2024學(xué)年三明市一中高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試卷附答案解析

學(xué)年三明市一中高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試卷2024年11月一、單選題（本大題共8小題）1．拋物線的準(zhǔn)線方程是（

）A． B．C． D．2．已知直線l1：與l2：平行，則l1與l2的距離為（

）A． B． C． D．3．若方程表示圓，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．4．在四棱柱中，設(shè)，，，，，則（

）A． B．C． D．5．已知橢圓經(jīng)過點，當(dāng)變動時，截得直線的最大弦長為，則的方程為（

）A． B．C． D．6．已知拋物線的焦點為，點，若點為拋物線上任意一點，當(dāng)取最小值時，點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．7．已知，則的最小值為（

）A． B． C． D．8．已知雙曲線是直線上任意一點，若圓與雙曲線的右支沒有公共點.則雙曲線的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知直線：，：，則下列說法正確的是（

）A．直線在x軸上的截距為1 B．直線在y軸上的截距為1C．若，則或 D．若，則10．在正方體中，則（

）A．直線與直線所成角為B．直線與平面所成角的正弦值為C．二面角的余弦值為D．如果，那么點到平面的距離為11．已知橢圓的左右焦點分別為，左右頂點分別為，點是橢圓上的一個動點（異于兩點），且直線的斜率均存在，則（

）A．當(dāng)?shù)淖畲蠼菫闀r，橢圓的離心率為B．當(dāng)時，的面積為C．直線的斜率之積一定大于直線的斜率之積D．三、填空題（本大題共3小題）12．已知圓與圓相內(nèi)切，則實數(shù)a的值為．13．已知向量，若與的夾角為鈍角，則實數(shù)t的取值范圍是．14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左、右焦點分別為，為橢圓上一點（在軸上方），連結(jié)并延長交橢圓于另一點，設(shè)，若垂直于軸，且橢圓的離心率，求實數(shù)的取值范圍．四、解答題（本大題共5小題）15．已知三角形ABC的頂點坐標(biāo)為．(1)求過點C且與邊AB平行的直線方程；(2)求AB邊上的高所在的直線方程．16．已知圓：，直線：，與圓相交于，兩點，．(1)求實數(shù)的值；(2)當(dāng)時，求過點并與圓相切的直線方程．17．已知，分別是雙曲線的左、右頂點，是上異于，的一點，直線，的斜率分別為，且.(1)求雙曲線的方程；(2)已知過點的直線，交的左，右兩支于，兩點（異于，），求的取值范圍.18．如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，為棱的中點.

(1)證明：∥平面；(2)若，，（i）求二面角的余弦值；（ii）在線段上是否存在點，使得點到平面的距離是？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.19．“曲線”：由半橢圓與半橢圓組成，其中，.如圖，設(shè)點是相應(yīng)橢圓的焦點，和分別是“曲線”與軸的交點，為線段的中點.(1)若等邊三角形的重心坐標(biāo)為，求“曲線”的方程；(2)設(shè)是“曲線”的半橢圓上任意的一點.求證：當(dāng)取得最小值時，在點或處；(3)作垂直于軸的直線與“曲線”交于兩點，求線段中點的軌跡方程.

參考答案1．【答案】C【分析】依題意將拋物線化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可求出拋物線的準(zhǔn)線；【詳解】解：因為拋物線方程為，即，所以，即，所以拋物線的準(zhǔn)線為故選：C2．【答案】D【詳解】由題意知，，又，所以，且兩直線之間的距離為.故選：D3．【答案】A【分析】運用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解【詳解】方程表示圓，則，解得，即的取值范圍為.故選：A.4．【答案】C【分析】根據(jù)空間向量的線性運算即可求解.【詳解】，故選C.5．【答案】A【詳解】由題意可得，，所以，所以橢圓方程為.故選：A6．【答案】D【詳解】拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，設(shè)點在準(zhǔn)線上的射影為，如圖，

