2022高考數(shù)學(xué)真題分類匯編07 三角函數(shù)與解三角形

2022高考數(shù)學(xué)真題分類匯編五、三角函數(shù)與解三角形一、單選題1.（2022·全國甲（文）T5）將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長度后得到曲線C，若C關(guān)于y軸對稱，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【分析】先由平移求出曲線的解析式，再結(jié)合對稱性得，即可求出的最小值.【詳解】由題意知：曲線為，又關(guān)于軸對稱，則，解得，又，故當(dāng)時(shí)，的最小值為.故選：C.2.（2022·全國甲（理）T11）設(shè)函數(shù)在區(qū)間恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【分析】由的取值范圍得到的取值范圍，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)得到不等式組，解得即可．【詳解】解：依題意可得，因?yàn)?，所以，要使函?shù)在區(qū)間恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，又，的圖象如下所示：則，解得，即．故選：C．3.（2022·全國乙（文）T11）函數(shù)在區(qū)間的最小值、最大值分別為（）A. B. C. D.【答案】D【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間，從而判斷出在區(qū)間上的最小值和最大值.【詳解】，所以在區(qū)間和上，即單調(diào)遞增；在區(qū)間上，即單調(diào)遞減，又，，，所以在區(qū)間上的最小值為，最大值為.故選：D4.（2022·新高考Ⅰ卷T6）記函數(shù)的最小正周期為T．若，且的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，則（）A.1 B. C. D.3【答案】A【分析】由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)可求得參數(shù)，進(jìn)而可得函數(shù)解析式，代入即可得解.【詳解】由函數(shù)的最小正周期T滿足，得，解得，又因?yàn)楹瘮?shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，所以，且，所以，所以，，所以.故選：A5.（2022·北京卷T5）已知函數(shù)，則（）A.在上單調(diào)遞減 B.在上單調(diào)遞增C.在上單調(diào)遞減 D.在上單調(diào)遞增【答案】C【分析】化簡得出，利用余弦型函數(shù)的單調(diào)性逐項(xiàng)判斷可得出合適的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?對于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，A錯(cuò)；對于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則在上不單調(diào)，B錯(cuò)；對于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，C對；對于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則在上不單調(diào)，D錯(cuò).故選：C.6.（2022·北京卷T10）在中，．P為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則PA?PB的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【分析】依題意建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，表示出PA，PB，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示、輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】解：依題意如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，因?yàn)椋栽谝詾閳A心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)，，所以PA=3-所以PA，其中，，因?yàn)?，所以，即PA?PB∈故選：D7.（2022·浙江卷T6）為了得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)（）A.向左平移個(gè)單位長度 B.向右平移個(gè)單位長度C向左平移個(gè)單位長度 D.向右平移個(gè)單位長度【答案】D【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象的變換法則即可求出．【詳解】因?yàn)?，所以把函?shù)圖象上的所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度即可得到函數(shù)的圖象．故選：D.二、填空題1.（2022·全國甲（文）T16）.已知中，點(diǎn)D在邊BC上，．當(dāng)取得最小值時(shí)，________．【答案】##【分析】設(shè)，利用余弦定理表示出后，結(jié)合基本不等式即可得解.【詳解】設(shè)，則在中，，在中，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)取最小值時(shí)，.故答案為：.2.（2022·全國甲（理）T16）已知中，點(diǎn)D在邊BC上，．當(dāng)取得最小值時(shí)，________．【答案】##【分析】設(shè)，利用余弦定理表示出后，結(jié)合基本不等式即可得解.【詳解】設(shè)，則在中，，在中，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)取最小值時(shí)，.故答案為：.3.（2022·全國乙（理）T15）記函數(shù)的最小正周期為T，若，為的零點(diǎn)，則的最小值為____________．【答案】【分析】首先表示出，根據(jù)求出，再根據(jù)為函數(shù)的零點(diǎn)，即可求出的取值，從而得解；【詳解】解：因?yàn)?，（，）所以最小正周期，因?yàn)?，又，所以，即，又為的零點(diǎn)，所以，解得，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)；故答案為：4.（2022·新高考Ⅱ卷T6）角滿足，則（）A. B.C. D.【答案】D【分析】由兩角和差正余弦公式化簡，結(jié)合同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系即可得解.【詳解】由已知得：,即：，即：,所以,故選：D5.（2022·新高考Ⅱ卷T9）函數(shù)的圖象以中心對稱，則（）A.在單調(diào)遞減B.在有2個(gè)極值點(diǎn)C.直線是一條對稱軸D.直線是一條切線【答案】AD【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)逐個(gè)判斷各選項(xiàng)，即可解出．【詳解】由題意得：，所以，，即，又，所以時(shí)，，故．對A，當(dāng)時(shí)，，由正弦函數(shù)圖象知在上是單調(diào)遞減；對B，當(dāng)時(shí)，，由正弦函數(shù)圖象知只有1個(gè)極值點(diǎn)，由，解得，即為函數(shù)的唯一極值點(diǎn)；對C，當(dāng)時(shí)，，，直線不是對稱軸；對D，由得：，解得或,從而得：或,所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為，切線方程為：即．故選：AD．6.（2022·北京卷T13）若函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為，則________；________．【答案】①.1②.【分析】先代入零點(diǎn)，求得A的值，再將函數(shù)化簡為，代入自變量，計(jì)算即可.【詳解】∵，∴∴故答案為：1，7.（2022·浙江卷T11）我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求面積的公式，他把這種方法稱為“三斜求積”，它填補(bǔ)了我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個(gè)空白．如果把這個(gè)方法寫成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三邊，S是三角形的面積．設(shè)某三角形的三邊，則該三角形的面積___________．【答案】.【分析】根據(jù)題中所給的公式代值解出．【詳解】因?yàn)?，所以．故答案為?8.（2022·浙江卷T13）若，則__________，_________．【答案】①.②.【分析】先通過誘導(dǎo)公式變形，得到的同角等式關(guān)系，再利用輔助角公式化簡成正弦型函數(shù)方程，可求出，接下來再求．【詳解】，∴，即，即，令，，則，∴，即，∴，則．故答案為：；．三、解答題1.（2022·全國乙（文）T17）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c﹐已知．（1）若，求C；（2）證明：【答案】（1）；（2）證明見解析．【分析】（1）根據(jù)題意可得，，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可解出；（2）由題意利用兩角差的正弦公式展開得，再根據(jù)正弦定理，余弦定理化簡即可證出．【小問1詳解】由，可得，，而，所以，即有，而，顯然，所以，，而，，所以．【小問2詳解】由可得，，再由正弦定理可得，，然后根據(jù)余弦定理可知，，化簡得：，故原等式成立．2.（2022·全國乙（理）T17）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．（1）證明：；（2）若，求的周長．【答案】（1）見解析（2）14【分析】（1）利用兩角差的正弦公式化簡，再根據(jù)正弦定理和余弦定理化角為邊，從而即可得證；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論結(jié)合余弦定理求出，從而可求得，即可得解.【小問1詳解】證明：因?yàn)?，所以，所以，即，所以；【小?詳解】解：因?yàn)?，由?）得，

