2024年天津高考數(shù)學(xué)真題（解析版）

2024年高考真題PAGEPAGE12024年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)學(xué)本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時120分鐘．第Ⅰ卷1至3頁，第Ⅱ卷4至6頁．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼．答卷時，考生務(wù)必將〖答案〗涂寫在答題卡上，答在試卷上的無效．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．祝各位考生考試順利！第Ⅰ卷（選擇題）注意事項：1．每小題選出〖答案〗后，用鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標(biāo)號．2．本卷共9小題，每小題5分，共45分．參考公式：·如果事件互斥，那么．·如果事件相互獨立，那么．·球的體積公式，其中表示球的半徑．·圓錐的體積公式，其中表示圓錐的底面面積，表示圓錐的高．一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗根據(jù)集合交集的概念直接求解即可.【詳析】因為集合，，所以，故選：B2.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗說明二者與同一個命題等價，再得到二者等價，即是充分必要條件.【詳析】根據(jù)立方的性質(zhì)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，和都當(dāng)且僅當(dāng)，所以二者互為充要條件.故選：C.3.下列圖中，線性相關(guān)性系數(shù)最大的是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗由點的分布特征可直接判斷【詳析】觀察4幅圖可知，A圖散點分布比較集中，且大體接近某一條直線，線性回歸模型擬合效果比較好，呈現(xiàn)明顯的正相關(guān)，值相比于其他3圖更接近1.故選：A4.下列函數(shù)是偶函數(shù)的為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗根據(jù)偶函數(shù)的判定方法一一判斷即可.【詳析】對A，設(shè)，函數(shù)定義域為，但，，則，故A錯誤；對B，設(shè)，函數(shù)定義域為，且，則為偶函數(shù)，故B正確；對C，設(shè)，，，則不是偶函數(shù)，故C錯誤；對D，設(shè)，函數(shù)定義域為，因為，且不恒為0，則不是偶函數(shù)，故D錯誤.故選：B.5.設(shè)，則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分析判斷即可.【詳析】因為在上遞增，且，所以，所以，即，因為在上遞增，且，所以，即，所以，故選：D6.已知是兩條直線，是一個平面，下列命題正確的是（）A.若，，則 B.若，則C.若，則 D.若，則〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗根據(jù)線面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)，逐項判斷即可求解.【詳析】對于A，若，，則平行或相交，不一定垂直，故A錯誤.對于B，若，則或，故B錯誤.對于C，，過作平面，使得，因為，故，而，故，故，故C正確.對于D，若，則，故D錯誤故選：C.7.已知函數(shù)的最小正周期為．則在區(qū)間上的最小值是（）A. B. C.0 D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗結(jié)合周期公式求出，得，再整體求出當(dāng)時，的范圍，結(jié)合正弦三角函數(shù)圖象特征即可求解.【詳析】因為函數(shù)的最小正周期為，則，所以，即，當(dāng)時，，所以當(dāng)，即時，故選：D8.雙曲線的左、右焦點分別為點在雙曲線右支上，直線的斜率為2．若是直角三角形，且面積為8，則雙曲線的方程為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗可利用三邊斜率問題與正弦定理，轉(zhuǎn)化出三邊比例，設(shè)，由面積公式求出，由勾股定理得出，結(jié)合第一定義再求出.【詳析】如下圖：由題可知，點必落在第四象限，，設(shè)，，由，求得，因為，所以，求得，即，，由正弦定理可得：，則由得，由得，則，由雙曲線第一定義可得：，，所以雙曲線的方程為.故選：A9.在如圖五面體中，棱互相平行，且兩兩之間距離均為1．若．則該五面體的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗采用補形法，補成一個棱柱，求出其直截面，再利用體積公式即可.【詳析】用一個完全相同的五面體（頂點與五面體一一對應(yīng)）與該五面體相嵌，使得；;重合，因為，且兩兩之間距離為1．，則形成的新組合體為一個三棱柱，該三棱柱的直截面（與側(cè)棱垂直的截面）為邊長為1的等邊三角形，側(cè)棱長為，.故選：C.第Ⅱ卷注意事項：1．用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將〖答案〗寫在答題卡上．2．