黃金卷01（新高考八省專用）-【贏在高考黃金卷】備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)模擬卷（教師版）

試卷第=page22頁(yè)，共=sectionpages2222頁(yè)【贏在高考·黃金卷】備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)模擬卷（新高考八省專用）黃金卷01（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的。1．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先確定兩個(gè)集合中元素，再根據(jù)交集的定義求解，【詳解】因?yàn)?，所?故選：A．2．若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，利用復(fù)數(shù)乘法和復(fù)數(shù)相等的概念求出，再利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式求解即可.【詳解】設(shè)，則，所以，解得，所以，.故選：D.3．已知命題：命題.若p為假命題，q為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由命題為假命題，則在上無(wú)解，即與，函數(shù)圖象沒有交點(diǎn)，畫出圖象求出參數(shù)，命題為真命題，則，求出參數(shù)求交集即可.【詳解】命題為假命題，在上無(wú)解，即與，函數(shù)圖象沒有交點(diǎn)，

由圖可知：或，命題為真命題，則，解得，綜上所述：實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故選：C4．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知條件，用兩角和的正弦公式，二倍角公式，同角三角函數(shù)關(guān)系化簡(jiǎn)即可求解.【詳解】因?yàn)樗?故選：B5．若向量，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】按照投影向量的計(jì)算公式求解即可.【詳解】解：因?yàn)橄蛄浚瑒t向量在向量上的投影向量為:.故選：B6．已知等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為、，若，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】計(jì)算出，由等差數(shù)列的性質(zhì)得，，從而得到答案.【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列和的前項(xiàng)和分別為、，滿足，所以，又，故，故選：B7．已知關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則正實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先設(shè)函數(shù)，再把兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解轉(zhuǎn)化為函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合列式求解即可.【詳解】由，記．因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以Fx的最小值為，結(jié)合圖象知，若函數(shù)Fx與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則需，解得．故選:A．8．雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過作斜率為正且與的某條漸近線垂直的直線與雙曲線在第一象限交于，，則的離心率為（

）.A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，過作，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式及雙曲線定義求出的關(guān)系，即可求出雙曲線的離心率.【詳解】令雙曲線的半焦距為，則，令直線與雙曲線的漸近線垂直的垂足為，于是，，過作于，則，而為線段中點(diǎn)，于是，，由，得，，，由雙曲線定義得，即，解得，所以雙曲線的離心率.故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知函數(shù)滿足，函數(shù)圖象上距原點(diǎn)最近的最高點(diǎn)坐標(biāo)為，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．的最小正周期為B．C．為函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸D．為函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心【答案】ACD【分析】利用正弦函數(shù)的圖象的特征求得和的值，可得函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性、正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性，逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)是否正確，從而得出結(jié)論.【詳解】設(shè)函數(shù)周期為，由，函數(shù)圖象上距軸最近的最高點(diǎn)坐標(biāo)為，可得，又，由且為離原點(diǎn)最近的最高點(diǎn)位置，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)，有，，由的最小正周期為，所以錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以B正確；時(shí)函數(shù)不取得最值，所以不是對(duì)稱軸，所以C錯(cuò)誤；時(shí)函數(shù)的值不為零，所以不是函數(shù)對(duì)稱中心，所以D錯(cuò)誤.故選：ACD.10．下列關(guān)于平面向量的說法中正確的是（

）A．已知點(diǎn)是直線l上三個(gè)不同的點(diǎn)，O為直線l外一點(diǎn)，且，則B．已知向量，且與的夾角為銳角，則的取值范圍是C．已知點(diǎn)G為三條邊的中線的交點(diǎn)，則D．已知，則在上的投影的坐標(biāo)為【答案】ACD【分析】根據(jù)平面向量共線的性質(zhì)，結(jié)合平面向量夾角坐標(biāo)公式、三角形重心的性質(zhì)、投影的定義逐一判斷即可.【詳解】A：因?yàn)辄c(diǎn)是直線l上三個(gè)不同的點(diǎn)，O為直線l外一點(diǎn)，且，所以有，正確；B：，當(dāng)與共線且同向時(shí)，，此時(shí)與的夾角為零，而，不正確；C：設(shè)邊上的中線為，于是，因?yàn)辄c(diǎn)G為三條邊的中線的交點(diǎn)，所以點(diǎn)G是三角形的重心，因此有，于是有，正確；

