2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第十章概率10.2事件的相互獨(dú)立性習(xí)題含解析新人教A版必修第二冊(cè)

.2事務(wù)的相互獨(dú)立性課后篇鞏固提升基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練1.如圖,在兩個(gè)圓盤中,指針落在本圓盤每個(gè)數(shù)所在區(qū)域的機(jī)會(huì)均等,那么兩個(gè)指針同時(shí)落在奇數(shù)所在區(qū)域的概率是()A. B. C. D.解析左邊圓盤指針落在奇數(shù)區(qū)域的概率為,右邊圓盤指針落在奇數(shù)區(qū)域的概率也為,則兩個(gè)指針同時(shí)落在奇數(shù)區(qū)域的概率為.答案A2.(2024廣東執(zhí)信中學(xué)高三月考)社區(qū)開展“建軍90周年主題活動(dòng)——軍事學(xué)問(wèn)競(jìng)賽”,甲、乙兩人能榮獲一等獎(jiǎng)的概率分別為,兩人是否獲得一等獎(jiǎng)相互獨(dú)立,則這兩人中至少有一人獲得一等獎(jiǎng)的概率為()A. B. C. D.解析由題意可知,甲、乙兩人都不能獲得一等獎(jiǎng)的概率為1-×1-=,故這兩人中至少有一人獲得一等獎(jiǎng)的概率為1-.故選C.答案C3.在某道路A,B,C三處設(shè)有交通燈,這三盞燈在一分鐘內(nèi)開放綠燈的時(shí)間分別為25秒、35秒、45秒.某輛車在這條道路上勻速行駛,則三處都不停車的概率為()A. B. C. D.解析由題意可知,每個(gè)交通燈開放綠燈的概率分別為.在這條道路上勻速行駛,則三處都不停車的概率為.答案C4.袋內(nèi)有除顏色外其他都相同的3個(gè)白球和2個(gè)黑球,從中有放回地摸球,用事務(wù)A表示“第一次摸得白球”,假如“其次次摸得白球”記為事務(wù)B,否則記為事務(wù)C,那么事務(wù)A與B,A與C間的關(guān)系是()A.A與B,A與C均相互獨(dú)立B.A與B相互獨(dú)立,A與C互斥C.A與B,A與C均互斥D.A與B互斥,A與C相互獨(dú)立解析由于摸球是有放回的,則第一次摸球的結(jié)果對(duì)其次次摸球的結(jié)果沒(méi)有影響,故A與B,A與C均相互獨(dú)立.而A與B,A與C均能同時(shí)發(fā)生,從而不互斥.答案A5.臺(tái)風(fēng)在危害人類的同時(shí),也在愛護(hù)人類.臺(tái)風(fēng)給人類送來(lái)了淡水資源,大大緩解了全球水荒,另外還使世界各地冷熱保持相對(duì)均衡.甲、乙、丙三顆衛(wèi)星同時(shí)監(jiān)測(cè)臺(tái)風(fēng),在同一時(shí)刻,甲、乙、丙三顆衛(wèi)星精確預(yù)報(bào)臺(tái)風(fēng)的概率分別為0.8,0.7,0.9,各衛(wèi)星間相互獨(dú)立,則在同一時(shí)刻至少有兩顆衛(wèi)星預(yù)報(bào)精確的概率是.

解析設(shè)甲、乙、丙預(yù)報(bào)精確依次記為事務(wù)A,B,C,不精確記為事務(wù),則P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(C)=0.9,P()=0.2,P()=0.3,P()=0.1,至少兩顆預(yù)報(bào)精確的事務(wù)有AB,AC,BC,ABC,這四個(gè)事務(wù)兩兩互斥.∴至少兩顆衛(wèi)星預(yù)報(bào)精確的概率為P=P(AB)+P(AC)+P(BC)+P(ABC)=0.8×0.7×0.1+0.8×0.3×0.9+0.2×0.7×0.9+0.8×0.7×0.9=0.056+0.216+0.126+0.504=0.902.答案0.9026.有一道數(shù)學(xué)難題,在半小時(shí)內(nèi),甲能解決的概率是,乙能解決的概率是,2人試圖獨(dú)立地在半小時(shí)內(nèi)解決它,則2人都未解決的概率為,問(wèn)題得到解決的概率為.