本卷共11小題，共105分．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．試題中包含兩個空的，答對1個的給3分，全部答對的給5分．10.是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)______．〖答案〗〖解析〗〖祥解〗借助復(fù)數(shù)的乘法運算法則計算即可得.【詳析】.故〖答案〗為：.11.在的展開式中，常數(shù)項為______．〖答案〗20〖解析〗〖祥解〗根據(jù)題意結(jié)合二項展開式的通項分析求解即可.【詳析】因為的展開式的通項為，令，可得，所以常數(shù)項為.故〖答案〗為：20.12.已知圓的圓心與拋物線的焦點重合，且兩曲線在第一象限的交點為，則原點到直線的距離為______．〖答案〗##〖解析〗〖祥解〗先求出圓心坐標(biāo)，從而可求焦準(zhǔn)距，再聯(lián)立圓和拋物線方程，求及的方程，從而可求原點到直線的距離.【詳析】圓的圓心為F1,0，故即，由可得，故或（舍），故，故直線即，故原點到直線的距離為，故〖答案〗為：13.某校組織學(xué)生參加農(nóng)業(yè)實踐活動，期間安排了勞動技能比賽，比賽共5個項目，分別為整地做畦、旱田播種、作物移栽、田間灌溉、藤架搭建，規(guī)定每人參加其中3個項目.假設(shè)每人參加每個項目的可能性相同，則甲同學(xué)參加“整地做畦”項目的概率為______；已知乙同學(xué)參加的3個項目中有“整地做畦”，則他還參加“田間灌溉”項目的概率為______．〖答案〗①.②.〖解析〗〖祥解〗結(jié)合列舉法或組合公式和概率公式可求解第一空；采用列舉法或者條件概率公式可求第二空.【詳析】解法一：列舉法給這5個項目分別編號為,從五個活動中選三個的情況有：,共10種情況，其中甲選到有6種可能性：，則甲參加“整地做畦”的概率為：；乙選活動有6種可能性：，其中再選擇有3種可能性：，故乙參加的3個項目中有“整地做畦”，則他還參加“田間灌溉”項目的概率為.解法二：設(shè)甲、乙選到為事件，乙選到為事件，則甲選到的概率為；乙選了活動，他再選擇活動的概率為故〖答案〗為：；14.已知正方形的邊長為1，若，其中為實數(shù)，則______；設(shè)是線段上的動點，為線段的中點，則的最小值為______．〖答案〗①.②.〖解析〗〖祥解〗解法一：以為基底向量，根據(jù)向量的線性運算求，即可得，設(shè)，求，結(jié)合數(shù)量積的運算律求的最小值；解法二：建系標(biāo)點，根據(jù)向量的坐標(biāo)運算求，即可得，設(shè)，求，結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運算求的最小值.【詳析】解法一：因為，即，則，可得，所以；由題意可知：，因為為線段上的動點，設(shè)，則，又因為為中點，則，可得，又因為，可知：當(dāng)時，取到最小值；解法二：以B為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，可得，因為，則，所以；因為點在線段上，設(shè)，且為中點，則，可得，則，且，所以當(dāng)時，取到最小值為；故〖答案〗為：；.15.設(shè)，函數(shù).若fx恰有一個零點，則的取值范圍為______．〖答案〗〖解析〗〖祥解〗結(jié)合函數(shù)零點與兩函數(shù)的交點的關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)與，則兩函數(shù)圖象有唯一交點，分、與進(jìn)行討論，當(dāng)時，計算函數(shù)定義域可得或，計算可得時，兩函數(shù)在軸左側(cè)有一交點，則只需找到當(dāng)時，在軸右側(cè)無交點的情況即可得；當(dāng)時，按同一方式討論即可得.【詳析】令，即，由題可得，當(dāng)時，x∈R，有，則，不符合要求，舍去；當(dāng)時，則，即函數(shù)與函數(shù)有唯一交點，由，可得或，當(dāng)時，則，則，即，整理得，當(dāng)時，即，即，當(dāng)，或（正值舍去），當(dāng)時，或，有兩解，舍去，即當(dāng)時，在時有唯一解，則當(dāng)時，在時需無解，當(dāng)，且時，由函數(shù)關(guān)于對稱，令，可得或，且函數(shù)hx在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，令，即，故時，圖象為雙曲線右支軸上方部分向右平移所得，由的漸近線方程為，即部分的漸近線方程為，其斜率為，又，即在時的斜率，令，可得或（舍去），且函數(shù)在上單調(diào)遞增，故有，解得，故符合要求；當(dāng)時，則，即函數(shù)與函數(shù)有唯一交點，由，可得或，當(dāng)時，則，則，即，整理得，當(dāng)時，即，即，當(dāng)，（負(fù)值舍去）或，當(dāng)時，或，有兩解，舍去，即當(dāng)時，在時有唯一解，則當(dāng)時，在時需無解，當(dāng)，且時，由函數(shù)關(guān)于對稱，令，可得或，且函數(shù)hx在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，同理可得：時，圖象為雙曲線左支的軸上方部分向左平移所得，部分的漸近線方程為，其斜率為，又，即在時的斜率，令，可得或（舍去），且函數(shù)在上單調(diào)遞減，故有，解得，故符合要求；綜上所述，.故〖答案〗為：.