D：因?yàn)?，所以在上的投影的坐?biāo)為：，所以本選項(xiàng)正確，故選：ACD11．已知定義在上恒正且可導(dǎo)的函數(shù)與滿足，，則：（

）.A． B．C．恒成立 D．與的大小關(guān)系無(wú)法確定【答案】AC【分析】令，結(jié)合題意，利用導(dǎo)數(shù)討論的單調(diào)性即可判斷AB；法一：由即可判斷CD；法二：令，，利用導(dǎo)數(shù)討論的單調(diào)性即可判斷CD.【詳解】令，則，且與恒正，，?x單調(diào)遞增，，即：，故A正確，B錯(cuò)誤.法一：，成立，故C正確，D錯(cuò)誤.法二：令，，，單調(diào)遞增，又，故，.故C正確，D錯(cuò)誤.故選：AC.第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．在多項(xiàng)式的展開式中，的系數(shù)為32，則.【答案】【分析】首先展開得，再分別計(jì)算兩部分含的系數(shù)，即可求解.【詳解】，中含的系數(shù)為，中含的系數(shù)為，所以中的系數(shù)為，所以，得故答案為：13．設(shè)，是半徑為3的球體表面上兩定點(diǎn)，且，球體表面上動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為.【答案】【分析】建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)確定軌跡為圓，轉(zhuǎn)化到空間得到軌跡為兩球的交線，計(jì)算球心距，對(duì)應(yīng)圓的半徑為，再計(jì)算周長(zhǎng)得到答案.【詳解】以所在的平面建立直角坐標(biāo)系，為軸，的中垂線為軸：則，，，設(shè)，由，可得：，整理得到：，故點(diǎn)在平面的軌跡是以為圓心，半徑的圓，轉(zhuǎn)化到空間中：當(dāng)繞為軸旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，，不變，依然滿足，故空間中點(diǎn)的軌跡為以為球心，半徑為2的球，同時(shí)點(diǎn)在球商，故點(diǎn)在兩球的交線，為圓，球心距為，所以為直角三角形，對(duì)應(yīng)圓的半徑為，周長(zhǎng)為故答案為：14．在四面體中，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，，，，點(diǎn)在棱上，且，過點(diǎn)作四面體的外接球的截面，則所得截面圓的面積最小值與球的表面積之比為．【答案】/1：8【分析】先根據(jù)勾股定理逆定理得到，再根據(jù)直角三角形中線性質(zhì)找出外接球的球心，再結(jié)合球的截面距離分析，要所得的截面圓中面積最小，只需截面圓半徑最小，只需球心到截面的距離最大即可．【詳解】由題意知，，由勾股定理可知，，所以，取的中點(diǎn)，所以，所以四面體的外接球在斜邊的中點(diǎn)處，四面體的外接球的半徑，根據(jù)題意可知，過點(diǎn)作球的截面，若要所得的截面圓中面積最小，只需截面圓半徑最小，設(shè)球到截面的距離，只需球心到截面的距離最大即可，而當(dāng)且僅當(dāng)與截面垂直時(shí)，球心到截面的距離最大，即，取的中點(diǎn)，易知為等腰三角形，，所以，所以截面圓的半徑為，所以截面圓的面積為，球的表面積為，所得截面圓的面積最小值與球的表面積之比為故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟。15．（13分）已知中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且.(1)求；(2)若點(diǎn)為的中點(diǎn)，且，求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)，由余弦定理求出；（2）在中，，，由余弦定理列出方程，求出，得到，利用三角形面積公式求出答案.【詳解】（1）設(shè)，…………………2分則由余弦定理得；………………5分（2）在中，，，，由余弦定理得，即，解得，…………………9分又，…………………11分故，.……………13分16．（15分）如圖，四棱柱的底面為直角梯形，，，，．點(diǎn)為的中點(diǎn)，且．(1)證明：平面平面；(2)若鈍二面角的余弦值為，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見解析(2)2【分析】（1）先證，得到平面，可得平面平面.（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量解決問題.【詳解】（1）因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，且，所以，即，……………2分又，，平面，所以平面.又平面，所以.………………4分因?yàn)椋?又，，所以，………………5分所以，則.又，平面，所以平面.又平面，所以：平面平面.………7分（2）由（1）可知：，，兩兩垂直，故可以為原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系.