《基礎物理實驗》課件Ⅱ

Ⅱ基本概念與數(shù)據(jù)處理2-1測量2-2誤差2-3不確定度2-4測量結果和不確定度的確定2-5有效數(shù)字2-6數(shù)據(jù)處理方法人類是通過測量來認識客觀世界的。物理實驗離不開對物理量的測量。由于測量條件的非理想化，測量總存在誤差。誤差是測量中的不可靠量值，導致測量結果偏差的不可靠量值稱為不確定度。這就是測量、誤差和不確定度三者之間的因果關系。測量誤差越小，結果的不確定度就越小，測量精度就越高，人們對客觀世界的認識也就越準確。2-1測量

1.測量的定義

廣義而言，測量就是用實驗手段獲取客觀事物定量信息的過程。通俗地講，就是借助儀器，用某一計量單位把待測量的大小表示出來，確定待測量是該計量單位的多少倍。被測量的測量結果用標準量的倍數(shù)、標準量的單位來表示。因此，測量的必要條件是被測量物理量、標準量及操作者。測量結果應是一組數(shù)據(jù)和單位，必要時還要給出測量所用的量具或儀器、測量方法及條件等。例如,測量一個鋼球的直徑，選用的標準量是毫米，測量結果是毫米的16.374倍，則直徑的測量值為16.374mm，使用的量具為螺旋測微計，測量環(huán)境溫度為20.8℃。

2.測量的類型

1)按測量方式分類按測量方式分為直接測量和間接測量。

(1)直接測量。用測量儀器能直接測出被測量量值的測量過程稱為直接測量。相應的被測量稱為直接測量量。例如，用米尺測物體的長度,用天平稱物體的質(zhì)量,用秒表測時間等，這些均是直接測量。相應的長度、質(zhì)量、時間等均稱為直接測量量。直接測量按測量次數(shù)分為單次測量和多次測量。①單次測量：只測量一次的測量稱為單次測量。單次測量主要用于測量精度要求不高、測量比較困難或測量過程帶來的誤差遠遠小于儀器誤差的測量。如在測量楊氏彈性模量實驗中，測鋼絲長度就用的是單次測量。②多次測量：測量次數(shù)超過一次的測量稱為多次測量。多次測量按測量條件主要分為等精度測量和非等精度測量。

(2)間接測量。對于某些物理量的測量，由于沒有合適的測量儀器，不便或不能進行直接測量,只能先測出與待測量有一定函數(shù)關系的直接測量量，再將直接測量的結果代入函數(shù)式進行計算，從而得到待測物理量的測量值，這個過程稱為間接測量。相應的被測量稱為間接測量量。例如，用單擺法測量重力加速度，其公式為，可以先用米尺和計時器對L和T分別進行直接測量,然后將L和T的值代入測量公式，計算出重力加速度g。整個過程稱為間接測量。其中，g是間接測量量，L和T是直接測量量。

2)按測量條件分類按測量條件分為等精度測量和非等精度測量。

(1)等精度測量。為了減小誤差，往往對同一固定被測量進行多次重復測量，如果每次測量的條件不變(即同一觀察者、同一套儀器、同一種實驗原理和方法、同樣的測量環(huán)境等)，這種重復測量稱為等精度測量。由于各次測量的條件相同，那么就沒有任何根據(jù)可以判斷某次測量一定比另一次測量更準確。所以，每次測量的可靠程度只能認為是相同的，即認為是等精度的測量。

(2)非等精度測量。多次重復測量時，只要有一個測量條件發(fā)生了變化，如更換了測量所用的量具或儀器，或改變了測量方法等，這種重復測量就稱為非(不)等精度測量。對這種測量要引入測量“權”的概念?！皺唷笔怯脕砗饬扛鲉未位蚓植繙y量結果可靠性的物理量，測量的權越大，說明該次測量結果的可靠性越大，它在最后測量結果中所占的比重也就越大。這類測量主要用于高精度的測量。在實際測量中，常用的測量主要有單次測量、等精度測量和間接測量。當測量精度要求不高時用單次測量，測量精度要求比較高時用等精度測量，在無法使用直接測量時才采用間接測量。

3.測量的方法

測量的方法很多，常用的有直讀測量法、比較測量法、替代測量法、放大測量法、平衡測量法、模擬測量法、幾何光學測量法、干涉測量法和衍射測量法等。2-2誤差

1.真值與測量值

任何一個測量量在一定條件下是客觀存在的，當能被完善地確定并能排除所有測量上的缺陷時，通過測量所得的量值稱為該量的真值。但是，對一個物理量的完善定義極其困難，人們也不能完全排除測量中的所有缺陷。因而，真值是一個比較抽象和理想的概念，一般來說是不可能知道的。物理實驗課中所測量物理量的真值常采用公認值、理論值或較高準確度儀器的測量或多次測量的平均值近似地代替，這些值叫做“約定真值”。例如三角形內(nèi)角之和恒為180°等。各種實驗所得到的量值稱為測量值。包括：①單次測量值：若只能進行一次測量(如變化過程中的測量)，或沒有必要進行多次測量；對測量結果的準確度要求不高，或有足夠的把握；儀器的準確度不高，或多次測量結果相同。這時就用單次測量值近似地表示被測量的真值。②算術平均值：對多次等精度重復測量，用所有測量值的算術平均值來替代真值，由數(shù)理統(tǒng)計理論可以證明，算術平均值是被測量真值的最佳估計值。③加權平均值：當每個測量值的可信程度或測量準確度不等時，為了區(qū)分每個測量值的可靠性(即重要程度)，對每個測量值都賦一個“權”數(shù)。最后測量結果用帶上“權”數(shù)的測量值求出的平均值表示，即為加權平均值。

