專(zhuān)題35 數(shù)列求和解析版-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義知識(shí)梳理、考點(diǎn)突破和分層檢測(cè)

Page專(zhuān)題35數(shù)列求和（新高考專(zhuān)用）目錄目錄【知識(shí)梳理】 2【真題自測(cè)】 3【考點(diǎn)突破】 13【考點(diǎn)1】分組轉(zhuǎn)化求和 13【考點(diǎn)2】裂項(xiàng)相消法求和 17【考點(diǎn)3】錯(cuò)位相減法求和 21【分層檢測(cè)】 25【基礎(chǔ)篇】 25【能力篇】 33【培優(yōu)篇】 35考試要求：1.熟練掌握等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.2.掌握非等差數(shù)列，非等比數(shù)列求和的幾種常見(jiàn)方法.知識(shí)梳理知識(shí)梳理1.特殊數(shù)列的求和公式(1)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d.(2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)＝\f(a1（1－qn）,1－q)，q≠1.))2.數(shù)列求和的幾種常用方法(1)分組轉(zhuǎn)化法把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)或幾項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列，再求解.(2)裂項(xiàng)相消法把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和.(3)錯(cuò)位相減法如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和可用錯(cuò)位相減法求解.(4)倒序相加法如果一個(gè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)中與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法求解.1.1＋2＋3＋4＋…＋n＝eq\f(n（n＋1）,2).2.12＋22＋…＋n2＝eq\f(n（n＋1）（2n＋1）,6).3.裂項(xiàng)求和常用的三種變形(1)eq\f(1,n（n＋1）)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1).(2)eq\f(1,（2n－1）（2n＋1）)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1))).(3)eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n).4.在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解.真題自測(cè)真題自測(cè)一、解答題1．（2024·全國(guó)·高考真題）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.2．（2024·天津·高考真題）已知數(shù)列是公比大于0的等比數(shù)列．其前項(xiàng)和為．若．(1)求數(shù)列前項(xiàng)和；(2)設(shè)，．（?。┊?dāng)時(shí)，求證：；（ⅱ）求．3．（2024·全國(guó)·高考真題）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．4．（2023·全國(guó)·高考真題）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．5．（2023·全國(guó)·高考真題）已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項(xiàng)和，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．6．（2022·全國(guó)·高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：．7．（2022·天津·高考真題）設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且．(1)求與的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)的前n項(xiàng)和為，求證：；(3)求．8．（2021·全國(guó)·高考真題）設(shè)是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿(mǎn)足．已知，，成等差數(shù)列．（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）記和分別為和的前n項(xiàng)和．證明：．參考答案：1．(1)(2)【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首項(xiàng)后可求通項(xiàng)；（2）利用分組求和法即可求.【詳解】（1）因?yàn)?故，所以即故等比數(shù)列的公比為，故，故，故.（2）由等比數(shù)列求和公式得，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和.2．(1)(2)①證明見(jiàn)詳解；②【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式求，再結(jié)合等比數(shù)列求和公式分析求解；（2）①根據(jù)題意分析可知，，利用作差法分析證明；②根據(jù)題意結(jié)合等差數(shù)列求和公式可得，再結(jié)合裂項(xiàng)相消法分析求解.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，即，可得，整理得，解得或（舍去），所?（2）（i）由（1）可知，且，當(dāng)時(shí)，則，即可知，，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以；（ii）由（1）可知：，若，則；若，則，當(dāng)時(shí)，，可知為等差數(shù)列，可得，所以，且，符合上式，綜上所述：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：1.分析可知當(dāng)時(shí)，，可知為等差數(shù)列；2.根據(jù)等差數(shù)列求和分析可得.3．(1)(2)【分析】（1）利用退位法可求的通項(xiàng)公式．（2）利用錯(cuò)位相減法可求.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，解得．當(dāng)時(shí)，，所以即，而，故，故，∴數(shù)列是以4為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以.（2）,所以故所以，.4．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)即可求出；（2）根據(jù)錯(cuò)位相減法即可解出．【詳解】（1）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，所以，化簡(jiǎn)得：，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)都滿(mǎn)足上式，所以．（2）因?yàn)?，所以，，兩式相減得，，，即，．5．(1)；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，用表示及，即可求解作答.（2）方法1，利用（1）的結(jié)論求出，，再分奇偶結(jié)合分組求和法求出，并與作差比較作答；方法2，利用（1）的結(jié)論求出，，再分奇偶借助等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求出，并與作差比較作答.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，而，則，于是，解得，，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.（2）方法1：由（1）知，，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，因此，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，所以當(dāng)時(shí)，.方法2：由（1）知，，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，若，則，顯然滿(mǎn)足上式，因此當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，所以當(dāng)時(shí)，.6．(1)(2)見(jiàn)解析【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得，得到，利用和與項(xiàng)的關(guān)系得到當(dāng)時(shí)，,進(jìn)而得：，利用累乘法求得，檢驗(yàn)對(duì)于也成立，得到的通項(xiàng)公式；（2）由（1）的結(jié)論，利用裂項(xiàng)求和法得到，進(jìn)而證得.【詳解】（1）∵，∴,∴,又∵是公差為的等差數(shù)列，∴,∴,∴當(dāng)時(shí)，，∴,整理得：,即,∴，顯然對(duì)于也成立，∴的通項(xiàng)公式；（2）∴7．(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）利用等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行基本量運(yùn)算即可得解；（2）由等比數(shù)列的性質(zhì)及通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系結(jié)合分析法即可得證；（3）先求得，進(jìn)而由并項(xiàng)求和可得，再結(jié)合錯(cuò)位相減法可得解.【詳解】（1）設(shè)公差為d，公比為，則，由可得（舍去），所以；（2）證明：因?yàn)樗砸C，即證，即證，即證，而顯然成立，所以；（3）因?yàn)?，所以，設(shè)所以，則，作差得，所以，所以.8．（1），；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）利用等差數(shù)列的性質(zhì)及得到，解方程即可；（2）利用公式法、錯(cuò)位相減法分別求出，再作差比較即可.【詳解】（1）因?yàn)槭鞘醉?xiàng)為1的等比數(shù)列且，，成等差數(shù)列，所以，所以，即，解得，所以，所以.（2）[方法一]：作差后利用錯(cuò)位相減法求和，，．設(shè)，