則，，，設(shè)（），則.所以，，.………9分設(shè)平面的一個(gè)法向量為m=x由，可取.設(shè)平面的一個(gè)法向量為n=x由，可取.，……………………13分整理得：（舍去）所以，即.………………………15分17．（15分）已知，函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）求導(dǎo)得，再對(duì)分類討論即可；（2）同構(gòu)得，則有，即，再構(gòu)造函數(shù)，得到其最值即可得到，解出即可.【詳解】（1）的定義域?yàn)镽，.…………………2分當(dāng)時(shí)，f'x>0，則在R上單調(diào)遞增；……………………4分當(dāng)時(shí)，令f'x>0，解得，令f'x<0所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.………7分（2）由，可得，即.…………8分令，因?yàn)樵谏暇鶈握{(diào)遞增，則單調(diào)遞增.由，可得，則，即.……11分令，則.當(dāng)時(shí)，?'x<0，?x當(dāng)時(shí)，?'x>0，?x所以，…………………14分則，解得，故的取值范圍為.……………………15分18．（17分）甲、乙兩名同學(xué)進(jìn)行定點(diǎn)投籃訓(xùn)練，據(jù)以往訓(xùn)練數(shù)據(jù)，甲每次投籃命中的概率為，乙每次投籃命中的概率為，各次投籃互不影響、現(xiàn)甲、乙兩人開展多輪次的定點(diǎn)投籃活動(dòng)，每輪次各投個(gè)球，每投進(jìn)一個(gè)球記分，未投進(jìn)記分.(1)求甲在一輪投籃結(jié)束后的得分不大于的概率；(2)記甲、乙每輪投籃得分之和為.①求的分布列和數(shù)學(xué)期望；②若，則稱該輪次為一個(gè)“成功輪次”.在連續(xù)輪次的投籃活動(dòng)中，記“成功輪次”為，當(dāng)為何值時(shí)，恒成立？【答案】(1)(2)①分布列見解析，；②或或【分析】（1）將問題轉(zhuǎn)化成甲在一輪投籃中至多命中一次，再利用對(duì)立事件和相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式，即可求解；（2）①由題知可能取值為，根據(jù)條件，求出相應(yīng)的概率，即可求出分布列，再利用期望公式，即可求解；②根據(jù)條件，得到，再由，即可求解.【詳解】（1）甲在一輪投籃結(jié)束后的得分不大于，即甲在一輪投籃中至多命中一次，………………2分所以甲在一輪投籃結(jié)束后的得分不大于的概率為.……5分（2）①由題知可能取值為，，，，，，所以的分布列為數(shù)學(xué)期望.…………10分②由①知，由題知，所以，由，得到且，………………12分整理得到，即，得到，所以，……………………15分由題有，所以，得到，又，所以或或.………17分19．（17分）定義：已知橢圓，把圓稱為該橢圓的協(xié)同圓.設(shè)橢圓的協(xié)同圓為圓(為坐標(biāo)系原點(diǎn))，試解決下列問題：（1）寫出協(xié)同圓圓的方程；（2）設(shè)直線是圓的任意一條切線，且交橢圓于兩點(diǎn)，求的值；（3）設(shè)是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，過點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，求證：點(diǎn)總在某個(gè)定圓上，并寫出該定圓的方程.【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析，定圓的方程為.【分析】（1）由協(xié)同圓的定義，結(jié)合橢圓方程的參數(shù)寫出協(xié)同圓圓的方程；（2）討論直線的斜率存在和不存在兩種情況：斜率不存在時(shí)，直接求出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求；斜率存在時(shí)，設(shè)聯(lián)立橢圓方程，由切線的性質(zhì)確定判別式符號(hào)，應(yīng)用根與系數(shù)關(guān)系、向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求；（3）設(shè)，則，討論有一條直線的斜率不存在和兩條直線的斜率都存在，分別求，，，由等面積法求，即可證結(jié)論，并寫出定圓方程.【詳解】（1）由橢圓，知.根據(jù)協(xié)同圓的定義，可得該橢圓的協(xié)同圓為圓.……………4分（2）設(shè)，則.直線為圓的切線，分直線的斜率存在和不存在兩種情況討論：①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線.若，由，解得，此時(shí).若，同理得：.………………………6分②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè).由，得，有