12.2三角形全等的判定（解析版）

12.2三角形全等的判定一、單選題1．如圖，在和中，，添加一個條件，不能證明和全等的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件和添加條件，結(jié)合全等三角形的判斷方法即可解答．【詳解】選項A，添加，在和中，，∴≌（ASA），選項B，添加，在和中，，，，無法證明≌；選項C，添加，在和中，，∴≌（SAS）；選項D，添加，在和中，，∴≌（AAS）；綜上，只有選項B符合題意．故選B．【點評】本題考查了全等三角形的判定方法，熟知全等三角形的判定方法是解決問題的關(guān)鍵．2．在學(xué)完八上《三角形》一章后，某班組織了一次數(shù)學(xué)活動課，老師讓同學(xué)們自己談?wù)剬θ切蜗嚓P(guān)知識的理解．小峰說：“存在這樣的三角形，他的三條高的比為1：2：3”．小慧說：“存在這樣的三角形，其一邊上的中線不小于其他兩邊和的一半”．對以上兩位同學(xué)的說法，你認(rèn)為（）A．兩人都不正確 B．小慧正確，小峰不正確C．小峰正確，小慧不正確 D．兩人都正確【答案】A【分析】先分別假設(shè)這兩個說法正確，先根據(jù)三角形高和中線的性質(zhì)即可判斷正誤．【詳解】假設(shè)存在這樣的三角形，他的三條高的比為1：2：3，根據(jù)等積法，得到此三角形三邊比為6：3：2，這與三角形三邊關(guān)系相矛盾，故假設(shè)錯誤，所以這樣的三角形不存在；假設(shè)存在這樣的三角形，其一邊上的中線不小于其他兩邊和的一半，延長中線成2倍，利用三角形全等，可得到三角形中線的2倍不小于（大于等于）其他兩邊之和，這與三角形三邊關(guān)系矛盾，故假設(shè)錯誤，所以這樣的三角形不存在；故選A．【點評】本題考查了三角形的高及中線、等積法、三角形三邊關(guān)系．等積法：兩個三角形等底等高，則面積相等，由此可以推得：兩個三角形高相等，底成倍數(shù)，面積也成同樣的倍數(shù)關(guān)系；同理，兩個三角形底相等、高成倍數(shù)關(guān)系、面積也成同樣的倍數(shù)關(guān)系；三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．熟練掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．3．如圖，等邊三角形ABC的邊長為2，點O是△ABC的中心，∠FOG＝120°，將∠FOG繞點O旋轉(zhuǎn)，分別交線段AB、BC于D、E兩點，連接DE，給出下列四個結(jié)論：①OD＝OE；②S四邊形ODBE＝S△ABC；③S△ODE＝S△BDE；④△BDE周長的最小值為3．上述結(jié)論中正確的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】①通過證明△BOD≌△COE可得結(jié)論；②根據(jù)①的結(jié)論可以推出；③S△ODE隨OE的變化而變化；④當(dāng)OE⊥BC時，OE最小，△BDE的周長為2+OE最小．【詳解】連接OB、OC，如圖，∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵點O是△ABC的中心，∴OB＝OC，OB、OC分別平分∠ABC和∠ACB，∴∠ABO＝∠OBC＝∠OCB＝30°，∴∠BOC＝120°，即∠BOE+∠COE＝120°，而∠DOE＝120°，即∠BOE+∠BOD＝120°，∴∠BOD＝∠COE，在△BOD和△COE中，，∴△BOD≌△COE（ASA），∴BD＝CE，OD＝OE，∴①正確；∵△BOD≌△COE，∴S△BOD＝S△COE，∴四邊形ODBE的面積＝S△OBC═S△ABC，故②正確；作OH⊥DE于H，如圖，則DH＝EH，∵∠DOE＝120°，∴∠ODE＝∠OEH＝30°，∴OH＝OE，HE＝OH＝OE，∴DE＝OE，∴S△ODE＝×OE×OE＝OE2，即S△ODE隨OE的變化而變化，而四邊形ODBE的面積為定值，∴S△ODE≠S△BDE；故③錯誤；∵BD＝CE，∴△BDE的周長＝BD+BE+DE＝CE+BE+DE＝BC+DE＝2+DE＝2+OE，當(dāng)OE⊥BC時，OE最小，△BDE的周長最小，此時OE＝，∴△BDE周長的最小值＝2+1＝3，故④正確．綜上所述，正確的有①②④共3個．故選C．【點評】本題考查了等邊角形性質(zhì)，圖形的旋轉(zhuǎn)，三角形全等，勾股定理，動點問題，熟練等邊三角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．下面是黑板上出示的尺規(guī)作圖題，需要回答橫線上符號代表的內(nèi)容．如圖，已知∠AOB，求作：∠DEF，使∠DEF＝∠AOB．作法：（1）以△為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA，OB于點P，Q；（2）作射線EG，并以點E為圓心，○長為半徑畫弧交EG于點D；（3）以點D為圓心，*長為半徑畫弧交前弧于點F；（4）作⊕，則∠DEF即為所求作的角．