由余弦定理可得，則，所以，故，所以，所以的周長為.

3.（2022·新高考Ⅰ卷T18）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）若，求B；（2）求的最小值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)二倍角公式以及兩角差的余弦公式可將化成，再結(jié)合，即可求出；（2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式將化成，然后利用基本不等式即可解出．【小問1詳解】因?yàn)?，即，而，所以；【小?詳解】由（1）知，，所以，而，所以，即有．所以．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為．4.（2022·新高考Ⅱ卷T18）記的三個(gè)內(nèi)角分別為A，B，C，其對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個(gè)正三角形的面積依次為，已知．（1）求的面積；（2）若，求b．【答案】（1）（2）【分析】（1）先表示出，再由求得，結(jié)合余弦定理及平方關(guān)系求得，再由面積公式求解即可；（2）由正弦定理得，即可求解.【小問1詳解】由題意得，則，即，由余弦定理得，整理得，則，又，則，，則；【小問2詳解】由正弦定理得：，則，則，.5.（2022·北京卷T16）在中，．（1）求；（2）若，且的面積為，求的周長．【答案】（1）（2）【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化簡可得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；（2）利用三角形的面積公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周長.【小問1詳解】解：因?yàn)?，則，由已知可得，可得，因此，.【小問2詳解】解：由三角形的面積公式可得，解得.由余弦定理可得，，所以，的周長為.6.（2022