝專手)

若命題改為“存在一個能被2整除的整數(shù)是奇數(shù)”，其否定為

答案：所有能被2整除的整數(shù)都不是奇數(shù)

致型4本永敘能匐

例4已知命題p：方程a?x2+ax—2=0在［―1,1］上有解：命題q：只有一個實(shí)數(shù)x滿

足不等式x2+2ax+2aW0,若命題“p或q”是假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解：由a2x2+ax-2=0,得

(ax+2)(ax-l)=0,

2.1

顯然aWO,x=一;或x=「

aa

Vxe[-i,I],故用W1或冏Wl,

J|a|21.

由趣知命題q“只有一個實(shí)數(shù)x滿足x2+2ax+2aW0”，

即拋物線y=x?+2ax+2a與x軸只有一個交點(diǎn)，

△=4a2—8a=0,a=0或a=2,

???當(dāng)命題“p或q”為真命題時|a|21或a=0.

V命題“p或q”為假命題，

:.a的取值范圍為{a|-l<a<0或0<a<l}.

備送安式(及憚與學(xué)J

已知命題p：函數(shù)y=loga(l-2x)在定義域上單調(diào)遞增；命題q：不等式(a-2)x2+2(a-

2)x—4〈0對任意實(shí)數(shù)x恒成立.若pVq是真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解：:命題p:函數(shù)y=loga(l-2x)在定義域上單調(diào)遞增，???(Ka<l.

又命題q：不等式(a—2)x2+2［a—2)x—4<0對任意實(shí)數(shù)x恒成立，

.a-2<0,

a=2或/即一2vaW2.

[△=4(a-2)2+16(a-2)<0,

VpVq是真命題,

:.a的取值范圍是一2<aW2.

1.命題“所有能被2整除的數(shù)都是偶數(shù)"的否定是

答案：存在一個能被2整除的數(shù)不是偶數(shù)

2.設(shè)a、p為兩個不同的平面，直線11a,則“l(fā)_Lp”是“a_Lp”成立的條件.

答案：充分不必要

解析：根據(jù)定理知由1_L0可以推出a_L。反之不成立，僅當(dāng)1垂直于a、。的交線時才成

立.

3.“若a+b為偶數(shù)，則a、b必定同為奇數(shù)或偶數(shù)”的逆否命題為

答案：若a、b不同為奇數(shù)且不同為偶數(shù)，則a+b不是偶數(shù)

4.已知命題口：函數(shù)y=ln(x+dl+x2),是奇函數(shù)