2025屆山東省臨沂市某重點中學高三第二次診斷性檢測數(shù)學試卷含解析

2025屆山東省臨沂市某重點中學高三第二次診斷性檢測數(shù)學試卷注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)是等差數(shù)列的前n項和，且，則()A． B． C．1 D．22．在三棱錐中，，，，，點到底面的距離為2，則三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．3．是虛數(shù)單位，復數(shù)在復平面上對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．已知向量，滿足||＝1，||＝2，且與的夾角為120°，則＝（）A． B． C． D．5．將函數(shù)的圖象分別向右平移個單位長度與向左平移(>0)個單位長度，若所得到的兩個圖象重合，則的最小值為()A． B． C． D．6．已知的展開式中第項與第項的二項式系數(shù)相等，則奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為（）．A． B． C． D．7．已知雙曲線的左，右焦點分別為、，過的直線l交雙曲線的右支于點P，以雙曲線的實軸為直徑的圓與直線l相切，切點為H，若，則雙曲線C的離心率為（）A． B． C． D．8．波羅尼斯（古希臘數(shù)學家，的公元前262-190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，幾乎使后人沒有插足的余地．他證明過這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點距離的比為常數(shù)k（k＞0，且k≠1）的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓．現(xiàn)有橢圓=1（a＞b＞0），A，B為橢圓的長軸端點，C，D為橢圓的短軸端點，動點M滿足=2，△MAB面積的最大值為8，△MCD面積的最小值為1，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．9．已知，且，則的值為（）A． B． C． D．10．若實數(shù)滿足不等式組，則的最大值為（）A． B． C．3 D．211．已知為實數(shù)集，，，則（）A． B． C． D．12．已知定義在上的可導函數(shù)滿足，若是奇函數(shù)，則不等式的解集是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．過圓的圓心且與直線垂直的直線方程為__________.14．已知等差數(shù)列滿足，，則的值為________．15．已知，橢圓的方程為，雙曲線方程為，與的離心率之積為，則的漸近線方程為________.16．不等式對于定義域內(nèi)的任意恒成立，則的取值范圍為__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）記無窮數(shù)列的前項中最大值為，最小值為，令，則稱是“極差數(shù)列”.（1）若，求的前項和；（2）證明：的“極差數(shù)列”仍是；（3）求證：若數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列也是等差數(shù)列.18．（12分）在等比數(shù)列中，已知，.設(shè)數(shù)列的前n項和為，且，（，）.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（3）是否存在等差數(shù)列，使得對任意，都有？若存在，求出所有符合題意的等差數(shù)列；若不存在，請說明理由.19．（12分）已知多面體中，、均垂直于平面，，，，是的中點．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．20．（12分）在中，為邊上一點，，.（1）求；（2）若，，求.21．（12分）已知點，且，滿足條件的點的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）是否存在過點的直線，直線與曲線相交于兩點，直線與軸分別交于兩點，使得？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．22．（10分）在平面直角坐標系中，直線的傾斜角為，且經(jīng)過點．以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線，從原點O作射線交于點M，點N為射線OM上的點，滿足，記點N的軌跡為曲線C．（Ⅰ）求出直線的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標方程；（Ⅱ）設(shè)直線與曲線C交于P，Q兩點，求的值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

利用等差數(shù)列的性質(zhì)化簡已知條件，求得的值.【詳解】由于等差數(shù)列滿足，所以，，.故選：C【點睛】本小題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】

首先根據(jù)垂直關(guān)系可確定，由此可知為三棱錐外接球的球心，在中，可以算出的一個表達式，在中，可以計算出的一個表達式，根據(jù)長度關(guān)系可構(gòu)造等式求得半徑，進而求出球的表面積．【詳解】取中點，由，可知：，為三棱錐外接球球心，過作平面，交平面于，連接交于，連接，，，，，，為的中點由球的性質(zhì)可知：平面，，且．設(shè)，，，，在中，，即，解得：，三棱錐的外接球的半徑為：，三棱錐外接球的表面積為．故選：.【點睛】本題考查三棱錐外接球的表面積的求解問題，求解幾何體外接球相關(guān)問題的關(guān)鍵是能夠利用球的性質(zhì)確定外接球球心的位置.3、D【解析】

求出復數(shù)在復平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標，即可得出結(jié)論.【詳解】復數(shù)在復平面上對應(yīng)的點的坐標為，該點位于第四象限.故選：D.【點睛】本題考查復數(shù)對應(yīng)的點的位置的判斷，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】

