2024-2025學(xué)年上海市金山區(qū)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

-2025學(xué)年上海市金山區(qū)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一．選擇題（每小題4分，共24分）.1．（4分）下列各組圖形一定相似的是A．所有等腰三角形都相似 B．所有等邊三角形都相似 C．所有菱形都相似 D．所有矩形都相似2．（4分）如果是線段的中點，那么下列結(jié)論中正確的是A． B． C． D．3．（4分）如圖為阿成調(diào)整他的計算機(jī)畫面的分辨率時看到的選項，當(dāng)他從建議選項調(diào)整成時，由于比例改變，畫面左右會出現(xiàn)黑色區(qū)域，當(dāng)比例不變就不會有此問題．判斷阿成將他的計算機(jī)畫面分辨率從調(diào)整成下列哪一種時，畫面左右不會出現(xiàn)黑色區(qū)域？A． B． C． D．4．（4分）點、、分別在△的邊、、上，，，下列不一定正確的是A． B． C． D．5．（4分）△中，點是邊上一點，聯(lián)結(jié)，下列條件中，不能判定△與△相似的是A． B． C． D．6．（4分）如圖，在正方形中，點在邊上，點在邊上，，交于點，交于點，連接．下列結(jié)論：①；②；③；④當(dāng)是的中點時，；⑤當(dāng)時，．其中正確結(jié)論的序號是A．①②③④ B．①②③⑤ C．①③④⑤ D．②④⑤二．填空題（每小題4分，共48分）7．（4分）如果兩個相似三角形對應(yīng)邊上的高之比是，那么它們的對應(yīng)中線之比等于．8．（4分）解放軍進(jìn)行野外訓(xùn)練，要求從甲地到乙地，在一幅比例尺是的地圖上，量得甲、乙兩地的距離是40厘米．要求在4小時內(nèi)到達(dá)，平均每小時要行軍千米．9．（4分）“黃金分割”給人以美感，它在建筑、藝術(shù)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用．秦兵馬俑被譽(yù)為“世界第八大奇跡”，兵馬俑的眼睛到下巴的距離與頭頂?shù)较掳偷木嚯x之比約為，如果如圖所示的兵馬俑頭頂?shù)较掳偷木嚯x約為3分米，那么該兵馬俑的眼睛到下巴的距離約為分米（結(jié)果保留根號）．10．（4分）如圖，、是邊、上的兩點，且，，則．11．（4分）如圖，已知直線，直線分別交直線、、于、、三點，直線分別交直線、、于、、三點，如果，，，那么長為．12．（4分）點是平行四邊形邊延長線上一點，聯(lián)結(jié)交于點，聯(lián)結(jié)交于點，如果，那么．13．（4分）梯形中，，且，若，．請用，來表示．14．（4分）在△中，，于，如果，，那么的長是．15．（4分）在△中，，、在邊上，且在、之間，，，如果△是等邊三角形，那么等邊△的邊長為．16．（4分）如圖，在中，是上的高，，如果矩形內(nèi)接于中，點、分別在邊、上，點、在上，那么矩形的周長為．17．（4分）定義：如果三角形有兩個內(nèi)角的差為，那么這樣的三角形叫做準(zhǔn)直角三角形．已知在直角中，，，，如圖，如果點在邊上，且是準(zhǔn)直角三角形，那么．18．（4分）在△中，，，點，，分別在邊，，上，連接，，，已知點和點關(guān)于直線對稱．如果，且，那么．三．解答題（本大題共7題，滿分0分）19．已知、、是△的三邊長，且，求：（1）的值．（2）若△的周長為18，求各邊的長．20．如圖，在中，是的重心，聯(lián)結(jié)并延長交于點．（1）如果，，那么（用向量、表示）；（2）已知，，點在邊上，且，求的長．21．如圖，在△中，點在邊上，點、點在邊上，且，．（1）求證：；（2）如果，求的值．22．某班級的“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組心得分享課”上，小智、小明跟同學(xué)們分享了關(guān)于梯形的三個正確的研究結(jié)論：①如圖1，梯形，，過對角線交點的直線與兩底分別交于點、，則；②如圖2，梯形，，過兩腰延長線交點的直線與兩底分別交于點、，則；③如圖3，梯形，，過對角線交點作分別交、于點、，則．（1）請在答題紙上完成結(jié)論③的證明．（2）該小組還出了一個作圖題考同學(xué)們：請運用上述相關(guān)結(jié)論用一把直尺將圖4中兩條平行的線段、同時平分．（保留作圖過程痕跡）（注意：請務(wù)必在試卷的圖示中完成作圖草稿在答題卷上直接用鉛筆完成作圖，不要涂改．23．已知：如圖，矩形的對角線、相交于點，點在邊上，，垂足為點．（1）求證：；（2）過點作交于點，求證：．24．已知△的頂點、的坐標(biāo)分別是、、點在軸正半軸，△的面積為12．（1）求點的坐標(biāo)；（2）若點在軸的正半軸，且△是等腰三角形，請直接寫出點的坐標(biāo)；（3）已知點在軸上，如果，求點的坐標(biāo)．25．如圖1，、分別是的內(nèi)角、的平分線，過點作，交的延長線于點．（1）求證：；（2）如圖2，如果，且，求的值；（3）如果是銳角，且與相似，求的度數(shù)，并直接寫出的值．

