新高考數(shù)學(xué)三輪沖刺天津卷押題練習(xí)第18題（教師版）

橢圓大題考點2年考題考情分析解析幾何之橢圓大題2023年天津卷第18題2022年天津卷第19題近兩年高考對于橢圓的考察整體難度中等，利用題干給的信息進(jìn)行分析，得到需要的方程求解，分析難度整體不大，計算量較大。圓錐曲線橢圓大題的難度多來自聯(lián)立方程之后的計算，往往需要考生有比較扎實的計算功底。題型一橢圓18．（15分）（2023?天津）設(shè)橢圓SKIPIF1<0的左、右頂點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，右焦點為SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（Ⅰ）求橢圓方程及其離心率；（Ⅱ）已知點SKIPIF1<0是橢圓上一動點（不與頂點重合），直線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0軸于點SKIPIF1<0，若△SKIPIF1<0的面積是△SKIPIF1<0面積的二倍，求直線SKIPIF1<0的方程．【分析】（Ⅰ）由題意可得SKIPIF1<0，求解SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的值，再由隱含條件求解SKIPIF1<0，則橢圓方程可求；（Ⅱ）由題意可知，直線SKIPIF1<0的斜率存在且不為0，設(shè)直線方程為SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，分別求出△SKIPIF1<0的面積與△SKIPIF1<0面積，再由已知列式求解SKIPIF1<0，則直線方程可求．【解答】解：（Ⅰ）由題意可知，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．則橢圓方程為SKIPIF1<0，橢圓的離心率為SKIPIF1<0；（Ⅱ）由題意可知，直線SKIPIF1<0的斜率存在且不為0，當(dāng)SKIPIF1<0時，直線方程為SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．聯(lián)立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．△SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；同理求得當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．19．（15分）（2022?天津）橢圓SKIPIF1<0的右焦點為SKIPIF1<0、右頂點為SKIPIF1<0，上頂點為SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0．（1）求橢圓的離心率SKIPIF1<0；（2）直線SKIPIF1<0與橢圓有唯一公共點SKIPIF1<0，與SKIPIF1<0軸相交于SKIPIF1<0異于SKIPIF1<0．記SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0．【分析】（1）根據(jù)SKIPIF1<0建立SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的等式，再轉(zhuǎn)化為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的等式，從而得離心率SKIPIF1<0的值；（2）先由（1）將橢圓方程轉(zhuǎn)化為SKIPIF1<0，再設(shè)直線SKIPIF1<0為SKIPIF1<0，聯(lián)立橢圓方程求出點SKIPIF1<0的坐標(biāo)，再由△SKIPIF1<0及SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0建立方程組，再解方程組即可得解．【解答】解：（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）由（1）可知橢圓為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，設(shè)直線SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，又直線SKIPIF1<0與橢圓只有一個公共點，SKIPIF1<0△SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為SKIPIF1<0．1．弦長公式設(shè)直線與橢圓的交點坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])或|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k2)))[y1＋y22－4y1y2])，k為直線斜率且k≠0.2.常用結(jié)論已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．(1)通徑的長度為eq\f(2b2,a).(2)過左焦點的弦AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則焦點弦|AB|＝2a＋e(x1＋x2)；過右焦點弦CD，C(x3，y3)，D(x4，y4)，則焦點弦|CD|＝2a－e(x3＋x4)．(e為橢圓的離心率)(3)A1，A2為橢圓的長軸頂點，P是橢圓上異于A1，A2的任一點，則SKIPIF1<0.(4)AB是橢圓的不平行于對稱軸的弦，O為原點，M為AB的中點，則kOM·kAB＝－eq\f(b2,a2).(5)過原點的直線交橢圓于A，B兩點，P是橢圓上異于A，B的任一點，則kPA·kPB＝－eq\f(b2,a2).(6)點P(x0，y0)在橢圓上，過點P的切線方程為eq\f(x0x,a2)＋eq\f(y0y,b2)＝1.3.做題技巧1若直線經(jīng)過x軸上一點SKIPIF1<0時可以考慮解設(shè)直線方程為SKIPIF1<0。2如果直線不明確經(jīng)過橢圓內(nèi)一點時，需要考慮計算△。3直線與橢圓相切時△=0,此外切點的橫坐標(biāo)SKIPIF1<01．設(shè)橢圓SKIPIF1<0的離心率等于SKIPIF1<0，拋物線SKIPIF1<0的焦點SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0的一個頂點，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別是橢圓的左右頂點．（1）求橢圓SKIPIF1<0的方程；（2）動點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0為橢圓上異于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的兩點，設(shè)直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求證：直線SKIPIF1<0經(jīng)過定點．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）證明過程見詳解，定點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【分析】（1）由拋物線的方程可得焦點SKIPIF1<0的坐標(biāo)，由橢圓的離心率的值和它的一個頂點，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值，即求出橢圓的方程；（2）設(shè)直線SKIPIF1<0的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，可得SKIPIF1<0的坐標(biāo)，同理可得SKIPIF1<0的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線SKIPIF1<0的方程，可證得直線SKIPIF1<0恒過定點的坐標(biāo)．