考點(diǎn)2 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)-五年（2020-2024）高考數(shù)學(xué)真題專項(xiàng)分類匯編

五年（2020-2024）高考真題專項(xiàng)分類匯編PAGEPAGE4考點(diǎn)2函數(shù)與導(dǎo)數(shù)——五年（2020—2024）高考數(shù)學(xué)真題專項(xiàng)分類匯編一、選擇題1．[2023年新課標(biāo)Ⅰ卷]設(shè)函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，則a的取值范圍是()A. B. C. D.2．[2021年新高考Ⅱ卷]已知，，，則下列判斷正確的是()A. B. C. D.3．[2024年新課標(biāo)Ⅱ卷]設(shè)函數(shù)，若，則的最小值為()A. B. C. D.14．[2020年新高考Ⅰ卷]基本再生數(shù)與世代間隔是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個(gè)感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：描述累計(jì)感染病例數(shù)隨時(shí)間(單位:天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長(zhǎng)率與，近似滿足，有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出，.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間約為()A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天 D.3.5天5．[2024年新課標(biāo)Ⅰ卷]已知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是()A. B. C. D.6．[2023年新課標(biāo)Ⅱ卷]已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，則a的最小值為()A. B.e C. D.7．[2024年新課標(biāo)Ⅰ卷]已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，，且當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論中一定正確的是()A. B. C. D.8．[2021年新高考Ⅰ卷]若過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則()A. B. C. D.9．[2021年新高考Ⅱ卷]設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，且為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則()A. B. C. D.10．[2024年新課標(biāo)Ⅱ卷]設(shè)函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，曲線與恰有一個(gè)交點(diǎn)，則()A.-1 B. C.1 D.2二、多項(xiàng)選擇題11．[2023年新課標(biāo)Ⅰ卷]已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，，則()A. B.C.是偶函數(shù) D.為的極小值點(diǎn)12．[2023年新課標(biāo)Ⅰ卷]噪聲污染問題越來越受到重視.用聲壓級(jí)來度量聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓級(jí)，其中常數(shù)是聽覺下限閾值，p是實(shí)際聲壓.下表為不同聲源的聲壓級(jí)：聲源與聲源的距離聲壓級(jí)燃油汽車10混合動(dòng)力汽車10電動(dòng)汽車1040已知在距離燃油汽車、混合動(dòng)力汽車、電動(dòng)汽車處測(cè)得實(shí)際聲壓分別為，，，則()A. B. C. D.13．[2024年新課標(biāo)Ⅰ卷]設(shè)函數(shù)，則()A.是的極小值點(diǎn) B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)， D.當(dāng)時(shí)，14．[2024年新課標(biāo)Ⅱ卷]設(shè)函數(shù)，則()A.當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)B.當(dāng)時(shí)，是的極大值點(diǎn)C.存在a，b，使得為曲線的對(duì)稱軸D.存在a，使得點(diǎn)為曲線的對(duì)稱中心三、填空題15．[2021年新高考Ⅰ卷]已知函數(shù)是偶函數(shù)，則____________.16．[2021年新高考Ⅰ卷]函數(shù)的最小值為________.

17．[2024年新課標(biāo)Ⅰ卷]若曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線，則___________.18．[2021年新高考Ⅱ卷]已知函數(shù)，，，函數(shù)的圖象在點(diǎn)和點(diǎn)處的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于M，N兩點(diǎn)，則的取值范圍是___________.四、解答題19．[2024年

新課標(biāo)Ⅱ卷]已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若有極小值，且極小值小于0，求a的取值范圍.20．[2023年新課標(biāo)Ⅰ卷]已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)時(shí)，.21．[2022年新高考Ⅱ卷]已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍；（3）設(shè)，證明：.22．[2024年新課標(biāo)Ⅰ卷]已知函數(shù).（1）若，且，求a的最小值；（2）證明：曲線是中心對(duì)稱圖形；（3）若當(dāng)且僅當(dāng)，求b的取值范圍.23.[2022年新高考Ⅰ卷]已知函數(shù)和有相同的最小值.（1）求a；（2）證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

