《基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)》課件Ⅱ

Ⅱ基本概念與數(shù)據(jù)處理2-1測(cè)量2-2誤差2-3不確定度2-4測(cè)量結(jié)果和不確定度的確定2-5有效數(shù)字2-6數(shù)據(jù)處理方法人類是通過測(cè)量來認(rèn)識(shí)客觀世界的。物理實(shí)驗(yàn)離不開對(duì)物理量的測(cè)量。由于測(cè)量條件的非理想化，測(cè)量總存在誤差。誤差是測(cè)量中的不可靠量值，導(dǎo)致測(cè)量結(jié)果偏差的不可靠量值稱為不確定度。這就是測(cè)量、誤差和不確定度三者之間的因果關(guān)系。測(cè)量誤差越小，結(jié)果的不確定度就越小，測(cè)量精度就越高，人們對(duì)客觀世界的認(rèn)識(shí)也就越準(zhǔn)確。2-1測(cè)量

1.測(cè)量的定義

廣義而言，測(cè)量就是用實(shí)驗(yàn)手段獲取客觀事物定量信息的過程。通俗地講，就是借助儀器，用某一計(jì)量單位把待測(cè)量的大小表示出來，確定待測(cè)量是該計(jì)量單位的多少倍。被測(cè)量的測(cè)量結(jié)果用標(biāo)準(zhǔn)量的倍數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)量的單位來表示。因此，測(cè)量的必要條件是被測(cè)量物理量、標(biāo)準(zhǔn)量及操作者。測(cè)量結(jié)果應(yīng)是一組數(shù)據(jù)和單位，必要時(shí)還要給出測(cè)量所用的量具或儀器、測(cè)量方法及條件等。例如,測(cè)量一個(gè)鋼球的直徑，選用的標(biāo)準(zhǔn)量是毫米，測(cè)量結(jié)果是毫米的16.374倍，則直徑的測(cè)量值為16.374mm，使用的量具為螺旋測(cè)微計(jì)，測(cè)量環(huán)境溫度為20.8℃。

2.測(cè)量的類型

1)按測(cè)量方式分類按測(cè)量方式分為直接測(cè)量和間接測(cè)量。

(1)直接測(cè)量。用測(cè)量儀器能直接測(cè)出被測(cè)量量值的測(cè)量過程稱為直接測(cè)量。相應(yīng)的被測(cè)量稱為直接測(cè)量量。例如，用米尺測(cè)物體的長度,用天平稱物體的質(zhì)量,用秒表測(cè)時(shí)間等，這些均是直接測(cè)量。相應(yīng)的長度、質(zhì)量、時(shí)間等均稱為直接測(cè)量量。直接測(cè)量按測(cè)量次數(shù)分為單次測(cè)量和多次測(cè)量。①單次測(cè)量：只測(cè)量一次的測(cè)量稱為單次測(cè)量。單次測(cè)量主要用于測(cè)量精度要求不高、測(cè)量比較困難或測(cè)量過程帶來的誤差遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于儀器誤差的測(cè)量。如在測(cè)量楊氏彈性模量實(shí)驗(yàn)中，測(cè)鋼絲長度就用的是單次測(cè)量。②多次測(cè)量：測(cè)量次數(shù)超過一次的測(cè)量稱為多次測(cè)量。多次測(cè)量按測(cè)量條件主要分為等精度測(cè)量和非等精度測(cè)量。

(2)間接測(cè)量。對(duì)于某些物理量的測(cè)量，由于沒有合適的測(cè)量儀器，不便或不能進(jìn)行直接測(cè)量,只能先測(cè)出與待測(cè)量有一定函數(shù)關(guān)系的直接測(cè)量量，再將直接測(cè)量的結(jié)果代入函數(shù)式進(jìn)行計(jì)算，從而得到待測(cè)物理量的測(cè)量值，這個(gè)過程稱為間接測(cè)量。相應(yīng)的被測(cè)量稱為間接測(cè)量量。例如，用單擺法測(cè)量重力加速度，其公式為，可以先用米尺和計(jì)時(shí)器對(duì)L和T分別進(jìn)行直接測(cè)量,然后將L和T的值代入測(cè)量公式，計(jì)算出重力加速度g。整個(gè)過程稱為間接測(cè)量。其中，g是間接測(cè)量量，L和T是直接測(cè)量量。

2)按測(cè)量條件分類按測(cè)量條件分為等精度測(cè)量和非等精度測(cè)量。

(1)等精度測(cè)量。為了減小誤差，往往對(duì)同一固定被測(cè)量進(jìn)行多次重復(fù)測(cè)量，如果每次測(cè)量的條件不變(即同一觀察者、同一套儀器、同一種實(shí)驗(yàn)原理和方法、同樣的測(cè)量環(huán)境等)，這種重復(fù)測(cè)量稱為等精度測(cè)量。由于各次測(cè)量的條件相同，那么就沒有任何根據(jù)可以判斷某次測(cè)量一定比另一次測(cè)量更準(zhǔn)確。所以，每次測(cè)量的可靠程度只能認(rèn)為是相同的，即認(rèn)為是等精度的測(cè)量。

(2)非等精度測(cè)量。多次重復(fù)測(cè)量時(shí)，只要有一個(gè)測(cè)量條件發(fā)生了變化，如更換了測(cè)量所用的量具或儀器，或改變了測(cè)量方法等，這種重復(fù)測(cè)量就稱為非(不)等精度測(cè)量。對(duì)這種測(cè)量要引入測(cè)量“權(quán)”的概念?！皺?quán)”是用來衡量各單次或局部測(cè)量結(jié)果可靠性的物理量，測(cè)量的權(quán)越大，說明該次測(cè)量結(jié)果的可靠性越大，它在最后測(cè)量結(jié)果中所占的比重也就越大。這類測(cè)量主要用于高精度的測(cè)量。在實(shí)際測(cè)量中，常用的測(cè)量主要有單次測(cè)量、等精度測(cè)量和間接測(cè)量。當(dāng)測(cè)量精度要求不高時(shí)用單次測(cè)量，測(cè)量精度要求比較高時(shí)用等精度測(cè)量，在無法使用直接測(cè)量時(shí)才采用間接測(cè)量。

3.測(cè)量的方法

測(cè)量的方法很多，常用的有直讀測(cè)量法、比較測(cè)量法、替代測(cè)量法、放大測(cè)量法、平衡測(cè)量法、模擬測(cè)量法、幾何光學(xué)測(cè)量法、干涉測(cè)量法和衍射測(cè)量法等。2-2誤差