【解答】（1）解：SKIPIF1<0的焦點SKIPIF1<0的坐標(biāo)SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以橢圓的方程為：SKIPIF1<0；（2）證明：由（1）可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由題意可知，直線SKIPIF1<0的斜率存在，且不為0，設(shè)直線SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，整理可得：SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，代入橢圓方程，同理：SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0過定點SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0也過點SKIPIF1<0，綜上所述：直線SKIPIF1<0過定點SKIPIF1<0．2．已知橢圓SKIPIF1<0的一個焦點與拋物線SKIPIF1<0的焦點SKIPIF1<0重合，拋物線的準(zhǔn)線被SKIPIF1<0截得的線段長為SKIPIF1<0．（Ⅰ）求橢圓SKIPIF1<0的方程；（Ⅱ）過點SKIPIF1<0作直線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，試問：在SKIPIF1<0軸上是否存在一個定點SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0為定值？若存在，求出SKIPIF1<0的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（Ⅰ）SKIPIF1<0；（Ⅱ）存在，SKIPIF1<0．【分析】（Ⅰ）根據(jù)拋物線的焦點坐標(biāo)公式、準(zhǔn)線方程，結(jié)合橢圓中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的關(guān)系進(jìn)行求解即可；（Ⅱ）先討論直線斜率存在的情況，設(shè)直線方程，聯(lián)立之后寫出韋達(dá)定理，代入數(shù)量積公式表示SKIPIF1<0，化簡計算之后得分子分母的比值關(guān)系，求解出SKIPIF1<0的橫坐標(biāo)，再將點SKIPIF1<0代入判斷直線斜率不存在的情況是否成立．【解答】解：（Ⅰ）拋物線的焦點SKIPIF1<0，準(zhǔn)線方程為SKIPIF1<0，因為橢圓SKIPIF1<0的一個焦點與拋物線SKIPIF1<0的焦點SKIPIF1<0重合，所以SKIPIF1<0，因為拋物線的準(zhǔn)線被SKIPIF1<0截得的線段長為SKIPIF1<0，所以點SKIPIF1<0在橢圓上，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．（Ⅱ）假設(shè)存在符合條件的點SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，①當(dāng)直線SKIPIF1<0的斜率不為0時，設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0因此SKIPIF1<0，若對于任意的SKIPIF1<0值，上式為定值，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，此時，SKIPIF1<0為定值．②當(dāng)直線SKIPIF1<0的斜率為0時，SKIPIF1<0，綜合①②知，符合條件的點SKIPIF1<0存在，其坐標(biāo)為SKIPIF1<0．3．已知橢圓SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0，焦距是短半軸長的SKIPIF1<0倍．（Ⅰ）求橢圓SKIPIF1<0的方程；（Ⅱ）點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0上的三個不同點，線段SKIPIF1<0交SKIPIF1<0軸于點SKIPIF1<0異于坐標(biāo)原點SKIPIF1<0．且總有SKIPIF1<0的面積與SKIPIF1<0的面積相等，直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別交SKIPIF1<0軸于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，求SKIPIF1<0的值．【答案】（Ⅰ）SKIPIF1<0；（Ⅱ）4．【分析】（Ⅰ）根據(jù)題意列方程即可求解；（Ⅱ）因為SKIPIF1<0的面積與SKIPIF1<0的面積相等，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點關(guān)于SKIPIF1<0軸對稱，設(shè)直線SKIPIF1<0，則可得SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0與橢圓方程，由韋達(dá)定理可得SKIPIF1<0，進(jìn)一步可得直線SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．【解答】解（Ⅰ）：設(shè)橢圓的半焦距SKIPIF1<0，由題意得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，橢圓的方程SKIPIF1<0；（Ⅱ）因為SKIPIF1<0的面積與SKIPIF1<0的面積相等，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點關(guān)于SKIPIF1<0軸對稱，由題意直線SKIPIF1<0斜率SKIPIF1<0存在且不為0，并且縱截距不為0，設(shè)直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0又直線SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．4．在平面直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，橢圓SKIPIF1<0的左焦點為點SKIPIF1<0，離心率為SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0且與SKIPIF1<0軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為3．（Ⅰ）求橢圓SKIPIF1<0的方程；（Ⅱ）設(shè)不過原點SKIPIF1<0且斜率為SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0交于不同的兩點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，線段SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0交于兩點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0．【答案】（Ⅰ）SKIPIF1<0；（Ⅱ）證明見解答【分析】（Ⅰ）根據(jù)已知可得關(guān)于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方程組，求解即可；（Ⅱ）設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，與橢圓方程聯(lián)立，可得根與系數(shù)的關(guān)系，從而可得SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0的坐標(biāo)，進(jìn)而可得直線SKIPIF1<0的方程，與橢圓方程聯(lián)立，可得點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的坐標(biāo)，分別計算SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即可得證．【解答】（Ⅰ）解：依題意，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．