專題3.1 函數(shù)的概念及其表示（6類必考點）（人教A版2019必修第一冊）（解析版）

專題3.1函數(shù)的概念及其表示TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【考點1：函數(shù)的概念及其構成要素】 1【考點2：判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)】 3【考點3：函數(shù)的定義域及其求法】 5【考點4：函數(shù)的值域】 7【考點5：函數(shù)的表示方法】 12【考點6：分段函數(shù)的解析式及圖象】 14【考點1：函數(shù)的概念及其構成要素】【知識點：函數(shù)的概念及其構成要素】函數(shù)兩集合A，B設A，B是兩個非空的數(shù)集對應關系f：A→B如果按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應名稱稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)記法y＝f(x)，x∈A（多選）1．（2021秋?青島期末）下面選項中，變量y是變量x的函數(shù)的是（）A．x表示某一天中的時刻，y表示對應的某地區(qū)的氣溫 B．x表示年份，y表示對應的某地區(qū)的GDP（國內生產(chǎn)總值） C．x表示某地區(qū)的學生某次數(shù)學考試成績，y表示該地區(qū)學生對應的考試號 D．x表示某人的月收入，y表示對應的個稅【分析】根據(jù)函數(shù)的定義進行判斷即可．【解答】解：ABD都是兩個非空數(shù)集之間的關系，且每一個變量都有唯一的y和其相對應，故是函數(shù)關系，C．對于每一個x的值，對應的y值不唯一，不是函數(shù)關系，故選：ABD．2．（2021秋?宿州期中）函數(shù)y＝f（x）與y軸的交點個數(shù)為（）A．至少1個 B．至多一個 C．有且只有一個 D．與f（x）有關，不能確定【分析】由函數(shù)的定義，對任意一個x，有且只有一個y與之對應，從而可知若x可以等于0，則有且只有一個y與之對應．【解答】解：由函數(shù)的定義，對任意一個x，有且只有一個y與之對應，若x可以等于0，則有且只有一個y與之對應，故函數(shù)y＝f（x）的圖象與y軸的交點個數(shù)至多有一個．故選：B．3．（2022春?興慶區(qū)校級期末）設集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下列四個圖形中，能表示集合M到集合N的函數(shù)關系的有（）A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．②【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的定義，在集合M中的任一元素在集合N中都要有唯一的一個元素和它對應，進而可以得到答案．【解答】解：根據(jù)題意，依次分析4個圖形，對于①，其定義域為{x|0≤x≤1}，不符合題意，對于②，符合題意，對于③，符合題意，對于④，集合M中有的元素在集合N中對應兩個值，不符合函數(shù)定義，故選：C．（多選）4．（2021秋?南海區(qū)校級月考）下列對應關系是集合M＝{﹣2，2，4}到集合N＝{0，2，4，16}的函數(shù)的是（）A．y＝2x B．y＝x+2 C．y＝x2 D．y＝|x|【分析】直接利用函數(shù)的概念和函數(shù)的關系式的運算確定結果．