高三上學期數(shù)學周練10

第一學期高三年級數(shù)學周練10一、填空題（本大題共有12題,滿分54分,第1-6題每題4分,第7-12題每題5分）

1．已知向量，，若，則實數(shù)________．2．函數(shù)的最小正周期為________．3．在的二項展開式中，項的系數(shù)為________．4．設(shè)集合，，若，則實數(shù)的取值范圍為________．5．函數(shù)在處的切線方程是________．6．從6名學生中任選3人分別擔任語文、數(shù)學、英語課代表，其中學生甲不能擔任數(shù)學課代表共有________種不同的選法．（結(jié)果用數(shù)值表示）7．已知數(shù)列的前項和，則的通項公式為________．8．已知函數(shù)，（，，）的部分圖像如圖所示，則的解析式為________．9．等比數(shù)列中，，，若對于任意正整數(shù)，不等恒成立，則實數(shù)的取值范圍是________．10．對于函數(shù)，，若存在閉區(qū)間，使得對任意，恒有（為實常數(shù)）則有序?qū)崝?shù)對________．11．在中，，，點在邊上．若，，則________．12．“”可以看作數(shù)學上的無窮符號，也可以用來表示數(shù)學上特殊的曲線．如圖所示的曲線過坐標原點，上的點到兩定點，的距離之積為定值．則下列說法正確的序號是________．（填上所有正確結(jié)論的序號）①．若，則的方程為②．若上的點到兩定點，的距離之積為16，則點在上③．若，點在上，則④．當時，上第一象限內(nèi)的點滿足的面積為，則二、選擇題（本大題共4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）13．已知函數(shù)，則“”是“的最小正周期為”的（）．A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件14．對任意向量、，下列關(guān)系式中不恒成立的是（）．A． B．C． D．15．已知等差數(shù)列的前項和為，公差，且，記，，，，下列等式不可能成立的是（）．A． B．C． D．16．設(shè)數(shù)列滿足，，，（）A．存在，B．存在，使得是等差數(shù)列C．存在，D．存在，使得是等比數(shù)列三、解答題（本大題滿分78分）17．（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）如圖，已知四棱錐的底面是邊長為6的正方形，側(cè)面底面，，點，分別是，的中點，點在棱上且．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成的角的正弦值．18．（本題滿分15分，第1小題滿分7分，第2小題滿分8分）申輝中學組織全校學生進行數(shù)學建模知識競賽，為了解競賽成績，現(xiàn)從高一、高二兩個年級中各隨機抽取20名學生的成績（單位：分），繪制成如圖所示的莖葉圖：根據(jù)學生成績，將其分為四個等級：測試成績（單位：分）等級合格中等良好優(yōu)秀（1）從樣本中成績優(yōu)秀的學生中任取2人，求這兩名學生來自同一年級的概率；（2）現(xiàn)從樣本中成績良好的學生中隨機抽取3人座談，記為抽到高二年級學生的人數(shù)，求的分布和數(shù)學期望．19．（本題滿分15分，第1小題滿分7分，第2小題滿分8分）某公共場所計劃用固定高度的板材將一塊如圖所示的四邊形區(qū)域沿邊界圍成一個封閉的留觀區(qū)．經(jīng)測量，邊界與的長度都是20米，，．（1）若，求的長（結(jié)果精確到1米）；（2）求圍成該區(qū)域至多需要多少米的板材（不計損耗，結(jié)果精確到1米）．20．（本題満分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分）已知雙曲線的左、右頂點分別為、，曲線是以、為短軸的兩端點且離心率為的橢圓，設(shè)點在第一象限且在雙曲線上，直線與橢圓相交于另一點．（1）求曲線的方程；（2）設(shè)點、的橫坐標分別為，，證明：；（3）設(shè)與（其中為坐標原點）的面積分別為與，且，求的取值范圍．21．（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)的極值；（2）若不等式在上恒成立，求的取值范圍；（3）證明不等式：．

參考答案一、填空題1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.；11.12.①③④12．“”可以看作數(shù)學上的無窮符號，也可以用來表示數(shù)學上特殊的曲線．如圖所示的曲線過坐標原點，上的點到兩定點，的距離之積為定值．則下列說法正確的序號是________．（填上所有正確結(jié)論的序號）①．若，則的方程為②．若上的點到兩定點，的距離之積為16，則點在上③．若，點在上，則④．當時，上第一象限內(nèi)的點滿足的面積為，則【答案】①③④【解析】①已知原點在上,則,設(shè)為上任意一點,

則有,整理得,

若,則的方程為,故①正確;②若,則,將代入方程得,

顯然點不在此曲線上，故②錯誤；③若,點在上,有,整理得,所以,故③正確;④因為的面積又,故,則,,所以點是曲線和以為直徑的圓在第一象限內(nèi)的交點,聯(lián)立方程組解得,故,又,故,所以,故④正確.故選:①③④.二、選擇題13.A14.D15.D16.D15．已知等差數(shù)列的前項和為，公差，且，記，，，，下列等式不可能成立的是（）．A． B．C． D．【答案】D【解析】在等差數(shù)列中,,

,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得正確,

B.若,則,成立,正確,.若,則,即,得,,符合正確;.若,則,即,得,,不符合錯誤;故選：16．設(shè)數(shù)列滿足，，，（）A．存在，B．存在，使得是等差數(shù)列C．存在，D．存在，使得是等比數(shù)列【答案】D【解析】①，則②，由①-②得,則由此可得,則且,故,故錯誤;

由,則不是常數(shù),故不存在,使得是等差數(shù)列,故錯誤；

假設(shè)存在,使得是等比數(shù)列,設(shè)公比為,

則,,由,則,解得,故存在,使得是等比數(shù)列,故正確.故選：D.三．解答題17.（1）證明略（2）18.（1）（2）19.（1）（2）20．（本題満分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分）已知雙曲線的左、右頂點分別為、，曲線是以、為短軸的兩端點且離心率為的橢圓，設(shè)點在第一象限且在雙曲線上，直線與橢圓相交于另一點．（1）求曲線的方程；（2）設(shè)點、的橫坐標分別為，，證明：；（3）設(shè)與（其中為坐標原點）的面積分別為與，且，求的取值范圍．【答案】（1）（2）見解析（3）【解析】（1）設(shè)橢圓的方程為,依題意可得,所以,

因為橢圓的離心率為,所以,即,所以橢圓方程為.（2）證明:設(shè)點,,直線的斜至為,則直線的方程為,聯(lián)立方程組,整理,得,解得或,所以,同理可得，,所以.

（3）由（2）,

因為,所以,即,

因為點在雙曲線上,則,所以,即,

因為點是雙曲線在第一象限內(nèi)的一點,所以,因為

所以

由（2）知,,即,設(shè),則,則.

設(shè),當且僅當,即時取等號,

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.因為,所以,所以的取值范圍為.21．（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)的極值；（2）若不等式在上恒成立，求的取值范圍；（3）證明不等式：．【答案】（1）極小值為,無極大值（2）