13.4最短路徑問題（解析版）

13.4最短路徑問題一、單選題1．如圖，在中，點(diǎn)、、的坐標(biāo)分別為、和，則當(dāng)?shù)闹荛L最小時(shí)，的值為（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】做出B關(guān)于x軸對稱點(diǎn)為B′，連接B′C，交x軸于點(diǎn)A'，此時(shí)的周長最小，由等腰直角三角形的性質(zhì)可求∠OB'A'=∠OA'B'=45°，可求OB'=OA'=1，即可求解．【詳解】如圖所示，做出B關(guān)于x軸對稱點(diǎn)為B′，連接B′C，交x軸于點(diǎn)A'，此時(shí)△ABC周長最小

過點(diǎn)C作CH⊥x軸，過點(diǎn)B'作B'H⊥y軸，交CH于H，

∵B（0，2），

∴B′（0，-2），

∵C（5，3），

∴CH=B′H=5，

∴∠CB'H=45°，

∴∠BB'A'=45°，

∴∠OB'A'=∠OA'B'=45°，

∴OB'=OA'=2，

則此時(shí)A'坐標(biāo)為（2，0）．

m的值為2．

故選：C．【點(diǎn)評】此題考查了軸對稱-最短路徑問題，考查了軸對稱的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出A點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵．2．如圖，是等邊三角形，是邊上的高，E是的中點(diǎn)，P是上的一個(gè)動點(diǎn)，當(dāng)與的和最小時(shí)，的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接BE，則BE的長度即為PE與PC和的最小值．再利用等邊三角形的性質(zhì)可得∠PBC=∠PCB=30°，即可解決問題；【詳解】如連接BE，與AD交于點(diǎn)P，此時(shí)PE+PC最小，

∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，

∴PC=PB，

∴PE+PC=PB+PE=BE，

即BE就是PE+PC的最小值，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠BCE=60°，

∵BA=BC，AE=EC，

∴BE⊥AC，

∴∠BEC=90°，

∴∠EBC=30°，

∵PB=PC，

∴∠PCB=∠PBC=30°，

∴∠ECP=∠ACB-∠PCB=30°，

故選：A．【點(diǎn)評】本題考查的是最短線路問題及等邊三角形的性質(zhì)，熟知兩點(diǎn)之間線段最短的知識是解答此題的關(guān)鍵．3．如圖，△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的高，E是AC的中點(diǎn)，P是AD上的一個(gè)動點(diǎn)，當(dāng)PC與PE的和最小時(shí)，∠ACP的度數(shù)是（）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】A【分析】連接BE，則BE的長度即為PE與PC和的最小值．再利用等邊三角形的性質(zhì)可得∠PBC=∠PCB=30°，即可解決問題；【詳解】如圖，連接BE，與AD交于點(diǎn)P，此時(shí)PE+PC最小，

∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，

∴PC=PB，

∴PE+PC=PB+PE=BE，

即BE就是PE+PC的最小值，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠BCE=60°，

∵BA=BC，AE=EC，

∴BE⊥AC，

∴∠BEC=90°，

∴∠EBC=30°，

∵PB=PC，

∴∠PCB=∠PBC=30°，

∴∠ACP=30°，

故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了最短線路問題及等邊三角形的性質(zhì)，熟知兩點(diǎn)之間線段最短的知識是解答此題的關(guān)鍵．4．在中，，，于點(diǎn)，且，若點(diǎn)在邊上移動，則的最小值是（）A．4.5 B．4.6 C．4.7 D．4.8【答案】D【分析】根據(jù)最短路徑問題得：當(dāng)BP⊥AC時(shí)，的值最小，利用面積關(guān)系得到，代入數(shù)值求出答案.【詳解】由題意得：當(dāng)BP⊥AC時(shí)，的值最小，∵,∴,解得BP=，故選：D.【點(diǎn)評】此題考查最短路徑問題，三角形的面積計(jì)算公式，利用最短路徑問題的思路得到當(dāng)BP⊥AC時(shí)，的值最小是解題的關(guān)鍵.5．如圖，在銳角△ABC中，AB＝AC＝10，S△ABC＝25，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)M，N分別是AD和AB上的動點(diǎn)，則BM＋MN的最小值是（）A．4 B． C．5 D．6【答案】C【分析】根據(jù)AD是∠BAC的平分線，AB=AC可得出確定出點(diǎn)B關(guān)于AD的對稱點(diǎn)為點(diǎn)C，根據(jù)垂線段最短，過點(diǎn)C作CN⊥AB于N交AD于M，根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，點(diǎn)M即為使BM＋MN最小的點(diǎn)，CN＝BM＋MN，利用三角形的面積求出CN，從而得解．【詳解】如圖，∵AD是∠BAC的平分線，AB=AC，∴點(diǎn)B關(guān)于AD的對稱點(diǎn)為點(diǎn)C，過點(diǎn)C作CN⊥AB于N交AD于M，由軸對稱確定最短路線問題，點(diǎn)M即為使BM＋MN最小的點(diǎn)，CN＝BM＋MN，∵AB＝10，S△ABC＝25，

∴×10?CN＝25，解得CN＝5，即BM＋MN的最小值是5．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了軸對稱確定最短路線問題，垂線段最短的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對稱點(diǎn)．6．已知點(diǎn)A，B是兩個(gè)居民區(qū)的位置，現(xiàn)在準(zhǔn)備在墻l邊上建立一個(gè)垃圾站點(diǎn)P，如圖是4位設(shè)計(jì)師給出的規(guī)劃圖，其中PA＋PB距離最短的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)以及線段的性質(zhì)可得到結(jié)論．【詳解】根據(jù)題意知，在墻l邊上建立一個(gè)垃圾站點(diǎn)P，使PA＋PB距離最小，則作A或者B關(guān)于l的對稱點(diǎn)，然后連接找到點(diǎn)P，則D選項(xiàng)符合要求．故選：D【點(diǎn)評】主要考查軸對稱的性質(zhì)的應(yīng)用，最短路線的數(shù)學(xué)模型問題，其次考查作圖能力，要求學(xué)生能夠把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型．7．如圖，直線m表示一條河，M，N表示兩個(gè)村莊，欲在m上的某處修建一個(gè)給水站，向兩個(gè)村莊供水，現(xiàn)有如圖所示的四種鋪設(shè)管道的方案，圖中實(shí)線表示鋪設(shè)的管道，則所需管道最短的方案是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題可通過找點(diǎn)M或點(diǎn)N關(guān)于直線m的對稱點(diǎn)，繼而利用兩點(diǎn)之間線段最短確定最短路徑．【詳解】作點(diǎn)M關(guān)于直線m的對稱點(diǎn)，連接交直線m于P，則P處即為給水站位置．根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”可排除、、選項(xiàng)，可知選項(xiàng)管道最短．故選：．【點(diǎn)評】本題考查將軍飲馬模型，可利用軸對稱性質(zhì)以及兩點(diǎn)之間線段最短求解，將軍飲馬模型有諸多變體形式，需做專題訓(xùn)練對比記憶最佳．8．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC為底邊在△ABC外作等腰△ACD，過點(diǎn)D作∠ADC的平分線分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)．若AC＝12，BC＝5，△ABC的周長為30，點(diǎn)P是直線DE上的一個(gè)動點(diǎn)，則△PBC周長的最小值為（）A．15 B．17 C．18 D．20【答案】C【分析】根據(jù)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對稱，即可得出，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，此時(shí)的周長最小，根據(jù)與的長即可得到周長的最小值．【詳解】是以為底邊的等腰三角形，平分，垂直平分，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對稱，，如圖所示，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，此時(shí)的周長最小，，，的周長為30，，周長的最小值為，故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了最短距離問題，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對稱點(diǎn)．二、填空題9．如圖，在銳角中，，邊上有一定點(diǎn)分別是和邊上的動點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L最小時(shí)，的度數(shù)是_________．【答案】80°【分析】根據(jù)對稱的性質(zhì)，易求得∠C+∠EPF=180°，由∠ACB=50°，易求得∠D+∠G=50°，繼而求得答案；【詳解】∵PD⊥AC，PG⊥BC，∴∠PEC=∠PFC=90°，∴∠C+∠EPF=180°，∵∠C=50°，∵∠D+∠G+∠EPF=180°，∴∠D+∠G=50°，由對稱可知：∠G=∠GPN，∠D=∠DPM，L∴∠GPN+∠DPM=50°，∴∠MPN=130°-50°=80°，故答案為：80°．【點(diǎn)評】此題考查了最短路徑問題以及線段垂直平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，6），點(diǎn)B為x軸上一動點(diǎn)，以AB為邊在直線AB的右側(cè)作等邊三角形ABC．若點(diǎn)P為OA的中點(diǎn)，連接PC，則PC的長的最小值為_____．【答案】【分析】以AP為邊作等邊三角形APE，連接BE，過點(diǎn)E作EF⊥AP于F，由“SAS”可證△ABE≌△ACP，可得BE＝PC，則當(dāng)BE有最小值時(shí)，PC有最小值，即可求解．【詳解】如圖，以AP為邊作等邊三角形APE，連接BE，過點(diǎn)E作EF⊥AP于F，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，6），