則根據(jù)拋物線的定義可知，求的最小值，即求的最小值，顯然當(dāng)，，三點共線時取得最小值，此時點的橫坐標(biāo)為，則，解得，即.故選：D.7．【答案】C【分析】設(shè)點為直線上的動點，題意可轉(zhuǎn)化成求與的距離和與的距離之和的最小值，求出關(guān)于直線的對稱點，故，即可求出答案【詳解】設(shè)點為直線上的動點，由可看作與的距離和與的距離之和，設(shè)點則點為點關(guān)于直線的對稱點，故，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時，取等號，所以的最小值為.故選：C8．【答案】B【詳解】雙曲線的一條漸近線方程為，因為點是直線上任意一點，又直線與直線的距離為：，即圓心到直線的距離為：,因為圓與雙曲線C的右支沒有公共點，所以，即，又,所以雙曲線的離心率的取值范圍為.故選：B9．【答案】AD【詳解】選項A：令，代入直線，解得：，選項正確；選項B：令，代入直線，解得：，選項錯誤；選項C：直線的法向量分別為，，因為，所以直線的法向量也平行，即：，解得：或，當(dāng)時，重合，舍去，故選項錯誤；選項D：，所以直線的法向量也垂直，即，解得：，選項正確；故選：AD.10．【答案】AB【詳解】如圖所示：設(shè)正方體的邊長為1，以為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，因為，所以，所以直線與直線所成角為，A正確；設(shè)面的一個法向量為，，則，即，不妨令，得，即取，又因為，設(shè)直線與平面所成角為，則，B正確；設(shè)平面的一個法向量為，，則，即，不妨令，得，即取，又面的一個法向量為，設(shè)二面角的平面角為，則，C錯誤；因為面的一個法向量為，所以點到平面的距離為，D錯誤.故選：AB.11．【答案】ABD【分析】對于A，由頂點與角的關(guān)系直接判斷即可；對于B，利用等體積法求得，從而得解；對于C，直接求出，，利用作差法即可判斷；對于D，直接求出，從而得以判斷.【詳解】對于A，當(dāng)取最大時，頂點為上下頂點，此時，故A正確；對于B，當(dāng)時，由，得，所以的面積為，又，所以點的縱坐標(biāo)為，則的面積為，故B正確；對于C，設(shè)，又，則，，所以，而與的大小不定，故上式正負(fù)不定，故C錯誤；對于D，因為，所以，又，所以，故D正確.故選：ABD.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題B選項解決的關(guān)鍵是利用橢圓的定義與勾股定理求得，從而利用面積相等得到，由此得解.12．【答案】【詳解】圓，化成標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心坐標(biāo)為半徑，圓，圓心坐標(biāo)為半徑，由兩圓相內(nèi)切，則圓心距，解得.故答案為：.13．【答案】【詳解】由，得，解得，又，得，解得，所以與夾角為鈍角，實數(shù)的取值范圍為且.故答案為：.14．【答案】【詳解】設(shè)，因為垂直于軸，所以代入橢圓方程，得，所以，設(shè)，聯(lián)立，消去整理得，，所以，所以，又因為，所以，又因為，所以，所以，因為，所以，所以，所以，所以.故答案為：.15．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，由直線的點斜式方程可得，化簡可得.（2）由（1）可知，，則AB邊上的高所在的直線斜率為，由直線的點斜式方程可得，化簡可得.16．【答案】(1)或(2)或【詳解】（1）因為圓的半徑，，所以圓心到直線的距離，所以，所以，所以或.（2）因為，所以，當(dāng)直線的斜率不存在時，直線方程為，圓心到的距離為，所以與圓相切；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線方程為，即，因為直線與圓相切，所以，所以，所以直線方程為，所以過點并與圓相切的直線方程為或.17．【答案】(1)(2)或【詳解】（1）由題意可知，，因為，所以設(shè)，則，所以，又，所以所以雙曲線的方程為（2）由題意知直線的方程為，，.聯(lián)立，化簡得，因為直線與雙曲線左右兩支相交，所以，即滿足：，所以或18．【答案】(1)證明見詳解(2)（i），（ii）存在點，.【詳解】（1）如圖，取中點，連接，，因為是中點，所以，，又，，，，所以四邊形是平行四邊形，，又平面，平面，平面.（2），，又，，，則，又平面平面，平面平面，平面，，又，所以，，兩兩互相垂直，如圖，以點為坐標(biāo)原點，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，（i）設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，可得，，，又平面的一個法向量為，，所以二面角的余弦值為.（ii）假設(shè)線段上存在點，使得點到平面的距離為，設(shè)，，，，由（i）知平面的一個法向量為，所以點到平面的距離為，則，解得或，又，所以，即存在點到平面的