《線性代數(shù)》課件第5章

5.1向量組的正交化與正交矩陣5.2方陣的特征值及特征向量5.3相似矩陣5.4實對稱矩陣對角化

5.5矩陣對角化的應(yīng)用

5.1.1向量的內(nèi)積

定義5.1.1

設(shè)n維向量

稱

［α，β］=a1b1+a2b2+…+anbn

5.1向量組的正交化與正交矩陣為向量的內(nèi)積。向量的內(nèi)積是一種運算.如果把向量看成列矩陣，那么向量的內(nèi)積可以表示成矩陣的乘積形式，即

這里要注意內(nèi)積αTβ是一個實數(shù)，并要注意

αTβ和αβT的區(qū)別，如設(shè)α=，β=，則

設(shè)α，β，γ都是n維向量，k為實數(shù)，由定義5.1.1可以推出向量內(nèi)積的幾個運算規(guī)律:

(1)［α，β］=［β，α］。

(2)［kα，β］=k［α，β］。

(3)［α+β，γ］=［α，γ］+［β，γ］。

(4)[α，α］=≥0，當(dāng)且僅當(dāng)α=0時，

［α，α］=0.

定義5.1.2

設(shè)有n維向量

令

稱為n維向量α的長度(也稱為模或范數(shù))。

例5.1.1

把向量單位化。

解因為，所以

定義5.1.3

當(dāng)≠0，≠0時，

稱為n維向量α與β的夾角。

定理5.1.1

正交向量組必是線性無關(guān)向量組。

證設(shè)α1，α2，…，αm是正交向量組，且存在實數(shù)k1，k2，…，km，使

k1α1+k2α2+…+kmαm=0

由正交向量組的定義，當(dāng)i≠j時，αi，αj=0，以(i=1，2，…，m)左乘上式兩端，得

例5.1.2

已知3維向量空間R3中兩個向量正交，試求一個非零向量α3，使α1，α2，α3兩兩正交。解記α3應(yīng)是齊次線性方程Ax=0的解，即

由

得，從而得基礎(chǔ)解系。取α3=

即為所求。5.1.2線性無關(guān)向量組的正交化方法

定理5.1.1表明，正交向量組是線性無關(guān)向量組。但線性無關(guān)向量組卻不一定是正交向量組.

定義5.1.4

設(shè)n維向量e1，e2，…，er是向量空間V(V

Rn)的一個基，如果e1，e2，…，er兩兩正交，且都是單位向量，則稱e1，e2，…，er是V的一個規(guī)范正交基。設(shè)線性無關(guān)向量組α1，α2，…，αr是向量空間V的一個基，要求V的一個規(guī)范正交基，即要找到一組兩兩正交的單位向量e1，e2，…，er，使得e1，e2，…，er與α1α2，…，αr等價，這樣的一個問題，稱為把α1，α2，…，αr這個基規(guī)范正交化。設(shè)α1，α2，…，αr是線性無關(guān)向量組.先取

β1=α1

令β2=α2+kβ1(k待定)，使β2與β1正交，即有

［β2，β1］=［α2+kβ1，β1］=［α2，β1］

+k［β1，β1］=0

于是得從而得

這樣得到兩個向量β1，β2，有［β1，β2］=0，即

β1，β2正交。再令β3=α3+k1β1+k2β2(k1，k2待定)，使β3與β1，β2

彼此正交，滿足［β1，β3］=0，［β2，β3］=0，即有

［β3，β1］=［α3，β1］+k1［β1，β1］=0

以及［β3，β2］=［α3，β2］+k2［β2，β2］=0于是得

所以

這樣求得的三個向量β1，β2，β3彼此兩兩正交。

例5.1.3

試用施密特正交化過程，求與線性無關(guān)向量組

α1=，α2=,α3=等價的正交向

量組。解令β1，β2，β3就是與α1，α2，α3等價的正交向量組。

例5.1.4

試用施密特正交化過程將

正交化。解令

例5.1.5

試用施密特正交化過程，求與線性無關(guān)向量組

等價的單位正交向量組。解取令然后再取則e1，e2，e3就是與α1，α2，α3等價的單位正交向量組。

例5.1.6已知α1=，求一組非零向量α2，

α3，使得α1，α2，α3兩兩正交。

解

α2，α3應(yīng)滿足方程α1Tx=0，即

x1-x2+x3=0它的基礎(chǔ)解系為

把基礎(chǔ)解系正交化，即為所求，亦即取于是得5.1.3正交矩陣

定義5.1.5

如果n階矩陣A滿足

ATA=E(即A-1=AT)

則稱A為正交矩陣(簡稱正交陣)。

性質(zhì)1

設(shè)A是正交陣，則|A|=±1。

證由定義5.1.5可知，A是正交陣，必有ATA=E，更進一步，有

|ATA|=|AT||A|=|A|2=|E|=1

即有|A|=±1。

性質(zhì)2

A是正交陣的充分必要條件是A的n個列向量是單位正交向量組.