∴OA＝6，

∵點(diǎn)P為OA的中點(diǎn)，

∴AP＝3，

∵△AEP是等邊三角形，EF⊥AP，

∴AF＝PF＝，AE＝AP，∠EAP＝∠BAC＝60°，

∴∠BAE＝∠CAP，

在△ABE和△ACP中，∴△ABE≌△ACP（SAS），

∴BE＝PC，

∴當(dāng)BE有最小值時(shí)，PC有最小值，

即BE⊥x軸時(shí)，BE有最小值，

∴BE的最小值為OF＝OP＋PF＝3＋＝，

∴PC的最小值為，

故答案為．【點(diǎn)評】本題考查了軸對稱?最短路線問題，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．11．如圖，等邊△ABC的邊長為4，點(diǎn)D在邊AC上，AD＝1．（1）△ABC的周長等于_____；（2）線段PQ在邊BA上運(yùn)動，PQ＝1，BQ＞BP，連接QD，PC，當(dāng)四邊形PCDQ的周長取得最小值時(shí)，請?jiān)谌鐖D所示的矩形區(qū)域內(nèi)，用無刻度的直尺和圓規(guī)，畫出線段PC，QD，并簡要說明點(diǎn)P和點(diǎn)Q的位置是如何找到的（保留作圖痕跡，不要求證明）_____．【答案】12見解析，過點(diǎn)C作CE∥AB，且CE=1，作點(diǎn)D關(guān)于AB的對稱點(diǎn)F，連接EF交AB于一點(diǎn)為Q，在AB上BQ之間截取PQ=1，連接CP、DQ，則四邊形PCDQ為所求的周長最小的四邊形【分析】（1）根據(jù)三角形周長公式計(jì)算；（2）過點(diǎn)C作CE∥AB，且CE=1，作點(diǎn)D關(guān)于AB的對稱點(diǎn)F，連接EF交AB于一點(diǎn)為Q，在AB上BQ之間截取PQ=1，連接CP、DQ，則四邊形PCDQ為所求的周長最小的四邊形．【詳解】（1）△ABC的周長等于，故答案為：12；（2）如圖：故答案為：過點(diǎn)C作CE∥AB，且CE=1，作點(diǎn)D關(guān)于AB的對稱點(diǎn)F，連接EF交AB于一點(diǎn)為Q，在AB上BQ之間截取PQ=1，連接CP、DQ，則四邊形PCDQ為所求的周長最小的四邊形．．【點(diǎn)評】此題考查等邊三角形的性質(zhì)，三角形周長計(jì)算公式，軸對稱的性質(zhì)，綜合掌握各知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．12．如圖，等腰△ABC底邊BC的長為6cm，面積是24cm2，腰AB的垂直平分線MN交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N，若D為BC邊上的中點(diǎn)，E為線段MN上一動點(diǎn)，則△BDE的周長最小值為____cm．【答案】11【分析】連接AD，由于△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，故AD⊥BC，再根據(jù)三角形的面積公式求出AD的長，再根據(jù)MN是線段AB的垂直平分線可知，點(diǎn)B關(guān)于直線NM的對稱點(diǎn)為點(diǎn)A，故AD的長為BE+ED的最小值，由此即可得出結(jié)論．【詳解】連接AD，