1.真值與測(cè)量值

任何一個(gè)測(cè)量量在一定條件下是客觀存在的，當(dāng)能被完善地確定并能排除所有測(cè)量上的缺陷時(shí)，通過測(cè)量所得的量值稱為該量的真值。但是，對(duì)一個(gè)物理量的完善定義極其困難，人們也不能完全排除測(cè)量中的所有缺陷。因而，真值是一個(gè)比較抽象和理想的概念，一般來說是不可能知道的。物理實(shí)驗(yàn)課中所測(cè)量物理量的真值常采用公認(rèn)值、理論值或較高準(zhǔn)確度儀器的測(cè)量或多次測(cè)量的平均值近似地代替，這些值叫做“約定真值”。例如三角形內(nèi)角之和恒為180°等。各種實(shí)驗(yàn)所得到的量值稱為測(cè)量值。包括：①單次測(cè)量值：若只能進(jìn)行一次測(cè)量(如變化過程中的測(cè)量)，或沒有必要進(jìn)行多次測(cè)量；對(duì)測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確度要求不高，或有足夠的把握；儀器的準(zhǔn)確度不高，或多次測(cè)量結(jié)果相同。這時(shí)就用單次測(cè)量值近似地表示被測(cè)量的真值。②算術(shù)平均值：對(duì)多次等精度重復(fù)測(cè)量，用所有測(cè)量值的算術(shù)平均值來替代真值，由數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論可以證明，算術(shù)平均值是被測(cè)量真值的最佳估計(jì)值。③加權(quán)平均值：當(dāng)每個(gè)測(cè)量值的可信程度或測(cè)量準(zhǔn)確度不等時(shí)，為了區(qū)分每個(gè)測(cè)量值的可靠性(即重要程度)，對(duì)每個(gè)測(cè)量值都賦一個(gè)“權(quán)”數(shù)。最后測(cè)量結(jié)果用帶上“權(quán)”數(shù)的測(cè)量值求出的平均值表示，即為加權(quán)平均值。

2.誤差的定義

每個(gè)測(cè)量值都有一定的近似性，它們與真值之間總會(huì)存在或多或少的差異，這種差異在數(shù)值上的表示稱為測(cè)量誤差，簡(jiǎn)稱誤差。誤差自始至終存在于一切科學(xué)實(shí)驗(yàn)和測(cè)量過程之中，測(cè)量結(jié)果都存在誤差，這就是誤差公理。誤差按表達(dá)方式分為絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差。

(1)絕對(duì)誤差。絕對(duì)誤差表示測(cè)量值偏離真值的程度，用δx表示，即

δx=x－x0

(2-2-1)式中，δx表示絕對(duì)誤差;x表示測(cè)量值；x0表示真值。絕對(duì)誤差不是誤差的絕對(duì)值。絕對(duì)誤差可正可負(fù)，具有與被測(cè)量相同的量綱和單位。由于真值一般是得不到的，因此絕對(duì)誤差也無法計(jì)算。實(shí)際測(cè)量中是用多次測(cè)量的算術(shù)平均值來代替真值的，測(cè)量值與算術(shù)平均值之差稱為偏差，又稱殘差，亦用δx表示，即

(2-2-2)

(2)相對(duì)誤差。相對(duì)誤差是絕對(duì)誤差與被測(cè)量真值之比。由于真值不能確定，實(shí)際上常用約定真值來代替。相對(duì)誤差是一個(gè)無單位的量，常用百分?jǐn)?shù)表示，也稱為百分誤差，即(2-2-3)

3.誤差的類型及處理方法

測(cè)量中誤差按其產(chǎn)生的條件可歸納為系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差和粗大誤差三類。

1)系統(tǒng)誤差在相同條件下(指方法、儀器、環(huán)境、人員等不變)多次重復(fù)測(cè)量同一量時(shí)，誤差的大小和符號(hào)(正、負(fù))均保持不變或按某一確定的規(guī)律變化，這類誤差稱為系統(tǒng)誤差，它的特征是具有確定性。系統(tǒng)誤差分為可定系統(tǒng)誤差和未定系統(tǒng)誤差。①可定系統(tǒng)誤差：指在測(cè)量中大小、正負(fù)可確定的誤差。測(cè)量時(shí)應(yīng)消除該誤差。例如，米尺零刻線被磨損或彎曲，若不注意，會(huì)產(chǎn)生零點(diǎn)不為零的可定系統(tǒng)誤差。因此，測(cè)量時(shí)應(yīng)該避開零刻度線，用中間的某整刻度線作為測(cè)量的起始點(diǎn)，再讀出被測(cè)物的終止點(diǎn)，兩點(diǎn)相減就避開了零點(diǎn)不準(zhǔn)的可定系統(tǒng)誤差。再如，千分尺(亦稱螺旋測(cè)微器)零點(diǎn)不為零，測(cè)量時(shí)應(yīng)先記下零點(diǎn)值d0，再測(cè)量被測(cè)量值的大小d，兩者相減(d-d0)的結(jié)果就消除了千分尺d0的可定系統(tǒng)誤差。②未定系統(tǒng)誤差：指測(cè)量中只能確定大小，不能確定正負(fù)的誤差(如由于儀器不確定度產(chǎn)生的測(cè)量誤差)。一般將未定系統(tǒng)誤差合成到測(cè)量結(jié)果的不確定度中。例如，千分尺的示值誤差、數(shù)字毫秒計(jì)的不確定度、分光計(jì)的不確定度、電表的精度(即準(zhǔn)確度等級(jí))等產(chǎn)生的測(cè)量誤差，都是未定系統(tǒng)誤差。

(1)系統(tǒng)誤差的主要來源。①由儀器自身原因產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差：即由儀器本身缺陷、校正不完善或沒有按規(guī)定條件使用而產(chǎn)生的誤差。例如，儀器刻度不準(zhǔn)、刻度盤和指針安裝偏心、米尺彎曲、天平兩臂不等長等。②由測(cè)量公式產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差：由于測(cè)量公式本身的近似性或沒有滿足理論公式所規(guī)定的實(shí)際條件而產(chǎn)生的誤差。例如，單擺周期公式成立的條件之一是擺角小于5°，用這個(gè)近似公式計(jì)算T時(shí)，公式本身就帶來了誤差；又如，用伏安法測(cè)量電阻時(shí)，忽略了電表內(nèi)阻的影響等。③由測(cè)量環(huán)境產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差：在測(cè)量過程中，因周圍溫度、濕度、氣壓、振動(dòng)、電磁場(chǎng)等環(huán)境條件發(fā)生有規(guī)律的變化引起的誤差。例如，在25℃時(shí)標(biāo)定的標(biāo)準(zhǔn)電阻在30℃環(huán)境下使用等。④由操作人員產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差：由于操作者的不良習(xí)慣或生理、心理等因素造成的誤差。例如，用米尺測(cè)長度，讀數(shù)為斜視讀出；用秒表計(jì)時(shí)間，掐表速度較慢或較快等。