解析甲、乙兩人都未能解決的概率為1-1-=.問(wèn)題得到解決就是至少有1人能解決問(wèn)題,∴P=1-.答案7.甲、乙、丙三位高校畢業(yè)生同時(shí)應(yīng)聘一個(gè)用人單位,其能被選中的概率分別為,且各自能否被選中相互之間沒(méi)有影響.(1)求三人都被選中的概率;(2)求只有兩人被選中的概率.解記甲、乙、丙被選中的事務(wù)分別為A,B,C,則P(A)=,P(B)=,P(C)=.(1)∵A,B,C是相互獨(dú)立事務(wù),∴三人都被選中的概率為P1=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=.(2)三種情形:①甲未被選中,乙、丙被選中,概率為P(BC)=P()P(B)P(C)=.②乙未被選中,甲、丙被選中,概率為P(AC)=P(A)P()P(C)=.③丙未被選中,甲、乙被選中,概率為P(AB)=P(A)P(B)P()=.以上三種狀況是互斥的.因此,只有兩人被選中的概率為P2=.實(shí)力提升練1.從某地區(qū)的兒童中預(yù)選體操學(xué)員,已知這些兒童體型合格的概率為,身體關(guān)節(jié)構(gòu)造合格的概率為.從中任挑一名兒童,這兩項(xiàng)至少有一項(xiàng)合格的概率是(假定體型與身體關(guān)節(jié)構(gòu)造合格與否相互之間沒(méi)有影響)()A. B. C. D.解析這兩項(xiàng)都不合格的概率是,則至少有一項(xiàng)合格的概率是1-.答案D2.在電路圖中(如圖),開關(guān)a,b,c閉合與斷開的概率都是,且是相互獨(dú)立的,則燈亮的概率是()A. B. C. D.解析設(shè)開關(guān)a,b,c閉合的事務(wù)分別為A,B,C,則燈亮這一事務(wù)E=ABC∪AB∪AC,且A,B,C相互獨(dú)立,ABC,AB,AC互斥,則P(E)=P(ABC∪AB∪AC)=P(ABC)+P(AB)+P(AC)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P()+P(A)P()P(C)=.答案B3.(多選題)(2024全國(guó)高一專題練習(xí))下列對(duì)各事務(wù)發(fā)生的概率推斷正確的是()A.某學(xué)生在上學(xué)的路上要經(jīng)過(guò)4個(gè)路口,假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨(dú)立的,遇到紅燈的概率都是,那么該學(xué)生在上學(xué)路上到第3個(gè)路口首次遇到紅燈的概率為B.三人獨(dú)立地破譯一份密碼,他們能單獨(dú)破譯出的概率分別為,假設(shè)他們能否破譯出密碼是相互獨(dú)立的,則此密碼被破譯的概率為C.甲袋中有8個(gè)白球,4個(gè)紅球,乙袋中有6個(gè)白球,6個(gè)紅球,從每袋中各任取一個(gè)球,則取到同色球的概率為D.設(shè)兩個(gè)獨(dú)立事務(wù)A和B都不發(fā)生的概率為,A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相同,則事務(wù)A發(fā)生的概率是解析對(duì)于A,該學(xué)生在第3個(gè)路口首次遇到紅燈的狀況為前2個(gè)路口沒(méi)遇到紅燈,第3個(gè)路口遇到紅燈,所以概率為1-2×,故A正確;對(duì)于B,用A,B,C分別表示事務(wù)甲、乙、丙三人能破譯出密碼,則P(A)=,P(B)=,P(C)=,“三個(gè)人都不能破譯出密碼”發(fā)生的概率為,所以此密碼被破譯的概率為1-,故B不正確;對(duì)于C,設(shè)“從甲袋中取到白球”為事務(wù)A,則P(A)=,設(shè)“從乙袋中取到白球”為事務(wù)B,則P(B)=,故取到同色球的概率為,故C正確;對(duì)于D,易得P(A∩)=P(B∩),即P(A)P()=P(B)P(),即P(A)[1-P(B)]=P(B)[1-P(A)],所以P(A)=P(B).又P()=,所以P()=P()=,所以P(A)=,故D錯(cuò)誤.答案AC4.設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立事務(wù)A與B,若事務(wù)A發(fā)生的概率為p,事務(wù)B發(fā)生的概率為1-p,則A與B同時(shí)發(fā)生的概率的最大值為.