⑧則．

⑨由⑧-⑨得．所以．因此．故．[方法二]【最優(yōu)解】：公式法和錯(cuò)位相減求和法證明：由（1）可得，，①，②①②得，所以，所以，所以.[方法三]：構(gòu)造裂項(xiàng)法由（Ⅰ）知，令，且，即，通過(guò)等式左右兩邊系數(shù)比對(duì)易得，所以．則，下同方法二．[方法四]：導(dǎo)函數(shù)法設(shè)，由于，則．又，所以，下同方法二．【整體點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列的求和，涉及到等差數(shù)列的性質(zhì)，錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道中檔題，其中證明不等式時(shí)采用作差法，或者作商法要根據(jù)式子得結(jié)構(gòu)類(lèi)型靈活選擇，關(guān)鍵是要看如何消項(xiàng)化簡(jiǎn)的更為簡(jiǎn)潔.（2）的方法一直接作差后利用錯(cuò)位相減法求其部分和，進(jìn)而證得結(jié)論；方法二根據(jù)數(shù)列的不同特點(diǎn)，分別利用公式法和錯(cuò)位相減法求得,然后證得結(jié)論,為最優(yōu)解；方法三采用構(gòu)造數(shù)列裂項(xiàng)求和的方法，關(guān)鍵是構(gòu)造，使，求得的表達(dá)式，這是錯(cuò)位相減法的一種替代方法，方法四利用導(dǎo)數(shù)方法求和，也是代替錯(cuò)位相減求和法的一種方法.考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)1】分組轉(zhuǎn)化求和一、解答題1．（2024·遼寧沈陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿(mǎn)足，，是數(shù)列的前項(xiàng)和，對(duì)任意，有(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求的前100項(xiàng)的和.2．（23-24高二下·河南·期中）已知數(shù)列的首項(xiàng)且(1)證明:是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.3．（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，對(duì)任意正整數(shù)n，有．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)對(duì)所有正整數(shù)m，若，則在和兩項(xiàng)中插入，由此得到一個(gè)新數(shù)列，求的前91項(xiàng)和．4．（2024·陜西·三模）數(shù)列的前項(xiàng)的最大值記為，即；前項(xiàng)的最小值記為，即，令，并將數(shù)列稱(chēng)為的“生成數(shù)列”．(1)設(shè)數(shù)列的“生成數(shù)列”為，求證：；(2)若，求其生成數(shù)列的前項(xiàng)和．參考答案：1．(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)作差得到，從而得到，結(jié)合等差數(shù)列的定義計(jì)算可得；（2）由（1）可得，記，則，利用并項(xiàng)求和法計(jì)算可得.【詳解】（1）由，，兩式相減得，即，因?yàn)?，所以，即，故是首?xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以；（2）由（1）知，所以，記，則，2．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）利用等比數(shù)列的定義證明即可；（2）結(jié)合（1）中結(jié)論求得的通項(xiàng)公式，再利用錯(cuò)位相減法及分組求和法即可得解.【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，，顯然，則，故是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.（2）由（1）知，，所以，則，令，故，上兩式相減得，，所以，所以.3．(1).(2)11563.【分析】（1）利用時(shí)，；時(shí)，求解即可.（2）先確定前91項(xiàng)的最后一項(xiàng)，然后分別對(duì)其中的和插入的進(jìn)行求和.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，．又時(shí)，得，也滿(mǎn)足上式，故．（2）由，所以，又，所以前91項(xiàng)中有87項(xiàng)來(lái)自，所以．4．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由“生成數(shù)列”的定義證明即可；（2）由分組求和求解即可.【詳解】（1）由題意可知，所以，因此，即是單調(diào)遞增數(shù)列，且，由“生成數(shù)列”的定義可得．（2）當(dāng)時(shí)，．，又，，當(dāng)時(shí)，．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為．則．當(dāng)時(shí)，又符合上式，所以．反思提升：1.若數(shù)列{cn}滿(mǎn)足cn＝an±bn，且{an}，{bn}為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和.2.若數(shù)列{cn}滿(mǎn)足cn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an，n為奇數(shù)，,bn，n為偶數(shù)，))其中數(shù)列{an}，{bn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求{cn}的前n項(xiàng)和.【考點(diǎn)2】裂項(xiàng)相消法求和一、解答題1．（2024·四川宜賓·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿(mǎn)足.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)于任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.2．（2024·江蘇鹽城·一模）已知正項(xiàng)數(shù)列中，，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)，證明：.3．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）在等差數(shù)列（）中，，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明.4．（2024·福建泉州·二模）己知數(shù)列和的各項(xiàng)均為正，且，是公比3的等比數(shù)列．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和滿(mǎn)足．(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．參考答案：1．(1)證明見(jiàn)解析，(2).【分析】（1）利用等比數(shù)列的定義證明，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可；（2）由（1）可得，再裂項(xiàng)相消可知，進(jìn)而求解二次不等式即可.