江西省修水縣第一中學2025屆高三第二次調(diào)研數(shù)學試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

江西省修水縣第一中學2025屆高三第二次調(diào)研數(shù)學試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚,將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.甲、乙、丙、丁四位同學高考之后計劃去三個不同社區(qū)進行幫扶活動,每人只能去一個社區(qū),每個社區(qū)至少一人.其中甲必須去社區(qū),乙不去社區(qū),則不同的安排方法種數(shù)為()A.8 B.7 C.6 D.52.二項式的展開式中,常數(shù)項為()A. B.80 C. D.1603.設(shè)為自然對數(shù)的底數(shù),函數(shù),若,則()A. B. C. D.4.已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù),且滿足,當時,(其中e是自然對數(shù)的底數(shù)),若,則實數(shù)a的值為()A. B.3 C. D.5.已知復(fù)數(shù)滿足:,則的共軛復(fù)數(shù)為()A. B. C. D.6.已知函數(shù)的圖像的一條對稱軸為直線,且,則的最小值為()A. B.0 C. D.7.2020年是脫貧攻堅決戰(zhàn)決勝之年,某市為早日實現(xiàn)目標,現(xiàn)將甲、乙、丙、丁4名干部派遺到、、三個貧困縣扶貧,要求每個貧困縣至少分到一人,則甲被派遣到縣的分法有()A.6種 B.12種 C.24種 D.36種8.已知雙曲線的一個焦點為,點是的一條漸近線上關(guān)于原點對稱的兩點,以為直徑的圓過且交的左支于兩點,若,的面積為8,則的漸近線方程為()A. B.C. D.9.如果直線與圓相交,則點與圓C的位置關(guān)系是()A.點M在圓C上 B.點M在圓C外C.點M在圓C內(nèi) D.上述三種情況都有可能10.的展開式中的系數(shù)為()A.5 B.10 C.20 D.3011.某人2018年的家庭總收人為元,各種用途占比如圖中的折線圖,年家庭總收入的各種用途占比統(tǒng)計如圖中的條形圖,已知年的就醫(yī)費用比年的就醫(yī)費用增加了元,則該人年的儲畜費用為()A.元 B.元 C.元 D.元12.已知,則的值構(gòu)成的集合是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,且,則__________.14.農(nóng)歷五月初五是端午節(jié),民間有吃粽子的習慣,粽子又稱粽籺,俗稱“粽子”,古稱“角黍”,是端午節(jié)大家都會品嘗的食品,傳說這是為了紀念戰(zhàn)國時期楚國大臣、愛國主義詩人屈原.如圖,平行四邊形形狀的紙片是由六個邊長為1的正三角形構(gòu)成的,將它沿虛線折起來,可以得到如圖所示粽子形狀的六面體,則該六面體的體積為____;若該六面體內(nèi)有一球,則該球體積的最大值為____.15.在三棱錐中,已知,且平面平面,則三棱錐外接球的表面積為______.16.拋物線的焦點到準線的距離為.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知集合,,,將的所有子集任意排列,得到一個有序集合組,其中.記集合中元素的個數(shù)為,,,規(guī)定空集中元素的個數(shù)為.當時,求的值;利用數(shù)學歸納法證明:不論為何值,總存在有序集合組,滿足任意,,都有.18.(12分)已知函數(shù),.(Ⅰ)判斷函數(shù)在區(qū)間上零點的個數(shù),并證明;(Ⅱ)函數(shù)在區(qū)間上的極值點從小到大分別為,,證明:19.(12分)已知函數(shù),設(shè)為的導(dǎo)數(shù),.(1)求,;(2)猜想的表達式,并證明你的結(jié)論.20.(12分)如圖在四邊形中,,,為中點,.(1)求;(2)若,求面積的最大值.21.(12分)如圖,四棱錐中,底面為直角梯形,∥,為等邊三角形,平面底面,為的中點.(1)求證:平面平面;(2)點在線段上,且,求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.22.(10分)如圖,已知橢圓的右焦點為,,為橢圓上的兩個動點,周長的最大值為8.(Ⅰ)求橢圓的標準方程;(Ⅱ)直線經(jīng)過,交橢圓于點,,直線與直線的傾斜角互補,且交橢圓于點,,,求證:直線與直線的交點在定直線上.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)題意滿足條件的安排為:A(甲,乙)B(丙)C(?。籄(甲,乙)B(?。〤(丙);A(甲,丙)B(丁)C(乙);A(甲,丁)B(丙)C(乙);A(甲)B(丙,丁)C(乙);A(甲)B(丁)C(乙,丙);A(甲)B(丙)C(丁,乙);共7種,選B.2、A【解析】

求出二項式的展開式的通式,再令的次數(shù)為零,可得結(jié)果.【詳解】解:二項式展開式的通式為,令,解得,則常數(shù)項為.故選:A.【點睛】本題考查二項式定理指定項的求解,關(guān)鍵是熟練應(yīng)用二項展開式的通式,是基礎(chǔ)題.3、D【解析】

利用與的關(guān)系,求得的值.【詳解】依題意,所以故選:D【點睛】本小題主要考查函數(shù)值的計算,屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】