證設(shè)A是n階正交陣，記A=(α1，α2，…，αn)，由定義5.1.5可知由定義5.1.5可知，A是正交陣。方陣A=不是正交陣。因為A中任意兩個列向量彼此都不正交，且A中任意一個列向量都不是單位向量。

性質(zhì)3

設(shè)A，B都是正交陣，那么，AB也是正交陣。

證因為A，B都是正交陣，那么

ATA=E

且

BTB=E

推得

(ABT(AB)=(BTAT)(AB)=BT(ATA)B

BTEB=BTB=E

所以，AB也是正交陣。5.2.1特征值與特征向量的概念

定義5.2.1

設(shè)A是n階方陣，若存在數(shù)λ和非零向量x，使得

Ax=λx

(5.2.1)

成立，則稱數(shù)λ為方陣A的特征值，非零向量x是方陣對應(yīng)于λ的特征向量。

5.2方陣的特征值及特征向量式(5.2.1)也可寫成

(5.2.2)

這是n個未知數(shù)n個方程的齊次線性方程組，它有非零解的充分必要條件是系數(shù)行列式

(5.2.3)即

例5.2.1

求方陣A=的特征值和特征向量。

解因為f(λ)=|A-E|=

=(2-λ)(4-λ)，令

f(λ)=0，解得[WTHX]A[WTBX]的特征值為λ1=2，λ2=4。

當(dāng)λ1=2時，解齊次線性方程組(A-2E)x=0，化A-2E為階梯形矩陣:

解得基礎(chǔ)解系為p1=(2，-1)T，從而k1p1(k1≠0)為A對應(yīng)于λ1=2的全部特征向量。

當(dāng)λ2=4時，解齊次線性方程組(A-4E)x=0，化A-4E為階梯形矩陣:

例5.2.2

求方陣

的特征值和特征向量。

解因為

當(dāng)λ1=2時，解齊次線性方程組(A-2E)x=0，化A-2E為階梯形矩陣:當(dāng)λ2=λ3=1時，解齊次線性方程組(A-E)x=0，化A-E為階梯形矩陣:

例5.2.3

求方陣的特征值和特征向量。

解因為當(dāng)λ2=λ3=1時，解齊次線性方程組(A-E)x=0，

化A-E為階梯形矩陣:例5.2.4

試證:n階矩陣A是奇異矩陣的充分必要條件是A有一個特征值為零。

證必要性若A是奇異矩陣，則|A|=0。于是

|0E-A|=|-A|=(-1)n|A|=0

即0是A的一個特征值。

充分性設(shè)A有一個特征值為0，對應(yīng)的特征向量為p，由特征值的定義，有

Ap=0p=0(p≠0)

所以齊次線性方程組Ax=0有非零解p。5.2.2特征值與特征向量的性質(zhì)

定理5.2.1

設(shè)λ是n階方陣A的特征值，p是A對應(yīng)于特征值λ的特征向量，則

(1)對于任意常數(shù)k，kλ是方陣kA的特征值；

(2)對于任意正整數(shù)m，λm是方陣Am的特征值；

(3)若方陣A可逆，則λ≠0，λ-1是方陣A-1的特征值，λ-1|A|是方陣A的伴隨矩陣A的特征值，且p仍是方陣kA，Am，A-1，A分別對應(yīng)于特征值kλ，λm，λ-1，λ-1|A|的特征向量；

(4)方陣A與AT具有相同的特征多項式，因而具有相同的特征值。

證[HT](1)、(2)由特征值與特征向量的定義易證，下面只證(3)、(4)。

(3)設(shè)A可逆，由Ap=λp，兩邊左乘以A-1得

A-1Ap=λA-1p

即λA-1p=p，而p≠0，故λ≠0，且A-1p=，即證得p也是方陣A-1對應(yīng)于特征值λ-1的特征

向量。

(4)|A-λE|=|A-λE)T|=(AT-λE|，即證得方陣A與AT具有相同的特征多項式。

給定m次多項式φ(x)=a0+a1x+a2x2+…+amxm，記

φ(A)=a0+a1A+a2A2+…+amAm

并稱φ(A)為方陣A的m次多項式.由定理5.2.1得:φ(λ)=a0+a1λ+a2λ2+…+amλm是φ(A)的特征值。

例5.2.5

設(shè)3×3的特征值為λ1=1,λ2=2,λ3=-3，求det(A

3-3A+E).