先計算，然后將進行平方，，可得結(jié)果.【詳解】由題意可得：∴∴則.故選：D.【點睛】本題考查的是向量的數(shù)量積的運算和模的計算，屬基礎(chǔ)題。5、B【解析】

首先根據(jù)函數(shù)的圖象分別向左與向右平移m,n個單位長度后，所得的兩個圖像重合，那么，利用的最小正周期為，從而求得結(jié)果.【詳解】的最小正周期為，那么(∈)，于是，于是當時，最小值為，故選B.【點睛】該題考查的是有關(guān)三角函數(shù)的周期與函數(shù)圖象平移之間的關(guān)系，屬于簡單題目.6、D【解析】因為的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等，所以，解得，所以二項式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為．考點：二項式系數(shù)，二項式系數(shù)和．7、A【解析】

在中，由余弦定理，得到，再利用即可建立的方程.【詳解】由已知，，在中，由余弦定理，得，又，，所以，，故選：A.【點睛】本題考查雙曲線離心率的計算問題，處理雙曲線離心率問題的關(guān)鍵是建立三者間的關(guān)系，本題是一道中檔題.8、D【解析】

求得定點M的軌跡方程可得，解得a，b即可.【詳解】設(shè)A（-a，0），B（a，0），M（x，y）．∵動點M滿足=2，則=2，化簡得.∵△MAB面積的最大值為8，△MCD面積的最小值為1，∴，解得，∴橢圓的離心率為．故選D．【點睛】本題考查了橢圓離心率，動點軌跡，屬于中檔題．9、A【解析】

由及得到、，進一步得到，再利用兩角差的正切公式計算即可.【詳解】因為，所以，又，所以，，所以.故選：A.【點睛】本題考查三角函數(shù)誘導公式、二倍角公式以及兩角差的正切公式的應(yīng)用，考查學生的基本計算能力，是一道基礎(chǔ)題.10、C【解析】

作出可行域，直線目標函數(shù)對應(yīng)的直線，平移該直線可得最優(yōu)解．【詳解】作出可行域，如圖由射線，線段，射線圍成的陰影部分（含邊界），作直線，平移直線，當過點時，取得最大值1．故選：C．【點睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃問題，解題關(guān)鍵是作出可行域，本題要注意可行域不是一個封閉圖形．11、C【解析】

求出集合，，，由此能求出．【詳解】為實數(shù)集，，，或，．故選：．【點睛】本題考查交集、補集的求法，考查交集、補集的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．12、A【解析】

構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)已知條件判斷出的單調(diào)性.根據(jù)是奇函數(shù)，求得的值，由此化簡不等式求得不等式的解集.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，依題意可知，所以在上遞增.由于是奇函數(shù)，所以當時，，所以，所以.由得，所以，故不等式的解集為.故選：A【點睛】本小題主要考查構(gòu)造函數(shù)法解不等式，考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)與已知直線垂直關(guān)系，設(shè)出所求直線方程，將已知圓圓心坐標代入，即可求解.【詳解】圓心為，所求直線與直線垂直，設(shè)為，圓心代入，可得，所以所求的直線方程為.故答案為：.【點睛】本題考查圓的方程、直線方程求法，注意直線垂直關(guān)系的靈活應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.14、11【解析】

由等差數(shù)列的下標和性質(zhì)可得，由即可求出公差，即可求解；【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，，又因為，解得故答案為：【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式及等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

求出橢圓與雙曲線的離心率，根據(jù)離心率之積的關(guān)系，然后推出關(guān)系，即可求解雙曲線的漸近線方程.【詳解】，橢圓的方程為，的離心率為：，雙曲線方程為，的離心率：，與的離心率之積為，，，的漸近線方程為：，即.故答案為：【點睛】本題考查了橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)，掌握橢圓、雙曲線的離心率公式，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

根據(jù)題意，分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為只對于內(nèi)的任意恒成立，令，則只需在定義域內(nèi)即可，利用放縮法，得出，化簡后得出，即可得出的取值范圍.【詳解】解：已知對于定義域內(nèi)的任意恒成立，即對于內(nèi)的任意恒成立，令，則只需在定義域內(nèi)即可，，，當時取等號，由可知，，當時取等號，，當有解時，令，則，在上單調(diào)遞增，又，，使得，，則，所以的取值范圍為.故答案為：.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性和最值，解決恒成立問題求參數(shù)值，涉及分離參數(shù)法和放縮法，考查轉(zhuǎn)化能力和計算能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】