【詳解】（1）由題可知：，又，故是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，，即.（2），，且當(dāng)趨于時(shí)，趨近于1，所以由恒成立，可知，解得.2．(1)，；(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由已知得，得到是以為公比的等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式；（2）求出，利用裂項(xiàng)相消法即可求證.【詳解】（1）由，，得，又，則是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，.（2）證明：因?yàn)?，所?3．(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求出等差數(shù)列的首項(xiàng)與公差，即可得解；（2）利用裂項(xiàng)相消法求出，進(jìn)而可得出結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，即，解得，所以，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（2）∵，∴，（方法一），∴化簡(jiǎn)得：，∴.（方法二），∴.4．(1)，(2)【分析】（1）利用遞推公式可證得數(shù)列是等差數(shù)列，可求出數(shù)列的通項(xiàng)；利用等比數(shù)列的性質(zhì)，可求出通項(xiàng)；（2）根據(jù)裂項(xiàng)相消和分組求和法求解即可；【詳解】（1）由題設(shè)，當(dāng)時(shí)或（舍），由，知，兩式相減得，（舍）或，即，∴數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，．又．（2）則當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，．所以.反思提升：1.用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，要對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行變換，如：eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋k))＝eq\f(1,k)(eq\r(n＋k)－eq\r(n))，eq\f(1,n（n＋k）)＝eq\f(1,k)(eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋k))，裂項(xiàng)后可以產(chǎn)生連續(xù)相互抵消的項(xiàng).2.消項(xiàng)規(guī)律：消項(xiàng)后前邊剩幾項(xiàng)，后邊就剩幾項(xiàng)，前邊剩第幾項(xiàng)，后邊就剩倒數(shù)第幾項(xiàng).【考點(diǎn)3】錯(cuò)位相減法求和一、解答題1．（2024高三下·四川成都·專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足．(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)已知，求數(shù)列的前項(xiàng)和．2．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.3．（2024·河南·三模）已知數(shù)列的各項(xiàng)都為正數(shù)，且其前項(xiàng)和.(1)證明：是等差數(shù)列，并求；(2)如果，求數(shù)列的前項(xiàng)和.4．（2024·山西太原·三模）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且也是等比數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.參考答案：1．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由與的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，可得所求；（2）由數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，可得所求和．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，由，可得,兩式相減得，所以，即，又因?yàn)?，所以是首?xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（2）由（1）知，，所以數(shù)列的前項(xiàng)和為，可得，兩式相減得，所以．2．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)公式得到方程組，解出即可；（2）首先得到，再利用錯(cuò)位相減法求和即可得到答案.【詳解】（1）設(shè)的公差為，則，，解得，.故.（2）由（1）可得，所以，①則，②①②，得，所以.3．(1)證明見(jiàn)解析，(2).【分析】（1）借助與的關(guān)系，結(jié)合等差數(shù)列定義計(jì)算即可得解；（2）借助錯(cuò)位相減法計(jì)算即可得.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，或，因?yàn)?，所以，，兩式相減得，因?yàn)?，所以，故是首?xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，；（2）由（1）知，，，則，，所以.4．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)是等比數(shù)列得，利用等比數(shù)列求和公式基本量運(yùn)算求得，即可求出等比數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）利用對(duì)數(shù)運(yùn)算得，然后利用錯(cuò)位相減法求和即可.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公比為，由是等比數(shù)列得，或(舍去)，.（2）由（1）得，所以，，，兩式相減得，.反思提升：(1)如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和時(shí)，常采用錯(cuò)位相減法.(2)錯(cuò)位相減法求和時(shí)，應(yīng)注意：①要善于識(shí)別題目類(lèi)型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形.②在寫(xiě)出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”，以便于下一步準(zhǔn)確地寫(xiě)出“Sn－qSn”的表達(dá)式.③應(yīng)用等比數(shù)列求和公式必須注意公比q是否等于1，如果q＝1，應(yīng)用公式Sn＝na1.分層分層檢測(cè)【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2020·內(nèi)蒙古包頭·二模）已知函數(shù)滿(mǎn)足，若數(shù)列滿(mǎn)足，則數(shù)列的前20項(xiàng)和為（