解設(shè)f(t)=t3-3t+1，則f(A)=A3-3A+E的特征值為

f(λ1)=-1，f(λ2)=3，f(λ3)=-17

故det(A3-3A+E)=(-1)·3·(-17)=51

例5.2.6

設(shè)3階矩陣A的特征值為1，-1，2，

求A*+3A-2E|。

解因A的特征值全不為0，知A可逆，故

A=|A|A-1

而|A|=λ1λ2λ3=-2，所以

A*+3A-2E=-2A-1+3A-2E

把上式記做φ(A)，有φ(λ)=+3λ-2，故φ(A)的特征值為

φ(1)=-1，φ(-1)=-3，φ(2)=3

于是

|A+3A-2E|=(-1)·(-3)·3=9例5.2.7

已知A為n階方陣且A2=A，求A的特征值。

解設(shè)λ為A的一個特征值，對應(yīng)的特征向量為X，則有AX=λX，又將題意中的條件A2=A代入此式，得

A2X=λX，但A2X=A(AX)=A(λX)=λAX=λ2X，因此有

λX=λ2X，即λ2X-λX=(λ2-λ)X=0。

因為X為特征向量，則必不為零向量，因此只能有

λ2-λ=0，即λ(λ-1)=0，

定理5.2.2

設(shè)λ1，λ2，…，λm是方陣A的m個特征

值，p1，p2，…，pm是與之對應(yīng)的特征向量。

如果λ1，λ2，…，λm各不相等，則p1，p2，…，pm線性無關(guān).

證設(shè)有常數(shù)x1，x2，…，xm使

x1p1+x2p2+…+xmpm=0

則A(x1p1+x2p2+…+xmpm)=0，即

λ1x1p1+λ2x2p2+…+λmxmpm=0

把上列各式合寫成矩陣形式，得

例5.2.8

設(shè)λ1和λ2是矩陣A的兩個不同的特征值，對應(yīng)的特征向量依次為p1和p2，證明p1+p2不是A的特征向量。

證按題設(shè)，有Ap1=λ1p1，Ap2=λ2p2，故A(p1+p2)=λ1p1+λ2p2。

用反證法，設(shè)p1+p2是A的特征向量，則應(yīng)存在數(shù)λ，使

A(p1+p2)=λ(p1+p2)

于是λ(p1+p2)=λ1p1+λ2p2，即

(λ1-λ)p1+(λ2-λ)p2=0

因λ1≠λ2，由定理5.2.2知p1，p2線性無關(guān)，故由上式得

λ1-λ=λ2-λ=05.3.1相似矩陣及其性質(zhì)

定義5.3.1

設(shè)A、B都是n階方陣，如果存在n階可逆矩陣P，使得

P-1AP=B

則稱B是A的相似矩陣，或稱方陣A與B相似，記為

A~B。5.3相似矩陣5.3.2方陣與對角陣相似的充分必要條件

對任意兩個n階方陣A與B，要判定它們是否相似，就是要求可逆矩陣P，使P-1AP=B。但按此求可逆矩陣P，一般沒有確定的方法可循.在實際應(yīng)用中，經(jīng)常遇到的問題是n階方陣A與對角陣Λ相似的問題，即尋求可逆矩陣P，使

P-1AP=Λ。假設(shè)已經(jīng)找到可逆矩陣P，使P-1AP=Λ，即A與Λ相似，我們來討論可逆矩陣P應(yīng)滿足什么條件。設(shè)

P=(p1，p2，…，pn)