（Ⅱ）證明：設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，設(shè)點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，△SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，由韋達(dá)定理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0中點SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，設(shè)點SKIPIF1<0在第二象限，聯(lián)立方程組SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．5．已知橢圓SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0，且橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0．（Ⅰ）求橢圓SKIPIF1<0的方程；（Ⅱ）若動點SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，過SKIPIF1<0作直線交橢圓SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，且SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0中點，再過SKIPIF1<0作直線SKIPIF1<0．證明：直線SKIPIF1<0恒過定點，并求出該定點的坐標(biāo)．【答案】SKIPIF1<0【分析】（Ⅰ）點SKIPIF1<0在橢圓上，將其代入橢圓方程，又因為SKIPIF1<0，解方程組得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由此能求出橢圓方程．（Ⅱ）點SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，則可得SKIPIF1<0，當(dāng)直線SKIPIF1<0的斜率存在時設(shè)斜率為SKIPIF1<0，得到直線SKIPIF1<0中點，根據(jù)點SKIPIF1<0的橫坐標(biāo)解得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得直線SKIPIF1<0的斜率及其含參數(shù)SKIPIF1<0的方程，分析得直線是否恒過定點，注意還要討論直線SKIPIF1<0的斜率不存在的情況．【解答】（Ⅰ）解：SKIPIF1<0點SKIPIF1<0在橢圓上，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．（Ⅱ）證明：設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，①當(dāng)直線SKIPIF1<0的斜率存在時，設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直線SKIPIF1<0恒過定點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．②當(dāng)直線SKIPIF1<0的斜率不存在時，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，此時直線SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸，也過點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．綜上所述，直線SKIPIF1<0恒過定點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．6．已知橢圓SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0有相同的離心率，橢圓SKIPIF1<0焦點在SKIPIF1<0軸上且經(jīng)過點SKIPIF1<0．（1）求橢圓SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0的上頂點，經(jīng)過原點的直線SKIPIF1<0交橢圓SKIPIF1<0于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0、SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0的另一個交點分別為點SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的面積分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0取值范圍．【分析】（1）由題意，根據(jù)橢圓SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0有相同的離心率，得到橢圓SKIPIF1<0的離心率，設(shè)出橢圓SKIPIF1<0的方程，將點SKIPIF1<0代入方程中，結(jié)合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之間的關(guān)系，進(jìn)而可得橢圓SKIPIF1<0的方程；（2）設(shè)點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在第一象限和SKIPIF1<0軸正半軸上，根據(jù)橢圓方程得到SKIPIF1<0，設(shè)出直線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的方程，將其與橢圓方程聯(lián)立，得到SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的表達(dá)式，進(jìn)而可得SKIPIF1<0的表達(dá)式，結(jié)合SKIPIF1<0再進(jìn)行求解即可．【解答】解：（1）易知橢圓SKIPIF1<0的離心率SKIPIF1<0，因為橢圓SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0有相同的離心率，所以SKIPIF1<0，①不妨設(shè)橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，因為橢圓SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，②又SKIPIF1<0，③聯(lián)立①②③，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則橢圓SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)方程為SKIPIF1<0；（2）由（1）知SKIPIF1<0，不妨設(shè)點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在第一象限和SKIPIF1<0軸正半軸上，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為點在橢圓SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，易知直線SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的斜率存在且不為0，不妨設(shè)直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，不妨設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0并整理得SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，同理得SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0并整理得SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，同理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0．