根據(jù)題意,求得函數(shù)周期,利用周期性和函數(shù)值,即可求得.【詳解】由已知可知,,所以函數(shù)是一個以4為周期的周期函數(shù),所以,解得,故選:B.【點睛】本題考查函數(shù)周期的求解,涉及對數(shù)運算,屬綜合基礎(chǔ)題.5、B【解析】

轉(zhuǎn)化,為,利用復(fù)數(shù)的除法化簡,即得解【詳解】復(fù)數(shù)滿足:所以故選:B【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的除法和復(fù)數(shù)的基本概念,考查了學生概念理解,數(shù)學運算的能力,屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】

運用輔助角公式,化簡函數(shù)的解析式,由對稱軸的方程,求得的值,得出函數(shù)的解析式,集合正弦函數(shù)的最值,即可求解,得到答案.【詳解】由題意,函數(shù)為輔助角,由于函數(shù)的對稱軸的方程為,且,即,解得,所以,又由,所以函數(shù)必須取得最大值和最小值,所以可設(shè),,所以,當時,的最小值,故選D.【點睛】本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì),其中解答中利用三角恒等變換的公式,化簡函數(shù)的解析式,合理利用正弦函數(shù)的對稱性與最值是解答的關(guān)鍵,著重考查了分析問題和解答問題的能力,屬于中檔試題.7、B【解析】

分成甲單獨到縣和甲與另一人一同到縣兩種情況進行分類討論,由此求得甲被派遣到縣的分法數(shù).【詳解】如果甲單獨到縣,則方法數(shù)有種.如果甲與另一人一同到縣,則方法數(shù)有種.故總的方法數(shù)有種.故選:B【點睛】本小題主要考查簡答排列組合的計算,屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】

由雙曲線的對稱性可得即,又,從而可得的漸近線方程.【詳解】設(shè)雙曲線的另一個焦點為,由雙曲線的對稱性,四邊形是矩形,所以,即,由,得:,所以,所以,所以,,所以,的漸近線方程為.故選B【點睛】本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì),考查直線與圓的位置關(guān)系,考查數(shù)形結(jié)合思想與計算能力,屬于中檔題.9、B【解析】

根據(jù)圓心到直線的距離小于半徑可得滿足的條件,利用與圓心的距離判斷即可.【詳解】直線與圓相交,圓心到直線的距離,即.也就是點到圓的圓心的距離大于半徑.即點與圓的位置關(guān)系是點在圓外.故選:【點睛】本題主要考查直線與圓相交的性質(zhì),考查點到直線距離公式的應(yīng)用,屬于中檔題.10、C【解析】

由知,展開式中項有兩項,一項是中的項,另一項是與中含x的項乘積構(gòu)成.【詳解】由已知,,因為展開式的通項為,所以展開式中的系數(shù)為.故選:C.【點睛】本題考查求二項式定理展開式中的特定項,解決這類問題要注意通項公式應(yīng)寫準確,本題是一道基礎(chǔ)題.11、A【解析】

根據(jù)2018年的家庭總收人為元,且就醫(yī)費用占得到就醫(yī)費用,再根據(jù)年的就醫(yī)費用比年的就醫(yī)費用增加了元,得到年的就醫(yī)費用,然后由年的就醫(yī)費用占總收人,得到2019年的家庭總收人再根據(jù)儲畜費用占總收人求解.【詳解】因為2018年的家庭總收人為元,且就醫(yī)費用占所以就醫(yī)費用因為年的就醫(yī)費用比年的就醫(yī)費用增加了元,所以年的就醫(yī)費用元,而年的就醫(yī)費用占總收人所以2019年的家庭總收人為而儲畜費用占總收人所以儲畜費用:故選:A【點睛】本題主要考查統(tǒng)計中的折線圖和條形圖的應(yīng)用,還考查了建模解模的能力,屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】

對分奇數(shù)、偶數(shù)進行討論,利用誘導(dǎo)公式化簡可得.【詳解】為偶數(shù)時,;為奇數(shù)時,,則的值構(gòu)成的集合為.【點睛】本題考查三角式的化簡,誘導(dǎo)公式,分類討論,屬于基本題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】試題分析:因,故,所以,,應(yīng)填.考點:三角變換及運用.14、【解析】

(1)先算出正四面體的體積,六面體的體積是正四面體體積的倍,即可得出該六面體的體積;(2)由圖形的對稱性得,小球的體積要達到最大,即球與六個面都相切時,求出球的半徑,再代入球的體積公式可得答案.【詳解】(1)每個三角形面積是,由對稱性可知該六面是由兩個正四面合成的,可求出該四面體的高為,故四面體體積為,因此該六面體體積是正四面體的2倍,所以六面體體積是;(2)由圖形的對稱性得,小球的體積要達到最大,即球與六個面都相切時,由于圖像的對稱性,內(nèi)部的小球要是體積最大,就是球要和六個面相切,連接球心和五個頂點,把六面體分成了六個三棱錐設(shè)球的半徑為,所以,所以球的體積.故答案為:;.【點睛】本題考查由平面圖形折成空間幾何體、考查空間幾何體的的表面積、體積計算,考查邏輯推理能力和空間想象能力求解球的體積關(guān)鍵是判斷在什么情況下,其體積達到最大,考查運算求解能力.15、【解析】