因為P是可逆矩陣，所以P的n個列向量p1，p2，…，pn

線性無關(guān)。

自然更有pi≠0(i=1，2，…，n)。由P-1AP=Λ，得AP=PΛ，即于是

Api=λipi(i=1，2，…，n)定理5.3.1

n階方陣A與對角矩陣相似(即A能對角化)的充分必要條件是A有n個線性無關(guān)的特征向量。

聯(lián)系定理5.2.2，可得

推論如果n階矩陣A的n個特征值互不相等，則A與對角矩陣相似。

例5.3.1

方陣A=是否對角矩陣相似？

如果相似，求出與A相似的對角矩陣。

解由|λE-A|==0求出A的兩個特征值為λ1=-2，λ2=5.A有兩個相異的特征根，

所以A一定可以對角化。

當(dāng)λ1=-2時，對應(yīng)的特征向量為c1；當(dāng)λ2=5

時，對應(yīng)的特征向量為c2。

于是，設(shè)P=(α1，α2)=，那么，P的逆矩陣為則有

例5.3.2

判定下列矩陣是否可以對角化，若能，寫出相應(yīng)的P，Λ。

(1)A=

(2)B=

解

(1)|λE-A|=

=(λ-1)2(λ+2)=0

則A的特征值為λ1=-2，λ2=λ3=1。當(dāng)λ1=-2時，(-2E-A)X=0的基礎(chǔ)解系為

α1=，所以對應(yīng)的特征向量為當(dāng)λ2=λ3=1時，(E-A)X=0的基礎(chǔ)解系為

α2=，α3=，所以對應(yīng)的兩個線性無關(guān)的特征

向量為三階方陣A有三個線性無關(guān)的特征向量，所以A可以對角化。令

則

(2)B=，可以求出B的特征根為λ1=λ2=λ3=2，B有三重特征根。

(2E-B)X=0的基礎(chǔ)解系為α1=，α2=，

B對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量為α1=，α2=，但只有兩個線性無關(guān)的特征向量，而根據(jù)定理5.3.1需要三個線性無關(guān)的特征向量，故B不可對角化。

例5.3.3

設(shè)A=，a為何值時，矩陣A能對角化?

解|λE-A|=對于單根λ1=-1，可求得線性無關(guān)的特征向量恰有一個，而對于重根λ2=λ3=1,欲使矩陣A能對角化，應(yīng)有兩個線性無關(guān)的特征向量，即方程組5.4.1實對稱矩陣的性質(zhì)

實對稱矩陣是一類特殊的矩陣，其特征值和特征向量具有以下性質(zhì):

性質(zhì)1

實對稱矩陣的特征值全為實數(shù)。

證設(shè)A=(aij)為實對稱矩陣，即AT=A，且定義A的共軛復(fù)矩陣=(),由于aij(i，j=1，2，…，n)為實數(shù)，即=aij，所以。5.4實對稱矩陣對角化設(shè)復(fù)數(shù)λ為實對稱矩陣A的特征值，復(fù)向量x為對應(yīng)的特征向量.用表示λ的共軛復(fù)數(shù)，表示x的共軛復(fù)向量，下面證明λ是實數(shù)，即只需證明=λ.由定義5.2.1有

Ax=λx，x≠0

于是，有

以及

兩式相減，得

但因x≠0，從而，所以

性質(zhì)2

實對稱矩陣對應(yīng)于不同特征值的特征向量正交。

證設(shè)A為實對稱矩陣，λ1，λ2是A的兩個不同的特征值(λ1≠λ2)，p1，p2分別是對應(yīng)的特征向量.要證p1，p2正交，只需證［p1，p2］=pT1p2=0.

由定義5.2.1可得

Ap1=λ1p1，Ap2=λ2p2

于是移項并提取公因式，得

因λ1≠λ2，只有pT1p2=0，即p1與p2正交。

性質(zhì)3

設(shè)A是n階實對稱矩陣，λ是A的特征方程的r重根，那么，齊次線性方程組(A-λE)x=0的系數(shù)矩陣的秩R(A-λE)=n-r，從而對應(yīng)于特征值λ的線性無關(guān)的特征向量恰有r個。5.4.2實對稱矩陣的對角化

定理5.4.1

設(shè)A是n階實對稱矩陣，則必存在正交陣P，

使得P-1AP=Λ，其中Λ為實對角矩陣，且Λ對角線上的元素是方陣A的n個特征值。

證設(shè)A的互不相等的特征值為λ1，λ2，…，λs，它們的重數(shù)分別為r1，r2，…，rs,且r1+r2+…+rs=n。

由性質(zhì)1及性質(zhì)3知，對應(yīng)特征值λi(i=1，2，…，s)，有ri個線性無關(guān)的實特征向量，把它們正交化并單位化，即得ri個單位正交的特征向量.由r1+r2+…+r=n知，這樣的特征向量共有n個。由性質(zhì)2知，對應(yīng)于不同特征值的特征向量正交，故這n個單位特征向量兩兩正交.于是以它們?yōu)榱邢蛄繕?gòu)成正交矩陣P，并有