(2)發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差的主要方法。①理論分析法：從原理和測(cè)量公式上找原因，看是否滿足測(cè)量條件。例如，用伏安法測(cè)量電阻時(shí)，實(shí)際中電壓表內(nèi)阻不等于無窮大，電流表內(nèi)阻不等于零等，都會(huì)產(chǎn)生系統(tǒng)誤差。②實(shí)驗(yàn)對(duì)比法：可改變測(cè)量方法和條件，比較差異，從而發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差。例如，調(diào)換測(cè)量儀器或操作人員，進(jìn)行對(duì)比，觀察測(cè)量結(jié)果是否相同從而進(jìn)行判斷確認(rèn)。③數(shù)據(jù)分析法：分析數(shù)據(jù)的規(guī)律性，以便發(fā)現(xiàn)誤差。例如殘差法，對(duì)一組等精度測(cè)量數(shù)據(jù)，通過計(jì)算偏差，觀察其大小及比較正、負(fù)號(hào)的數(shù)目，從而尋找系統(tǒng)誤差。

(3)可定系統(tǒng)誤差的消除和減小方法。下面舉例說明常用的消除和減小可定系統(tǒng)誤差的方法：①交換法：用天平兩次稱量同一物體質(zhì)量，第二次稱量時(shí)，將被測(cè)物與砝碼交換。兩次稱量結(jié)果分別為m1、m2，則為最終稱量結(jié)果。采用交換法可以克服天平不等臂誤差。②替代法：如圖2-2-1所示，在電表改裝實(shí)驗(yàn)中測(cè)量表頭內(nèi)阻時(shí)，首先將S2與表頭回路接通，調(diào)節(jié)R1使微安表指到某整刻度，記下該電流值，再將S2與電阻箱回路接通，保持R1不變，調(diào)節(jié)電阻箱R2的阻值，使微安表指示值和記下的電流值相同，此時(shí)電阻箱的阻值就等于被測(cè)表頭的內(nèi)阻。這種方法避免了測(cè)量儀器微安表內(nèi)阻引入的誤差。圖2-2-1替代法測(cè)表頭內(nèi)阻③零示法：在實(shí)驗(yàn)中，不是研究某個(gè)被測(cè)量本身，而是讓它與一個(gè)已知量或相對(duì)參考量進(jìn)行比較，通過檢測(cè)并使這個(gè)差值為“0”，再用已知量或相對(duì)參考量描述被測(cè)量，這種方法叫做零示法。如電橋、電位差計(jì)的測(cè)量均采用這種方法。零示法可以減小儀器誤差和避免指零儀器內(nèi)阻引入的誤差。④異號(hào)法：在霍爾效應(yīng)實(shí)驗(yàn)中，為了消除不等勢(shì)電壓，常采用異號(hào)法，即取電流和磁場(chǎng)的四種工作狀態(tài)，測(cè)出結(jié)果并求出其平均值。⑤半周期法：即采用分光計(jì)的雙游標(biāo)讀數(shù)，用來克服分光計(jì)中心軸的偏心誤差。

2)隨機(jī)誤差測(cè)量時(shí)，即使消除了系統(tǒng)誤差，在相同條件下多次重復(fù)測(cè)量同一量時(shí)，各次測(cè)得值仍會(huì)有些差異，且其誤差的大小和符號(hào)沒有確定的變化規(guī)律。但如果大量增加測(cè)量次數(shù)，其總體(多次測(cè)量得到的所有測(cè)量值)會(huì)服從一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，這類誤差稱為隨機(jī)誤差，它的特征是具有偶然性。隨機(jī)誤差也是測(cè)量過程中不可避免的，它來自許多難以控制的不確定的隨機(jī)因素。這些隨機(jī)因素有空氣的流動(dòng)，溫度的起伏，電壓的波動(dòng)及不規(guī)則的微小振動(dòng)，雜散電磁場(chǎng)的干擾以及實(shí)驗(yàn)者感覺器官的分辨能力、靈敏程度和儀器的穩(wěn)定性等。增加測(cè)量次數(shù)可減小其影響。假設(shè)系統(tǒng)誤差已經(jīng)消除，且被測(cè)量本身又是穩(wěn)定的，在相同條件下，對(duì)同一物理量進(jìn)行多次重復(fù)測(cè)量，可以發(fā)現(xiàn)隨機(jī)誤差服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律即高斯分布，又稱正態(tài)分布。正態(tài)分布曲線如圖2-2-2所示，其滿足的高斯方程為(2-2-4)圖2-2-2正態(tài)分布曲線

(1)正態(tài)分布的特性。高斯方程中，σ稱為標(biāo)準(zhǔn)差，它是隨機(jī)誤差δx的分布函數(shù)f(δx)的特征量。其表達(dá)式為(2-2-5)

σ確定，f(δx)就唯一確定；反之，f(δx)確定，σ的大小也就唯一確定了。σ越小，測(cè)量精度越高，曲線就越陡，峰值也就越高，隨機(jī)誤差越集中，測(cè)量重復(fù)性越好；σ越大，則反之。σ對(duì)f(δx)的影響示意圖如圖2-2-3所示。圖2-2-3σ對(duì)f(δx)的影響示意圖為了統(tǒng)計(jì)隨機(jī)誤差的概率分布，將概率密度函數(shù)在以下區(qū)間積分，得到的隨機(jī)誤差在相應(yīng)區(qū)間的概率值分別為由此可以看出，隨機(jī)誤差落在±3σ之外的概率僅為0.3%，是正常情況下不應(yīng)該出現(xiàn)的小概率事件。因此，將±3σ定為誤差極限，即|δxi|≥|3σ|時(shí)，δxi為錯(cuò)誤，不是誤差，xi不能作為測(cè)量值。從正態(tài)分布曲線可以看出，隨機(jī)誤差具有四個(gè)重要特性，分別為：①單峰性：由大量重復(fù)測(cè)量所獲得的測(cè)量值，是以它們的算術(shù)平均值為中心而相對(duì)集中分布的。即多次測(cè)量時(shí)，絕對(duì)值小的誤差出現(xiàn)的概率比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的概率大。②對(duì)稱性：絕對(duì)值相等的正誤差和負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相同，即f(δx)為偶函數(shù)。③有界性：誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過某一界限，即絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的概率趨于零。隨機(jī)誤差的分布具有有限的范圍，即|3σ|為誤差界限。④抵償性：隨著測(cè)量次數(shù)的增加，隨機(jī)誤差的代數(shù)和趨于零，即隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值將趨于零。實(shí)際上，抵償性可由單峰性及對(duì)稱性導(dǎo)出。隨機(jī)誤差的處理方法是采取多次測(cè)量，取算術(shù)平均值作為測(cè)量結(jié)果，以減小隨機(jī)誤差，提高測(cè)量精度。