取的中點,設(shè)等邊三角形的中心為,連接.根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可求得,,由等腰直角三角形的性質(zhì),得,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得平面,,由勾股定理求得,可得為三棱錐外接球的球心,根據(jù)球體的表面積公式可求得此外接球的表面積.【詳解】在等邊三角形中,取的中點,設(shè)等邊三角形的中心為,連接.由,得,,由已知可得是以為斜邊的等腰直角三角形,,又由已知可得平面平面,平面,,,所以,為三棱錐外接球的球心,外接球半徑,三棱錐外接球的表面積為.故答案為:【點睛】本題考查三棱錐的外接球的表面積,關(guān)鍵在于根據(jù)三棱錐的面的關(guān)系、棱的關(guān)系和長度求得外接球的球心的位置,球的半徑,屬于中檔題.16、【解析】試題分析:由題意得,因為拋物線,即,即焦點到準線的距離為.考點:拋物線的性質(zhì).三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、;證明見解析.【解析】

當時,集合共有個子集,即可求出結(jié)果;分類討論,利用數(shù)學歸納法證明.【詳解】當時,集合共有個子集,所以;①當時,,由可知,,此時令,,,,滿足對任意,都有,且;②假設(shè)當時,存在有序集合組滿足題意,且,則當時,集合的子集個數(shù)為個,因為是4的整數(shù)倍,所以令,,,,且恒成立,即滿足對任意,都有,且,綜上,原命題得證.【點睛】本題考查集合的自己個數(shù)的研究,結(jié)合數(shù)學歸納法的應(yīng)用,屬于難題.18、(Ⅰ)函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點.見解析(Ⅱ)見解析【解析】

(Ⅰ)根據(jù)題意,,利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,分類討論在區(qū)間的單調(diào)區(qū)間和極值,進而研究零點個數(shù)問題;(Ⅱ)求導(dǎo),,由于在區(qū)間上的極值點從小到大分別為,,求出,利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合單調(diào)性和極值點,即可證明出.【詳解】解:(Ⅰ),,當時,,,在區(qū)間上單調(diào)遞減,,在區(qū)間上無零點;當時,,在區(qū)間上單調(diào)遞增,,在區(qū)間上唯一零點;當時,,,在區(qū)間上單調(diào)遞減,,;在區(qū)間上唯一零點;綜上可知,函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點.(Ⅱ),,由(Ⅰ)知在無極值點;在有極小值點,即為;在有極大值點,即為,由,即,,2…,,,,,,以及的單調(diào)性,,,,,由函數(shù)在單調(diào)遞增,得,,由在單調(diào)遞減,得,即,故.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值,通過導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點個數(shù)問題和證明不等式,考查轉(zhuǎn)化思想和計算能力.19、,;,證明見解析【解析】

對函數(shù)進行求導(dǎo),并通過三角恒等變換進行轉(zhuǎn)化求得的表達式,對函數(shù)再進行求導(dǎo)并通過三角恒等變換進行轉(zhuǎn)化求得的表達式;根據(jù)中,的表達式進行歸納猜想,再利用數(shù)學歸納法證明即可.【詳解】(1),其中,[,其中,(2)猜想,下面用數(shù)學歸納法證明:①當時,成立,②假設(shè)時,猜想成立即當時,當時,猜想成立由①②對成立【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、三角恒等變換、歸納與猜想和數(shù)學歸納法;考查學生的邏輯推理能力和運算求解能力;熟練掌握用數(shù)學歸納法進行證明的步驟是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題.20、(1)1;(2)【解析】

(1),在和中分別運用余弦定理可表示出,運用算兩次的思想即可求得,進而求出;(2)在中,根據(jù)余弦定理和基本不等式,可求得,再由三角形的面積公式以及正弦函數(shù)的有界性,求出的面積的最大值.【詳解】(1)由題設(shè),則在和中由余弦定理得:,即解得,∴(2)在中由余弦定理得,即,∴所以面積的最大值為,此時.【點睛】本題主要考查余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,以及三角形面積公式的應(yīng)用,意在考查學生的數(shù)學運算能力,屬于中檔題.21、(1)見解析(2)【解析】

(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)證得,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理,證得底面,由此證得,結(jié)合證得平面,由此證得:平面平面.(2)建立空間直角坐標系,利用平面和平面的法向量,計算出平面與平面所成的銳二面角的余弦值.【詳解】(1)證明:∵為等邊三角形,為的中點,∴∵平面底面,平面底面,∴底面平面,∴又由題意可知為正方形,又,∴平面平面,∴平面平面(2)如圖建立空間直角坐標系,則,,,由已知,得,設(shè)平面的法向量為,則令,則,∴由(1)知平面的法向量可取為∴∴平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.【點睛】本小題主要考查面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理,考查二面角的求法,考查空間想象能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.22、(Ⅰ);(Ⅱ)詳見解析.【解析】

(Ⅰ)由橢圓的定義可得,周長取最大值時,線段

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