2024-2025學(xué)年湖北省宜昌市高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年湖北省宜昌市高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請(qǐng)把正確選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1.已知復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)是（）A. B. C. D.【正確答案】C詳解】由，可得：，所以的共軛復(fù)數(shù)是.故選：C.2.已知表示兩條不同直線，表示平面，則下列命題正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【正確答案】C解析：因?yàn)?，，則或相交或異面，故A錯(cuò)誤；由，，則與的關(guān)系無(wú)法確定，可能平行，可能相交，可能在平面內(nèi)，故B錯(cuò)誤；若，，則，故C正確；若，，則或，故D錯(cuò)誤.故選：C.3.“”是“直線與直線平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】C解析：當(dāng)時(shí)，，，顯然，兩直線平行，滿(mǎn)足充分條件；當(dāng)與直線平行時(shí)，，則∴或，當(dāng)時(shí)顯然成立，當(dāng)時(shí)，，，整理后與重合，故舍去，∴，滿(mǎn)足必要條件；∴“”是“直線與直線平行”的充要條件故選：C4.在一次奧運(yùn)會(huì)男子羽毛球單打比賽中，運(yùn)動(dòng)員甲和乙進(jìn)入了決賽.假設(shè)每局比賽甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生之間的隨機(jī)數(shù)，當(dāng)出現(xiàn)、、時(shí)表示一局比賽甲獲勝，當(dāng)出現(xiàn)4、5時(shí)表示一局比賽乙獲勝.由于要比賽3局，所以每3個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，現(xiàn)產(chǎn)生20組隨機(jī)數(shù)，結(jié)果如下：423123423344114453525332152342534443512541125432334151314354則估計(jì)在本次比賽中甲獲得冠軍的概率是（）A.0.35 B.0.55 C.0.6 D.0.65【正確答案】D解析：表示甲獲得冠軍的數(shù)有423，123，423，114，332，152，342，512，125，432，334，151，314共13組數(shù)，故估計(jì)該場(chǎng)比賽甲獲勝的概率為.故選：D5.已知點(diǎn)在確定的平面內(nèi)，是平面外任意一點(diǎn)，正數(shù)滿(mǎn)足，則的最小值為（）A. B. C. D.【正確答案】B解析：由題意知，四點(diǎn)共面，又，則，所以，即，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：B.6.已知正三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，棱錐的底面是邊長(zhǎng)為的正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為，則球的表面積為（）A. B. C. D.【正確答案】B解析：如圖，設(shè)點(diǎn)在底面的射影為點(diǎn)，因底面邊長(zhǎng)均為，側(cè)棱長(zhǎng)均為，故球心在上，連接，設(shè)球的半徑為，則，由正弦定理，解得，在中，，則，在中，由，解得，則球的表面積為.故選：B.7.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，且，則的面積為（）A. B. C. D.【正確答案】A解析：由，根據(jù)正弦定理得，，即，即，即，因?yàn)?，則，所以，即，所以，又，則，即，又，所以的面積為.故選：A.8.已知橢圓的焦距為，若直線恒與橢圓有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則橢圓的離心率范圍為（）A. B. C. D.【正確答案】A解析：將直線整理可得，易知該直線恒過(guò)定點(diǎn)，若直線恒與橢圓有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，可知點(diǎn)在橢圓內(nèi)部；易知橢圓上的點(diǎn)當(dāng)其橫坐標(biāo)為時(shí)，縱坐標(biāo)為，即可得，整理可得，即，解得.故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，選對(duì)但不全的得部分分，有錯(cuò)選的得0分.9.下面四個(gè)結(jié)論不正確的是（）A.已知，，若，則的夾角為鈍角B.已知，，則在上的投影向量是C.若直線經(jīng)過(guò)第三象限，則，D.設(shè)是空間向量的一組基底，則也是空間向量的一組基底【正確答案】ACD解析：對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，，，此時(shí)的夾角為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，向量在向量上的投影向量為，故B正確；對(duì)于C，令，，，則直線為，此時(shí)直線經(jīng)過(guò)第三象限，但，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，則，所以共面，故不能作為基底，故D錯(cuò)誤.故選：ACD.10.已知互不相同的30個(gè)樣本數(shù)據(jù)，若去掉其中最大和最小的數(shù)據(jù)，設(shè)剩下的28個(gè)樣本數(shù)據(jù)的方差為，平均數(shù)為;去掉的兩個(gè)數(shù)據(jù)的方差為，平均數(shù)為﹔原樣本數(shù)據(jù)的方差為，平均數(shù)為，若=，則下列說(shuō)法正確的是（

）A.B.C.剩下28個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)大于原樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)D.剩下28個(gè)數(shù)據(jù)的22%分位數(shù)不等于原樣本數(shù)據(jù)的22%分位數(shù)【正確答案】ABD解析：A.剩下的28個(gè)樣本數(shù)據(jù)的和為，去掉的兩個(gè)數(shù)據(jù)和為，原樣本數(shù)據(jù)和為，所以，因?yàn)?，所以，故A選項(xiàng)正確；B.設(shè)，，因?yàn)椋?，所以，所以，故B選項(xiàng)正確；C.剩下28個(gè)數(shù)據(jù)中位數(shù)等于原樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.，所以原數(shù)據(jù)的22%分位數(shù)為從小到大的第7個(gè)；，所以剩下28個(gè)數(shù)據(jù)的22%分位數(shù)為從小到大的第7個(gè)；因?yàn)槿サ袅俗钚≈?，則剩下28個(gè)數(shù)據(jù)的22%分位數(shù)不等于原樣本數(shù)據(jù)的22%分位數(shù)，故D正確.故選：ABD.11.已知正方體棱長(zhǎng)為為正方體內(nèi)切球的直徑，點(diǎn)為正方體表面上一動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，與所成角余弦值為B.當(dāng)面時(shí)，點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為C.的取值范圍為D.與所成角的范圍為【正確答案】ABC解析：根據(jù)題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，對(duì)于A，如下圖所示：易知，則,可得，即當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，與所成角余弦值為，可得A正確；對(duì)于B，易知是邊長(zhǎng)為的正三角形，故其面積為，由三棱錐的體積為，可得點(diǎn)到平面的距離為，即點(diǎn)在與平面平行且距離為的平面內(nèi)，連接，如下圖所示：由正方體性質(zhì)可得平面平面，且兩平面間的距離等于，所以點(diǎn)平面，又面，平面平面，即可得點(diǎn)的軌跡即是線段，因此點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，即可得B正確；對(duì)于C，依題意可知即為正方體的中心，如下圖所示：，又因?yàn)闉榍虻闹睆?，所以，即可得，又易知?dāng)點(diǎn)為正方體與球的切點(diǎn)時(shí)，最?。划?dāng)點(diǎn)為正方體的頂點(diǎn)時(shí)，最大；即，因此可得的取值范圍為，即C正確；對(duì)于D，易知的中點(diǎn)即為球心，如下圖所示：當(dāng)與球相切時(shí)，與所成的角最大，此時(shí)，顯然，結(jié)合兩直線所成角的范圍可知與所成角的范圍為錯(cuò)誤，即D錯(cuò)誤.故選：ABC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量滿(mǎn)足與的夾角為，則_______.【正確答案】解析：，，，故13.在一個(gè)建筑工地上，有一個(gè)用來(lái)儲(chǔ)存材料的圓臺(tái)形容器．已知該圓臺(tái)形容器的上底面圓的直徑是6米，下底面圓的直徑是12米，母線長(zhǎng)為5米，不考慮該圓臺(tái)形容器壁的厚度，則該圓臺(tái)形容器的容積是________立方米．【正確答案】解析：由已知圓臺(tái)的上底半徑為米，下底半徑為米，母線長(zhǎng)為米，所以高為（米），體積為（立方米）．故．14.已知，，若圓上存在點(diǎn)P滿(mǎn)足，則的取值范圍是______________【正確答案】解析：設(shè)點(diǎn)，則，，所以，則，所以點(diǎn)的軌跡方程為，圓心為，半徑為3，由此可知圓與有公共點(diǎn)，又圓的圓心為，半徑為2，所以，解得，即取值范圍是.故答案為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.在平面直角坐標(biāo)系中，已知三點(diǎn).（1）若直線過(guò)點(diǎn)且與直線BC垂直，求直線的方程；（2）若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且在軸上的截距是軸上截距的倍，求直線的方程.【正確答案】（1）（2）或【小問(wèn)1詳解】由可得直線AB的斜率為，因，故直線的斜率為，則直線的方程為，即【小問(wèn)2詳解】當(dāng)截距均為時(shí)，直線方程為，符合題意，當(dāng)截距不為時(shí)，不妨設(shè)直線方程為，又直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，故，即，所以直線方程為，綜上，所求直線方程為或.16.為普及消防安全知識(shí)，某學(xué)校組織相關(guān)知識(shí)競(jìng)賽.比賽共分為兩輪，每位參賽選手均須參加兩輪比賽，若其在兩輪比賽中均勝出，則視為贏得比賽.已知在第一輪比賽中，選手甲、乙勝出的概率分別為，；在第二輪比賽中，甲、乙勝出的概率分別為，，甲、乙兩人在每輪比賽中是否勝出互不影響.（1）甲在比賽中恰好贏一輪的概率；（2）若甲、乙兩人均參加比賽，求兩人中至少有一人贏得比賽的概率.【正確答案】（1）（2）【小問(wèn)1詳解】設(shè)“甲在第一輪比賽中勝出”，“甲在第二輪比賽中勝出”，“乙在第一輪比賽中勝出”，“乙在第二輪比賽中勝出”，則，，，相互獨(dú)立，且，，，，所以，，設(shè)“甲在比賽中恰好贏一輪”則.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)樵趦奢啽荣愔芯鶆俪鲒A得比賽，則“甲贏得比賽”，“乙贏得比賽”,所以，,設(shè)“甲贏得比賽”，“乙贏得比賽”.于是=“兩人中至少有一人贏得比賽”，由，,所以，，所以.17.公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在《平面軌跡》一書(shū)中，曾研究了眾多的平面軌跡問(wèn)題，其中有如下結(jié)果:平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比等于已知數(shù)的動(dòng)點(diǎn)軌跡為直線或圓，后世把這種圓稱(chēng)之為阿波羅尼斯圓.已知平面直角坐標(biāo)系中且.（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；（2）若點(diǎn)P在（1）的軌跡上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M為AP的中點(diǎn)，求點(diǎn)M的軌跡方程;（3）若點(diǎn)在（1）的軌跡上運(yùn)動(dòng)，求的取值范圍.【正確答案】（1）；（2）；（3）.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，則，化簡(jiǎn)得：，故點(diǎn)P的軌跡方程為；【小問(wèn)2詳解】設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)M為AP的中點(diǎn)，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為，將代入中，得到，所以點(diǎn)M的軌跡方程為；【小問(wèn)3詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在（1）的軌跡上運(yùn)動(dòng)，所以，變形為，即點(diǎn)為圓心為，半徑為2的圓上的點(diǎn)，則表示的幾何意義為圓上一點(diǎn)與連線的斜率，如圖：當(dāng)過(guò)的直線與圓相切時(shí)，取得最值，設(shè)，則由點(diǎn)到直線距離公式可得：，解得：或·，故的取值范圍是.18.如圖，在四棱錐中，平面平面，，為中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？說(shuō)明理由.【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）不存在，理由見(jiàn)解析【小問(wèn)1詳解】在中，所以，即.又因?yàn)?，在平面中，，所以平?【小問(wèn)2詳解】因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面平面，所以平面，由平面，得由?）知，且已知，故以A為原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，.所以因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以.由知，.設(shè)平面的法向量為，則即令，則.于是.由（1）知平面，所以平面的法向量為.所以，由題知，二面角為銳角，所以其余弦值為；【小問(wèn)3詳解】設(shè)是線段上一點(diǎn)，則存在使得.因?yàn)?，所?因?yàn)槠矫?，所以平面，?dāng)且僅當(dāng)，即.即.解得.因?yàn)?，所以線段上不存在使得平面.19.已知四個(gè)點(diǎn)中恰有三個(gè)點(diǎn)在橢圓：上.（1）判斷哪個(gè)點(diǎn)不在橢圓上，并求出橢圓的方程；（2）設(shè)橢圓的左右頂點(diǎn)分別是、，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，直線、與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)分別為、，求證：直線過(guò)定點(diǎn).【正確答案】（1）不在橢圓上，（2）證明見(jiàn)解析【小問(wèn)1詳解】因?yàn)殛P(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，必定均在橢圓上，代入得.若點(diǎn)在橢圓上，則，與上式矛盾.所以不在橢圓上.由，解得，故橢圓的方程為.【小問(wèn)2詳解】方法一：設(shè)直線MN：，M()，N()，P().由題意得：①，②，由①②得：，又，代入上式得：③把聯(lián)立消元得：，即=0，所以，，由③得：，即，將，，代入上式得：，即，則，故直線MN恒過(guò)定點(diǎn)，方法二：當(dāng)直線PA，PB斜率不為0時(shí)，設(shè)直線PA：，直線PB：令得：，即.