2024-2025學年北京三十五中九年級（上）期中數(shù)學試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年北京三十五中九年級（上）期中數(shù)學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題2分，共16分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.二次函數(shù)y=?2(x+1)2?3圖象的頂點坐標為A.(1,3) B.(1,?3) C.(?1,3) D.(?1,?3)2.云紋是我國的傳統(tǒng)紋樣，象征著吉祥如意.其以流動飄逸的曲線和回轉交錯的結構體現(xiàn)了流動之美.以下云紋圖案都是由朵云通過不同的變換形式構造出的，請你選出其中的中心對稱圖形(

)A.雙分朵云 B.三合云

C.四合云 D.五福云3.若x=3是關于x的方程x2?2x?m=0的一個根，則m的值是(

)A.?15 B.?3 C.3 D.154.二次函數(shù)y=x2+4x+a的圖象與x軸沒有交點，則a的值可以是A.?2 B.2 C.4 D.65.在如圖所示的正方形網(wǎng)格中，四邊形ABCD繞某一點旋轉某一角度得到四邊形A′B′C′D′(所有頂點都是網(wǎng)格線交點)，在網(wǎng)格線交點M，N，P，Q中，可能是旋轉中心的是(

)A.點M

B.點N

C.點P

D.點Q6.如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，連接OA，OB，∠ABO=40°，則∠C的度數(shù)是(

)A.100°

B.80°

C.50°

D.40°7.定點投籃是同學們喜愛的體育項目之一，某位同學投出籃球的飛行路線可以看作是拋物線的一部分，籃球飛行的豎直高度y(單位：m)與水平距離x(單位：m)近似滿足函數(shù)關系y=ax2+bx+c(a≠0).下表記錄了該同學將籃球投出后的x與yx(單位：m)024y(單位：m)2.253.453.05A.1.5m B.2m C.2.5m D.3m8.如圖，⊙O的直徑AB=12，AM和BN是它的兩條切線，DE與⊙O相切于點E，并與AM，BN分別相交于D，C兩點．設AD=x，BC=y，則y關于x的函數(shù)圖象大致是(

)A.B.

C.D.二、填空題：本題共8小題，每小題2分，共16分。9.在平面直角坐標系xOy中，點P(1,?2)關于原點對稱的點的坐標是______．10.寫出一個開口向上，且與y軸交點在x軸下方的拋物線的表達式：______．11.若多項式x2+ax+b可以寫成(x+m)2的形式，且ab≠0，則a的值可以是

，b的值可以是12.在2022年北京冬奧會開幕式和閉幕式中，一片“雪花”的故事展現(xiàn)了“世界大同，天下一家”的主題，讓世界觀眾感受了中國人的浪漫.如圖，作出“雪花”圖案(正六邊形ABCDEF)的外接圓，已知正六邊形ABCDEF的邊長是4，則BC長為______．13.蜂巢結構精巧，其巢房橫截面的形狀均為正六邊形.如圖是部分巢房的橫截面圖，圖中7個全等的正六邊形不重疊且無縫隙，將其放在平面直角坐標系中，點P，Q，M均為正六邊形的頂點.若點P，Q的坐標分別為(?23,3)，(0,?3)，則點M的坐標為

14.某商品原來每件的售價為60元，經(jīng)過兩次降價后每件的售價為48.6元，并且每次降價的百分率相同.設該商品每次降價的百分率為x，則根據(jù)關系可列方程為______．15.如圖，正方形ABCD邊長為4，E、F分別是邊AB、BC上的點，CE、DF交于點P，當CE=DF時，BP的最小值為______．16.已知⊙O的半徑為4，B，C是⊙O上兩定點，點A是⊙O上一動點，且∠BAC=60°，∠BAC的平分線交⊙O于點D，過點D作BC的平行線交AB的延長線于點F.下列說法中正確的是______．

①AD的最大值是8；

②點D為BC上一定點；

③S△ABC的最大值是163；

④DF與⊙O相交；

⑤若△ABC為銳角三角形，則2三、計算題：本大題共1小題，共5分。17.解方程：x2+2x?1=0．四、解答題：本題共11小題，共63分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。18.(本小題5分)

已知x2?2x?5=0，求代數(shù)式3x(x?2)+(x?1)19.(本小題6分)