7．已知橢圓SKIPIF1<0的上、下頂點為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，左焦點為SKIPIF1<0，定點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（Ⅰ）求橢圓SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）過點SKIPIF1<0作斜率為SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0交橢圓SKIPIF1<0于另一點SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸交于點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之間），直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸交于點SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．【答案】（Ⅰ）SKIPIF1<0；（Ⅱ）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【分析】（Ⅰ）由題意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值，進(jìn)而求出SKIPIF1<0的值，可得橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)直線SKIPIF1<0的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，可得點SKIPIF1<0的坐標(biāo)，由題意求出點SKIPIF1<0的橫坐標(biāo)，求出直線SKIPIF1<0的斜率，由題意可得SKIPIF1<0的坐標(biāo)，由SKIPIF1<0的比值，可得SKIPIF1<0的表達(dá)式，由題意可得SKIPIF1<0的值．【解答】解：（Ⅰ）由題意可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又因為定點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以橢圓SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)方程為：SKIPIF1<0；（Ⅱ）設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，與橢圓SKIPIF1<0的方程聯(lián)立SKIPIF1<0，整理可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸交于點SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的值為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．8．已知橢圓SKIPIF1<0的右焦點為SKIPIF1<0，左、右頂點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，離心率為SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0且與SKIPIF1<0軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為2．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若SKIPIF1<0為直線SKIPIF1<0上一動點，且直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別與橢圓交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點（異于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點），證明：直線SKIPIF1<0恒過一定點．【答案】（Ⅰ）SKIPIF1<0；（Ⅱ）證明過程見解析．【分析】（Ⅰ）根據(jù)題意列出關(guān)于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方程組，求出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值，即可得到橢圓的方程；（Ⅱ）由題意設(shè)SKIPIF1<0，設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，聯(lián)立直線SKIPIF1<0與橢圓方程，利用韋達(dá)定理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三點共線，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三點共線，可得SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0變化時，上式恒成立，列出關(guān)于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方程組，求出SKIPIF1<0得值即可得到直線SKIPIF1<0過定點坐標(biāo)．【解答】解：（Ⅰ）由題意可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0橢圓方程為SKIPIF1<0；（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由題意設(shè)SKIPIF1<0，設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，聯(lián)立方程SKIPIF1<0，整理可得：SKIPIF1<0，△SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三點共線，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三點共線，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0變化時，上式恒成立，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，即直線SKIPIF1<0過定點SKIPIF1<0．9．已知橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0到橢圓右焦點距離等于焦距．（1）求橢圓方程；（2）過點SKIPIF1<0斜率為SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與橢圓交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，且與SKIPIF1<0軸交于點SKIPIF1<0，線段SKIPIF1<0的垂直平分線與SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸分別交于點SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點，求SKIPIF1<0的值．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0．【分析】（1）橢圓的右焦點坐標(biāo)為SKIPIF1<0，由已知及兩點間的距離公式可求出SKIPIF1<0，由離心率可求出SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的關(guān)系求出SKIPIF1<0，從而可得橢圓方程；（2）設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所在直線方程為SKIPIF1<0，與橢圓方程聯(lián)立，可得根與系數(shù)的關(guān)系，求出點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的坐標(biāo)，由三角形面積公式及已知條件即可求出SKIPIF1<0的值．