解析事務(wù)A與B同時(shí)發(fā)生的概率為p(1-p)=p-p2(p∈[0,1]),當(dāng)p=時(shí),最大值為.答案5.甲、乙兩個(gè)小組各10名學(xué)生的英語(yǔ)口語(yǔ)測(cè)試成果的莖葉圖如圖所示.現(xiàn)從這20名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人,將“抽出的學(xué)生為甲小組學(xué)生”記為事務(wù)A;“抽出的學(xué)生英語(yǔ)口語(yǔ)測(cè)試成果不低于85分”記為事務(wù)B,則的值是.

解析從這20名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人,樣本點(diǎn)總數(shù)為20個(gè).事務(wù)A包含的樣本點(diǎn)有10個(gè),故P(A)=;事務(wù)B包含的樣本點(diǎn)有9個(gè),P(B)=,事務(wù)AB包含的基本領(lǐng)件有5個(gè),故P(AB)=,故.答案6.某種電子玩具按下按鈕后,會(huì)出現(xiàn)紅球或綠球,已知按鈕第一次被按下后,出現(xiàn)紅球與綠球的概率都是,從按鈕其次次被按下起,若前一次出現(xiàn)紅球,則下一次出現(xiàn)紅球、綠球的概率分別為;若前一次出現(xiàn)綠球,則下一次出現(xiàn)紅球、綠球的概率分別為.記第n(n∈N,n≥1)次按下按鈕后出現(xiàn)紅球的概率為Pn.(1)求P2的值;(2)當(dāng)n∈N,n≥2時(shí),求用Pn-1表示Pn的表達(dá)式.解(1)P2=.(2)Pn=Pn-1×+(1-Pn-1)×=-Pn-1+(n∈N,n≥2).7.甲、乙二人進(jìn)行一次圍棋競(jìng)賽,一共賽5局,約定先勝3局者獲得這次競(jìng)賽的成功,同時(shí)競(jìng)賽結(jié)束.假設(shè)在一局中,甲獲勝的概率為0.6,乙獲勝的概率為0.4,各局競(jìng)賽結(jié)果相互獨(dú)立.已知前2局中,甲、乙各勝1局.(1)求再賽2局結(jié)束這次競(jìng)賽的概率;(2)求甲獲得這次競(jìng)賽成功的概率.解記Ai表示事務(wù)“第i局甲獲勝”,i=3,4,5,Bj表示事務(wù)“第j局乙獲勝”,j=3,4,5.(1)記A表示事務(wù)“再賽2局結(jié)束競(jìng)賽”.A=A3A4∪B3B4.由于各局競(jìng)賽結(jié)果相互獨(dú)立,故P(A)=P(A3A4∪B3B4)=P(A3A4)+P(B3B4)=P(A3)P(A4)+P(B3)·P(B4)=0.6×0.6+0.4×0.4=0.52.(2)記事務(wù)B表示“甲獲得這次競(jìng)賽的成功”.因前兩局中,甲、乙各勝一局,故甲獲得這次競(jìng)賽的成功當(dāng)且僅當(dāng)在后面的競(jìng)賽中,甲先勝2局,從而B=A3A4∪B3A4A5∪A3B4A5,由于各局競(jìng)賽結(jié)果相互獨(dú)立,故P(B)=P(A3A4)+P(B3A4A5)+P(A3B4A5)=P(A3)P(A4)+P(B3)P(A4)P(A5)+P(A3)P(B4)·P(A5)=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648.素養(yǎng)培優(yōu)練在荷花池中,有一只青蛙在成品字形的三片荷葉上跳來(lái)跳去(每次