（1）由是遞增數(shù)列，得，由此能求出的前項和.（2）推導出，，由此能證明的“極差數(shù)列”仍是.（3）證當數(shù)列是等差數(shù)列時，設(shè)其公差為，，是一個單調(diào)遞增數(shù)列，從而，，由，，，分類討論，能證明若數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列也是等差數(shù)列.【詳解】（1）解：∵無窮數(shù)列的前項中最大值為，最小值為，，，是遞增數(shù)列，∴，∴的前項和.（2）證明：∵，，∴，∴，∵，∴，∴的“極差數(shù)列”仍是（3）證明：當數(shù)列是等差數(shù)列時，設(shè)其公差為，，根據(jù)，的定義，得：，，且兩個不等式中至少有一個取等號，當時，必有，∴，∴是一個單調(diào)遞增數(shù)列，∴，，∴，∴，∴是等差數(shù)列，當時，則必有，∴，∴是一個單調(diào)遞減數(shù)列，∴，，∴，∴.∴是等差數(shù)列，當時，，∵，中必有一個為0，根據(jù)上式，一個為0，為一個必為0，∴，，∴數(shù)列是常數(shù)數(shù)列，則數(shù)列是等差數(shù)列.綜上，若數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列也是等差數(shù)列.【點睛】本小題主要考查新定義數(shù)列的理解和運用，考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的單調(diào)性，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，屬于難題.18、（1）（2）見解析（3）存在唯一的等差數(shù)列，其通項公式為，滿足題設(shè)【解析】

（1）由，可得公比，即得；（2）由（1）和可得數(shù)列的遞推公式，即可知結(jié)果為常數(shù)，即得證；（3）由（2）可得數(shù)列的通項公式，，設(shè)出等差數(shù)列，再根據(jù)不等關(guān)系來算出的首項和公差即可.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，因為，，所以，解得.所以數(shù)列的通項公式為：.（2）由（1）得，當，時，可得①，②②①得，，則有，即，，.因為，由①得，，所以，所以，.所以數(shù)列是以為首項，1為公差的等差數(shù)列.（3）由（2）得，所以，.假設(shè)存在等差數(shù)列，其通項，使得對任意，都有，即對任意，都有.③首先證明滿足③的.若不然，，則，或.（i）若，則當，時，，這與矛盾.（ii）若，則當，時，.而，，所以.故，這與矛盾.所以.其次證明：當時，.因為，所以在上單調(diào)遞增，所以，當時，.所以當，時，.再次證明.（iii）若時，則當，，，，這與③矛盾.（iv）若時，同（i）可得矛盾.所以.當時，因為，，所以對任意，都有.所以，.綜上，存在唯一的等差數(shù)列，其通項公式為，滿足題設(shè).【點睛】本題考查求等比數(shù)列通項公式，證明等差數(shù)列，以及數(shù)列中的探索性問題，是一道數(shù)列綜合題，考查學生的分析，推理能力.19、（1）見解析；（2）．【解析】

（1）取的中點，連接、，推導出四邊形為平行四邊形，可得出，由此能證明平面；（2）由，得平面，則點到平面的距離等于點到平面的距離，在平面內(nèi)過點作于點，就是到平面的距離，也就是點到平面的距離，由此能求出直線與平面所成角的正弦值．【詳解】（1）取的中點，連接、，、分別為、的中點，則且，、均垂直于平面，且，則，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，因此，平面；（2）由，平面，平面，平面，點到平面的距離等于點到平面的距離，在平面內(nèi)過點作于點，平面，平面，，，，平面，即就是到平面的距離，也就是點到平面的距離，設(shè)，則到平面的距離，，因此，直線與平面所成角的正弦值為．【點睛】本題考查線面平行的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．20、（1）；（2）4【解析】

（1），利用兩角差的正弦公式計算即可；（2）設(shè)，在中，用正弦定理將用x表示，在中用一次余弦定理即可解決.【詳解】（1）∵，∴，所以，.（2）∵，∴設(shè)，，在中，由正弦定理得，，∴，∴，∵，∴∴.【點睛】本題考查兩角差的正弦公式以及正余弦定理解三角形，考查學生的運算求解能力，是一道容易題.21、（1）（2）存在，或．【解析】

（1）由得看成到兩定點的和為定值，滿足橢圓定義，用定義可解曲線的方程.（2）先討論斜率不存在情況是否符合題意，當直線的斜率存在時，設(shè)直線點斜式方程，由，可得，再直線與橢圓聯(lián)解，利用根的判別式得到關(guān)于的一元二次方程求解.【詳解】解：設(shè)，由，，可得，即為，由，可得的軌跡是以為焦點，且的橢圓，由，可得，可得曲線的方程為；假設(shè)存在過點的直線l符合題意．當直線的斜率不存在，設(shè)方程為，可得為短軸的兩個端點，