）A．100 B．105 C．110 D．1152．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·模擬預(yù)測(cè)）如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算術(shù)》中，后人稱(chēng)為“三角垛”，“三角垛”最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，第四層有10個(gè)球，…，設(shè)從上往下各層的球數(shù)構(gòu)成數(shù)列，則（

）

A． B． C． D．3．（2024·浙江杭州·二模）設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足．設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)的和，則（

）A．110 B．120 C．288 D．3064．（2022高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足：an+1=an-an-1（n≥2，n∈N*），a1=1，a2=2，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則S2021=（

）A．3 B．2 C．1 D．0二、多選題5．（21-22高二下·全國(guó)·單元測(cè)試）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列選項(xiàng)正確的為（

）A．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為 D．6．（2023·遼寧·二模）南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱(chēng)為“三角垛”“三角垛”的最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，…，設(shè)各層球數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，且，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則正確的選項(xiàng)是（

）．A． B．C． D．7．（2021·湖南衡陽(yáng)·一模）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若為常數(shù)，則稱(chēng)數(shù)列為“吉祥數(shù)列”.則下列數(shù)列為“吉祥數(shù)列”的有（

）A． B． C． D．三、填空題8．（2024·山東濟(jì)南·三模）數(shù)列滿(mǎn)足，若，，則數(shù)列的前20項(xiàng)的和為．9．（2023·上海黃浦·三模）南宋的數(shù)學(xué)家楊輝“善于把已知形狀、大小的幾何圖形的求面積、體積的連續(xù)量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為離散量的垛積問(wèn)題”，在他的專(zhuān)著《詳解九章算法·商功》中，楊輝將堆垛與相應(yīng)立體圖形作類(lèi)比，推導(dǎo)出了三角垛、方垛、芻童垛等的公式，例如三角垛指的是如圖頂層放1個(gè)，第二層放3個(gè)，第三層放6個(gè)，第四層放10個(gè)第n層放個(gè)物體堆成的堆垛，則．