(2)測(cè)量列的標(biāo)準(zhǔn)差。高斯方程中的標(biāo)準(zhǔn)差σ是理論值，只有當(dāng)n→∞時(shí)，才趨于高斯分布。在實(shí)際測(cè)量中，只能進(jìn)行有限次測(cè)量，而有限次測(cè)量的隨機(jī)誤差實(shí)際服從t分布。t分布曲線較高斯分布曲線稍低且寬，兩邊較高，但兩者形狀非常相近，如圖2-2-4所示。圖2-2-4t分布與高斯分布曲線的比較示意圖實(shí)驗(yàn)中，先用貝賽爾(Besse2)公式計(jì)算測(cè)量列的標(biāo)準(zhǔn)偏差：(2-2-6)然后用t分布因子對(duì)標(biāo)準(zhǔn)偏差進(jìn)行修正，估算出測(cè)量列的標(biāo)準(zhǔn)差:

σ=s×t0.683

(2-2-7)在選擇測(cè)量次數(shù)時(shí)，要注意t因子的修正。表2-2-1列出了實(shí)驗(yàn)中常用的t因子。由表可見，n=6是拐點(diǎn)。當(dāng)n＞6時(shí)，t的變化小而緩慢，可?。?/p>

σ≈s

(n≥6)

(2-2-8)表2-2-1實(shí)驗(yàn)中常用的t因子

(3)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差。平均值也是個(gè)隨機(jī)變量，服從正態(tài)分布。如果對(duì)某被測(cè)量x進(jìn)行多組多次等精度測(cè)量時(shí)，每組測(cè)量列的平均值為、等不盡相同，只是隨機(jī)誤差已很小。則由最小二乘法可證明，平均值是真值的最佳估計(jì)值。因此，實(shí)驗(yàn)中只需對(duì)被測(cè)量進(jìn)行一組等精度測(cè)量。其平均值的標(biāo)準(zhǔn)差為(2-2-9)下面用最小二乘法證明測(cè)量列的平均值是真值的最佳估計(jì)值。求一組等精度測(cè)量列的最佳值，就是求能使它與各次測(cè)量值之差的平方和為最小的值。在此，用x佳表示真值的最佳估計(jì)值，即求式取最小值時(shí)的x佳。為滿足極小值條件，應(yīng)對(duì)上式求一階導(dǎo)數(shù)并令其等于零，求二階導(dǎo)數(shù)并判斷其是否大于零。若則說明該式滿足極小值條件。解一階導(dǎo)數(shù)等于零的等式：可得則由以上證明可以看出，真值的最佳估計(jì)值是平均值。

3)粗大誤差明顯地歪曲了測(cè)量結(jié)果的異常誤差稱為粗大誤差。它是由于沒有覺察到實(shí)驗(yàn)條件的突變，儀器在非正常狀態(tài)下工作，無意識(shí)的或不正確的操作等因素造成的。含有粗大誤差的測(cè)量值稱為可疑值，或稱異常值、壞值。在沒有充分依據(jù)時(shí)，絕不能按主觀意愿輕易地去除，應(yīng)該按照一定的統(tǒng)計(jì)準(zhǔn)則慎重地予以剔除。在測(cè)量中，若一組等精度測(cè)量值中的某值與其他值相差很大，則在處理這類數(shù)據(jù)時(shí)不能將其計(jì)算在內(nèi)，應(yīng)予以剔除。具體做法是求出和σ，作出區(qū)間，則測(cè)量列中數(shù)據(jù)不在此區(qū)間內(nèi)的值都是壞值，應(yīng)剔除掉，這種方法稱為3σ法則。

例1

對(duì)液體溫度作多次等精度測(cè)量，測(cè)量值分別為20.42、20.43、20.40、20.43、20.42、20.43、20.39、20.30、20.40、20.43、20.42、20.41、20.39、20.39、20.40。試用3σ法則檢驗(yàn)該測(cè)量列中是否有壞值，并計(jì)算檢驗(yàn)后的平均值及標(biāo)準(zhǔn)差，寫出測(cè)量結(jié)果的表達(dá)式。

解實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和處理過程如表2-2-2所示。在上表中，計(jì)算的中間過程數(shù)據(jù)可以多取一位。計(jì)算測(cè)量列的標(biāo)準(zhǔn)差：σ=0.03℃，3σ=0.09℃。判斷和剔除：i=8時(shí)的|δx|=0.104≥3σ，所以t＝20.30℃是壞值，予以剔除。剔除后，=20.411℃，σ=0.016℃，3σ=0.048℃。經(jīng)檢查，再無壞值。計(jì)算：σt=0.004℃。測(cè)量結(jié)果表達(dá)式為：t=(20.411±0.004)℃。表2-2-2測(cè)量數(shù)據(jù)及數(shù)據(jù)處理

4.誤差與測(cè)量結(jié)果的關(guān)系

為了定性地描述各測(cè)量值的重復(fù)性及測(cè)量結(jié)果與其真值的接近程度，常用準(zhǔn)確度、精密度、精確度來描述。

(1)準(zhǔn)確度：表示測(cè)量值或?qū)嶒?yàn)所得結(jié)果與真值的接近程度。它表征系統(tǒng)誤差對(duì)測(cè)量值的影響。準(zhǔn)確度高表示系統(tǒng)誤差小，測(cè)量值與真值的偏離小，接近真值的程度高。準(zhǔn)確度反映系統(tǒng)誤差大小的程度。

(2)精密度：表示重復(fù)測(cè)量各測(cè)量值的分散程度，即測(cè)量值分布的密集程度。它表征隨機(jī)誤差對(duì)測(cè)量值的影響。精密度高表示隨機(jī)誤差小，測(cè)量重復(fù)性好，測(cè)量數(shù)據(jù)比較集中。精密度反映隨機(jī)誤差大小的程度。

(3)精確度：描述各測(cè)量值重復(fù)性及測(cè)量結(jié)果與真值的接近程度，它反映測(cè)量中的隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差綜合大小的程度。測(cè)量準(zhǔn)確度高，表示測(cè)量結(jié)果既精密又正確，數(shù)據(jù)集中，而且偏離真值小，測(cè)量的隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差都比較小。圖2-2-5所示是以打靶時(shí)彈著點(diǎn)的分布為例，說明這三個(gè)詞的涵義。由圖可知，圖2-2-5(a)準(zhǔn)確度低，精密度高；圖2-2-5(b)準(zhǔn)確度高，精密度低；圖2-2-5(c)精確度高，既準(zhǔn)確又精密。由于三詞是定性評(píng)價(jià)測(cè)量結(jié)果的，本書不嚴(yán)格區(qū)分，均稱其為精度。圖2-2-5準(zhǔn)確度、精密度、精確度示意圖2-3不確定度

