2024高考數(shù)學一輪復習專練66高考大題專練六概率與統(tǒng)計分布列的綜合運用含解析理新人教版

PAGE專練66高考大題專練(六)概率與統(tǒng)計、分布列的綜合運用1．[2024·天津卷]設(shè)甲、乙兩位同學上學期間，每天7：30之前到校的概率均為eq\f(2,3).假定甲、乙兩位同學到校狀況互不影響，且任一同學每天到校狀況相互獨立．(1)用X表示甲同學上學期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望；(2)設(shè)M為事務(wù)“上學期間的三天中，甲同學在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學在7：30之前到校的天數(shù)恰好多2”，求事務(wù)M發(fā)生的概率．2．[2024·全國卷Ⅰ]甲、乙、丙三位同學進行羽毛球競賽，約定賽制如下：累計負兩場者被淘汰；競賽前抽簽確定首先競賽的兩人，另一人輪空；每場競賽的勝者與輪空者進行下一場競賽，負者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當一人被淘汰后，剩余的兩人接著競賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，競賽結(jié)束．經(jīng)抽簽，甲、乙首先競賽，丙輪空．設(shè)每場競賽雙方獲勝的概率都為eq\f(1,2).(1)求甲連勝四場的概率；(2)求須要進行第五場競賽的概率；(3)求丙最終獲勝的概率．3．[2024·全國卷Ⅲ]為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進行如下試驗：將200只小鼠隨機分成A，B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液．每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同．經(jīng)過一段時間后用某種科學方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比．依據(jù)試驗數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：記C為事務(wù)：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，依據(jù)直方圖得到P(C)的估計值為0.70.(1)求乙離子殘留百分比直方圖中a，b的值；(2)分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表)4.[2024·山東煙臺一中月考]某科技公司新研制生產(chǎn)一種特別疫苗，為確保疫苗質(zhì)量，定期進行質(zhì)量檢驗．某次檢驗中，從產(chǎn)品中隨機抽取100件作為樣本，測量產(chǎn)品質(zhì)量體系中某項指標值，依據(jù)測量結(jié)果得到頻率分布直方圖．(1)求頻率分布直方圖中a的值；(2)技術(shù)分析人員認為，本次測量的產(chǎn)品的質(zhì)量指標值X聽從正態(tài)分布N(μ，12.22)，若同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值代替，計算μ，并計算測量數(shù)據(jù)落在(187.8,212.2)內(nèi)的概率；(3)設(shè)生產(chǎn)成本為y元，質(zhì)量指標值為x，生產(chǎn)成本與質(zhì)量指標值之間滿意函數(shù)關(guān)系y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.4x，x≤205，,0.8x－100，x>205.))假設(shè)同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值代替，試計算生產(chǎn)該疫苗的平均成本．參考數(shù)據(jù)：X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<X<μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)≈0.9545.5．[2024·全國卷Ⅲ]某學生愛好小組隨機調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級和當天到某公園熬煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表(單位：天)：熬煉人次空氣質(zhì)量等級[0,200](200,400](400,600]1(優(yōu))216252(良)510123(輕度污染)6784(中度污染)720(1)分別估計該市一天的空氣質(zhì)量等級為1,2,3,4的概率；(2)求一天中到該公園熬煉的平均人次的估計值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表)；(3)若某天的空氣質(zhì)量等級為1或2，則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級為3或4，則稱這天“空氣質(zhì)量不好”．依據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表，并依據(jù)列聯(lián)表，推斷是否有95%的把握認為一天中到該公園熬煉的人次與該市當天的空氣質(zhì)量有關(guān)？人次≤400人次>400空氣質(zhì)量好空氣質(zhì)量不好附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828專練66高考大題專練(六)概率與統(tǒng)計、分布列的綜合運用1.解析：本題主要考查離散型隨機變量的分布列與數(shù)學期望，互斥事務(wù)和相互獨立事務(wù)的概率計算公式等基礎(chǔ)學問．考查運用概率學問解決簡潔實際問題的實力．(1)因為甲同學上學期間的三天中到校狀況相互獨立，且每天7：30之前到校的概率均為eq\f(2,3)，故X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(2,3)))，從而P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3－k，k＝0,1,2,3.所以，隨機變量X的分布列為X0123Peq\f(1,27)eq\f(2,9)eq\f(4,9)eq\f(8,27)隨機變量X的數(shù)學期望E(X)＝3×eq\f(2,3)＝2.(2)設(shè)乙同學上學期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)為Y，則Y～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(2,3)))，且M＝{X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0}．由題意知事務(wù){(diào)X＝3，Y＝1}與{X＝2，Y＝0}互斥，且事務(wù){(diào)X＝3}與{Y＝1}，事務(wù){(diào)X＝2}與{Y＝0}均相互獨立，從而由(1)知P(M)＝P({X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0})＝P({X＝3，Y＝1})＋P({X＝2，Y＝0})＝P({X＝3})P({Y＝1})＋P({X＝2})P({Y＝0})＝eq\f(8,27)×eq\f(2,9)＋eq\f(4,9)×eq\f(1,27)＝eq\f(20,243).2．解析：(1)甲連勝四場的概率為eq\f(1,16).(2)依據(jù)賽制，至少須要進行四場競賽，至多須要進行五場競賽．競賽四場結(jié)束，共有三種狀況：甲連勝四場的概率為eq\f(1,16)；乙連勝四場的概率為eq\f(1,16)；丙上場后連勝三場的概率為eq\f(1,8).所以須要進行第五場競賽的概率為1－eq\f(1,16)－eq\f(1,16)－eq\f(1,8)＝eq\f(3,4).(3)丙最終獲勝，有兩種狀況：競賽四場結(jié)束且丙最終獲勝的概率為eq\f(1,8)；競賽五場結(jié)束且丙最終獲勝，則從其次場起先的四場競賽依據(jù)丙的勝、負、輪空結(jié)果有三種狀況：勝輸贏勝，輸贏空勝，負空勝勝，概率分別為eq\f(1,16)，eq\f(1,8)，eq\f(1,8).因此丙最終獲勝的概率為eq\f(1,8)＋eq\f(1,16)＋eq\f(1,8)＋eq\f(1,8)＝eq\f(7,16).3．解析：本題主要考查頻率分布直方圖，考查考生的識圖實力、閱讀理解實力，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)據(jù)分析、數(shù)學運算．(1)由已知得0.70＝a＋0.20＋0.15，故a＝0.35.b＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.(2)甲離子殘留百分比的平均值的估計值為2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05.乙離子殘留百分比的平均值的估計值為3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.4．解析：(1)由10×(a＋0.009＋0.022＋0.033＋0.024＋0.008＋a)＝1，解得a＝0.002.(2)依題意，μ＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，故X～N(200,12.22)，所以P(187.8<X<212.2)＝P(200－12.2<X<200＋12.2)≈0.6827，故測量數(shù)據(jù)落在(187.8，212.2)內(nèi)的概率約為0.6827.(3)依據(jù)題意得平均成本為0.4×170×0.02＋0.4×180×0.09＋0.4×190×0.22＋0.4×200×0.33＋(0.8×210－100)×0.24＋(0.8×220－100)×0.08＋(0.8×230－100)×0.02＝75.04，故生產(chǎn)該疫苗的平均成本為75.04元．5．解析：(1)由所給數(shù)據(jù)，該市一天的空氣質(zhì)量等級為1,2,3,4的概率的估計值如下表.空氣質(zhì)量等級1234概率的估計值0.430.270.210.09(2)一天中到該公園熬煉的平均人次的估計值為eq\f(1