【解答】解：（1）橢圓的右焦點的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，因為點SKIPIF1<0到橢圓右焦點距離等于焦距，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又離心率SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．（2）設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所在直線方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，△SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，線段SKIPIF1<0的中垂線方程為SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．10．設(shè)橢圓SKIPIF1<0的左頂點為SKIPIF1<0，離心率為SKIPIF1<0．（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）若SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0的左焦點，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別是橢圓SKIPIF1<0的左、右頂點，SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0一點（不與頂點重合），直線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0軸于點SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，△SKIPIF1<0的面積是△SKIPIF1<0面積的SKIPIF1<0倍，求直線SKIPIF1<0的斜率．【答案】（Ⅰ）SKIPIF1<0；（Ⅱ）SKIPIF1<0．【分析】（Ⅰ）由題意，根據(jù)題目所給信息以及SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之間的關(guān)系，列出等式再進(jìn)行求解即可；（Ⅱ）設(shè)出直線SKIPIF1<0的方程，將直線SKIPIF1<0的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及三角形面積公式再進(jìn)行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）因為橢圓SKIPIF1<0的左頂點為SKIPIF1<0，離心率為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0；（Ⅱ）易得直線SKIPIF1<0的斜率存在且不為0，不妨設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0并整理得SKIPIF1<0，由韋達(dá)定理得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，因為△SKIPIF1<0的面積是△SKIPIF1<0面積的SKIPIF1<0倍，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0同號，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0．11．已知橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，其左，右焦點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0是坐標(biāo)平面內(nèi)一點，且SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點．（1）求橢圓SKIPIF1<0的方程；（2）過點SKIPIF1<0且斜率為SKIPIF1<0的動直線SKIPIF1<0交橢圓于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，求弦SKIPIF1<0的垂直平分線在SKIPIF1<0軸上截距的最大值．【分析】（1）根據(jù)離心率公式及，兩點之間的距離公式和向量的坐標(biāo)運算，即可求得SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的值，求得橢圓方程；（2）設(shè)直線SKIPIF1<0的方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及中點坐標(biāo)公式，當(dāng)直線的斜率存在時，利用直線的點斜式方程，求得SKIPIF1<0的垂直平分線方程，令SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0，利用基本不等式即可求得弦SKIPIF1<0的垂直平分線在SKIPIF1<0軸上截距的最大值．【解答】解：（1）由橢圓的離心率SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以橢圓方程SKIPIF1<0；（2）設(shè)直線SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，聯(lián)立方程組SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，顯然△SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的中點坐標(biāo)為SKIPIF1<0，當(dāng)直線SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0為0時，SKIPIF1<0的垂直平分線為SKIPIF1<0軸，橫截距為0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0垂直平分線的方程為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時，即SKIPIF1<0，所以，當(dāng)SKIPIF1<0時，弦SKIPIF1<0的垂直平分線在SKIPIF1<0軸上的縱截距的最大值為SKIPIF1<0．12．已知橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0分別為橢圓SKIPIF1<0的左，右頂點和坐標(biāo)原點，點SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0上異于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的一動點，SKIPIF1<0面積的最大值為SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的方程；（2）過橢圓SKIPIF1<0的右焦點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，記SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，過線段SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0作直線SKIPIF1<0的垂線，垂足為SKIPIF1<0，設(shè)直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．①求SKIPIF1<0的取值范圍；②求證：SKIPIF1<0為定值．【答案】（1）SKIPIF1<0．（2）①SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．②定值為SKIPIF1<0．【分析】（1）由題意知SKIPIF1<0