參考答案一．選擇題（每小題4分，共24分）1．（4分）下列各組圖形一定相似的是A．所有等腰三角形都相似 B．所有等邊三角形都相似 C．所有菱形都相似 D．所有矩形都相似解：任意兩個等腰三角形的對應(yīng)邊不一定成比例，不一定相似，錯誤；任意兩個等邊三角形對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例，一定相似，正確；任意兩個菱形的對應(yīng)角不一定相等，不一定相似，錯誤；任意兩個矩形的對應(yīng)邊不一定成比例，不一定相似，錯誤；故選：．2．（4分）如果是線段的中點，那么下列結(jié)論中正確的是A． B． C． D．解：由題意得：，且它們的方向相反，，，故選：．3．（4分）如圖為阿成調(diào)整他的計算機(jī)畫面的分辨率時看到的選項，當(dāng)他從建議選項調(diào)整成時，由于比例改變，畫面左右會出現(xiàn)黑色區(qū)域，當(dāng)比例不變就不會有此問題．判斷阿成將他的計算機(jī)畫面分辨率從調(diào)整成下列哪一種時，畫面左右不會出現(xiàn)黑色區(qū)域？A． B． C． D．解：，阿成將他的計算機(jī)畫面分辨率從調(diào)整成時，畫面左右不會出現(xiàn)黑色區(qū)域．故選：．4．（4分）點、、分別在△的邊、、上，，，下列不一定正確的是A． B． C． D．解：，，，故選項不符合題意；選項符合題意；，，故選項不符合題意；，，，，△△，，，，四邊形是平行四邊形，，，故選項不符合題意；故選：．5．（4分）△中，點是邊上一點，聯(lián)結(jié)，下列條件中，不能判定△與△相似的是A． B． C． D．解：如圖所示，，，，△△，故選項能判定△與△相似，不符合題意；，，，不能判定△與△相似，故選項符合題意；，△△，故選項能判定△與△相似，不符合題意；，，△△，故選項能判定△與△相似，不符合題意；故選：．6．（4分）如圖，在正方形中，點在邊上，點在邊上，，交于點，交于點，連接．下列結(jié)論：①；②；③；④當(dāng)是的中點時，；⑤當(dāng)時，．其中正確結(jié)論的序號是A．①②③④ B．①②③⑤ C．①③④⑤ D．②④⑤解：在正方形中，，，，，，，故①正確；，，，，故②正確；在正方形對角線上，到，的距離相等，，，，故③正確；設(shè)正方形的邊長為，，當(dāng)是的中點時，．由勾股定理得：，，，，，，，，，，，，，，，，，當(dāng)是的中點時，，故④正確，當(dāng)時，，，，，，，中邊上的高與中邊上的高相等，，，設(shè)，則，，，，當(dāng)時，，，，，，故⑤不正確，綜上所述：正確結(jié)論的序號是①②③④，故選：．二．填空題（每小題4分，共48分）7．（4分）如果兩個相似三角形對應(yīng)邊上的高之比是，那么它們的對應(yīng)中線之比等于．解：兩個相似三角形對應(yīng)邊上的高之比是，這兩個相似三角形的相似比為，它們的對應(yīng)中線之比等于．故答案為：．8．（4分）解放軍進(jìn)行野外訓(xùn)練，要求從甲地到乙地，在一幅比例尺是的地圖上，量得甲、乙兩地的距離是40厘米．要求在4小時內(nèi)到達(dá)，平均每小時要行軍6千米．解：（厘米），2400000厘米千米，又（千米）；平均每小時要行軍6千米．故答案為：6．9．（4分）“黃金分割”給人以美感，它在建筑、藝術(shù)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用．秦兵馬俑被譽(yù)為“世界第八大奇跡”，兵馬俑的眼睛到下巴的距離與頭頂?shù)较掳偷木嚯x之比約為，如果如圖所示的兵馬俑頭頂?shù)较掳偷木嚯x約為3分米，那么該兵馬俑的眼睛到下巴的距離約為分米（結(jié)果保留根號）．解：設(shè)該兵馬俑的眼睛到下巴的距離為，則：，，故答案為：．10．（4分）如圖，、是邊、上的兩點，且，，則．解：，，，，．故答案為：．11．