2.誤差的定義

每個測量值都有一定的近似性，它們與真值之間總會存在或多或少的差異，這種差異在數(shù)值上的表示稱為測量誤差，簡稱誤差。誤差自始至終存在于一切科學實驗和測量過程之中，測量結果都存在誤差，這就是誤差公理。誤差按表達方式分為絕對誤差和相對誤差。

(1)絕對誤差。絕對誤差表示測量值偏離真值的程度，用δx表示，即

δx=x－x0

(2-2-1)式中，δx表示絕對誤差;x表示測量值；x0表示真值。絕對誤差不是誤差的絕對值。絕對誤差可正可負，具有與被測量相同的量綱和單位。由于真值一般是得不到的，因此絕對誤差也無法計算。實際測量中是用多次測量的算術平均值來代替真值的，測量值與算術平均值之差稱為偏差，又稱殘差，亦用δx表示，即

(2-2-2)

(2)相對誤差。相對誤差是絕對誤差與被測量真值之比。由于真值不能確定，實際上常用約定真值來代替。相對誤差是一個無單位的量，常用百分數(shù)表示，也稱為百分誤差，即(2-2-3)

3.誤差的類型及處理方法

測量中誤差按其產(chǎn)生的條件可歸納為系統(tǒng)誤差、隨機誤差和粗大誤差三類。

1)系統(tǒng)誤差在相同條件下(指方法、儀器、環(huán)境、人員等不變)多次重復測量同一量時，誤差的大小和符號(正、負)均保持不變或按某一確定的規(guī)律變化，這類誤差稱為系統(tǒng)誤差，它的特征是具有確定性。系統(tǒng)誤差分為可定系統(tǒng)誤差和未定系統(tǒng)誤差。①可定系統(tǒng)誤差：指在測量中大小、正負可確定的誤差。測量時應消除該誤差。例如，米尺零刻線被磨損或彎曲，若不注意，會產(chǎn)生零點不為零的可定系統(tǒng)誤差。因此，測量時應該避開零刻度線，用中間的某整刻度線作為測量的起始點，再讀出被測物的終止點，兩點相減就避開了零點不準的可定系統(tǒng)誤差。再如，千分尺(亦稱螺旋測微器)零點不為零，測量時應先記下零點值d0，再測量被測量值的大小d，兩者相減(d-d0)的結果就消除了千分尺d0的可定系統(tǒng)誤差。②未定系統(tǒng)誤差：指測量中只能確定大小，不能確定正負的誤差(如由于儀器不確定度產(chǎn)生的測量誤差)。一般將未定系統(tǒng)誤差合成到測量結果的不確定度中。例如，千分尺的示值誤差、數(shù)字毫秒計的不確定度、分光計的不確定度、電表的精度(即準確度等級)等產(chǎn)生的測量誤差，都是未定系統(tǒng)誤差。

(1)系統(tǒng)誤差的主要來源。①由儀器自身原因產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差：即由儀器本身缺陷、校正不完善或沒有按規(guī)定條件使用而產(chǎn)生的誤差。例如，儀器刻度不準、刻度盤和指針安裝偏心、米尺彎曲、天平兩臂不等長等。②由測量公式產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差：由于測量公式本身的近似性或沒有滿足理論公式所規(guī)定的實際條件而產(chǎn)生的誤差。例如，單擺周期公式成立的條件之一是擺角小于5°，用這個近似公式計算T時，公式本身就帶來了誤差；又如，用伏安法測量電阻時，忽略了電表內(nèi)阻的影響等。③由測量環(huán)境產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差：在測量過程中，因周圍溫度、濕度、氣壓、振動、電磁場等環(huán)境條件發(fā)生有規(guī)律的變化引起的誤差。例如，在25℃時標定的標準電阻在30℃環(huán)境下使用等。④由操作人員產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差：由于操作者的不良習慣或生理、心理等因素造成的誤差。例如，用米尺測長度，讀數(shù)為斜視讀出；用秒表計時間，掐表速度較慢或較快等。

(2)發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差的主要方法。①理論分析法：從原理和測量公式上找原因，看是否滿足測量條件。例如，用伏安法測量電阻時，實際中電壓表內(nèi)阻不等于無窮大，電流表內(nèi)阻不等于零等，都會產(chǎn)生系統(tǒng)誤差。②實驗對比法：可改變測量方法和條件，比較差異，從而發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差。例如，調(diào)換測量儀器或操作人員，進行對比，觀察測量結果是否相同從而進行判斷確認。③數(shù)據(jù)分析法：分析數(shù)據(jù)的規(guī)律性，以便發(fā)現(xiàn)誤差。例如殘差法，對一組等精度測量數(shù)據(jù)，通過計算偏差，觀察其大小及比較正、負號的數(shù)目，從而尋找系統(tǒng)誤差。