數(shù)學課上，王老師提出如下問題：

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，射線AC交⊙O于點C．

求作：BC的中點D．

同學們分享了如下四種方案：

方案一，連接BC，作BC的垂直平分線，交⊙O于點D．

方案二，過點O作AC的平行線，交⊙O于點D．

方案三，作∠BAC的平分線，交⊙O于點D．

方案四，在射線AC上截取AE，使AE=AB，連接BE，交⊙O于點D．

你選擇的方案是______，畫出相應圖形并證明．20.(本小題6分)

已知關于x的一元二次方程x2?(m?1)x+m?2=0．

(1)求證：對于任意實數(shù)m(2)m何值時，方程有負數(shù)根．21.(本小題5分)

在我國古代數(shù)學著作《九章算術》中記載了這樣一個問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”用現(xiàn)代語言表述為：如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，AE=1寸，CD=10寸，求直徑AB的長．

請你解答這個問題．22.(本小題5分)

已知二次函數(shù)y=ax2+bx+3(a≠0)的圖象經(jīng)過點A(1,0)，B(3,0)．

(1)求該函數(shù)的解析式；

(2)當x>3時，對于x的每一個值，函數(shù)y=x+n的值小于二次函數(shù)y=ax223.(本小題5分)

在平面直角坐標系xOy中，△ABC的三個頂點的坐標分別為A(1,2)，B(5,5)，C(5,2)，將△ABC繞點A順時針旋轉90°得到△AB′C′．

(1)畫出旋轉后的△AB′C′；

(2)直接寫出點B′的坐標；

(3)直接寫出線段AB在變換到AB′的過程中掃過的區(qū)域的面積.(結果保留π)24.(本小題5分)

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠ABC=45°，連接OC交AB于點E，過點A作OC的行線交BC延長線于點D．

(1)求證：AD是⊙O的切線；

(2)若⊙O的半徑為4，AD=6，求線段CD的長．25.(本小題6分)

如圖，AB是直徑AB所對的半圓弧，C是AB上一定點，D是AB上一動點，連接DA，DB，DC.已知AB=5cm，設D，A兩點間的距離為xcm，D，B兩點間的距離為y1cm，D，C兩點間的距離為y2cm．

小騰根據(jù)學習函數(shù)的經(jīng)驗．分別對函數(shù)y1，y2隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進行了探究．下面是小騰的探究過程，請補充完整：

(1)按照表中自變量x的值進行取點、畫圖、測量，分別得到了x/cm012345y54.9430y43.322.471.403(2)在同一平面直角坐標系xOy中，描出補全后的表中各組數(shù)位所對應的點(x,y1)，(x,y2)并畫出函數(shù)y1，y2的圖象；

(3)結合函數(shù)圖象，解決問題：連接BC，當△BCD是以26.(本小題6分)

在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為x=t．

(1)若3a+2b=0，求t的值；

(2)已知點(?1,y1)，(2,y2)，(3,y3)在該拋物線上.若27.(本小題7分)

等邊△ABC中，點D是邊AB上一點，點E是直線BC上一點，連接DE.將線段DE繞點D逆時針旋轉60°至DF，連接EF，CF．

(1)如圖1，當點D與點A重合，點E在線段BC上時．

①按照要求補全圖形；

②過BC中點M作AC的垂線交AC于G，交EF于H，判斷EH與FH的數(shù)量關系，并證明．

(2)如圖2，當點D與點A、點B不重合時，若AD=BE，判斷CF與AD的數(shù)量關系并說明理由．

28.(本小題7分)

對于平面直角坐標系xOy內(nèi)的點P和圖形M，給出如下定義：如果點P繞原點O順時針旋轉90°得到點P′，點P′落在圖形M上或圖形M圍成的區(qū)域內(nèi)，那么稱點P是圖形M關于原點O的“伴隨點”.已知點A(1,1)，B(3,1)，C(3,2)．

(1)在點P1(?2,0)，P2(?1,1)，P3(?1,2)中，點______是線段AB關于原點O的“伴隨點”；

(2)如果點D(m,2)是△ABC關于原點O的“伴隨點”，直接寫出m的取值范圍；

(3)已知拋物線y=x2+bx+c的頂點坐標為(?1,n)

參考答案1.D

2.C

3.C

4.D

5.A

6.C

7.C

8.A

9.(?1,2)

10.y=x2?1(11.?44

12.4313.(314.60(1?x)15.216.①②⑤

17.解：方程變形得：x2+2x=1，

配方得：x2+2x+1=2，即(x+1)2=2，

開方得：x+1=±18.解：3x(x?2)+(x?1)2

=3x2?6x+x2?2x+1

=4x2?8x+1，

∵x19.20.(1)證明：由一元二次方程得：

a=1，b=?(m?1)，c=m?2，

∴Δ=[?(m?1)]2?4(m?2)=(m?3)2≥0，

∴該方程總有兩個實數(shù)根；

(2)解：由一元二次方程得：

x1+x2=?ba=m?1，x1?x2=ca=m?2，21.解：如圖所示，連接OC．

∵弦CD⊥AB，AB為圓O的直徑，

∴E為CD的中點，

又∵CD=10寸，

∴CE=DE=12CD=5寸，

設OC=OA=x寸，則AB=2x寸，OE=(x?1)寸，

由勾股定理得：OE2+CE2=OC2，

即(x?1)2+5222.解：(1)∵y=ax2+bx+3(a≠0)的圖象經(jīng)過點A(1,0)，B(3,0)，

∴a+b+3=09a+3b+3=0，

解得a=1b=?4，

∴二次函數(shù)解析式為y=x2?4x+3；

(2)當直線y=x+n經(jīng)過點(3,0)時，3+n=0，解得n=?3，

此時函數(shù)y=x+n的值等于二次函數(shù)y=ax2+bx+3(a≠0)的值，

所以當n≤?323.解：(1)如圖，△AB′C′為所作；

(2)點B′的坐標為(4,?2)；

(3)∵AB=42+32=5，

24.(1)證明：連接OA，如圖，

∵∠COA=2∠ABC，∠ABC=45°，

∴∠COA=90°．

∵CO//DA，

∴∠COA+∠OAD=180°，

∴∠OAD=90°，

∴OA⊥DA，

∵OA為⊙O的半徑，

∴AD是⊙O的切線；

(2)解：過點C作CH⊥AD于點H，

∵∠COA=∠OAH=∠CHA=90°，

∴四邊形OAHC是矩形，

∵OA=OC=4，

∴四邊形OAHC是正方形，

∴AH=HC=OA=4，

∵AD=6，

∴∠=DH=AD?AH=6?4=2，

∴CD=DH25.解：(1)∵AB是直徑AB所對的半圓弧，C是AB上一定點，

∴∠ACB=90°，

∵DA=2cm，AB=5cm，

∴DB=AB2?DA2=52?22=21≈4.58(cm)，

即當D、A兩點間的距離為2cm時y1=4.58cm；

如下表所示：26.解：(1)由題意，∵3a+2b=0，

∴b=?3a2．

∴t=?b2a=34．

∴t=34．

(2)由題意，∵3a+2b+c=0，

∴b=?3a+c2．

∴t=?b2a=3a+c4a=34+c4a．

又∵a>c>0，

∴0<c4a<14，

∴34<t<1．

27.解：(1)①按照要求補全圖形如下：

②EH=FH，理由如下：

過F作FH⊥AC于H，交BC于K，如上圖，

∵將線段DE繞點D逆時針旋轉60°至DF，

∴DE=DF，∠EDF=60°，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC，∠BAC=60°，

∴∠BAC=∠EDF，

∴∠BAE=∠CAF，

∴△BAE≌△CAF(SAS)，

∴BE=CF，∠B=∠ACF=60°，

∴∠CFH=180°?∠CHF?∠ACF=30°，

∵∠CKH=180°?∠CHK?∠ACB=30°，

∴∠CFH=∠CKH，

∴CF=CK，

∴BE=CK，

∵M為BC中點，

∴BM=CM，

∴EM=KM，

∵MG⊥AC，

∴MG//FH，

∴MH是△EKF的中位線，

∴EH=FH；

(2)當E在線段BC上時，設DF交AC于T，如圖：

∵將線段DE繞點D逆時針旋轉60°至DF，

∴∠EDT=60°，DE=DF，△DEF是等邊三角形，

∴∠ADT=120°?∠BDE=∠BED，

∵∠A=∠B=60°，AD=BE，

∴△ADT≌△BED(ASA)，

∴DT=DE，

∵DE=DF，

∴T與F重合，

∴F在邊AC上，

∵△DEF是等邊三角形，

∴∠DFE=60°，

∴∠AFD=120°?∠EFC=∠FEC，

∵∠A=∠C，DF=EF，

∴△ADF≌△C