A．△表示點E B．○表示PQC．*表示ED D．⊕表示射線EF【答案】D【分析】根據(jù)作一個角等于已知角的方法進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．【詳解】由圖可得作法：（1）以點O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA，OB于點P，Q；（2）作射線EG，并以點E為圓心，OQ為半徑畫弧交EG于點D；（3）以D為圓心，PQ長為半徑畫弧交前弧于點F；（4）作射線EF，∠DEF即為所求作的角．故選：D．【點評】本題主要考查了基本作圖，解決問題的關(guān)鍵是掌握作一個角等于已知角的方法．5．已知下列命題：①若，則；②若，則；③內(nèi)錯角相等；④周長相等的所有等腰直角三角形全等，其中真命題的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，絕對值的意義，平行線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)判斷即可．【詳解】①若，，則；故①錯誤；②若，則；故②錯誤；③兩直線平行，內(nèi)錯角相等；故③錯誤；④周長相等的所有等腰直角三角形全等，故④正確；故選：A【點評】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理．6．如圖，C是直線外一點，按下列步驟完成作圖：（）（1）以點C為圓心，作能與直線相交于D、E點的圓?。?）分別以點D和點E為圓心，長為半徑作圓弧，兩弧交于點F，連結(jié)、．（3）作直線交于點G．根據(jù)以上作圖過程及所作圖形，有如下結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的結(jié)論是（）A．①②③ B．①③④ C．③④ D．①④【答案】B【分析】連接CD和CE，證明出，為等邊三角形，依次進(jìn)行判定即可．【詳解】連接CD和CE，如圖所示：∵，，，∴，∴，故③正確，

由題可知，，故為等邊三角形，，故②錯誤，④正確，∵，，，∴，∴，∴，故①正確，

故選：B【點評】本題主要考查了全等三角形及三角形的性質(zhì)，正確讀懂題意是解題的關(guān)鍵．7．已知在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，AC＝A′C′，下列條件中，不一定能得到△ABC≌△A′B′C′的是（）A．BC＝B'C' B．∠A＝∠A′ C．∠C＝∠C′ D．∠B＝∠B′＝90°【答案】C【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理進(jìn)行推理．【詳解】A、由AB＝A′B′，AC＝A′C′，BC＝B'C'可以判定△ABC≌△A′B′C′（SSS），不符合題意．B、由AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠A＝∠A′可以判定△ABC≌△A′B′C′（SAS），不符合題意．C、由AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠C＝∠C′不可以判定△ABC≌△A′B′C′（SSA），符合題意．D、由AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠B＝∠B′＝90°可以判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL），不符合題意．故選：C．【點評】本題考查了三角形的全等的判定，熟練掌握三角形全等的判定定理是解題的關(guān)鍵．8．冀教版初中數(shù)學(xué)教科書八年級上冊告訴我們一種作已知角的平分線的方法：已知：．求作：的平分線．作法：（1）以點O為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交于點M，交于點N．