——★參考答案★——1．答案：D解析：由題意得在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，解得.故選D.2．答案：C解析：，即.故選：C.3．答案：C解析：由及，單調(diào)遞增，可得與同正、同負(fù)或同為零，所以當(dāng)時(shí)，，即，所以，則，故選C.4．答案：B解析：，，.若則，，，選B.5．答案：B解析：因?yàn)楹瘮?shù)在R上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以，即；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.若函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則，即.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選B.6．答案：C解析：法一：，由在區(qū)間單調(diào)遞增可知，當(dāng)時(shí)，恒成立.當(dāng)時(shí)，，不符合題意.當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，則在單調(diào)遞增，所以只需，解得，故選C.法二：由題意可知在區(qū)間上恒成立，即，.設(shè)，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，，所以，即，故選C.7．答案：B解析：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，.對(duì)于，令，得；令，得；依次類推，得；；；；；；；；；；；….顯然，所以，故選B.8．答案：D解析：設(shè)，則.過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)，則，所以切線方程為.將代入切線方程，得，即.因?yàn)檫^點(diǎn)可以作兩條切線，所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.設(shè)，，則函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，所以.又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以要使兩函數(shù)的圖象存在兩個(gè)交點(diǎn)，則.綜上所述，.故選D.9．答案：B解析：因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以，則，即，所以，且函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.又，則，所以，所以.又函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，故選B.10．答案：D解析：解法一：令，即，可得，令，，原題意等價(jià)于當(dāng)時(shí)，曲線與恰有一個(gè)交點(diǎn)，注意到，均為偶函數(shù)，可知該交點(diǎn)只能在y軸上，可得，即，解得，若，令，可得因?yàn)?，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則方程有且僅有一個(gè)實(shí)根0，即曲線與恰有一個(gè)交點(diǎn)，所以符合題意；綜上所述：.解法二：令，原題意等價(jià)于有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)椋瑒t為偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱性可知的零點(diǎn)只能為0，即，解得，若，則，，又因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即有且僅有一個(gè)零點(diǎn)0，所以符合題意；故選：D.11．答案：ABC解析：取，則，故A正確；取，則，所以，故B正確；取，則，所以，取，則，所以，所以函數(shù)為偶函數(shù)，故C正確；由于，且函數(shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以可能為函數(shù)的極小值點(diǎn)，也可能為函數(shù)的極大值點(diǎn)，也可能不是函數(shù)的極值點(diǎn)，故D不正確.故選ABC.12．答案：ACD解析：因?yàn)殡S著p的增大而增大，且，，所以，所以，故A正確；由，得，因?yàn)?，所以，故C正確；假設(shè)，則，所以，所以，不可能成立，故B不正確；因?yàn)?，所以，故D正確.13．答案：ACD解析：因?yàn)椋?，令，解得或，?dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為，故是函數(shù)的極大值點(diǎn)，是函數(shù)的極小值點(diǎn)，所以A正確.當(dāng)時(shí)，，即，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以B錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，所以C正確.當(dāng)時(shí)，，所以，所以D正確.綜上，選ACD.14．答案：AD解析：由題可知，.對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，由得，由得或，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，，故有三個(gè)零點(diǎn)，A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，由得，由得或，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故是的極小值點(diǎn)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故曲線必不存在對(duì)稱軸，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，解法一：，令，則可轉(zhuǎn)化為，由為奇函數(shù)，且其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可知的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故存在，使得點(diǎn)為曲線的對(duì)稱中心，D正確.故選AD.解法二：任意三次函數(shù)的圖象均關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，D正確.故選AD.15．答案：1解析：本題考查函數(shù)的奇偶性.因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，所以，由得.16．答案：1解析：本題考查分段函數(shù)的概念與單調(diào)性.因?yàn)樗援?dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.又因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，取得最小值1.17．答案：解析：由題，令，則，所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.令，則，設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)，則，得，則，所以，所以.18．答案：解析：當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，.因?yàn)楹瘮?shù)的圖象在點(diǎn)A，B處的兩條切線互相垂直，所以，即，所以.因?yàn)椋?，所以函?shù)的圖象在點(diǎn)A，B處的切線方程分別為，，分別令，得，，所以，，所以.令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以.又當(dāng)時(shí)，，，所以當(dāng)時(shí)，，所以，所以的取值范圍是.19．答案：（1）（2）解析：（1）當(dāng)時(shí)，，則，則.，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，所以切線方程為，即.（2）易知函數(shù)的定義域?yàn)镽，.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以的極小值為.由題意知，等價(jià)于.法一：令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為.法二：由，得.如圖為函數(shù)與在區(qū)間上的大致圖象，由圖易知當(dāng)時(shí)，，即.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.20．答案：(1)當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增(2)證明見解析解析：(1)，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，得，令，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上可得：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.(2)由(1)得當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為，令，，所以，令，得；令，得.所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的最小值為，所以當(dāng)時(shí)，成立.21．答案：（1）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增（2）（3）證明見解析解析：（1）當(dāng)時(shí)，，所以.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.（2）令，則對(duì)恒成立等價(jià)于對(duì)恒成立.因?yàn)?，所?令，則，則.①若，即，則，所以，使得當(dāng)時(shí)，有，即，所以單調(diào)遞增，所以，矛盾.②若，即，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，符合題意.綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.（3）證明：令，，則.所以在上單調(diào)遞增.所以，即.令，則，所以，即，所以.故.22．答案：（1）-2（2）證明見解析（3）解析：（1）的定義域?yàn)椋?，則，，當(dāng)時(shí)，，，則，故a的最小值為-2.（2），故曲線關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱.（3）由題知，此時(shí)，.記，，易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞增，又，故符合題意.當(dāng)時(shí)，，，令，得，因?yàn)?，所以，故，，所以?dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞減，故，不符合題意.綜上，b的取值范圍為.23.（1）答案：解析：的定義域?yàn)镽，的定義域?yàn)?，.①當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在R上單調(diào)遞增，即沒有最小值，不符合題意.②當(dāng)時(shí)，在上，在上，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在時(shí)取得極小值，即為最小值，最小值為.在上，在上，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在時(shí)取得極小