根據(jù)國際計(jì)量局(BIPM)關(guān)于“實(shí)驗(yàn)不確定度的規(guī)定建議書INC-1(1980)”的規(guī)定，采用不確定度來評(píng)價(jià)測(cè)量結(jié)果的質(zhì)量及可信賴程度。不確定度是說明測(cè)量結(jié)果的一個(gè)參數(shù)，用于表征合理賦予被測(cè)量值的分散性。測(cè)量不確定度是指由于測(cè)量誤差的存在而對(duì)被測(cè)量值不能肯定的程度，它是被測(cè)量的真值在某個(gè)量值范圍內(nèi)的一個(gè)評(píng)定?；蛘哒f測(cè)量不確定度表示測(cè)量誤差可能出現(xiàn)的范圍，它的大小反映了測(cè)量結(jié)果可信賴程度的高低，不確定度小的測(cè)量結(jié)果可信賴程度高。不確定度越小，測(cè)量結(jié)果與真值越靠近，測(cè)量質(zhì)量越高。反之，不確定度越大，測(cè)量結(jié)果與真值越遠(yuǎn)離，測(cè)量質(zhì)量越低。

1.不確定度的定義

不確定度包含了各種不同來源的誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響，各分量的估算又反映了這部分誤差所服從的分布規(guī)律。它不再將測(cè)量誤差分為系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差，而是把可修正的系統(tǒng)誤差修正以后，將余下的全部誤差分為可以用概率統(tǒng)計(jì)方法計(jì)算的A類評(píng)定和用其他非統(tǒng)計(jì)方法估算的B類評(píng)定。若各種不同來源的誤差分量彼此獨(dú)立，則將A類和B類評(píng)定按“方和根”的方法合成得到合成不確定度。不確定度與給定的置信概率相聯(lián)系，并且可以求出它的確定值。不確定度用符號(hào)ΔX表示。它由兩部分組成：A類分量ΔXA和B類分量ΔXB。“方和根”合成得到的合成不確定度為(2-3-1)相應(yīng)的相對(duì)不確定度為(2-3-2)

2.A類不確定度的評(píng)定

A類不確定度用概率統(tǒng)計(jì)的方法來評(píng)定，記為ΔXA。在相同的測(cè)量條件下，n次等精度獨(dú)立重復(fù)測(cè)量值為x1，x2，x3，…，xn。其測(cè)量結(jié)果的最佳估計(jì)值為算術(shù)平均值：

xi的標(biāo)準(zhǔn)偏差s(xi)估計(jì)采用貝塞爾公式：平均值的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差的最佳估計(jì)為(2-3-3)不確定度的A類評(píng)定就用表示，即。

3.B類不確定度的評(píng)定

測(cè)量中凡是不符合統(tǒng)計(jì)規(guī)律的不確定度均應(yīng)用B類不確定度來評(píng)定，記為ΔXB。實(shí)際工作和生活中，絕大多數(shù)測(cè)量度是一次測(cè)量的，對(duì)一般有刻度的量具和儀表，估計(jì)誤差為最小分度的～，通常小于儀器的最大允差Δ儀。所以通常用Δ儀表示一次測(cè)量結(jié)果的B類不確定度，測(cè)量值與客觀值(所謂的真值)的誤差在［－Δ儀，+Δ儀］內(nèi)的置信概率為100%。實(shí)際上，儀器的誤差在［－Δ儀，+Δ儀］范圍內(nèi)是按一定概率分布的。在相同條件下大批量生產(chǎn)的產(chǎn)品，其質(zhì)量指標(biāo)一般服從正態(tài)分布。理論分析指出，對(duì)于多數(shù)儀器誤差服從均勻分布，也有一些儀器服從三角分布。一般而言，ΔXB與Δ儀的關(guān)系為ΔXB=Δ儀/C(C稱為置信系數(shù))。置信系數(shù)與誤差分布對(duì)應(yīng)如表2-3-1所示。表2-3-1置信系數(shù)與誤差分布根據(jù)概率統(tǒng)計(jì)理論，對(duì)均勻分布函數(shù)，測(cè)量誤差落在區(qū)間［－Δ儀，+Δ儀］內(nèi)的概率為58％，對(duì)三角分布函數(shù)，測(cè)量誤差落在區(qū)間［－Δ儀，+Δ儀］內(nèi)的概率為74％;只有對(duì)于正態(tài)分布函數(shù)，測(cè)量誤差落在區(qū)間［－Δ儀，+Δ儀］內(nèi)的概率才為68.3％。即測(cè)量值的B類不確定度與置信概率P有關(guān)，，kP稱為置信因子。置信概率P與kP的關(guān)系如表2-3-2所示。目前，人們對(duì)很多儀器的質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)在最大允差范圍內(nèi)的分布性質(zhì)有不同的說法，對(duì)某些分布性質(zhì)還不清楚，很多文獻(xiàn)都把它們簡(jiǎn)化成均勻分布來處理。即不確定度的B類評(píng)定表示為表2-3-2正態(tài)分布置信概率P與kP的關(guān)系

4.儀器的不確定度

儀器是一種產(chǎn)品，作為一個(gè)結(jié)果，它的不可靠量值應(yīng)該是不確定度Δ儀。在測(cè)量中會(huì)產(chǎn)生未定系統(tǒng)誤差，該誤差大多服從均勻分布，如圖2-3-1所示，即誤差大小和符號(hào)的概率均相等。將儀器不確定度Δ儀合成到測(cè)量結(jié)果的不確定度中為B類分量：(P=0.683)

(2-3-4)儀器不確定度的獲得：

(1)由儀器銘牌或說明書中給出。

(2)由儀器的準(zhǔn)確度等級(jí)獲得圖2-3-1均勻分布示意圖儀器的準(zhǔn)確度等級(jí)由高到低排列為：0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5、5.0級(jí)，共七個(gè)等級(jí)。其中，0.1、0.2屬于正態(tài)分布，ΔXB＝Δ儀/3；其余均為均勻分布，ΔXB＝Δ儀/。

(3)估計(jì)。對(duì)連續(xù)讀數(shù)的儀器：Δ儀＝分度值對(duì)非連續(xù)讀數(shù)的儀器：Δ儀＝分度值對(duì)數(shù)字式儀表：Δ儀取末位±1或±2注：分度值就是儀器最小測(cè)量單位的量值。例如，米尺的分度值是1mm，JJY分光計(jì)的分度值是1′等。