（2）分別以點M，N為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧在內(nèi)部相交于點C．（3）畫射線，射線即為所求（如圖）．這種作已知角的平分線的方法的依據(jù)是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接利用角平分線的作法得出基本依據(jù)．【詳解】這種作已知角的平分線的方法的依據(jù)是SSS．由基本作圖方法可得：OM=ON，OC=OC，MC=NC，則在△OMC和△ONC中，，∴△OMC≌△ONC（SSS），∴∠AOC=∠BOC，即OC為∠AOB的平分線．故選：A【點評】此題主要考查了應(yīng)用設(shè)計與作圖，正確掌握全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．二、填空題9．如圖，在中，，，，垂足為，點，分別是線段，上的動點，且，則線段的最小值為______．【答案】【分析】先證△AGF≌△CBE，得到GF＝BE，再證BE+CF的最小值就是線段BG的長，然后由勾股定理求得BG的長，即可解決問題．【詳解】過A作AG⊥AB且使得AG＝BC＝6，連接CF、FG、BG，∵AB＝AC，,∴點D為BC的中點，∠BAD＝∠CAD，∴∠BAD+∠ABD＝90°，∵BA⊥AG，∴∠BAG＝90°，∴∠BAD+∠GAF＝90°，∴∠GAF＝∠ABD，又∵AF＝BE，AG＝CB，

∴△AGF≌△CBE（SAS），∴GF＝CE，∵FB＝FC，∴BF+CE＝BF+GF，∵當(dāng)點B、F、G三點共線時，GF+BF最小，∴GF+BF的最小值時線段BG的長，∵∠BAG＝90°，AB＝5，AG＝BC=6，∴BG＝即BF+CE的最小值為，故答案為：．【點評】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造全等三角形將線段和轉(zhuǎn)化為折線段長，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．10．如圖，矩形中，，，將矩形繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到矩形，邊與交于點，延長交于點，若，則的長為______．【答案】【分析】連接，過點作，設(shè)，分別解得的長，繼而證明，由全等三角形的性質(zhì)得到，由此解得，最后在中，利用勾股定理解得的值，據(jù)此解題．【詳解】如圖，連接，過點作，設(shè)，則矩形中在與中，在中，，故答案為：．【點評】本題考查旋轉(zhuǎn)變換、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，是重要考點，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．11．如圖，已知在四邊形中，厘米，厘米，厘米，，點為線段的中點．如果點在線段上以3厘米/秒的速度由點向點運動，同時，點在線段上由點向點運動．當(dāng)點的運動速度為___________厘米/秒時，能夠使與以，，三點所構(gòu)成的三角形全等．【答案】3或【分析】分兩種情況討論，依據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等，即可得到點Q的運動速度．【詳解】設(shè)點P運動的時間為t秒，則BP＝3t，CP＝8﹣3t，∵∠B＝∠C，∴①當(dāng)BE＝CP＝6，BP＝CQ時，△BPE與△CQP全等，此時，6＝8﹣3t，解得t，∴BP＝CQ＝2，此時，點Q的運動速度為23厘米/秒；②當(dāng)BE＝CQ＝6，BP＝CP時，△BPE與△CQP全等，此時，3t＝8﹣3t，解得t，∴點Q的運動速度為6厘米/秒；故答案為：3或．【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的對應(yīng)邊相等．12．如圖所示，為中線，D為中點，，，連接，．若的面積為3，則的面積為______．【答案】1.5【分析】延長AD到G使DG=AD，連結(jié)BG，由D為中點，可得BD=CD，可證△ACD≌△GBD（SAS），可得AC=BG，∠DAC=∠G，可證△AEF≌△BAG（SSS），可得S△AEF=S△BAG=2S△ADC=3，可求S△ADC=1.5．