∵△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，

∴AD⊥BC，BD=3cm解得AD=8（cm），

∵M(jìn)N是線段AB的垂直平分線，

∴點(diǎn)B關(guān)于直線MN的對稱點(diǎn)為點(diǎn)A，AD與MN的交點(diǎn)為E,此時(shí)BE+DE的值最小

∴AD的長為BE+ED的最小值，∴△BDE的周長最小值=故答案為11．【點(diǎn)評】本題考查的是軸對稱-最短路線問題，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．13．如圖，在△ABC中，AB=AC，BC=6，△ABC面積為12，AD⊥BC于點(diǎn)D，直線EF垂直平分AB交AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，P為直線EF上一動點(diǎn)，則△PBD的周長的最小值為____________．【答案】7【分析】如圖，連接PA．利用三角形的面積公式求出AD，由EF垂直平分AB，推出PB=PA，推出PB+PD=PA+PD，由PA+PD≥AD，推出PA+PD≥4，推出PA+PD的最小值為4，由此即可解決問題．【詳解】如圖，連接PA．∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC=3，∵S△ABC=?BC?AD=12，∴AD=4，∵EF垂直平分AB，∴PB=PA，∴PB+PD=PA+PD，∵PA+PD≥AD，∴PA+PD≥4，∴PA+PD的最小值為4，∴△PBD的最小值為4+3=7，故答案為：7．【點(diǎn)評】本題考查軸對稱-最短問題，線段的垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．14．如下圖，，在、上分別找一點(diǎn)M、N，當(dāng)周長最小時(shí)，的度數(shù)是_____________．【答案】120°【分析】根據(jù)要使△AMN的周長最小，即利用點(diǎn)的對稱，讓三角形的三邊在同一直線上，作出A關(guān)于BC和CD的對稱點(diǎn)A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=60°，進(jìn)而得出∠AMN+∠ANM=2（∠AA′M+∠A″）即可得出答案．【詳解】作A關(guān)于BC和CD的對稱點(diǎn)A′，A″，連接A′A″，交BC于M，交CD于N，則A′A″即為△AMN的周長最小值．

∵∠DAB=120°，

∴∠AA′M+∠A″=180°-∠BAD=60°，

∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，

∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=2×60°=120°，故答案為：120°．【點(diǎn)評】此題主要考查了平面內(nèi)最短路線問題求法以及三角形的外角的性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出M，N的位置是解題關(guān)鍵．三、解答題15．如圖，小明在A處放牛，要到河邊（直線l）給牛喝水，喝完水把牛趕回家中B處．（1）要使路程最短，應(yīng)該在河邊哪處給牛喝水，請?jiān)谥本€l上畫出喝水處點(diǎn)P的位置；（2）在直線l上任取一點(diǎn)Q（點(diǎn)Q不與點(diǎn)P重合），連接，試說明．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）要使PA＋PB最短，根據(jù)同一平面內(nèi)線段最短，可知要作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A′，連接A′B交直線l于P；（2）在直線l上任取另一點(diǎn)Q，連接PA、QA、QB．根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到PA＝PA′，QA＝QA′．根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可得到結(jié)論．【詳解】（1）如圖，點(diǎn)P即為所求．