(3)可定系統(tǒng)誤差的消除和減小方法。下面舉例說明常用的消除和減小可定系統(tǒng)誤差的方法：①交換法：用天平兩次稱量同一物體質(zhì)量，第二次稱量時，將被測物與砝碼交換。兩次稱量結果分別為m1、m2，則為最終稱量結果。采用交換法可以克服天平不等臂誤差。②替代法：如圖2-2-1所示，在電表改裝實驗中測量表頭內(nèi)阻時，首先將S2與表頭回路接通，調(diào)節(jié)R1使微安表指到某整刻度，記下該電流值，再將S2與電阻箱回路接通，保持R1不變，調(diào)節(jié)電阻箱R2的阻值，使微安表指示值和記下的電流值相同，此時電阻箱的阻值就等于被測表頭的內(nèi)阻。這種方法避免了測量儀器微安表內(nèi)阻引入的誤差。圖2-2-1替代法測表頭內(nèi)阻③零示法：在實驗中，不是研究某個被測量本身，而是讓它與一個已知量或相對參考量進行比較，通過檢測并使這個差值為“0”，再用已知量或相對參考量描述被測量，這種方法叫做零示法。如電橋、電位差計的測量均采用這種方法。零示法可以減小儀器誤差和避免指零儀器內(nèi)阻引入的誤差。④異號法：在霍爾效應實驗中，為了消除不等勢電壓，常采用異號法，即取電流和磁場的四種工作狀態(tài)，測出結果并求出其平均值。⑤半周期法：即采用分光計的雙游標讀數(shù)，用來克服分光計中心軸的偏心誤差。

2)隨機誤差測量時，即使消除了系統(tǒng)誤差，在相同條件下多次重復測量同一量時，各次測得值仍會有些差異，且其誤差的大小和符號沒有確定的變化規(guī)律。但如果大量增加測量次數(shù)，其總體(多次測量得到的所有測量值)會服從一定的統(tǒng)計規(guī)律，這類誤差稱為隨機誤差，它的特征是具有偶然性。隨機誤差也是測量過程中不可避免的，它來自許多難以控制的不確定的隨機因素。這些隨機因素有空氣的流動，溫度的起伏，電壓的波動及不規(guī)則的微小振動，雜散電磁場的干擾以及實驗者感覺器官的分辨能力、靈敏程度和儀器的穩(wěn)定性等。增加測量次數(shù)可減小其影響。假設系統(tǒng)誤差已經(jīng)消除，且被測量本身又是穩(wěn)定的，在相同條件下，對同一物理量進行多次重復測量，可以發(fā)現(xiàn)隨機誤差服從統(tǒng)計規(guī)律即高斯分布，又稱正態(tài)分布。正態(tài)分布曲線如圖2-2-2所示，其滿足的高斯方程為(2-2-4)圖2-2-2正態(tài)分布曲線

(1)正態(tài)分布的特性。高斯方程中，σ稱為標準差，它是隨機誤差δx的分布函數(shù)f(δx)的特征量。其表達式為(2-2-5)

σ確定，f(δx)就唯一確定；反之，f(δx)確定，σ的大小也就唯一確定了。σ越小，測量精度越高，曲線就越陡，峰值也就越高，隨機誤差越集中，測量重復性越好；σ越大，則反之。σ對f(δx)的影響示意圖如圖2-2-3所示。圖2-2-3σ對f(δx)的影響示意圖為了統(tǒng)計隨機誤差的概率分布，將概率密度函數(shù)在以下區(qū)間積分，得到的隨機誤差在相應區(qū)間的概率值分別為由此可以看出，隨機誤差落在±3σ之外的概率僅為0.3%，是正常情況下不應該出現(xiàn)的小概率事件。因此，將±3σ定為誤差極限，即|δxi|≥|3σ|時，δxi為錯誤，不是誤差，xi不能作為測量值。從正態(tài)分布曲線可以看出，隨機誤差具有四個重要特性，分別為：①單峰性：由大量重復測量所獲得的測量值，是以它們的算術平均值為中心而相對集中分布的。即多次測量時，絕對值小的誤差出現(xiàn)的概率比絕對值大的誤差出現(xiàn)的概率大。②對稱性：絕對值相等的正誤差和負誤差出現(xiàn)的概率相同，即f(δx)為偶函數(shù)。③有界性：誤差的絕對值不會超過某一界限，即絕對值大的誤差出現(xiàn)的概率趨于零。隨機誤差的分布具有有限的范圍，即|3σ|為誤差界限。④抵償性：隨著測量次數(shù)的增加，隨機誤差的代數(shù)和趨于零，即隨機誤差的算術平均值將趨于零。實際上，抵償性可由單峰性及對稱性導出。隨機誤差的處理方法是采取多次測量，取算術平均值作為測量結果，以減小隨機誤差，提高測量精度。

(2)測量列的標準差。高斯方程中的標準差σ是理論值，只有當n→∞時，才趨于高斯分布。在實際測量中，只能進行有限次測量，而有限次測量的隨機誤差實際服從t分布。t分布曲線較高斯分布曲線稍低且寬，兩邊較高，但兩者形狀非常相近，如圖2-2-4所示。圖2-2-4t分布與高斯分布曲線的比較示意圖實驗中，先用貝賽爾(Besse2)公式計算測量列的標準偏差：(2-2-6)然后用t分布因子對標準偏差進行修正，估算出測量列的標準差:

σ=s×t0.683

(2-2-7)在選擇測量次數(shù)時，要注意t因子的修正。表2-2-1列出了實驗中常用的t因子。由表可見，n=6是拐點。當n＞6時，t的變化小而緩慢，可取：

σ≈s

(n≥6)

(2-2-8)表2-2-1實驗中常用的t因子

(3)平均值的標準差。平均值也是個隨機變量，服從正態(tài)分布。如果對某被測量x進行多組多次等精度測量時，每組測量列的平均值為、等不盡相同，只是隨機誤差已很小。則由最小二乘法可證明，平均值是真值的最佳估計值。因此，實驗中只需對被測量進行一組等精度測量。其平均值的標準差為(2-2-9)下面用最小二乘法證明測量列的平均值是真值的最佳估計值。求一組等精度測量列的最佳值，就是求能使它與各次測量值之差的平方和為最小的值。在此，用x佳表示真值的最佳估計值，即求式取最小值時的x佳。為滿足極小值條件，應對上式求一階導數(shù)并令其等于零，求二階導數(shù)并判斷其是否大于零。若則說明該式滿足極小值條件。解一階導數(shù)等于零的等式：可得則由以上證明可以看出，真值的最佳估計值是平均值。

3)粗大誤差明顯地歪曲了測量結果的異常誤差稱為粗大誤差。它是由于沒有覺察到實驗條件的突變，儀器在非正常狀態(tài)下工作，無意識的或不正確的操作等因素造成的。含有粗大誤差的測量值稱為可疑值，或稱異常值、壞值。在沒有充分依據(jù)時，絕不能按主觀意愿輕易地去除，應該按照一定的統(tǒng)計準則慎重地予以剔除。在測量中，若一組等精度測量值中的某值與其他值相差很大，則在處理這類數(shù)據(jù)時不能將其計算在內(nèi)，應予以剔除。具體做法是求出和σ，作出區(qū)間，則測量列中數(shù)據(jù)不在此區(qū)間內(nèi)的值都是壞值，應剔除掉，這種方法稱為3σ法則。

例1

對液體溫度作多次等精度測量，測量值分別為20.42、20.43、20.40、20.43、20.42、20.43、20.39、20.30、20.40、20.43、20.42、20.41、20.39、20.39、20.40。試用3σ法則檢驗該測量列中是否有壞值，并計算檢驗后的平均值及標準差，寫出測量結果的表達式。

解實驗數(shù)據(jù)和處理過程如表2-2-2所示。在上表中，計算的中間過程數(shù)據(jù)可以多取一位。計算測量列的標準差：σ=0.03℃，3σ=0.09℃。判斷和剔除：i=8時的|δx|=0.104≥3σ，所以t＝20.30℃是壞值，予以剔除。剔除后，=20.411℃，σ=0.016℃，3σ=0.048℃。經(jīng)檢查，再無壞值。計算：σt=0.004℃。測量結果表達式為：t=(20.411±0.004)℃。表2-2-2測量數(shù)據(jù)及數(shù)據(jù)處理

4.誤差與測量結果的關系

為了定性地描述各測量值的重復性及測量結果與其真值的接近程度，常用準確度、精密度、精確度來描述。

(1)準確度：表示測量值或?qū)嶒炈媒Y果與真值的接近程度。它表征系統(tǒng)誤差對測量值的影響。準確度高表示系統(tǒng)誤差小，測量值與真值的偏離小，接近真值的程度高。準確度反映系統(tǒng)誤差大小的程度。

(2)精密度：表示重復測量各測量值的分散程度，即測量值分布的密集程度。它表征隨機誤差對測量值的影響。精密度高表示隨機誤差小，測量重復性好，測量數(shù)據(jù)比較集中。精密度反映隨機誤差大小的程度。

(3)精確度：描述各測量值重復性及測量結果與真值的接近程度，它反映測量中的隨機誤差和系統(tǒng)誤差綜合大小的程度。測量準確度高，表示測量結果既精密又正確，數(shù)據(jù)集中，而且偏離真值小，測量的隨機誤差和系統(tǒng)誤差都比較小。圖2-2-5所示是以打靶時彈著點的分布為例，說明這三個詞的涵義。由圖可知，圖2-2-5(a)準確度低，精密度高；圖2-2-5(b)準確度高，精密度低；圖2-2-5(c)精確度高，既準確又精密。由于三詞是定性評價測量結果的，本書不嚴格區(qū)分，均稱其為精度。圖2-2-5準確度、精密度、精確度示意圖2-3不確定度

根據(jù)國際計量局(BIPM)關于“實驗不確定度的規(guī)定建議書INC-1(1980)”的規(guī)定，采用不確定度來評價測量結果的質(zhì)量及可信賴程度。不確定度是說明測量結果的一個參數(shù)，用于表征合理賦予被測量值的分散性。測量不確定度是指由于測量誤差的存在而對被測量值不能肯定的程度，它是被測量的真值在某個量值范圍內(nèi)的一個評定?；蛘哒f測量不確定度表示測量誤差可能出現(xiàn)的范圍，它的大小反映了測量結果可信賴程度的高低，不確定度小的測量結果可信賴程度高。不確定度越小，測量結果與真值越靠近，測量質(zhì)量越高。反之，不確定度越大，測量結果與真值越遠離，測量質(zhì)量越低。