【解答】解：根據(jù)函數(shù)的概念：下列對應關系是集合M＝{﹣2，2，4}到集合N＝{0，2，4，16}的函數(shù)，對于A：當x＝﹣2時，y＝﹣4?N，故A錯誤；對于B：當x＝﹣2時，y＝0，當x＝2時，y＝4，當x＝4時，y＝6?N，不符合函數(shù)的概念，故B錯誤；對于C：當x＝﹣2時，y＝4，當x＝2時，y＝4，當x＝4時，y＝16，符合函數(shù)的概念，故C正確；對于D：當x＝﹣2時，y＝2，當x＝2時，y＝2，當x＝4時，y＝4，符合函數(shù)的概念，故D正確．故選：CD．（多選）5．（2021秋?平湖市校級月考）中國清朝數(shù)學家李善蘭在1859年翻譯《代數(shù)學》中首次將“function”譯做：“函數(shù)”，沿用至今，為什么這么翻譯，書中解釋說“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)”，1930年美國人給出了我們課本中所學的集合論的函數(shù)定義，已知集合M＝{﹣1，1，2，4}，N＝{﹣1，1，2，4，16}，給出下列四個對應法則，請由函數(shù)定義判斷，其中能構成從M到N的函數(shù)的是（）A．y=1x B．y＝x C．y＝x+1 D．y＝【分析】由函數(shù)的定義對4個選項依次判斷即可．【解答】解：對于選項A，4∈M，y=14?N，故不能構成從M到對于選項B，?x∈M，y＝x∈N，故能構成從M到N的函數(shù)；對于選項C，﹣1∈M，y＝﹣1+1＝0?N，故不能構成從M到N的函數(shù)；對于選項D，?x∈M，y＝x2∈N，故能構成從M到N的函數(shù)；故選：BD．6．（2021秋?賓縣校級月考）下列集合A、B及其對應法則不能構成函數(shù)的是（）A．A＝B＝R，f（x）＝|x+1| B．A＝B＝R，f(x)=1C．A＝{1，2，3}，B＝{4，5，6，7}，f（x）＝x+3 D．A＝{x|x＞0}，B＝{1}，f（x）＝x0【分析】根據(jù)函數(shù)的定義判斷即可．【解答】解：對于A，C，D，集合A中的任意一個元素，按照對應法則f（x），在集合B中都有唯一個元素與之對應，符合函數(shù)的定義，所以A，C，D正確，對于B，對于集合A中元素0在集合B中沒有元素與之對應，不符合函數(shù)的定義，故B錯誤，故選：B．【考點2：判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)】【知識點：判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)】如果兩個函數(shù)的定義域和對應關系完全一致，則這兩個函數(shù)是同一函數(shù)，這是判斷兩函數(shù)是否為同一函數(shù)的依據(jù)．1．（2021秋?達州期末）下列函數(shù)中，與函數(shù)y＝|x|相等的是（）A．y=x2 B．y=(3x)【分析】根據(jù)函數(shù)的三要素逐一判斷即可．【解答】解：因為函數(shù)y＝|x|的定義域為R．A．y=x2=|x|（x∈R），與yB．y=(3x)3=x（x∈RC．y=(4x)4=x（xD．y=x2x=x（x≠0），與故選：A．2．（2021秋?成都期末）下列函數(shù)表示同一函數(shù)的是（）A．y＝x+1與y=x2x+1 B．y＝x3與y＝（C．y＝|x|與y=(x)2 D．y＝x【分析】根據(jù)同一函數(shù)的兩個條件即定義域與解析式完全相同對應各個選項判斷求解即可．【解答】解：選項A：因為函數(shù)y＝x+1的定義域為R，而函數(shù)y=x2x+1＝x+1，定義域為{x|選項B：兩個函數(shù)的解析式不同，故B錯誤，選項C：因為函數(shù)y＝|x|的定義域為R，而函數(shù)y＝（x）2的定義域為[0，+∞），故C錯誤，選項D：因為y＝x0＝1，函數(shù)定義域為{x|x≠0}，函數(shù)y=1x0=1，函數(shù)定義域為{x|故選：D．