（2）如圖，在直線l上任取一點(diǎn)Q，連接．∵點(diǎn)A與關(guān)于直線l對稱，點(diǎn)P，Q在直線l上，∴．∵，∴，即，∴．【點(diǎn)評】本題考查了軸對稱，以及三角形的三邊關(guān)系，正確確定如何使線段的和最小是關(guān)鍵．16．如圖，BA、BC是兩條公路，在兩條公路夾角內(nèi)部的點(diǎn)P處有一油庫，若在兩公路上分別建個(gè)加油站，并使運(yùn)油的油罐車從油庫出發(fā)先到一加油站，再到另一加油站，最后回到油庫的路程最短，則加油站應(yīng)如何選址？【答案】見解析【分析】利用關(guān)于直線對稱點(diǎn)的性質(zhì)得出P點(diǎn)關(guān)于AB的對稱點(diǎn)P'，以及P點(diǎn)關(guān)于CB的對稱點(diǎn)P"，根據(jù)兩點(diǎn)直接線段最短，連接P'P"即可得出．【詳解】如圖所示：C、D點(diǎn)即為所求．【點(diǎn)評】此題主要考查了應(yīng)用作圖與設(shè)計(jì)，兩點(diǎn)之間線段最短，利用關(guān)于直線對稱點(diǎn)的性質(zhì)得出是解題關(guān)鍵．17．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（4，1），B（3，4），C（1，2）．（1）畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1，并寫出頂點(diǎn)C1的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)P在x軸上，且滿足PA＋PC1最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及PA＋PC1的最小值．【答案】（1）圖見解析，C1（-1，2）；（2）P（，0），．【分析】（1）根據(jù)軸對稱的定義，將關(guān)于y軸的對應(yīng)點(diǎn)分別畫出，順次連接即可；（2）作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，與C1連接，此時(shí)與x軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，求出直線的解析式，令y=0，求出x，即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，為最小值，利用勾股定理即可求出長度．【詳解】（1）△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1如圖所示：

點(diǎn)C1的坐標(biāo)（-1，2）（2）作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，與C1連接，此時(shí)與x軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，為最小值∵C1（-1，2），（4，-1）設(shè)的解析式為y=kx+b，將點(diǎn)C1和代入，得：，求得∴的解析式為令y=0，x=，即點(diǎn)P（，0）利用勾股定理，=．【點(diǎn)評】本題考查了軸對稱圖形以及最短路徑，熟練各作圖方法是解決本題的關(guān)鍵．18．如圖，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，已知A（?4，5），B（﹣3，1），C（?2，3）．（1）畫出△ABC及關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1，其中點(diǎn)B1的坐標(biāo)是________；（2）若點(diǎn)M是x軸上的動點(diǎn)，在圖中畫出使△B1CM周長最小時(shí)的點(diǎn)M．【答案】（1）圖形見解析；B1（3，2）；（2）見解析【分析】（1）分別找到A、B、C點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)，然后連接即可；（2）找C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)C′，連接交x軸于一點(diǎn)M，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可知此時(shí)的M即為使周長最小時(shí)的點(diǎn)M．【詳解】（1）如圖所示；根據(jù)圖形可知B1(3，2)，故答案為：(3，2)；（2）如圖所示：找C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)C′，則C′(-2，-3)，，連接交x軸于一點(diǎn)M，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可知此時(shí)的M即為使周長最小時(shí)的點(diǎn)M．【點(diǎn)評】本題考查作圖-軸對稱、最短路徑問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基礎(chǔ)知識．19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，．

（1）作出關(guān)于軸的對稱圖形；（2）寫出點(diǎn)，，的坐標(biāo)；（3）在軸上找一點(diǎn)，使最短（不寫作法）．【答案】（1）見解析；（2），，；（3）見解析【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)確定點(diǎn)，順次連線即可得到圖形；（2）根據(jù)點(diǎn)的位置直接得解；（3）連接與y軸交于一點(diǎn)即為點(diǎn)P，連接PC，此時(shí)AP+PC最短．【詳解】（1）如圖所示，為所求作．

（2）由圖可得，，，．（3）如圖所示，點(diǎn)即為所求作．【得解】此題考查軸對稱的性質(zhì)，軸對稱作圖，點(diǎn)的坐標(biāo)，最短路徑問題，正確理解軸對稱的性質(zhì)作出圖形是解題的關(guān)鍵．20．如圖，在等腰三角形ABC中，底邊，的面積是，腰AB的垂直平分線EF分別交AB、AC于點(diǎn)E、F，點(diǎn)D為BC邊上的中點(diǎn)，M為EF上的動點(diǎn)．（1）當(dāng)周長的最小時(shí)，請?jiān)趫D中作出滿足條件的（保留作圖痕跡，不要求寫出畫法）．（2）周長的最小值是___________．【答案】（1）圖見解析；（2）5.5【分析】（1）根據(jù)三角形周長公式和兩點(diǎn)之間線段最短來分析，進(jìn)而再利用簡單的作圖方法即可作圖；（2）根據(jù)三角形面積公式求出AD，再根據(jù)中點(diǎn)定義求出BD即可求解．【詳解】（1）如圖所示；連接AM，∵EF是AB的線段垂直平分線∴AM＝BM∴△BDM的周長＝BM＋DM＋BD又AM＝BM∴△BDM的周長＝AM＋DM＋BD∵BD是定值∴當(dāng)A、M、D三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，AM＋DM值最小，即△BDM的周長最小，（2）∵△ABC是等腰三角形又點(diǎn)D為BC邊上的中點(diǎn)，∴AD是△ABCBC邊上的高，∵，，的面積是，∴BD＝1.5cm，AD＝4cm∴△BDM的周長最小值＝AM＋DM＋BD＝AD＋BD＝5.5cm【點(diǎn)評】本題考查軸對稱—最短路線問題，線段存在平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形周長公式和面積公式等知識，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用所學(xué)知識求得△BDM的周長最小值＝AM＋DM＋BD21．如圖，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（1，1），B（4，2），C（3，4）．（1）請畫出△ABC關(guān)于x軸成軸對稱的圖形△A1B1C1，并寫出A1、B1、C1的坐標(biāo)；（2）若小正方形的邊長為1，試求△ABC的面積．（3）在x軸上找一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小，請畫出點(diǎn)P的位置．【答案】（1）作圖見解析，A1（1，﹣1）、B1（4，﹣2）、C1（3，﹣4）；（2）3.5；（3）作圖見解析．【分析】（1）依據(jù)軸對稱的性質(zhì)進(jìn)行作圖，即可得到△A1B1C1，根據(jù)網(wǎng)格圖得到A1、B1、C1的坐標(biāo)；（2）依據(jù)割補(bǔ)法進(jìn)行計(jì)算，即可得到△ABC的面積；（3）因?yàn)锳1與A點(diǎn)是關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)，連結(jié)A1B，交x軸于點(diǎn)P，此時(shí)PA+PB的值最小．【詳解】（1）如圖所示，△A1B1C1即為所求，由圖知，A1的坐標(biāo)為(1，﹣1)、B1的坐標(biāo)為(4，﹣2)、C1的坐標(biāo)為(3，﹣4)；（2）△ABC的面積=．（3）如圖所示，點(diǎn)P即為所求．【點(diǎn)評】本題考查了作圖——軸對稱變換，軸對稱——最短路徑問題．凡是涉及最短距離問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對稱的變換來解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對稱點(diǎn)．22．在平面直角坐標(biāo)系中，B(2，2)，以O(shè)B為一邊作等邊△OAB（點(diǎn)A在x軸正半軸上）．（1）若點(diǎn)C是y軸上任意一點(diǎn)，連接AC，在直線AC上方以AC為一邊作等邊△ACD．①如圖1，當(dāng)點(diǎn)D落在第二象限時(shí)，連接BD，求證：AB⊥BD；②若△ABD是等腰三角形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）如圖2，若FB是OA邊上的中線，點(diǎn)M是FB一動點(diǎn)，點(diǎn)N是OB一動點(diǎn)，且OM+NM的值最小，請?jiān)趫D2中畫出點(diǎn)M、N的位置，并求出OM+NM的最小值．【答案】（1）①見解析；②點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，﹣4)或(0，4)；（2）2【分析】（1）①證明△ABD≌△AOC（SAS），得出∠ABD＝∠AOC＝90°即可；②存在兩種情況：當(dāng)點(diǎn)D落在第二象限時(shí)，作BM⊥OA于M，由等邊三角形的性質(zhì)得出AO＝2OM＝4，同①得△ABD≌△AOC（SAS），得出BD＝OC，∠ABD＝∠OAC＝90°，