1.不確定度的定義

不確定度包含了各種不同來源的誤差對測量結果的影響，各分量的估算又反映了這部分誤差所服從的分布規(guī)律。它不再將測量誤差分為系統(tǒng)誤差和隨機誤差，而是把可修正的系統(tǒng)誤差修正以后，將余下的全部誤差分為可以用概率統(tǒng)計方法計算的A類評定和用其他非統(tǒng)計方法估算的B類評定。若各種不同來源的誤差分量彼此獨立，則將A類和B類評定按“方和根”的方法合成得到合成不確定度。不確定度與給定的置信概率相聯(lián)系，并且可以求出它的確定值。不確定度用符號ΔX表示。它由兩部分組成：A類分量ΔXA和B類分量ΔXB。“方和根”合成得到的合成不確定度為(2-3-1)相應的相對不確定度為(2-3-2)

2.A類不確定度的評定

A類不確定度用概率統(tǒng)計的方法來評定，記為ΔXA。在相同的測量條件下，n次等精度獨立重復測量值為x1，x2，x3，…，xn。其測量結果的最佳估計值為算術平均值：

xi的標準偏差s(xi)估計采用貝塞爾公式：平均值的實驗標準偏差的最佳估計為(2-3-3)不確定度的A類評定就用表示，即。

3.B類不確定度的評定

測量中凡是不符合統(tǒng)計規(guī)律的不確定度均應用B類不確定度來評定，記為ΔXB。實際工作和生活中，絕大多數(shù)測量度是一次測量的，對一般有刻度的量具和儀表，估計誤差為最小分度的～，通常小于儀器的最大允差Δ儀。所以通常用Δ儀表示一次測量結果的B類不確定度，測量值與客觀值(所謂的真值)的誤差在［－Δ儀，+Δ儀］內(nèi)的置信概率為100%。實際上，儀器的誤差在［－Δ儀，+Δ儀］范圍內(nèi)是按一定概率分布的。在相同條件下大批量生產(chǎn)的產(chǎn)品，其質(zhì)量指標一般服從正態(tài)分布。理論分析指出，對于多數(shù)儀器誤差服從均勻分布，也有一些儀器服從三角分布。一般而言，ΔXB與Δ儀的關系為ΔXB=Δ儀/C(C稱為置信系數(shù))。置信系數(shù)與誤差分布對應如表2-3-1所示。表2-3-1置信系數(shù)與誤差分布根據(jù)概率統(tǒng)計理論，對均勻分布函數(shù)，測量誤差落在區(qū)間［－Δ儀，+Δ儀］內(nèi)的概率為58％，對三角分布函數(shù)，測量誤差落在區(qū)間［－Δ儀，+Δ儀］內(nèi)的概率為74％;只有對于正態(tài)分布函數(shù)，測量誤差落在區(qū)間［－Δ儀，+Δ儀］內(nèi)的概率才為68.3％。即測量值的B類不確定度與置信概率P有關，，kP稱為置信因子。置信概率P與kP的關系如表2-3-2所示。目前，人們對很多儀器的質(zhì)量標準在最大允差范圍內(nèi)的分布性質(zhì)有不同的說法，對某些分布性質(zhì)還不清楚，很多文獻都把它們簡化成均勻分布來處理。即不確定度的B類評定表示為表2-3-2正態(tài)分布置信概率P與kP的關系

4.儀器的不確定度

儀器是一種產(chǎn)品，作為一個結果，它的不可靠量值應該是不確定度Δ儀。在測量中會產(chǎn)生未定系統(tǒng)誤差，該誤差大多服從均勻分布，如圖2-3-1所示，即誤差大小和符號的概率均相等。將儀器不確定度Δ儀合成到測量結果的不確定度中為B類分量：(P=0.683)

(2-3-4)儀器不確定度的獲得：

(1)由儀器銘牌或說明書中給出。

(2)由儀器的準確度等級獲得圖2-3-1均勻分布示意圖儀器的準確度等級由高到低排列為：0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5、5.0級，共七個等級。其中，0.1、0.2屬于正態(tài)分布，ΔXB＝Δ儀/3；其余均為均勻分布，ΔXB＝Δ儀/。

(3)估計。對連續(xù)讀數(shù)的儀器：Δ儀＝分度值對非連續(xù)讀數(shù)的儀器：Δ儀＝分度值對數(shù)字式儀表：Δ儀取末位±1或±2注：分度值就是儀器最小測量單位的量值。例如，米尺的分度值是1mm，JJY分光計的分度值是1′等。

5.合成不確定度

若A類不確定度和B類不確定度相互獨立，且在同一置信水平，則按“方和根”的方法合成得到合成不確定度ΔX為2-4測量結果和不確定度的確定

1.單次測量通常對于測量都要進行重復多次，以便于提高測量精度。在某些精度要求不高或條件不許可的情況下，只需進行單次測量。在實驗中，先重復性測量三次，如果測量值相等，說明測一次就行了，隨機誤差取零。這樣單次測量中不確定度A類分量就為零。即測量結果和不確定度如下：測量結果：X測