5.合成不確定度

若A類不確定度和B類不確定度相互獨(dú)立，且在同一置信水平，則按“方和根”的方法合成得到合成不確定度ΔX為2-4測(cè)量結(jié)果和不確定度的確定

1.單次測(cè)量通常對(duì)于測(cè)量都要進(jìn)行重復(fù)多次，以便于提高測(cè)量精度。在某些精度要求不高或條件不許可的情況下，只需進(jìn)行單次測(cè)量。在實(shí)驗(yàn)中，先重復(fù)性測(cè)量三次，如果測(cè)量值相等，說明測(cè)一次就行了，隨機(jī)誤差取零。這樣單次測(cè)量中不確定度A類分量就為零。即測(cè)量結(jié)果和不確定度如下：測(cè)量結(jié)果：X測(cè)

不確定度：

2.多次測(cè)量

一般選取測(cè)量次數(shù)n≥6，以便于滿足σ≈S，簡(jiǎn)化標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算。數(shù)據(jù)處理前應(yīng)該消除掉可定系統(tǒng)誤差和剔除掉粗大誤差，再進(jìn)行下面的分析計(jì)算。測(cè)量結(jié)果：不確定度：(2-4-1)

3.間接測(cè)量

間接測(cè)量值是把直接測(cè)量的結(jié)果帶入函數(shù)關(guān)系式(即測(cè)量公式)計(jì)算而得到的。由于直接測(cè)量有誤差，導(dǎo)致間接測(cè)量也有誤差。間接測(cè)量結(jié)果的不確定度取決于直接測(cè)量結(jié)果的不確定度和測(cè)量公式的具體形式。分析如下：被測(cè)量的函數(shù)關(guān)系式：y=f(x1，x2，…，xn)。x1，x2，…，xn為各自獨(dú)立的直接測(cè)量量。測(cè)量結(jié)果：間接測(cè)量不確定度：對(duì)被測(cè)量的函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行全微分，求出結(jié)果的不確定度。為使微分簡(jiǎn)化，具體分為以下兩種形式表示。

(1)當(dāng)測(cè)量公式為和差形式時(shí)，y=f(x1，x2，…，xn)，直接用全微分求不確定度Δy。(2-4-2)例2求Y＝3A-B的不確定度的表達(dá)式。解對(duì)Y求微分得

dY=3dA-dB用不確定度符號(hào)代替微分符號(hào)并合成得

(2)當(dāng)測(cè)量公式為乘、除、指數(shù)等形式時(shí)，對(duì)y=f(x1，x2，…，xn)先取對(duì)數(shù)，再微分求相對(duì)不確定度(2-4-3)例3求的不確定度表達(dá)式。解對(duì)y取對(duì)數(shù)得

lny=ln3+lnA－5lnB再求微分得用不確定度符號(hào)代替微分號(hào)并合成得

4.測(cè)量結(jié)果的表示

Y=

±ΔY＝_____________(P=0.683)；

注：(1)不確定度ΔY只取一位有效數(shù)字，尾數(shù)只進(jìn)不舍。(2)尾數(shù)保留到與ΔY的有效位一致，尾數(shù)按照四舍五入修約法(見2-5節(jié))取舍。

(3)取1~2位有效數(shù)字。首位為1或2，取兩位有效數(shù)字；首位為3或3以上，取一位有效數(shù)字。尾數(shù)同樣采用四舍五入修約法處理。常用函數(shù)的不確定度關(guān)系式如表2-4-1所示。＝__________%。表2-4-1常用函數(shù)的不確定度關(guān)系式

5.舉例

例4用一級(jí)千分尺(Δ儀＝±0.004mm)對(duì)一鋼絲直徑d進(jìn)行六次測(cè)量，測(cè)量結(jié)果分別為2.125mm、2.131mm、2.121mm、2.127mm、2.124mm、2.126mm。千分尺的零位讀數(shù)為－0.008mm，要求進(jìn)行數(shù)據(jù)處理并寫出測(cè)量結(jié)果。解測(cè)量數(shù)據(jù)及數(shù)據(jù)處理如表2-4-2所示。消除可定系統(tǒng)誤差后的平均值為表2-4-2測(cè)量數(shù)據(jù)及數(shù)據(jù)處理

1)A類分量測(cè)量列的標(biāo)準(zhǔn)差：經(jīng)檢查測(cè)量列中無壞值。平均值的標(biāo)準(zhǔn)差：

2)B類分量儀器不確定度：

Δ儀＝0.004mm不確定度：相對(duì)不確定度:測(cè)量結(jié)果:

d＝2.134±0.002mm

(P＝0.683)例5單擺法測(cè)量重力加速度的公式為。各直接測(cè)量量的結(jié)果為T＝1.984±0.002s，；L=97.8±0.1cm，

(P＝0.683)。試進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，寫出測(cè)量結(jié)果。解相對(duì)不確定度：不確定度：測(cè)量結(jié)果：2-5有效數(shù)字

測(cè)量結(jié)果的三要素是數(shù)值、單位和不確定度。測(cè)量結(jié)果數(shù)值位數(shù)的多少可以表征儀器和測(cè)量精度的高低，測(cè)量數(shù)據(jù)位數(shù)不能隨意丟棄或增添，它們有嚴(yán)格的定義、變換和計(jì)算規(guī)則。

1.有效數(shù)字的定義

在物理量的直接測(cè)量中，測(cè)量數(shù)據(jù)一般估讀到儀器分度值的1/10位。例如，用分度值為1mm的直尺測(cè)量物體的長度，測(cè)量結(jié)果應(yīng)估讀到1/10mm位，最后一位是欠準(zhǔn)位(估讀位)。顯然，欠準(zhǔn)位越小，測(cè)量數(shù)據(jù)的精度越高。測(cè)量數(shù)據(jù)中，從左起第一個(gè)非零數(shù)字開始到欠準(zhǔn)位的所有數(shù)字統(tǒng)稱為有效數(shù)字。有效位數(shù)的多少除了與待測(cè)量的大小有關(guān)外，還取決于所用量具或儀器準(zhǔn)確度的高低。

2.有效數(shù)字的運(yùn)用

在直接測(cè)量中，數(shù)據(jù)記錄到誤差產(chǎn)生位，即估讀位，如圖2-5-1所示。圖中，測(cè)量結(jié)果讀數(shù)分別為L1＝5.2cm，L2＝5.18cm。如圖2-5-2所示，測(cè)量結(jié)果的讀數(shù)：正確讀數(shù)：L＝90.70cm;錯(cuò)誤讀數(shù)：L＝90.7cm;在物理實(shí)驗(yàn)中，90.70cm≠90.7cm。圖2-5-1讀數(shù)示例圖2-5-2讀數(shù)示例注意：數(shù)據(jù)處理中，不確定度ΔX取1位有效數(shù)字，相對(duì)不確定度ΔX/X取1～2位有效數(shù)字。計(jì)算的中間過程數(shù)值的有效位可以多取一位。測(cè)量結(jié)果的表達(dá)式：測(cè)量值的有效末位與不確定度ΔX取齊。例如，若＝98.36cm，ΔL＝0.57cm，則