【『點石成金』】關(guān)鍵點『點石成金』：本題關(guān)鍵點在于將函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的交點問題，從而可將其分成兩個函數(shù)研究.三、解答題：本大題共5小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟16.在中，角所對的邊分別為a,b,c，已知．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．〖答案〗（1）（2）（3）〖解析〗〖祥解〗（1），利用余弦定理即可得到方程，解出即可；（2）法一：求出，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出，則得到；（3）法一：根據(jù)大邊對大角確定為銳角，則得到，再利用二倍角公式和兩角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和兩角差的余弦公式即可.【小問1詳析】設(shè)，，則根據(jù)余弦定理得，即，解得（負(fù)舍）；則.【小問2詳析】法一：因為為三角形內(nèi)角，所以，再根據(jù)正弦定理得，即，解得，法二：由余弦定理得，因為，則【小問3詳析】法一：因為，且B∈0,π，所以，由（2）法一知，因為，則，所以，則，.法二：，則，因為為三角形內(nèi)角，所以，所以17.如圖，在四棱柱中，平面，，．分別為的中點，（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角余弦值；（3）求點到平面的距離．〖答案〗（1）證明見〖解析〗（2）（3）〖解析〗〖祥解〗（1）取中點，連接，，借助中位線的性質(zhì)與平行四邊形性質(zhì)定理可得，結(jié)合線面平行判定定理即可得證；（2）建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，計算兩平面的空間向量，再利用空間向量夾角公式計算即可得解；（3）借助空間中點到平面的距離公式計算即可得解.【小問1詳析】取中點，連接，，由是的中點，故，且，由是的中點，故，且，則有、，故四邊形平行四邊形，故，又平面，平面，故平面；【小問2詳析】以為原點建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，有A0,0,0、、、、C1,1,0、，則有、、，設(shè)平面與平面的法向量分別為、，則有，，分別取，則有、、，，即、，則，故平面與平面的夾角余弦值為；【小問3詳析】由，平面的法向量為，則有，即點到平面的距離為.18.已知橢圓的離心率為12．左頂點為，下頂點為是線段的中點（O為原點），的面積為．（1）求橢圓的方程．（2）過點C的動直線與橢圓相交于兩點．在軸上是否存在點，使得恒成立．若存在，求出點縱坐標(biāo)的取值范圍；若不存在，請說明理由．〖答案〗（1）（2）存在，使得恒成立.〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)橢圓的離心率和三角形的面積可求基本量，從而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)該直線方程為：，，聯(lián)立直線方程和橢圓方程并消元，結(jié)合韋達(dá)定理和向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算可用表示，再根據(jù)可求的范圍.【小問1詳析】因為橢圓的離心率為，故，，其中為半焦距，所以，故，故，所以，，故橢圓方程為：.【小問2詳析】若過點的動直線的斜率存在，則可設(shè)該直線方程為：，設(shè)，由可得，故且而，故，因為恒成立，故，解得.若過點的動直線的斜率不存在，則或，此時需，兩者結(jié)合可得.綜上，存在，使得恒成立.【『點石成金』】思路『點石成金』：圓錐曲線中的范圍問題，往往需要用合適的參數(shù)表示目標(biāo)代數(shù)式，表示過程中需要借助韋達(dá)定理，此時注意直線方程的合理假設(shè).19.已知an為公比大于0的等比數(shù)列，其前項和為，且．（1）求an的通項公式及；（2）設(shè)數(shù)列滿足，其中．（?。┣笞C：當(dāng)時，求證：；（ⅱ）求．〖答案〗（1）（2）①證明見詳析；②〖解析〗〖祥解〗（1）設(shè)等比數(shù)列an的公比為，根據(jù)題意結(jié)合等比數(shù)列通項公式求，再結(jié)合等比數(shù)列求和公式分析求解；（2）①根據(jù)題意分析可知，，利用作差法分析證明；②根據(jù)題意結(jié)合等差數(shù)列求和公式可得，再結(jié)合裂項相消法分析求解.【小問1詳析】設(shè)等比數(shù)列an的公比為，因為，即，可得，整理得，解得或（舍去），所以.【小問2詳析】（i）由（1）可知，且，當(dāng)時，則，即可知，，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以；（ii）由（1）可知：，若，則；若，則，當(dāng)時，，可知為等差數(shù)列，可得，所以，且，符合上式，綜上所述：.【『點石成金』】關(guān)鍵點『點石成金』：1.分析可知當(dāng)時，，可知為等差數(shù)列；2.根據(jù)等差數(shù)列求和分析可得.20.已知函數(shù)．（1）求曲線在點1,f1處的切線方程；（2）若對任意x∈0,+∞成立，求實數(shù)的值；（3）若，求證：．〖答案〗（1）（2）