【詳解】延長AD到G使DG=AD，連結(jié)BG，∵D為中點，∴BD=CD，S△ADC=S△ABD在△ACD和△GBD中∴△ACD≌△GBD（SAS）∴AC=BG，∠DAC=∠G，S△ADC=S△GBD+，在△AEF和△BAG中，，∴△AEF≌△BAG（SSS），∴S△AEF=S△BAG=2S△ADC=3，∴S△ADC=1.5，故答案為：1.5．【點評】本題考查三角形全等判定與性質(zhì)，線段中點，中線性質(zhì)，掌握三角形全等判定與性質(zhì)，線段中點，利用輔助線中線加倍構(gòu)造全等是解題關(guān)鍵．13．如圖，，于，于，且，在線段上，在射線上，若與全等，則__________．【答案】6或8【分析】此題分兩種情況討論，情況一：，，時；情況二：，，，分情況求出AP即可．【詳解】∵于，于∴當(dāng)，，時，與全等，此時；當(dāng)，，時，與全等，此時；故答案為：6或8．【點評】本題考查全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考常考題型．14．如圖，在△ABC中，點D，E在AC邊上，且AE＝ED＝DC．點F，M在AB邊上，且，延長FD交BC的延長線于點N，則的值＝_____．【答案】【分析】首先證明，再利用全等三角形的性質(zhì)證明EF＝CN即可解決問題．【詳解】，∴，在與中，，，，，，，故答案為．【點評】本題考查平行線分線段成比例定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵在于熟練掌握兩個知識點的基本性質(zhì)和定理，該類型題屬?？碱}．三、解答題15．如圖，，AD是內(nèi)部一條射線，若，于點E，于點F．求證：．【答案】見詳解【分析】根據(jù)AAS證明△BAE≌△ACF，即可得．【詳解】證明：∵，∴∠BAE＋∠CAF＝90°，∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BEA＝∠AFC＝90°，∴∠BAE＋∠EBA＝90°，∴∠CAF＝∠EBA，∵AB＝AC，∴△BAE≌△ACF，∴．【點評】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．16．如圖，點D在AB上，點E在AC上，AB=AC，∠B=∠C，求證：BD=CE【答案】證明見詳解．【分析】根據(jù)“ASA”證明△ABE≌△ACD，然后根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等即可得到結(jié)論.【詳解】證明：在△ABE和△ACD中，∵,△ABE≌△ACD(ASA)，∴AE=AD，∴BD=AB–AD=AC-AE=CE．【點評】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性質(zhì)（即全等三角形的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等）是解題的關(guān)鍵．17．如圖，在中，，點在上．請用尺規(guī)作圖法在上求作一點，使得．（保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】答案見詳解．【分析】利用作一個角等于已知角確定以A與P圓心,，以同樣長度為半徑，再以EF為半徑，以點G為圓心畫弧交前弧于H，作射線PH交AC與D得出即可．【詳解】以點A為圓心，任意長為半徑，畫弧交AP于E，AB與F，以P為圓心，以AE長為半徑畫弧交PC與G，以G為圓心，以EF長為半徑，畫弧，交前弧于H，過H作射線PH交AC于D，即可得出．如圖所示：則點D即為所求．【點評】本題主要考查了基本尺規(guī)作圖-作一個角等于已知角，熟練掌握相關(guān)知識是解本題的關(guān)鍵．18．如圖，∠B＝∠E，∠1＝∠2，BC＝EC．求證：AB＝DE．【答案】證明見解析；【分析】先證出∠ACB=∠DCE，再根據(jù)AAS證明△ABC≌△DEC，即可得出AB=DE；【詳解】證明：∵∠1=∠2，∴∠ACB=∠DCE，在△ABC和△DCE中，∴△ABC≌△DEC(AAS)，∴AB=DE．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵；19．如圖所示，，，垂足均為點，且，．求證：．【答案】見解析【分析】根據(jù)SAS證明即可．【詳解】證明：∵，，∴∴即在和中∴∴【點評】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，證明是解答此題的關(guān)鍵．20．如圖，、分別是的邊和上的高，點在