10．（2022·上?！つM預(yù)測(cè)）設(shè)是坐標(biāo)平面上的一列圓，它們的圓心都在x軸的正半軸上，且都與直線(xiàn)相切，對(duì)每一個(gè)正整數(shù)n，圓都與圓相互外切，以表示圓的半徑，已知為遞增數(shù)列，若，則數(shù)列的前n項(xiàng)和為．四、解答題11．（2024·陜西渭南·三模）已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．12．（2024·黑龍江·三模）已知等差數(shù)列的公差，與的等差中項(xiàng)為5，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)求數(shù)列的前20項(xiàng)和.參考答案：1．D【解析】根據(jù)函數(shù)滿(mǎn)足，利用倒序相加法求出，再求前20項(xiàng)和.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)滿(mǎn)足，①，②，由①②可得，，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，其前20項(xiàng)和為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)及倒序相加法求和，屬于基礎(chǔ)題.2．B【分析】由題可得，后由裂項(xiàng)求和法可得答案.【詳解】注意到，則.則.故選：B3．A【分析】利用分組求和法，結(jié)合已知，可得答案.【詳解】.故選：A.4．C【分析】根據(jù)遞推關(guān)系式得出數(shù)列是周期為6的周期數(shù)列，利用周期性即可求解.【詳解】∵an+1=an-an-1，a1=1，a2=2，∴a3=1，a4=-1，a5=-2，a6=-1，a7=1，a8=2，…，故數(shù)列{an}是周期為6的周期數(shù)列，且每連續(xù)6項(xiàng)的和為0，故S2021=336×0+a2017+a2018+…+a2021=a1+a2+a3+a4+a5=1+2+1+（-1）+（-2）=1.故選：C.5．BCD【分析】由數(shù)列的遞推式可得，兩邊加1后，運(yùn)用等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式可得，由數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和可得.【詳解】解：由即為，可化為，由，可得數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，則，即，又，可得故選：BCD6．BC【分析】運(yùn)用累和法、裂項(xiàng)相消法，結(jié)合等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式逐一判斷即可.【詳解】由題意可知：，于是有，顯然可得：，，因此選項(xiàng)A不正確，選項(xiàng)B正確；當(dāng)時(shí)，，顯然適合上式，，因此選項(xiàng)D不正確；，，因此選項(xiàng)C正確，故選：BC7．BC【分析】按照求和方法對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一求和驗(yàn)證即可得出結(jié)論.【詳解】對(duì)于A，，，，所以不為常數(shù)，故A不正確；對(duì)于B，由并項(xiàng)求和法知：，，，故B正確；對(duì)于C，，，，所以，故C正確；對(duì)于D，，，，所以不為常數(shù)，故D錯(cuò)誤；故選：BC.8．210【分析】數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)都是等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列求和公式、分組求和法即可得解.【詳解】數(shù)列滿(mǎn)足，若，，則，所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成以1，2為首項(xiàng)，公差均為2的等差數(shù)列所以數(shù)列的前20項(xiàng)的和為.故答案為：210.9．/【分析】根據(jù)給定條件，求出數(shù)列的遞推關(guān)系，利用累加法求出通項(xiàng)，再利用裂項(xiàng)相消法求和作答.【詳解】依題意，在數(shù)列中，，當(dāng)時(shí)，，滿(mǎn)足上式，因此，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，所以.故答案為：10．【分析】根據(jù)圖像結(jié)合幾何知識(shí)可證，利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【詳解】的傾斜角，設(shè)圓、與直線(xiàn)的切點(diǎn)分別為，連接，過(guò)作，垂足為，則∵，整理得數(shù)列是以首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，即∴，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則有：兩式相減得：即故答案為：．11．(1)(2)．【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由已知條件和等比數(shù)列基本量的計(jì)算，求出數(shù)列首項(xiàng)和公比，得通項(xiàng)公式；（2）利用錯(cuò)位相減法可得數(shù)列的前n項(xiàng)和．【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公比為，∵，，∴，即，∴（舍去），∴，即，∴．（2）∵，∴．∴，，兩式相減得，∴．12．(1)數(shù)列的通項(xiàng)公式為；(2)數(shù)列的前20項(xiàng)和為.【分析】（1）根據(jù)等差中項(xiàng)求出，再根據(jù)求出公差，最后根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出的通項(xiàng)公式；（2）先寫(xiě)出，對(duì)為偶數(shù)的情況進(jìn)行裂項(xiàng)，再用分組求和法求出.【詳解】（1）因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，且與的等差中項(xiàng)為5，所以，解得，因?yàn)椋?，解得，因?yàn)椋?，所以，故?shù)列的通項(xiàng)公式為；（2）由題知，即所以，故數(shù)列的前20項(xiàng)和為.【能力篇】一、單選題1．（2022·安徽·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列，的通項(xiàng)公式分別為，，現(xiàn)從數(shù)列中剔除與的公共項(xiàng)后，將余下的項(xiàng)按照從小到大的順序進(jìn)行排列，得到新的數(shù)列，則數(shù)列的前150項(xiàng)之和為（