相對(duì)不確定度為。

3.四舍五入修約法

四舍五入修約法為“尾數(shù)小于五則舍；大于五則入；等于五時(shí)，將有效末位湊成偶數(shù)”。所謂尾數(shù)，就是有效位后面的數(shù)字。例如，下面例子中帶下劃線的數(shù)字，在舍取的過程中稱為尾數(shù)。注意四舍五入修約法的運(yùn)用：

4.有效數(shù)字的運(yùn)算

運(yùn)算結(jié)果的有效末位原則上應(yīng)與不確定度對(duì)齊。但在各分量(自變量)的不確定度未知或未給出時(shí)，無法計(jì)算結(jié)果的不確定度，結(jié)果的有效位數(shù)也就無法確定。這時(shí)可用如下方法得到：(1)加減法：算式為和、差形式時(shí)，計(jì)算結(jié)果的有效末位取到分量中欠準(zhǔn)(末尾)的最大位：

N＝71.3+6.35-0.81+271＝347.84＝348

(2)乘除法：算式為乘、除、指數(shù)形式時(shí)，計(jì)算結(jié)果的有效位數(shù)應(yīng)和參與運(yùn)算的各直接測(cè)量量中有效位數(shù)最少的多少保持一致。

N＝71.3×6.35÷0.81÷271＝2.062571181＝2.1

(3)乘方、開方運(yùn)算:結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)和底數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)相同。

7.8892=62.24

(4)函數(shù)運(yùn)算：結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)應(yīng)根據(jù)誤差計(jì)算來確定。方法1：微分法。如求Y=f(x)的函數(shù)值，應(yīng)先求出dY=Y′·dx，將它保留一位有效數(shù)字，函數(shù)Y的值最終應(yīng)保留與該位一致。在此dx為自變量的最小變化量(即有效末位的最小分度值)。例如：求Y=sin20°6′。因?yàn)樗裕瑂in20°6′應(yīng)保留到萬分位，則

Y=sin20°6′=0.3437方法2：比較法。算式為函數(shù)形式時(shí)，計(jì)算函數(shù)及增加自變量±1個(gè)單位變化的函數(shù)結(jié)果，將三者由左到右進(jìn)行比較、取到數(shù)值變化的第一位(下例中帶下劃線是數(shù)值變化位)。例如:其他函數(shù)可效仿此法。注意：如果數(shù)值變化位三者中有兩個(gè)相同，則函數(shù)值應(yīng)取到下一位。

(5)對(duì)數(shù)函數(shù)：對(duì)數(shù)函數(shù)運(yùn)算結(jié)果的整數(shù)位不計(jì)，小數(shù)部分的數(shù)字位數(shù)與真數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)相同。例如：

lg0.1983=－0.7027

(6)指數(shù)函數(shù):對(duì)指數(shù)函數(shù)如ex、10x等運(yùn)算，結(jié)果用科學(xué)記數(shù)法表示，小數(shù)點(diǎn)前保留一位，小數(shù)點(diǎn)后面保留的位數(shù)與x在小數(shù)點(diǎn)后的位數(shù)相同。例如：

e9.24=1.03×104

106.25=1.78×106

5.科學(xué)表達(dá)式

科學(xué)表達(dá)式就是將測(cè)量結(jié)果表示為小數(shù)點(diǎn)前只有一位非零數(shù)字，后面再乘以10n的形式。如果測(cè)量結(jié)果的數(shù)值很大或很小，應(yīng)該用科學(xué)表達(dá)式表示。例如，光速應(yīng)寫為c＝2.998×108m/s。在單位變換或一般表達(dá)式變換為科學(xué)表達(dá)式時(shí)，有效位數(shù)不能改變。2-6數(shù)據(jù)處理方法

1.列表法將記錄的數(shù)據(jù)和處理過程以表格的形式表示，列表要求：(1)根據(jù)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容合理設(shè)計(jì)表格的形式，欄目排列的順序要與測(cè)量的先后和計(jì)算的順序相對(duì)應(yīng)。

(2)各欄目必須標(biāo)明物理量的名稱和單位，量值的數(shù)量級(jí)也寫在標(biāo)題欄中。表格名稱應(yīng)標(biāo)在表格正上方。

(3)原始測(cè)量數(shù)據(jù)及處理過程中的一些重要中間運(yùn)算結(jié)果均應(yīng)列入表中，且要正確表示各量的有效數(shù)字。

(4)要充分注意數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系，要有主要的計(jì)算公式。列表法的優(yōu)點(diǎn)是：簡(jiǎn)單明了、形式緊湊，各數(shù)據(jù)易于參考比較；便于表示出有關(guān)物理量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系；便于檢查和發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)中存在的問題及分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果是否合理；便于歸納總結(jié)，從中找出規(guī)律性的聯(lián)系。列表法的缺點(diǎn)是：數(shù)據(jù)變化的趨勢(shì)不夠直觀，求取相鄰兩數(shù)據(jù)的中間值時(shí)，還需要借助插值公式進(jìn)行計(jì)算等。

2.作圖法

1)作圖規(guī)則作圖法是將物理量之間的關(guān)系在坐標(biāo)紙上以線條形式表示出來。作為一種數(shù)據(jù)處理方法，若測(cè)量點(diǎn)呈線性關(guān)系，則該直線起到了數(shù)據(jù)取平均的效果，還可以從圖中求出相應(yīng)物理量；若要將非線性關(guān)系轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系，可利用變量代換之后作圖，即曲線改直。作圖用紙有直角坐標(biāo)紙、對(duì)數(shù)坐標(biāo)紙、半對(duì)數(shù)坐標(biāo)紙、極坐標(biāo)紙、指數(shù)坐標(biāo)紙等，物理實(shí)驗(yàn)中大多采用直角坐標(biāo)紙，作圖時(shí)要求用鉛筆繪圖。作圖規(guī)則如下：

(1)圖紙選擇。作圖一定要用坐標(biāo)紙，根據(jù)需要選用直角坐標(biāo)紙、單對(duì)數(shù)或雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)紙等。坐標(biāo)紙的大小以不損失實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的有效數(shù)字和能夠包括全部數(shù)據(jù)為原則，也可適當(dāng)選大些。圖紙上的最小分格一般對(duì)應(yīng)測(cè)量數(shù)據(jù)中可靠數(shù)字的最末一位。作圖時(shí)不要增、減有效數(shù)字位數(shù)。