P-1AP=P-1PΛ=Λ

例5.4.1

求正交矩陣P，將對稱矩陣

化為對角矩陣。

解

(1)求A的特征值，令

得特征值λ1=-1，λ2=2，λ3=5。

(2)求A對應(yīng)于不同特征值的特征向量。

當(dāng)λ1=-1時，解方程(A+E)x=0，由

得特征向量當(dāng)λ2=2時，解方程(A-2E)x=0，由

得特征向量當(dāng)λ3=5時，解方程(A-5E)x=0，由

得特征向量

(3)將特征向量正交化、單位化。

因λ1，λ2，λ3

互不相等，由性質(zhì)2知，

ξ1，ξ2，ξ3是正交向量組，所以只需單位化，取

(4)構(gòu)造正交矩陣有

例5.4.2

設(shè)對稱矩陣

求正交矩陣P，使P-1AP=Λ為對角矩陣。

解由

得特征值λ1=2，λ2=λ3=4。

當(dāng)λ1=2時，解方程(A-2E)x=0，由

得特征向量

單位化取當(dāng)λ2=λ3=4時，解方程(A-4E)x=0[STBZ]，由

解得

基礎(chǔ)解系中，ξ1=恰好正交，再單位化，取那么，p1，p2為對應(yīng)于λ2=λ3=4的單位、正交特

征向量，作正交矩陣

有也是方程(A-4E)x=0的一個基礎(chǔ)解系，用正交化方法將其正交化，取

再單位化，取于是得正交矩陣有

例5.4.3

已知可對角化，λ=2是A的兩

重特征值，求可逆矩陣P，使得P-1AP=Λ。

解

因為A可對角化，所以對應(yīng)λ=2有兩個線性無關(guān)的特征向量，于是

R(A-2E)=1

即

x=2，y=-2

設(shè)λ1=λ2=2，則有

trA=λ1+λ2+λ310=4+λ3λ3=6這里，trA為λ1+λ2+λ3的矩陣A的跡.

求得

令，則有P-1

AP=Λ。

例5.4.4

已知A=相似于B=

，求x和y。

解因為trA=trB，所以x-1=y+1，即y=x-2。

又因為λ1=-1，λ2=2都是A的特征值，所以

det(A+E)=0，det(A-2E)=0

而

det(A+E)=-2x=0,故x=0，y=-2。5.5.1利用矩陣對角化求矩陣的高次冪

求一般矩陣的高次冪比較困難，而求對角矩陣的高次冪卻很簡單.5.5矩陣對角化的應(yīng)用

例5.5.1

A=，求An。

解

λ1=0，λ2=2

例5.5.2

設(shè)，求Ak(k=2，3，…)。

解

，得求λ1=5的特征向量:求λ2=λ3=-1的特征向量:

A有三個線性無關(guān)的特征向量，所以A可對角化，令

則

P-1AP=Λ，A=PΛP-1，Ak=PΛkP-1

故5.5.2人口遷移模型

在生態(tài)學(xué)、經(jīng)濟學(xué)和工程學(xué)等許多領(lǐng)域中經(jīng)常需要對隨時間變化的動態(tài)系統(tǒng)進行數(shù)學(xué)建模，此類系統(tǒng)中的某些量常按離散時間間隔來測量，這樣就產(chǎn)生了與時間間隔相應(yīng)的向量序列x0，x1，x2，…，其中xk

表示第k次測量時系統(tǒng)狀態(tài)的有關(guān)信息，而x0常被稱為初始向量。

如果存在矩陣A，并給定初始向量x0，使得x1=

Ax0，x2=Ax1，…，即

xn+1=Axn(n=0，1，2，…)(5.5.1)設(shè)定一個初始的年份，比如2002年，用r0，s0分別表示這一年城市和農(nóng)村的人口。設(shè)x0為初始人口向量，即x0=，對2003年以及后面的年份，我們用向量

假設(shè)每年大約有5％的城市人口遷移到農(nóng)村(95％仍然留在城市)，有12％的農(nóng)村人口遷移到城市(88％仍然留在農(nóng)村)，如圖5.1所示，忽略其他因素對人口規(guī)模的影響，則一年之后，城市與農(nóng)村人口的分布分別為:圖5.1人口遷移圖因此，2003年全部人口的分布為

即x1=Mx0如果人口遷移的百分比保持不變，則可以繼續(xù)得到2004年，2005年，…的人口分布公式: