湖北省武漢市常青聯(lián)合體2024-2025學年高二上學期期中考試數學試卷（含解析）

武漢市常青聯(lián)合體2024-2025學年度第一學期期中考試高二數學試卷考試時間：2024年11月14日8:00-10:00試卷滿分：150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】B解析：由題意得直線的斜率為．設直線的傾斜角為，則，由，得，故選：B．2.若方程表示焦點在軸上的橢圓，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D解析：若方程表示焦點在軸上的橢圓，則，解得.故選：D.3.數學來源于生活，約3000年以前，我國人民就創(chuàng)造出了屬于自己計數方法．十進制的算籌計數法就是中國數學史上一個偉大的創(chuàng)造，算籌實際上是一根根同長短的小木棍．下圖是利用算籌表示數1～9的一種方法．例如：3可表示為“”，26可表示為“”，現(xiàn)有5根算籌，據此表示方法，若算籌不能剩余，則用1～9這9個數字表示的所有兩位數中，個位數與十位數之和為5的概率是（）A. B. C. D.【答案】A解析：1根算籌只能表示1，2根算籌可表示2和6，3根算籌可表示3和7，4根算籌可表示4和8，5根算籌可表示5和9，因此5根算籌表示的兩位數有14，18，41，81，23，27，32，72，63，67，36，76，共12個，其中個位數與十位數之和為5的有14，41，23，32，共4個，所以所求概率為．故選：A4.設直線與圓相交于兩點，且的面積為8，則（）A. B. C.1 D.【答案】C解析：由三角形的面積公式可得，得，由，得，所以等腰直角三角形，所以圓心到直線的距離為，由點到直線的距離公式得，解得.故選：C5.設A，B為隨機事件，則的充要條件是（）A. B.C. D.【答案】D解析：對于A，由可知A，B為互斥事件，概率不一定相等，A錯誤；對于B，由可知A，B相互獨立，與概率大小無關，B錯誤；對于C，拋擲一顆骰子，記擲出點數為事件A，擲出點數為事件B，則事件表示擲出點數為，為不可能事件，所以，，，顯然，由推不出，C錯誤；對于D，，，若，則，即，反之亦然，故的充要條件是，D正確.故選：D6.甲、乙、丙三人玩?zhèn)髑蛴螒颍總€人都等可能地把球傳給另一人，由甲開始傳球，作為第一次傳球，經過3次傳球后，球回到甲手中的概率為（）A. B. C. D.【答案】C解析：設甲、乙、丙三人用，由題意可知：傳球的方式有以下形式，，所求概率為.故選：C7.橢圓的上頂點為A，點均在C上，且關于x軸對稱．若直線AP，AQ的斜率之積為，則C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C解析：，設Px1,y1，則，則，故，又，則，所以，即，所以橢圓C的離心率為．故選：C8.直線過點，且與圓相交所形成的長度為整數的弦的條數為（）A.5 B.8 C.9 D.10【答案】C解析：依題設，圓的圓心為，且半徑，而，即點在圓內，且圓心到該點的距離，當直線與、的連線垂直時，弦長最短為，而最長弦長為圓的直徑為，因此所有弦的弦長范圍為，所以相交所形成的長度為整數的弦，弦長為，根據圓的對稱性，弦長為各有2條，弦長為2的只有1條，所以共有9條.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分．9.已知直線：和直線：，下列說法正確的是（

）A.始終過定點 B.若，則或C.若，則或2 D.當時，始終不過第三象限【答案】ACD解析：選項A：：，令，得，過點，A正確；選項B：當時，，重合，故B錯誤；選項C：當時，由，得或2，故C正確；選項D：當時，：始終過，斜率負，不會過第三象限，故D正確.故選：ACD10.已知F為橢圓的一個焦點，A，B為該橢圓的兩個頂點，若，則滿足條件的橢圓方程為（）A. B.C. D.【答案】BCD解析：由題意，已知F為橢圓的一個焦點，其中為該橢圓的兩個頂點，且，當為左右兩個頂點時，可得，解得，所以，此時橢圓的方程為；當為橢圓短軸的頂點，為長軸的頂點時，可得解得，則，此時橢圓的方程為；當為橢圓長軸的頂點，為短軸的頂點時，可得，解得，則，此時橢圓的方程為.故選：BCD.11.在棱長為2的正方體中，分別為的中點，則下列選項正確的是（）A.B.直線與所成角的余弦值為C.三棱錐的體積為D.存在實數使得【答案】BD解析：由題可建立如圖所示的空間直角坐標系，則，所以，對于A，，故與不垂直，故A錯誤；對于B，，所以直線與所成角的余弦值為，故B正確；對于C，由上，所以，所以即，又，所以，因為，又由正方體性質可知平面即平面，所以，故C錯誤；對于D，若存在實數使得，則，所以，所以，故D正確.故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知圓的圓心在直線上，且過點，，則圓的方程為__________.【答案】解析：由題設，且中點為，故線段中垂線方程為，由題意知，圓心也在上，聯(lián)立，可得圓心為，所以半徑，故圓的方程為.故答案為：13.王先生忘記了自己電腦的密碼，但記得密碼是由兩個3，一個6和一個9組成的四位數，于是他用這四個數字隨意排成一個四位數輸入電腦，則其能一次就打開電腦的概率是________．【答案】解析：由題可知，密碼的可能情況有：3369,3396,3639,3693,3936,3963,6339,6393,6933,9336,9363,9633共有12種情況，其中只有1個密碼正確，所以能一次就打開電腦的概率是，故答案為:.14.關于橢圓有如下結論：“過橢圓上一點作該橢圓的切線，切線方程為．”設橢圓的左焦點為，右頂點為，過且垂直于軸的直線與的一個交點為，過作橢圓的切線，若切線的斜率與直線的斜率滿足，則橢圓的離心率為____________.【答案】解析：由題設，，令代入橢圓，有，令，則過該點的切線，即為，所以，而，故，所以，則，即，又，則.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟15.已知的頂點，邊上的高線所在的直線方程為，邊上的中線所在的直線方程為．（1）求點的坐標；（2）求直線方程．【答案】（1）；（2）.【小問1解析】由邊上的高線所在的直線方程為，得直線的斜率為1，直線方程為，即，由，解得，所以點的坐標是.【小問2解析】由點在直線上，設點，于是邊的中點在直線上，因此，解得，即得點，直線的斜率，所以直線的方程為，即.16.垃圾分類（Garbageclassification），一般是指按一定規(guī)定或標準將垃圾分類儲存、投放和搬運，從而轉變成公共資源的一系列活動的總稱．垃圾分類具有社會、經濟、生態(tài)等多方面的效益．小明和小亮組成“明亮隊”參加垃圾分類有獎答題活動，每輪活動由小明和小亮各答一個題，已知小明每輪答對的概率為p，小亮每輪答對的概率為且在每輪答題中小明和小亮答對與否互不影響，各輪結果也互不影響．已知一輪活動中，“明亮隊”至少答對1道題概率為．（1）求p的值；（2）求“明亮隊”在兩輪活動中答對3道題的概率．【答案】（1）（2）【小問1解析】設“一輪活動中小明答對一題”，“一輪活動中小亮答對一題”，則，.設“一輪活動中，“明亮隊”至少答對的1道題”，則，由于每輪答題中小明和小亮答對與否不影響，所以A與B相互獨立，從而與相互獨立，所以，所以【小問2解析】設“兩輪活動中小明答對了1道題”，“兩輪活動中小亮答對了1道題”，，1，2.由題意得，，，設“明亮隊”在兩輪活動中答對3道題”，則.由于和相互獨立，則與互斥，所以.所以，“明亮隊”在兩輪活動中答對3道題的概率為.17.如圖，在四棱錐中，，，，平面平面．（1）求證：平面；（2）點Q在棱上，與平面所成角的正弦值為，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【小問1解析】若分別為中點，連接，由，，則為直角梯形，且為中位線，所以，且，由，則，又，可得，面面，面，面面，則面，面，故，則，由面，則，又，均在面內，所以面，面，可得，所以，故，即，由，則，而均在面內，所以平面.【小問2解析】由（1）可構建如上圖所示的空間直角坐標系，所以，令且，則，則，，，若是面的一個法向量，則，令，則，由題意，整理得，故，則，若是面的一個法向量，則，令，則，所以平面與平面夾角的余弦值.18.已知橢圓C:x2a2（1）求的方程；（2）若直線與相交于不同于的，兩點，的中點為，當時，①求證：為直角．②求的值．【答案】（1）；（2）①證明見解析；②.【小問1解析】由題意，且，則，所以橢圓；【小問2解析】①在中，又，兩點不同于，的中點為，當時，此時，所以為直角，得證；②設，聯(lián)立，整理得，則，所以，則，，由，綜上，將韋達公式代入上式整理得，可得或，而時，直線過點，不合題設，當時，滿足條件，所以.19.在空間直角坐標系中，任何一個平面的方程都能表示成，其中，，且為該平面的法向量.已知集合，，（1）設集合，記中所有點構成的圖形的面積為，中所有點構成的圖形的面積為，求和的值；（2）記集合中所有點構成的幾何體的體積為，中所有點構成的幾何體的體積為，求和的值；（3）記集合T中所有點構成的幾何體為W．求W的體積的值．【答案】（1），；（2），；（3）16.【小問1解析】集合表示平面上所有的點，表示這八個頂點形成的正方體內所有的點，而可以看成正方體在平面上的截面內所有的點，發(fā)現(xiàn)它是邊長為2的正方形，因此.對于，當時，表示經過，，的平面在第一象限的部分.由對稱性，知Q表示，，，這六個頂點形成的正八面體內所有的點.而可以看成正八面體在平面上的截面內所有的點，它是邊長為的正方形，因此.【小問2解析】記集合，中所有點構成的幾何體的體積分別為，；