(2)定軸。確定坐標(biāo)軸的比例和標(biāo)度。通常以橫軸代表自變量，縱軸代表因變量。用粗實(shí)線畫出兩個(gè)坐標(biāo)軸，注明每個(gè)坐標(biāo)軸代表的物理量的名稱(或符號(hào))和單位。選取適當(dāng)?shù)谋壤妥鴺?biāo)軸的起點(diǎn)，使圖線比較對(duì)稱地充滿整個(gè)圖紙，不要偏在一邊或一角。坐標(biāo)軸的起點(diǎn)不一定要從零開始，可選小于數(shù)據(jù)中最小值的某一整數(shù)作為起點(diǎn)。最小分格代表的數(shù)字應(yīng)取1、2、5。坐標(biāo)軸上要每隔一定的間距標(biāo)上整齊的數(shù)字(不應(yīng)遺漏)。橫軸與縱軸的比例和標(biāo)度可以不同。

(3)標(biāo)點(diǎn)和連線。用削尖的鉛筆，以“⊙、×、+、Δ”等符號(hào)在坐標(biāo)紙上準(zhǔn)確標(biāo)出數(shù)據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)位置。除校正圖線要連成折線外，一般應(yīng)根據(jù)數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布和趨勢(shì)連接成細(xì)而光滑的直線或曲線。連線時(shí)要用直尺或曲線板等作圖工具。圖線的走向應(yīng)盡可能多地通過或靠近各實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)，即不是一定要通過每一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，而是應(yīng)使處于圖線兩側(cè)的點(diǎn)數(shù)相近，未通過的點(diǎn)均勻分布在直線兩側(cè)。如一張圖上要畫幾條圖線，則要選用不同的標(biāo)記符號(hào)。

(4)圖名和圖注。圖名的字跡要端正，最好用仿宋體，位置要明顯。簡(jiǎn)要寫出實(shí)驗(yàn)條件及注釋或說明(實(shí)驗(yàn)者、實(shí)驗(yàn)時(shí)間、儀器編號(hào)、環(huán)境溫度、濕度、氣壓等)。

2)圖示法與圖解法根據(jù)畫出的實(shí)驗(yàn)圖線，用解析方法求出有關(guān)參量或物理量之間的經(jīng)驗(yàn)公式為圖解法。當(dāng)圖線為直線時(shí)尤為方便，可通過求直線的截距或斜率可得到另外一些物理量。如惠斯通電橋?qū)嶒?yàn)，通過導(dǎo)體電阻與溫度的關(guān)系直線求出斜率和截距，進(jìn)而求得電阻溫度系數(shù)。還可通過圖線求函數(shù)表達(dá)式。如三線擺實(shí)驗(yàn)，通過圖線可得出三線擺周期與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之間的經(jīng)驗(yàn)公式等。例6在靈敏電流計(jì)的研究實(shí)驗(yàn)中，求靈敏電流計(jì)的電流常數(shù)和內(nèi)阻的測(cè)量公式為，測(cè)量數(shù)據(jù)如表2-6-1所示。試用作圖法求電流計(jì)的電流常數(shù)Ki和內(nèi)阻Rg。表2-6-1測(cè)量數(shù)據(jù)

解根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，作R2～U曲線，如圖2-6-1所示。在直線上取兩點(diǎn)(0.60，60.0)、(2.60，368.0)，并將常量代入測(cè)量公式，則得電流常數(shù):電流計(jì)內(nèi)阻為Rg＝36.0Ω(即圖線和縱軸的截距)。圖2-6-1R2~U曲線

3.逐差法

(1)適用條件。①一元函數(shù)多項(xiàng)式：y＝a0+a1x+a2x2+…②自變量連續(xù)等值變化。

(2)兩種方法。①逐項(xiàng)逐差法：自變量等值變化，測(cè)得一組數(shù)據(jù)為y1、y2、…。用數(shù)據(jù)項(xiàng)的后項(xiàng)減前項(xiàng)，用來驗(yàn)證多項(xiàng)式。一次逐項(xiàng)逐差yi+1－yi=(δy)i為常數(shù)，是一次函數(shù)；若一次逐差不為常數(shù)，可再進(jìn)行二次逐項(xiàng)逐差。二次逐項(xiàng)逐差(δy)i+1－(δy)i=δ(δy)i為常數(shù)，是二次函數(shù)；……②隔項(xiàng)逐差法：自變量等值變化測(cè)得偶數(shù)個(gè)值，如y1、y2，…，y8。將所測(cè)數(shù)據(jù)項(xiàng)從中間分成兩部分，然后兩部分的對(duì)應(yīng)項(xiàng)相減，即yi+4－yi(δy)i，再求出平均值。此法用來求物理量，僅用于線性關(guān)系。例7下面表格中列出了在楊氏模量實(shí)驗(yàn)中，鋼絲承受砝碼(自變量)連續(xù)增值1000g變化時(shí)，鋼絲伸長量的放大量ni以及隔項(xiàng)逐差的值(δn)i。試用隔項(xiàng)逐差法計(jì)算鋼絲每承受1000g載荷時(shí)的平均伸長放大量。解該方法的優(yōu)點(diǎn)是充分利用了測(cè)量數(shù)據(jù)。對(duì)自變量等值變化的測(cè)量數(shù)據(jù)，若用算術(shù)平均值公式計(jì)算測(cè)量結(jié)果，在本例中是每后項(xiàng)減前項(xiàng)，結(jié)果只用了n1和n8兩個(gè)數(shù)據(jù)，其余數(shù)據(jù)均在數(shù)據(jù)處理中丟失，即

4.最小二乘法線性擬合

我們知道，用作圖法求出直線的斜率a和截距b，可以確定這條直線所對(duì)應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)公式，但用作圖法擬合直線時(shí)，由于作圖連線有較大的隨意性，尤其在測(cè)量數(shù)據(jù)比較分散時(shí)，對(duì)同一組測(cè)量數(shù)據(jù)，不同的人去處理，所得結(jié)果會(huì)有差異，因此，它是一種粗略的數(shù)據(jù)處理方法，求出的a和b誤差較大。用最小二乘法擬合直線處理數(shù)據(jù)時(shí)，任何人去處理同一組數(shù)據(jù)，只要處理過程沒有錯(cuò)誤，得到的斜率a和截距b是唯一的。最小二乘法就是將一組符合y=a+bx關(guān)系的測(cè)量數(shù)據(jù)，用計(jì)算的方法求出最佳的a和b。

1)求回歸直線設(shè)直線方程的表達(dá)式為

y=a+bx

(2-6-1)根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)求出最佳的a和b。對(duì)滿足線性關(guān)系的一組等精度測(cè)量數(shù)據(jù)(xi，yi)，假定自變量xi的誤差可以忽略，則在同一xi下，測(cè)量點(diǎn)yi和直線上的點(diǎn)a+bxi的偏差di如下：