不確定度：

2.多次測量

一般選取測量次數(shù)n≥6，以便于滿足σ≈S，簡化標準差的計算。數(shù)據(jù)處理前應該消除掉可定系統(tǒng)誤差和剔除掉粗大誤差，再進行下面的分析計算。測量結果：不確定度：(2-4-1)

3.間接測量

間接測量值是把直接測量的結果帶入函數(shù)關系式(即測量公式)計算而得到的。由于直接測量有誤差，導致間接測量也有誤差。間接測量結果的不確定度取決于直接測量結果的不確定度和測量公式的具體形式。分析如下：被測量的函數(shù)關系式：y=f(x1，x2，…，xn)。x1，x2，…，xn為各自獨立的直接測量量。測量結果：間接測量不確定度：對被測量的函數(shù)關系式進行全微分，求出結果的不確定度。為使微分簡化，具體分為以下兩種形式表示。

(1)當測量公式為和差形式時，y=f(x1，x2，…，xn)，直接用全微分求不確定度Δy。(2-4-2)例2求Y＝3A-B的不確定度的表達式。解對Y求微分得

dY=3dA-dB用不確定度符號代替微分符號并合成得

(2)當測量公式為乘、除、指數(shù)等形式時，對y=f(x1，x2，…，xn)先取對數(shù)，再微分求相對不確定度(2-4-3)例3求的不確定度表達式。解對y取對數(shù)得

lny=ln3+lnA－5lnB再求微分得用不確定度符號代替微分號并合成得

4.測量結果的表示

Y=

±ΔY＝_____________(P=0.683)；

注：(1)不確定度ΔY只取一位有效數(shù)字，尾數(shù)只進不舍。(2)尾數(shù)保留到與ΔY的有效位一致，尾數(shù)按照四舍五入修約法(見2-5節(jié))取舍。

(3)取1~2位有效數(shù)字。首位為1或2，取兩位有效數(shù)字；首位為3或3以上，取一位有效數(shù)字。尾數(shù)同樣采用四舍五入修約法處理。常用函數(shù)的不確定度關系式如表2-4-1所示。＝__________%。表2-4-1常用函數(shù)的不確定度關系式

5.舉例

例4用一級千分尺(Δ儀＝±0.004mm)對一鋼絲直徑d進行六次測量，測量結果分別為2.125mm、2.131mm、2.121mm、2.127mm、2.124mm、2.126mm。千分尺的零位讀數(shù)為－0.008mm，要求進行數(shù)據(jù)處理并寫出測量結果。解測量數(shù)據(jù)及數(shù)據(jù)處理如表2-4-2所示。消除可定系統(tǒng)誤差后的平均值為表2-4-2測量數(shù)據(jù)及數(shù)據(jù)處理

1)A類分量測量列的標準差：經(jīng)檢查測量列中無壞值。平均值的標準差：

2)B類分量儀器不確定度：

Δ儀＝0.004mm不確定度：相對不確定度:測量結果:

d＝2.134±0.002mm

(P＝0.683)例5單擺法測量重力加速度的公式為。各直接測量量的結果為T＝1.984±0.002s，；L=97.8±0.1cm，

(P＝0.683)。試進行數(shù)據(jù)處理，寫出測量結果。解相對不確定度：不確定度：測量結果：2-5有效數(shù)字

測量結果的三要素是數(shù)值、單位和不確定度。測量結果數(shù)值位數(shù)的多少可以表征儀器和測量精度的高低，測量數(shù)據(jù)位數(shù)不能隨意丟棄或增添，它們有嚴格的定義、變換和計算規(guī)則。

1.有效數(shù)字的定義

在物理量的直接測量中，測量數(shù)據(jù)一般估讀到儀器分度值的1/10位。例如，用分度值為1mm的直尺測量物體的長度，測量結果應估讀到1/10mm位，最后一位是欠準位(估讀位)。顯然，欠準位越小，測量數(shù)據(jù)的精度越高。測量數(shù)據(jù)中，從左起第一個非零數(shù)字開始到欠準位的所有數(shù)字統(tǒng)稱為有效數(shù)字。有效位數(shù)的多少除了與待測量的大小有關外，還取決于所用量具或儀器準確度的高低。

2.有效數(shù)字的運用

在直接測量中，數(shù)據(jù)記錄到誤差產(chǎn)生位，即估讀位，如圖2-5-1所示。圖中，測量結果讀數(shù)分別為L1＝5.2cm，L2＝5.18cm。如圖2-5-2所示，測量結果的讀數(shù)：正確讀數(shù)：L＝90.70cm;錯誤讀數(shù)：L＝90.7cm;在物理實驗中，90.70cm≠90.7cm。圖2-5-1讀數(shù)示例圖2-5-2讀數(shù)示例注意：數(shù)據(jù)處理中，不確定度ΔX取1位有效數(shù)字，相對不確定度ΔX/X取1～2位有效數(shù)字。計算的中間過程數(shù)值的有效位可以多取一位。測量結果的表達式：測量值的有效末位與不確定度ΔX取齊。例如，若＝98.36cm，ΔL＝0.57cm，則

相對不確定度為。

3.四舍五入修約法

四舍五入修約法為“尾數(shù)小于五則舍；大于五則入；等于五時，將有效末位湊成偶數(shù)”。所謂尾數(shù)，就是有效位后面的數(shù)字。例如，下面例子中帶下劃線的數(shù)字，在舍取的過程中稱為尾數(shù)。注意四舍五入修約法的運用：

4.有效數(shù)字的運算

運算結果的有效末位原則上應與不確定度對齊。但在各分量(自變量)的不確定度未知或未給出時，無法計算結果的不確定度，結果的有效位數(shù)也就無法確定。這時可用如下方法得到：(1)加減法：算式為和、差形式時，計算結果的有效末位取到分量中欠準(末尾)的最大位：

N＝71.3+6.35-0.81+271＝347.84＝348

(2)乘除法：算式為乘、除、指數(shù)形式時，計算結果的有效位數(shù)應和參與運算的各直接測量量中有效位數(shù)最少的多少保持一致。

N＝71.3×6.35÷0.81÷271＝2.062571181＝2.1

(3)乘方、開方運算:結果的有效數(shù)字位數(shù)和底數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)相同。

7.8892=62.24

(4)函數(shù)運算：結果的有效數(shù)字位數(shù)應根據(jù)誤差計算來確定。方法1：微分法。如求Y=f(x)的函數(shù)值，應先求出dY=Y′·dx，將它保留一位有效數(shù)字，函數(shù)Y的值最終應保留與該位一致。在此dx為自變量的最小變化量(即有效末位的最小分度值)。例如：求Y=sin20°6′。因為所以，sin20°6′應保留到萬分位，則

Y=sin20°6′=0.3437方法2：比較法。算式為函數(shù)形式時，計算函數(shù)及增加自變量±1個單位變化的函數(shù)結果，將三者由左到右進行比較、取到數(shù)值變化的第一位(下例中帶下劃線是數(shù)值變化位)。例如:其他函數(shù)可效仿此法。注意：如果數(shù)值變化位三者中有兩個相同，則函數(shù)值應取到下一位。

(5)對數(shù)函數(shù)：對數(shù)函數(shù)運算結果的整數(shù)位不計，小數(shù)部分的數(shù)字位數(shù)與真數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)相同。例如：

lg0.1983=－0.7027

(6)指數(shù)函數(shù):對指數(shù)函數(shù)如ex、10x等運算，結果用科學記數(shù)法表示，小數(shù)點前保留一位，小數(shù)點后面保留的位數(shù)與x在小數(shù)點后的位數(shù)相同。例如：

e9.24=1.03×104

106.25=1.78×106

5.科學表達式

科學表達式就是將測量結果表示為小數(shù)點前只有一位非零數(shù)字，后面再乘以10n的形式。如果測量結果的數(shù)值很大或很小，應該用科學表達式表示。例如，光速應寫為c＝2.998×108m/s。在單位變換或一般表達式變換為科學表達式時，有效位數(shù)不能改變。2-6數(shù)據(jù)處理方法

1.列表法將記錄的數(shù)據(jù)和處理過程以表格的形式表示，列表要求：(1)根據(jù)實驗內(nèi)容合理設計表格的形式，欄目排列的順序要與測量的先后和計算的順序相對應。

(2)各欄目必須標明物理量的名稱和單位，量值的數(shù)量級也寫在標題欄中。表格名稱應標在表格正上方。

(3)原始測量數(shù)據(jù)及處理過程中的一些重要中間運算結果均應列入表中，且要正確表示各量的有效數(shù)字。

(4)要充分注意數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系，要有主要的計算公式。列表法的優(yōu)點是：簡單明了、形式緊湊，各數(shù)據(jù)易于參考比較；便于表示出有關物理量之間的對應關系；便于檢查和發(fā)現(xiàn)實驗中存在的問題及分析實驗結果是否合理；便于歸納總結，從中找出規(guī)律性的聯(lián)系。列表法的缺點是：數(shù)據(jù)變化的趨勢不夠直觀，求取相鄰兩數(shù)據(jù)的中間值時，還需要借助插值公式進行計算等。

2.作圖法

1)作圖規(guī)則作圖法是將物理量之間的關系在坐標紙上以線條形式表示出來。作為一種數(shù)據(jù)處理方法，若測量點呈線性關系，則該直線起到了數(shù)據(jù)取平均的效果，還可以從圖中求出相應物理量；若要將非線性關系轉(zhuǎn)化為線性關系，可利用變量代換之后作圖，即曲線改直。作圖用紙有直角坐標紙、對數(shù)坐標紙、半對數(shù)坐標紙、極坐標紙、指數(shù)坐標紙等，物理實驗中大多采用直角坐標紙，作圖時要求用鉛筆繪圖。作圖規(guī)則如下：

(1)圖紙選擇。作圖一定要用坐標紙，根據(jù)需要選用直角坐標紙、單對數(shù)或雙對數(shù)坐標紙等。坐標紙的大小以不損失實驗數(shù)據(jù)的有效數(shù)字和能夠包括全部數(shù)據(jù)為原則，也可適當選大些。圖紙上的最小分格一般對應測量數(shù)據(jù)中可靠數(shù)字的最末一位。作圖時不要增、減有效數(shù)字位數(shù)。