）A．23804 B．23946 C．24100 D．24612二、多選題2．（2024·江西·三模）已知數(shù)列滿(mǎn)足，則（

）A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列C．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為 D．能被3整除三、填空題3．（2024·云南昆明·一模）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知?jiǎng)t．四、解答題4．（2024·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿(mǎn)足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)已知數(shù)列滿(mǎn)足.①求數(shù)列的前n項(xiàng)和；②若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案：1．D【分析】易得數(shù)列為偶數(shù)列，為數(shù)列，故只需分析偶數(shù)列中的項(xiàng)即可【詳解】因?yàn)?，，，故?shù)列的前項(xiàng)中包含的前項(xiàng)，故數(shù)列的前150項(xiàng)包含的前項(xiàng)排除與公共的8項(xiàng).記數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，故選：D.2．BCD【分析】利用構(gòu)造法得到數(shù)列是等比數(shù)列，從而求得通項(xiàng)，就可以判斷選項(xiàng)，對(duì)于數(shù)列求和，可以用分組求和法，等比數(shù)列公式求和完成，對(duì)于冪的整除性問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為用二項(xiàng)式定理展開(kāi)后，再加以證明.【詳解】由可得：，所以數(shù)列是等比數(shù)列，即，則顯然有，所以不成等比數(shù)列，故選項(xiàng)A是錯(cuò)誤的；由數(shù)列是等比數(shù)列可得：，即，故選項(xiàng)B是正確的；由可得：前項(xiàng)和，故選項(xiàng)C是正確的；由，故選項(xiàng)D是正確的；方法二：由，1024除以3余數(shù)是1，所以除以3的余數(shù)還是1，從而可得能補(bǔ)3整除，故選項(xiàng)D是正確的；故選：BCD．3．【分析】注意到，進(jìn)一步由裂項(xiàng)相消法即可求解.【詳解】由題意，所以.故答案為：.4．(1)(2)①；②【分析】（1）利用數(shù)列的遞推關(guān)系求的通項(xiàng)公式；（2）①利用錯(cuò)位相減求和即可；②設(shè)，根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性，分n為偶數(shù)、為奇數(shù)討論可得答案.【詳解】（1）因?yàn)棰?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，②，得，即；因?yàn)榉?，所以；?）①，由（1）知，所以，，所以，兩式相減得，，所以；②，由①得，設(shè)，則數(shù)列是遞增數(shù)列.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，恒成立，所以；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，恒成立，所以即.綜上，的取值范圍是.【培優(yōu)篇】一、解答題1．（2024·天津·二模）設(shè)是等差數(shù)列，其前項(xiàng)和，是等比數(shù)列，且，，.(1)求與的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)若對(duì)于任意的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.2．（2024·湖南衡陽(yáng)·三模）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，首項(xiàng).(1)若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若函數(shù)，正項(xiàng)數(shù)列滿(mǎn)足：.（i）證明：；（ii）證明：.3．（2024·河北秦皇島·三模）將保護(hù)區(qū)分為面積大小相近的多個(gè)區(qū)域，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取其中15個(gè)區(qū)域進(jìn)行編號(hào)，統(tǒng)計(jì)抽取到的每個(gè)區(qū)域的某種水源指標(biāo)和區(qū)域內(nèi)該植物分布的數(shù)量，得到數(shù)組.已知，，.(1)求樣本的樣本相關(guān)系數(shù)；(2)假設(shè)該植物的壽命為隨機(jī)變量（可取任意