（多選）3．（2021秋?盤龍區(qū)月考）下列每組函數(shù)不是同一函數(shù)的是（）A．f(x)=x?1，g(x)=(x?1B．f(x)=x?1，g(x)=(x?1)C．f(x)=xD．f(x)=|x|，g(x)=【分析】結合函數(shù)的三要素別檢驗各選項即可判斷．【解答】解：A：g（x）|與f（x）的定義域不同，不符合題意；B：g（x）與f（x）的對應關系不同，不符合題意；C：（x）與g（x）的定義域不同，不符合題意；D：f（x）與g（x）的定義域都為R，對應關系也相同，故是同一函數(shù)．故選：ABC．4．（2021秋?蘭州期末）下列每組函數(shù)是同一函數(shù)的是（）A．f（x）＝1，g（x）＝x0 B．f(x)=xC．f(x)=|x?3|，g(x)=(x?3)D．f(x)=【分析】根據(jù)兩個函數(shù)的定義域相同，對應關系也相同，即可判斷它們是同一函數(shù)．【解答】解：對于A，f（x）＝1（x∈R），與g（x）＝x0＝1（x≠0）的定義域不同，不是同一函數(shù)；對于B，f（x）=x2?4x?2=x+2（x≠2），與g（x）＝x對于C，f（x）＝|x﹣3|（x∈R），與g（x）=(x?3)2=|x﹣3|（x對于D，f（x）=(x?1)(x?3)=（x≤1或x≥3），與g（x）=x?1?x?3故選：C．【考點3：函數(shù)的定義域及其求法】【知識點：函數(shù)的定義域及其求法】①常見基本初等函數(shù)定義域的基本要求(1)分式函數(shù)中分母不等于零．(2)偶次根式函數(shù)的被開方式大于或等于0.(3)一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域均為R.(4)y＝x0的定義域是{x|x≠0}．②對于抽象函數(shù)定義域的求解(1)若已知函數(shù)f(x)的定義域為[a，b]，則復合函數(shù)f(g(x))的定義域由不等式a≤g(x)≤b求出；(2)若已知函數(shù)f(g(x))的定義域為[a，b]，則f(x)的定義域為g(x)在x∈[a，b]上的值域．1．（2022春?疏勒縣校級期末）函數(shù)y=x?2x中，自變量A．x＞2 B．x≥2 C．x≥2且x≠0 D．x≠0【分析】由根式內部的代數(shù)式大于等于0，分式的分母不為0聯(lián)立不等式組求解．【解答】解：要使原式有意義，則x?2≥0x≠0，即x∴自變量x的取值范圍是x≥2．故選：B．2．（2022春?銅鼓縣校級期末）函數(shù)f(x)=?A．（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞） B．[﹣3，1）∪（1，2] C．[﹣2，1）∪（1，3] D．（﹣2，1）∪（1，3）【分析】由題意，利用偶次根式、分式的性質，求得x的范圍．【解答】解：∵函數(shù)f(x)=?∴﹣x2+x+6≥0且x﹣1≠0，求得：﹣2≤x≤3且x≠1．故選：C．3．（2022春?玉林期末）已知函數(shù)f（x）的定義域為（3，5），則函數(shù)f（2x+1）的定義域為（）A．（1，2） B．（7，11） C．（4，16） D．（3，5）【分析】根據(jù)復合函數(shù)的定義域之間的關系進行轉化求解即可．【解答】解：∵f（x）的定義域為（3，5），∴3＜x＜5，由3＜2x+1＜5，得1＜x＜2，則函數(shù)f（2x+1）的定義域為（1，2），故選：A．4．（2022春?商丘期末）已知函數(shù)f（x+2）的定義域為（﹣3，4），則函數(shù)g(x)=f(x)A．(13，4) B．(13，2)【分析】由已知求得f（x）的定義域，結合分式的分母不為0，可得函數(shù)g（x）的定義域．【解答】解：∵函數(shù)f（x+2）的定義域為（﹣3，4），即﹣3＜x＜4，∴x+2∈（﹣1，6），即f（x）的定義域為（﹣1，6）．又3x﹣1＞0，∴x＞13，取交集可得函數(shù)g（x）的定義域為故選：C．5．（2022春?渭濱區(qū)期末）若函數(shù)f(x)=ax2+ax+1的定義域為A．[0，4] B．[0，4） C．（0，4] D．（0，4）【分析】由題意，ax2+ax+1≥0恒成立．再利用二次函數(shù)的性質，分類討論，求出a的范圍．【解答】解：∵函數(shù)f(x)=ax2+ax+1的定義域為R，∴ax當a＝0時，顯然滿足ax2+ax+1≥0恒成立．當a＜0時，ax2+ax+1≥0不可能恒成立，當a＞0時，應有Δ＝a2﹣4a≤0，求得0＜a≤4．綜上可得，a∈[0，4]，故選：A．6．（2022春?興慶區(qū)校級期末）若函數(shù)y=ax+1ax2?4ax+2A．(0，12] B．(0，12)【分析】根據(jù)題意可得出：不等式ax2﹣4ax+2＞0的解集為R，然后討論a是否為0：a＝0顯然符合題意；a≠0時，可得出a＞0△＜0，然后解出a的范圍，從而得出a【解答】解：根據(jù)題意知，不等式ax2﹣4ax+2＞0的解集為R，（1）a＝0時，2＞0恒成立，滿足題意；（2）a≠0時，a＞0Δ=16a2∴綜上得，實數(shù)a的取值范圍是：[0，1故選：C．【考點4：函數(shù)的值域】【知識點：函數(shù)的值域】求函數(shù)值域的常用方法方法步驟觀察法第一步觀察函數(shù)中的特殊函數(shù)；第二步利用這些特殊函數(shù)的有界性，結合不等式推導出函數(shù)的值域.分離常數(shù)法第一步觀察函數(shù)類型，型如；第二步對函數(shù)變形成形式；第三步求出函數(shù)在定義域范圍內的值域，進而求函數(shù)的值域.配方法第一步將二次函數(shù)配方成；第二步根據(jù)二次函數(shù)的圖像和性質即可求出函數(shù)的值域.換元法第一步觀察函數(shù)解析式的形式，函數(shù)變量較多且相互關聯(lián)；第二步另新元代換整體，得一新函數(shù)，求出新函數(shù)的值域即為原函數(shù)的值域.基本不等式法第一步觀察函數(shù)解析式的形式，型如或的函數(shù)；第二步對函數(shù)進行配湊成形式，再利用基本不等式求函數(shù)的最值，進而得到函數(shù)的值域.1．（2021秋?陽春市校級月考）函數(shù)f（x）＝﹣2x2+4x，x∈[﹣1，2]的值域為（）A．[﹣6，2] B．[﹣6，1] C．[0，2] D．[0，1]【分析】利用二次函數(shù)的性質判斷函數(shù)的單調性，求出最值即可得出函數(shù)的值域．【解答】解：函數(shù)f（x）＝﹣2x2+4x的開口向下，對稱軸為x＝1，所以f（x）在[﹣1，1]上單調遞增，在[1，2]上單調遞減，所以f（x）max＝f（1）＝2，f（x）min＝f（﹣1）＝﹣6，所以函數(shù)f（x）＝﹣2x2+4x，x∈[﹣1，2]的值域為[﹣6，2]．故選：A．2．（2022春?興慶區(qū)校級期末）函數(shù)f(x)=x+x?2A．[2，+∞） B．[74，+∞) 【分析】先求函數(shù)定義域，再判斷函數(shù)單調性，再求值域．【解答】解：f(x)=x+x?2的定義域為x函數(shù)y＝x在[2，+∞）上為單調遞增函數(shù)，函數(shù)y=x?2∴f(x)=x+x?2∴當x＝2是f（x）取得最小值2，∴f（x）的值域為[2，+∞）．故選：A．3．（2022春?定南縣校級月考）函數(shù)y=2x?x?1A．(?∞，?158] B．(?∞，?158)【分析】先進行換元，然后結合二次函數(shù)的性質可求．【解答】解：令t=x?1，則x＝t2+1，ty=2x?x?1=2t2+2﹣t＝2（t?14根據(jù)二次函數(shù)的性質可知，當t=14時，函數(shù)取得最小值158，即故選：D．4．（2022?3月份模擬）函數(shù)f(x)=2x?3A．(?∞，13)∪(1C．(?∞，?13)∪(?【分析】化簡分式函數(shù)為一個常數(shù)和分式的代數(shù)和形式，再根據(jù)分式不等于零，求得函數(shù)的值域．【解答】解：函數(shù)f(x)=2x?3由于113(3x+1)≠0，故函數(shù)f（x）的值域為{f（x）|f（x）故選：D．5．（2021秋?涼州區(qū)期末）函數(shù)y=xA．[1，+∞） B．（1，+∞） C．[2，+∞） D．（2，+∞）【分析】由已知進行分離變形，然后結合基本不等式即可求解函數(shù)的最值，進而可求函數(shù)的值域．【解答】解：x＞0時，y=x2+1x=x+1所以函數(shù)y=x故選：C．6．（2022春?湖北期中）下列函數(shù)中，值域是（0，+∞）的是（）A．y=x2?2x+1 B．y=x+2x+1C．y=2x2+2x+1（x∈N）【分析】根據(jù)函數(shù)的性質分別進行判斷即可．【解答】解：y=x2?2x+1y=x+2x+1=則1＜y＜2，即函數(shù)的值域為（1，2），∵函數(shù)的定義域為N，∴函數(shù)的y=2x2+2x+1（∵y=1故選：D．（多選）7．（2021秋?黃梅縣校級期末）下列函數(shù)中，值域為[1，+∞）的是（）A．f(x)=x2+1 C．f(x)=x+1?2x?1 D．f（x）＝x3【分析】結合二次函數(shù)，冪函數(shù)，反比例函數(shù)的性質先求出各選項中函數(shù)的值域，然后檢驗各選項即可判斷．【解答】解：A：f（x）=xB：f（x）=2x+1x+1=C：令t=2x?1，則x=1+t所以y＝1+1+t22?t=根據(jù)冪函數(shù)性質可得f（x）＝1+x3的值域為R，不符合題意．故選：AC．8．（2022?虹口區(qū)二模）函數(shù)f(x)=x+9x(x＞0)【分析】由已知結合基本不等式即可直接求解．【解答】解：因為x＞0，所以f（x）＝x+9x≥2x?所以函數(shù)的值域為[6，+∞）．故答案為：[6，+∞）．9．（2018秋?溧陽市期末）函數(shù)f（x）＝x2﹣4x（﹣1≤x≤a）的值域為[﹣4，5]，則實數(shù)a的取值范圍為[2，5]【分析】根據(jù)二次函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的對稱軸，結合函數(shù)值域確定定義域的范圍即可．【解答】解：f（x）＝（x﹣2）2﹣4，對稱軸為x＝2，由（x﹣2）2﹣4＝5，得（x﹣2）2＝9，即x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3，即x＝5或x＝﹣1，∵f（﹣1）＝5，f（2）＝﹣4，∴2≤a≤5，即實數(shù)a的取值范圍是[2，5]，故答案為：[2，5]10．（2021秋?黃梅縣校級期末）若函數(shù)f(x)=12x2?x+a的定義域和值域均為[1，b]（b＞1），則a+b【分析】先確定二次函數(shù)圖象的開口方向及對稱軸，然后判斷函數(shù)在區(qū)間[1，b]上的單調性，結合單調性可求．【解答】解：因為f(x)=12x故函數(shù)f（x）在定義域[1，b]上單調遞增，所以當x＝1時，函數(shù)取得最小值f（1）＝a?12=1，當x＝b時，函數(shù)取得最大值f（b）故a=32，b＝3或所以a+b=9故答案為：92【考點5：函數(shù)的表示方法】【知識點：求函數(shù)解析式的四種方法】1．已知f（1+1x）=1x?1，則f（x）＝【分析】先令括號里1+1x=t，求出t的范圍，將x用t表示，求出f（t）的解析式，最后在將t【解答】解：設1+1x=t（t≠1），則∴f（t）=11t?1?1＝∴f（x）＝x﹣2（x≠1）．故答案為x﹣2（x≠1）．2．（2021秋?太湖縣月考）已知f（x+1）＝2x2+1，則f（x﹣1）＝2x2﹣8x+9．【分析】先設x+1＝t，則x＝t﹣1，求出f（t），然后再把f（t）中所有的t都換成x﹣1，得到f（x﹣1）．【解答】解：設x+1＝t，則x＝t﹣1，f（t）＝2（t﹣1）2+1＝2t2﹣4t+3，f（x﹣1）＝2（x﹣1）2﹣4（x﹣1）+3＝2x2﹣4x+2﹣4x+4+3＝2x2﹣8x+9．故答案為：2x2﹣8x+9．3．（2010?鄆城縣校級一模）如果f[f（x）]＝2x﹣1，則一次函數(shù)f（x）＝2x+1?2或?2x+1+【分析】設f（x）＝kx+b，則f[f（x）]＝k2x+kb+b＝2x﹣1，所以k2＝2且kb+b＝﹣1，k＝±2．由此可求出一次函數(shù)f（x）．【解答】解：設f（x）＝kx+b，則f[f（x）]＝kf（x）+b＝k（kx+b）+b＝k2x+kb+b．由于該函數(shù)與y＝2x﹣1是同一個函數(shù)，即k2＝2且kb+b＝﹣1．由k2＝2可得k＝±2．當k=2時，b＝1?當k=?2時，b＝1+故答案為：f（x）=2x+1?2或f（x）=?24．（2022春?鹽城校級期中）已知二次函數(shù)f（x）滿足f（x+1）﹣f（x）＝2x，f（0）＝1．（1）求f（x）的解析式；（2）求y＝f（x）在[﹣1，1]上的最大值．【分析】（1）由于已知函數(shù)類型為二次函數(shù)，故可以使用待定系數(shù)法求函數(shù)f（x）的解析式；（2）根據(jù)（1）的結論，分析二次函數(shù)的開口方向及對稱軸與區(qū)間[﹣1，1]的關系，易得y＝f（x）在[﹣1，1]上的最大值．【解答】解：（1）設f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），∵f（x+1）﹣f（x）＝2x，∴a（x+1）2+b（x+1）+c﹣（ax2+bx+c）＝2x即：2a=2即a＝1，b＝﹣1又由f（0）＝1．得：c＝1∴f（x）＝x2﹣x+1（2）由（1）知，函數(shù)f（x）＝x2﹣x+1的圖象為開口方向朝上，以x=1故在區(qū)間[﹣1，1]上，當x＝﹣1時，函數(shù)取最大值f（﹣1）＝3【考點6：分段函數(shù)的解析式及圖象】【知識點：分段函數(shù)的解析式及圖象】①分段函數(shù)求值的解題思路：求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當出現(xiàn)f(f(a))的形式時，應從內到外依次求值.②求分段函數(shù)自變量的值或范圍的方法：求某條件下自變量的值或范圍，先假設所求的值或范圍在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應自變量的值或范圍，切記代入檢驗，看所求的自變量的值或范圍是否滿足相應各段自變量的取值范圍.1．（2021秋?香坊區(qū)校級期中）已知函數(shù)f(x)={x+1?x+3(x≤1)A．52 B．32 C．12【分析】由已知中函數(shù)f(x)={x+1?x+3(x≤1)(x＞1)，先求出【解答】解：∵已知函數(shù)f(x)={x+1∴f(f[f(52)]=f(故選：B．2．（2021秋?廣州期中）函數(shù)f（x）＝x+|x|A． B． C． D．【分析】將函數(shù)解析式利用絕對值的定義進行化簡變形，得到分段函數(shù)的解析式，作出函數(shù)圖象即可得到答案．【解答】解：函