江蘇省南京市育英第二外國語學(xué)校2024-2025學(xué)年八年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷

2024-2025學(xué)年江蘇省南京市育英第二外國語學(xué)校八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共6小題，每小題2分，共12分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.下面是人教版物理教材中部分電路元件的符號，不是軸對稱圖形的是(

)A. B. C. D.2.以下列線段的長為三邊的三角形中，能構(gòu)成直角三角形的是(

)A.，， B.13，5，12 C.，， D.，，3.如圖所示，在數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)為a，則a的值為(

)A.

B.

C.

D.24.下列說法：①是9的一個(gè)平方根；②16的平方根是4；③的平方根是；④的算術(shù)平方根是；⑤的立方根是；⑥的平方根是，其中正確的說法有(

)A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)5.若中，，，高，則BC的長是(

)A. B.

C.或 D.以上都不對6.在如圖所示的網(wǎng)格中，是格點(diǎn)三角形即頂點(diǎn)恰好是網(wǎng)格線的交點(diǎn)，則與有一條公共邊且全等不含的所有格點(diǎn)三角形的個(gè)數(shù)是(

)A.5個(gè)

B.6個(gè)

C.7個(gè)

D.8個(gè)二、填空題：本題共10小題，每小題2分，共20分。7.的算術(shù)平方根是______；的算術(shù)平方根是______；的平方根是______.8.a是的整數(shù)部分，b是的小數(shù)部分，則的值是______.9.如圖，，要利用“SAS”說明≌，需添加的條件是______.

10.《九章算術(shù)》是我國古代最重要的數(shù)學(xué)著作之一，在“勾股”章中記載了一道“折竹抵地”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何？”意思是：一根竹子，原高一丈一丈尺，一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部3尺遠(yuǎn)，問折斷處離地面的高度是多少？設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，則可列方程為______.

11.如圖，方格紙中是9個(gè)完全相同的正方形，則的值為______.

12.工人師傅常用角尺平分一個(gè)任意角.做法如下：如圖，是一個(gè)任意角，在邊OA和OB上分別取，移動角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與點(diǎn)M，N重合.過角尺頂點(diǎn)C的射線OC便是的平分線，這里構(gòu)造全等三角形的依據(jù)是______填簡寫

13.已知，，則______，______.14.如圖，D是內(nèi)一點(diǎn)，且AD平分，連接BD，若的面積為16，那么的面積是______.

15.一個(gè)三角形有一內(nèi)角為，如果經(jīng)過其一個(gè)頂點(diǎn)作直線能把其分成兩個(gè)等腰三角形，那么它的最大內(nèi)角可能是

.16.，，，，以AB為邊向外作正，則______.

三、計(jì)算題：本大題共2小題，共14分。17.張老師在一次“探究性學(xué)習(xí)”課中，設(shè)計(jì)了如下數(shù)表：n2345…a…b46810…c…請你分別觀察a、b、c與n之間的關(guān)系，并用含自然數(shù)n

的代數(shù)式表示；

猜想：以a、b、c為邊的三角形是否為直角三角形？請證明你的猜想．18.如圖，中，，，，若動點(diǎn)P從點(diǎn)C開始，按的路徑運(yùn)動，且速度為每秒1cm，設(shè)出發(fā)的時(shí)間為t秒．

出發(fā)2秒后，求的周長．

問t為何值時(shí)，為等腰三角形？

另有一點(diǎn)Q，從點(diǎn)C開始，按的路徑運(yùn)動，且速度為每秒2cm，若P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)P、Q中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動．當(dāng)t為何值時(shí)，直線PQ把的周長分成相等的兩部分？四、解答題：本題共8小題，共54分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。19.本小題8分

解下列方程

；

20.本小題8分

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，

在平面直角坐標(biāo)系中畫出；

畫出與關(guān)于y軸對稱的的圖形；

的面積是______；

若點(diǎn)P是y軸上一動點(diǎn)，則的最小值是______.21.本小題6分

如圖，點(diǎn)E在CD上，BC與AE交于點(diǎn)F，，，

求證：≌；

證明：22.本小題5分

已知，如圖，AD是的角平分線，DE、DF分別是和的高．

求證：AD垂直平分23.本小題5分

如圖，，，，，，求這塊地的面積．24.本小題6分

如圖，A城氣象臺測得臺風(fēng)中心在A城正西方向320km的B處，以每小時(shí)40km的速度向北偏東的BF方向移動，距離臺風(fēng)中心200km的范圍內(nèi)是受臺風(fēng)影響的區(qū)域．

城是否受到這次臺風(fēng)的影響？為什么？

若A城受到這次臺風(fēng)影響，那么A城遭受這次臺風(fēng)影響有多長時(shí)間？25.本小題8分

閱讀理解：如圖1，在的邊AB上取一點(diǎn)P，連接CP，可以把分成兩個(gè)三角形，如果這兩個(gè)三角形都是等腰三角形，我們稱點(diǎn)P是的邊AB上的完美點(diǎn)．

解決問題：

如圖2，中，，試找出邊AB上的完美點(diǎn)P，并說明理由．

如圖3，已知，的頂點(diǎn)B在射線l上，點(diǎn)P是邊AB上的完美點(diǎn)，請認(rèn)真分析所有符合要求的點(diǎn)B，直接寫出相應(yīng)的的度數(shù)．26.本小題8分

【閱讀理解】

課外興趣小組活動時(shí)，老師提出了如下問題：

如圖1，中，若，，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到點(diǎn)E，使，請根據(jù)小明的方法思考：

由已知和作圖能得到≌的理由是______.

A.

求得AD的取值范圍是______.

A.

【感悟】

解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個(gè)三角形中．

【問題解決】

如圖2，AD是的中線，BE交AC于E，交AD于F，且求證：

答案和解析1.【答案】D

【解析】解：該圖形是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；

B.該圖形是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；

C.該圖形是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；

D.該圖形不是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意．

故選：

根據(jù)軸對稱圖形的定義逐項(xiàng)分析即可．

本題考查了軸對稱圖形的概念，掌握軸對稱圖形的定義“如果一個(gè)平面圖形沿著一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形叫做軸對稱圖形”是解題的關(guān)鍵．2.【答案】B

【解析】解：A、，故不能構(gòu)成直角三角形；

B、，故能構(gòu)成直角三角形；

C、，故不能構(gòu)成直角三角形；

D、，故不能構(gòu)成直角三角形．

故選：

欲求證是否為直角三角形，利用勾股定理的逆定理即可．這里給出三邊的長，只要驗(yàn)證兩小邊的平方和等于最長邊的平方即可．

本題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用．判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．3.【答案】B

【解析】解：直角三角形中，斜邊，

也就是說圓弧的半徑

因?yàn)锳在原點(diǎn)左側(cè)，所以點(diǎn)A對應(yīng)的實(shí)數(shù)是

故選：

利用勾股定理求出半徑，確定OA的長，根據(jù)數(shù)軸點(diǎn)A的位置確定符號，得出答案．

本題考查了數(shù)軸與實(shí)數(shù)的一一對應(yīng)關(guān)系，解答時(shí)，需要用到勾股定理、同圓的半徑相等等知識，解題的關(guān)鍵是確定OA的長．4.【答案】C

【解析】解：①是9的一個(gè)平方根，正確；

②16的平方根是，故原說法錯誤；

③沒有平方根，故原說法測；

④的算術(shù)平方根是，正確；

⑤的立方根是，故原說法錯誤；

⑥的平方根是，正確．

所以正確的說法有①④⑥共3個(gè)．

故選：

根據(jù)平方根、算術(shù)平方根、立方根的定義，即可解答．

本題考查了平方根、算術(shù)平方根、立方根，解決本題的關(guān)鍵是熟記平方根、算術(shù)平方根、立方根．5.【答案】C

【解析】解：當(dāng)高AD在BC上時(shí)，如圖1所示：

，

在中，由勾股定理得，

，

又，，

同理可得：，

又，

；

當(dāng)高AD在BC的延長線上時(shí)，如圖2所示：

，

在中，由勾股定理得，

，

又，，

，

同理可得；，

又，

，

綜合所述：BC的長是或，

故選：

在中，由可能是銳角或是鈍角，高AD可能線段BC上或BC的延長線上，分兩種情況求解，根據(jù)勾股定理，線段和差求出線段BC的長為是或

本題綜合考查了勾股定理的運(yùn)用，線段的和差計(jì)算等相關(guān)知識，重點(diǎn)掌握勾股定理的運(yùn)用，易錯點(diǎn)三角形可能是銳角三角形或鈍角三角形．6.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查了全等三角形的判定定理，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，兩直角三角形全等還有根據(jù)全等三角形的判定定理畫出符合的三角形即可．

【解答】

解：以BC為公共邊的三角形有，，，

以AC為公共邊的三角形有，，，

以AB為公共邊的三角形有，

，

故選：7.【答案】2

【解析】解：，其算術(shù)平方根為2；

，其算術(shù)平方根為；

，其平方根為

故答案為：2；；

根據(jù)平方根和算術(shù)平方根的定義即可求解．

本題考查的是平方根，明確算術(shù)平方根的概念是解題的關(guān)鍵．8.【答案】

【解析】解：，

，

的整數(shù)部分為1，的小數(shù)部分為，

是的整數(shù)部分，b是的小數(shù)部分，

，，

故答案為：

根據(jù)，利用不等式的性質(zhì)可得，求出a、b

的值，再代入計(jì)算即可．

此題主要考查了估算無理數(shù)的大小，正確得出a，b的值是解題關(guān)鍵．9.【答案】

【解析】解：添加，

，

，

在和中，

≌，

故答案為：

由可得，然后添加可利用“SAS”說明≌

本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、10.【答案】

【解析】解：設(shè)竹子折斷處離地面x尺，則斜邊為尺，

根據(jù)勾股定理得：，

故答案為：

竹子折斷后剛好構(gòu)成一直角三角形，設(shè)竹子折斷處離地面x尺，則斜邊為尺，利用勾股定理解題即可．

本考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用題目信息構(gòu)造直角三角形，從而運(yùn)用勾股定理解題．11.【答案】

【解析】解：如圖，在與中，

，

≌，

，

則

故答案為：

利用全等三角形的判定定理SAS證得≌，則其對應(yīng)角相等：，則

本題考查的是全等形的識別、全等圖形的基本性質(zhì)，屬于較容易的基礎(chǔ)題．12.【答案】SSS

【解析】解：在和中，

，

≌，

，

即射線OC是的平分線，

故答案為：

利用SSS證明≌，得，即可解決問題．

本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．13.【答案】

【解析】解：，，

，

故填，

當(dāng)被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)每移動三位，那么其立方根的小數(shù)點(diǎn)也向相同方向移動一位，由此即可解決問題．

此題主要考查了立方根的性質(zhì)：當(dāng)被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)每移動三位，那么其立方根的小數(shù)點(diǎn)也向相同方向移動一位．14.【答案】32

【解析】解：延長CD交AB于E，如下圖所示：

平分，

，

，

，

在和中

，，，

≌，

，，

，

，

故答案為：

延長CD交AB于E，證明和全等得，，進(jìn)而得，由此得，則，據(jù)此可得的面積．

此題主要考查了角平分線的定義，全等三角形的判定和性質(zhì)，理解角平分線的定義，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．15.【答案】，，，，

【解析】解：如圖①所示，當(dāng)時(shí)，那么它的最大內(nèi)角是

當(dāng)時(shí)，有以下4種情況，

對應(yīng)的最大內(nèi)角分別是：，，，

故答案為：，，，，

當(dāng)它為頂角時(shí)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可以求得最大角是90度，如圖①所示；當(dāng)它是側(cè)角時(shí)，用同樣的方法，可求得最大角有4種情況．

此題主要考查學(xué)生對等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理的理解和掌握，正確畫出圖形是解題的關(guān)鍵.16.【答案】

【解析】解：如圖，以BC為邊向下作等邊，連接AE，作交AC的延長線于

，都是等邊三角形，

，，，

，

≌，

，

在中，，，

，，

在中，

故答案為：

如圖，以BC為邊向下作等邊，連接AE，作交AC的延長線于利用全等三角形的性質(zhì)證明，即可解決問題．

本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．17.【答案】解：由圖表可以得出：

時(shí)，，，，

時(shí)，，，，

時(shí)，，，，

…

，，

、b、c為邊的三角形時(shí)：

，

，

，

以a、b、c為邊的三角形是直角三角形．

【解析】利用圖表可以發(fā)現(xiàn)a，b，c與n的關(guān)系，a與c正好是，加減1，即可得出答案；

利用完全平方公式計(jì)算出的值，以及的值，再利用勾股定理逆定理即可求出．

此題主要考查了勾股定理逆定理與數(shù)字的變化規(guī)律等知識，利用圖表之間的變化得出a、b、c與n之間的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．18.【答案】解：如圖1，由，，，

，動點(diǎn)P從點(diǎn)C開始，按的路徑運(yùn)動，且速度為每秒1cm，

出發(fā)2秒后，則，

，

，

的周長為：

①如圖2，若P在邊AC上時(shí)，，

此時(shí)用的時(shí)間為3s，為等腰三角形；

②若P在AB邊上時(shí)，有三種情況：

如圖3，若使，此時(shí)，P運(yùn)動的路程為，

所以用的時(shí)間為6s，為等腰三角形；

如圖4，若，過C作斜邊AB的高，根據(jù)面積法求得高為，

作于點(diǎn)D，

在中，，

所以，

所以P運(yùn)動的路程為，

則用的時(shí)間為，為等腰三角形；

ⅲ如圖5，若，此時(shí)P應(yīng)該為斜邊AB的中點(diǎn)，P運(yùn)動的路程為

則所用的時(shí)間為，為等腰三角形；

綜上所述，當(dāng)t為3s、、6s、時(shí)，為等腰三角形

如圖6，當(dāng)P點(diǎn)在AC上，Q在AB上，則，，

直線PQ把的周長分成相等的兩部分，

，

；

如圖7，當(dāng)P點(diǎn)在AB上，Q在AC上，則，，

直線PQ把的周長分成相等的兩部分，

，

，

當(dāng)t為2或6秒時(shí)，直線PQ把的周長分成相等的兩部分．

【解析】根據(jù)速度為每秒1cm，求出出發(fā)2秒后CP的長，然后就知AP的長，利用勾股定理求得PB的長，最后即可求得周長．

因?yàn)锳B與CB，由勾股定理得因?yàn)锳B為5cm，所以必須使，或，所以必須使AC或AB等于3，有兩種情況，為等腰三角形．

分類討論：當(dāng)P點(diǎn)在AC上，Q在AB上，則，，；當(dāng)P點(diǎn)在AB上，Q在AC上，則，，

此題考查學(xué)生對等腰三角形的判定與性質(zhì)的理解和掌握，但是此題涉及到了動點(diǎn)，對于初二學(xué)生來說是個(gè)難點(diǎn)，尤其是第由兩種情況，為等腰三角形，因此給這道題又增加了難度，因此這是一道難題．19.【答案】解：，

，

；

，

【解析】根據(jù)平方根的定義計(jì)算即可；

根據(jù)立方根的定義計(jì)算即可．

本題考查了平方根和立方根，掌握它們的定義是解題的關(guān)鍵．20.【答案】解：如圖所示，即為所求，

如上圖所示，即為所求；

，

的面積是

由圖形可知，的最小值即為的長，

的最小值

【解析】根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，可得出點(diǎn)A、B、C的位置，從而畫出；

根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，可畫出；

利用所在的矩形面積減去周圍三個(gè)直角三角形面積即可；

連接，則的最小值即為的長，利用勾股定理即可得出答案．

本題主要考查了作圖-軸對稱變換，軸對稱-最短路線問題，三角形的面積等知識，準(zhǔn)確畫出圖形是解題的關(guān)鍵．21.【答案】證明：

，

在和中，

，

≌；

≌，

，

，

【解析】根據(jù)等式的性質(zhì)得，再利用SAS即可證明結(jié)論成立；

根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等得，對頂角相等得，利用三角形內(nèi)角和定理可得結(jié)論．

本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理等知識，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22.【答案】證明：設(shè)AD、EF的交點(diǎn)為K，

平分，，，

，，

，

在和中，，

，

是的角平分線

是線段EF的垂直平分線．

【解析】根據(jù)三角形的角平分線的性質(zhì)定理和垂直平分線的性質(zhì)定理解答．

此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是找到和，通過兩個(gè)三角形全等，找到各量之間的關(guān)系，即可證明．23.【答案】解：連結(jié)AC，

在中，，，

，

，

在中

，，，

，

，

答：這塊地的面積為

【解析】連接AC，由，，利用勾股定理可求出AC的長，再根據(jù)，，利用勾股定理的逆定理可證為直角三角形，即可求出這塊地的面積．

此題主要考查勾股定理和勾股定理的逆定理等知識點(diǎn)，難度不大，解答此題的關(guān)鍵是連接AC，求出三角形ABC的面積，再減去三角形ACD的面積即可．24.【答案】解：由A點(diǎn)向BF作垂線，垂足為C，

在中，，，則，

因?yàn)?，所以A城要受臺風(fēng)影響；

設(shè)BF上點(diǎn)D，，則還有一點(diǎn)G，有

因?yàn)?，所以是等腰三角形?/p>

因?yàn)?，所以AC是