（4分）如圖，已知直線，直線分別交直線、、于、、三點，直線分別交直線、、于、、三點，如果，，，那么長為2．解：，，，，，．故答案為：2．12．（4分）點是平行四邊形邊延長線上一點，聯(lián)結(jié)交于點，聯(lián)結(jié)交于點，如果，那么．解：如圖，四邊形為平行四邊形，，，，，，，，△△，，．故答案為：．13．（4分）梯形中，，且，若，．請用，來表示．解：如圖所示：，，，，，故答案為：．14．（4分）在△中，，于，如果，，那么的長是．解：，于，，．故答案為：．15．（4分）在△中，，、在邊上，且在、之間，，，如果△是等邊三角形，那么等邊△的邊長為6．解：如圖，設(shè)等邊△的邊長為，，，，，，，，，，，同理可得，△△，，即，，解得或（邊長不能為負(fù)舍去），故答案為：6．16．（4分）如圖，在中，是上的高，，如果矩形內(nèi)接于中，點、分別在邊、上，點、在上，那么矩形的周長為24．解：設(shè)與交于點，四邊形是矩形，，是上的高，，，，，，，，，，四邊形是矩形，，，，矩形的周長為．故答案為：24．17．（4分）定義：如果三角形有兩個內(nèi)角的差為，那么這樣的三角形叫做準(zhǔn)直角三角形．已知在直角中，，，，如圖，如果點在邊上，且是準(zhǔn)直角三角形，那么或．解：在中，，，，由勾股定理得：，是準(zhǔn)直角三角形，有以下兩種情況：①當(dāng)時，過點作于，如圖1所示：，又，，即為的平分線，，于，，設(shè)，在和中，，，，則，，在中，由勾股定理得：，即，解得：，；②當(dāng)時，如圖2所示：，，，，在中，，在中，，，，綜上所述：或．故答案為：或．18．（4分）在△中，，，點，，分別在邊，，上，連接，，，已知點和點關(guān)于直線對稱．如果，且，那么．解：如圖所示，連接，點和點關(guān)于直線對稱，，，，，，，，，，，可設(shè)，，，由勾股定理得，，解得，，．故答案為：．三．解答題（本大題共7題，滿分0分）19．已知、、是△的三邊長，且，求：（1）的值．（2）若△的周長為18，求各邊的長．解：（1）設(shè)，，，，；（2），，，，，．20．如圖，在中，是的重心，聯(lián)結(jié)并延長交于點．（1）如果，，那么（用向量、表示）；（2）已知，，點在邊上，且，求的長．解：（1），，，是的重心，聯(lián)結(jié)并延長交于點，為的邊上的中線，即點為的中點，．．故答案為：．（2）是的重心，．，，，，，．21．如圖，在△中，點在邊上，點、點在邊上，且，．（1）求證：；（2）如果，求的值．【解答】（1）證明：在△中，點在邊上，點、點在邊上，且，，，，，，△△，，；（2）解：，，，，，，，，，，△△，．22．某班級的“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組心得分享課”上，小智、小明跟同學(xué)們分享了關(guān)于梯形的三個正確的研究結(jié)論：①如圖1，梯形，，過對角線交點的直線與兩底分別交于點、，則；②如圖2，梯形，，過兩腰延長線交點的直線與兩底分別交于點、，則；③如圖3，梯形，，過對角線交點作分別交、于點、，則．（1）請在答題紙上完成結(jié)論③的證明．（2）該小組還出了一個作圖題考同學(xué)們：請運用上述相關(guān)結(jié)論用一把直尺將圖4中兩條平行的線段、同時平分．（保留作圖過程痕跡）（注意：請務(wù)必在試卷的圖示中完成作圖草稿在答題卷上直接用鉛筆完成作圖，不要涂改．【解答】（1）證明：，△△，，．，△△，△△，，，；（2）解：連接，并延長交于點，連接，交于點，連接并延長，分別交，于點，，則即為所求作．由（2）知，由（1）知，，，，，平分線段，．23．已知：如圖，矩形的對角線、相交于點，點在邊上，，垂足為點．（1）求證：；（2）過點作交于點，求證：．【解答】證明：（1）四邊形是矩形，，，又，，，，，△△，，；（2）如圖，，，在矩形中，，又，，，，，△△，，．24．已知△的頂點、的坐標(biāo)分別是、、點在軸正半軸，△的面積為12．（1）求點的坐標(biāo)；（2）若點在軸的正半軸，且△是等腰三角形，請直接寫出點的坐標(biāo)；（3）已知點在軸上，如果，求點的坐標(biāo)．解：（1）點在軸正半軸，設(shè)，△的面積為12，、，，，，即，，；（2），，，，，當(dāng)時，△是等腰三角形，，；當(dāng)時，△是等腰三角形，，，；當(dāng)時，，此時點與點重合，不符合題意，舍去；點的坐標(biāo)為或；（3），，，，，，，，在上取的中點，如圖所示，，，，，，是△的外角，，，，第一種情況，點在點