(2)定軸。確定坐標軸的比例和標度。通常以橫軸代表自變量，縱軸代表因變量。用粗實線畫出兩個坐標軸，注明每個坐標軸代表的物理量的名稱(或符號)和單位。選取適當?shù)谋壤妥鴺溯S的起點，使圖線比較對稱地充滿整個圖紙，不要偏在一邊或一角。坐標軸的起點不一定要從零開始，可選小于數(shù)據(jù)中最小值的某一整數(shù)作為起點。最小分格代表的數(shù)字應取1、2、5。坐標軸上要每隔一定的間距標上整齊的數(shù)字(不應遺漏)。橫軸與縱軸的比例和標度可以不同。

(3)標點和連線。用削尖的鉛筆，以“⊙、×、+、Δ”等符號在坐標紙上準確標出數(shù)據(jù)點的坐標位置。除校正圖線要連成折線外，一般應根據(jù)數(shù)據(jù)點的分布和趨勢連接成細而光滑的直線或曲線。連線時要用直尺或曲線板等作圖工具。圖線的走向應盡可能多地通過或靠近各實驗數(shù)據(jù)點，即不是一定要通過每一個數(shù)據(jù)點，而是應使處于圖線兩側的點數(shù)相近，未通過的點均勻分布在直線兩側。如一張圖上要畫幾條圖線，則要選用不同的標記符號。

(4)圖名和圖注。圖名的字跡要端正，最好用仿宋體，位置要明顯。簡要寫出實驗條件及注釋或說明(實驗者、實驗時間、儀器編號、環(huán)境溫度、濕度、氣壓等)。

2)圖示法與圖解法根據(jù)畫出的實驗圖線，用解析方法求出有關參量或物理量之間的經(jīng)驗公式為圖解法。當圖線為直線時尤為方便，可通過求直線的截距或斜率可得到另外一些物理量。如惠斯通電橋?qū)嶒?，通過導體電阻與溫度的關系直線求出斜率和截距，進而求得電阻溫度系數(shù)。還可通過圖線求函數(shù)表達式。如三線擺實驗，通過圖線可得出三線擺周期與轉(zhuǎn)動慣量之間的經(jīng)驗公式等。例6在靈敏電流計的研究實驗中，求靈敏電流計的電流常數(shù)和內(nèi)阻的測量公式為，測量數(shù)據(jù)如表2-6-1所示。試用作圖法求電流計的電流常數(shù)Ki和內(nèi)阻Rg。表2-6-1測量數(shù)據(jù)

解根據(jù)實驗數(shù)據(jù)，作R2～U曲線，如圖2-6-1所示。在直線上取兩點(0.60，60.0)、(2.60，368.0)，并將常量代入測量公式，則得電流常數(shù):電流計內(nèi)阻為Rg＝36.0Ω(即圖線和縱軸的截距)。圖2-6-1R2~U曲線

3.逐差法

(1)適用條件。①一元函數(shù)多項式：y＝a0+a1x+a2x2+…②自變量連續(xù)等值變化。

(2)兩種方法。①逐項逐差法：自變量等值變化，測得一組數(shù)據(jù)為y1、y2、…。用數(shù)據(jù)項的后項減前項，用來驗證多項式。一次逐項逐差yi+1－yi=(δy)i為常數(shù)，是一次函數(shù)；若一次逐差不為常數(shù)，可再進行二次逐項逐差。二次逐項逐差(δy)i+1－(δy)i=δ(δy)i為常數(shù)，是二次函數(shù)；……②隔項逐差法：自變量等值變化測得偶數(shù)個值，如y1、y2，…，y8。將所測數(shù)據(jù)項從中間分成兩部分，然后兩部分的對應項相減，即yi+4－yi(δy)i，再求出平均值。此法用來求物理量，僅用于線性關系。例7下面表格中列出了在楊氏模量實驗中，鋼絲承受砝碼(自變量)連續(xù)增值1000g變化時，鋼絲伸長量的放大量ni以及隔項逐差的值(δn)i。試用隔項逐差法計算鋼絲每承受1000g載荷時的平均伸長放大量。解該方法的優(yōu)點是充分利用了測量數(shù)據(jù)。對自變量等值變化的測量數(shù)據(jù)，若用算術平均值公式計算測量結果，在本例中是每后項減前項，結果只用了n1和n8兩個數(shù)據(jù)，其余數(shù)據(jù)均在數(shù)據(jù)處理中丟失，即

4.最小二乘法線性擬合

我們知道，用作圖法求出直線的斜率a和截距b，可以確定這條直線所對應的經(jīng)驗公式，但用作圖法擬合直線時，由于作圖連線有較大的隨意性，尤其在測量數(shù)據(jù)比較分散時，對同一組測量數(shù)據(jù)，不同的人去處理，所得結果會有差異，因此，它是一種粗略的數(shù)據(jù)處理方法，求出的a和b誤差較大。用最小二乘法擬合直線處理數(shù)據(jù)時，任何人去處理同一組數(shù)據(jù)，只要處理過程沒有錯誤，得到的斜率a和截距b是唯一的。最小二乘法就是將一組符合y=a+bx關系的測量數(shù)據(jù)，用計算的方法求出最佳的a和b。

1)求回歸直線設直線方程的表達式為

y=a+bx

(2-6-1)根據(jù)測量數(shù)據(jù)求出最佳的a和b。對滿足線性關系的一組等精度測量數(shù)據(jù)(xi，yi)，假定自變量xi的誤差可以忽略，則在同一xi下，測量點yi和直線上的點a+bxi的偏差di如下：