《數(shù)學(xué)（第8版 上冊）》 課件 第3章 函數(shù)

函數(shù)第3章63目錄3.1函數(shù)的概念及表示3.2函數(shù)的基本性質(zhì)3.3冪函數(shù)3.4指數(shù)函數(shù)3.5對數(shù)函數(shù)64學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解函數(shù)的概念，會用恰當(dāng)?shù)姆椒ǎń馕龇ā⒘斜矸?、圖像法）表示函數(shù).2.會求一些簡單函數(shù)的定義域.3.理解函數(shù)值的概念，會求一些簡單函數(shù)的值域.4.會判斷一些簡單函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，并能利用單調(diào)性確定函數(shù)的最大值或最小值.655.了解n次方根的概念，掌握實數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則，能熟練地使用計算器求冪值.6.理解對數(shù)的概念，能進(jìn)行對數(shù)式與指數(shù)式的互化；掌握對數(shù)的運(yùn)算法則，能進(jìn)行一些簡單的對數(shù)運(yùn)算.7.初步學(xué)會運(yùn)用函數(shù)知識理解和解決簡單實際問題.8.掌握由圖識性、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思維方法，了解冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型的實際背景，理解它們的概念，了解它們的圖像特征和性質(zhì)，并能夠?qū)⑦@些知識用于解釋生活和生產(chǎn)中有關(guān)指數(shù)增長、指數(shù)衰減以及對數(shù)增長的問題.663.1函數(shù)的概念及表示67實例考察（1）請你根據(jù)初中學(xué)過的知識，思考下列實例中的兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系，寫出相應(yīng)的函數(shù)解析式及自變量的取值范圍（用不等式表示），并求出表格內(nèi)相應(yīng)的函數(shù)值.

面積

正方形面積y是邊長x的函數(shù)，可表示為y=

，自變量x的取值范圍為

.68個人所得稅

按照我國稅法規(guī)定，個人月收入的應(yīng)納稅所得額中，超過5000元不超過8000元的部分，需繳納3%的個人所得稅.設(shè)某人月收入的應(yīng)納稅所得額為x元（5000<x≤8000），個人繳納的所得稅為y元.這里y是x的函數(shù)，可表示為y=

，自變量x的取值范圍為

.在以上兩例中，當(dāng)自變量x

在取值范圍內(nèi)取一個確定的值時，函數(shù)y有幾個值與之對應(yīng)?69（2）恩格爾系數(shù)

國際上常用恩格爾系數(shù)r反映一個國家平均家庭生活質(zhì)量的情況.研究發(fā)現(xiàn)：一個家庭收入越少，恩格爾系數(shù)就越大；反之家庭收入越多，恩格爾系數(shù)就會越小.下表中為近8年來全國居民恩格爾系數(shù)情況，請問恩格爾系數(shù)r與年份x之間有什么關(guān)系呢？這些問題都可以用本章函數(shù)的知識來解決.703.1.1函數(shù)的概念71例如（正比例函數(shù)y=kx（k≠0）的對應(yīng)關(guān)系是“乘以k”，定義域是（-∞，+∞），值域也是（-∞，+∞）；二次函數(shù)y=x2+c的對應(yīng)關(guān)系是

“求平方再加c”，定義域是（-∞，+∞），值域是[c，+∞）.從函數(shù)的概念可以知道，函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系是構(gòu)成函數(shù)的兩大要素.函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系確定后，函數(shù)的值域也就隨之確定了.723.1.2函數(shù)的表示方法解析法我們學(xué)過的正比例函數(shù)y=kx（k≠0），反比例函數(shù)y=（k≠0），一次函數(shù)y=kx+b（k≠0），二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）都是用解析式來表示兩個變量之間函數(shù)關(guān)系的.這種用解析式來表示函數(shù)的方法稱為解析法.優(yōu)點

用解析法表示函數(shù)簡單明了，便于由自變量求出對應(yīng)的函數(shù)值，也便于用數(shù)學(xué)方法來研究函數(shù).缺點

變量的關(guān)系不夠直觀.73列表法列表法是指用表格來表示兩個變量之間函數(shù)關(guān)系的方法.例如，下表記錄的是某同學(xué)小學(xué)一年級到五年級，各學(xué)期的數(shù)學(xué)期末考試成績.在這里，考試成績是學(xué)期序號的函數(shù).優(yōu)點

列表法表示的函數(shù)便于直接查找自變量對應(yīng)的函數(shù)值.缺點

有時會數(shù)據(jù)不全.74圖像法圖像法是指在平面上用圖像來表示兩個變量之間函數(shù)關(guān)系的方法.優(yōu)點

函數(shù)的圖像法表示直觀形象，能清晰地反映函數(shù)關(guān)系及變化趨勢.缺點

有時無法畫出函數(shù)的完整圖像.用解析法、列表法和圖像法表示函數(shù)各有利弊.我們可以根據(jù)需要，擇優(yōu)而用，也可以將其中幾種方法結(jié)合使用.753.1.3函數(shù)關(guān)系的建立用數(shù)學(xué)方法解決問題時，常常需要把問題中的有關(guān)變量及其關(guān)系用數(shù)學(xué)的形式（代數(shù)式、方程、表、圖等）表示出來.通常，這個過程稱為建立數(shù)學(xué)模型，簡稱建模.函數(shù)模型是數(shù)學(xué)模型中最常用的一種.由于實踐中的大量問題是兩個變量之間的關(guān)系問題，因此，建立兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系（函數(shù)模型）是很重要的.76在實際問題中，有時兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系式要分幾段來表示.例如，我們寄快遞時，物品的重量不超過1kg，付費13元；超過1kg而不超過2kg，付費15元；超過2kg而不超過3kg，付費17元.設(shè)物品的重量為xkg（0<x≤3），應(yīng)付費為y元，則有①式表示了變量x∈（0，3]與y之間的函數(shù)關(guān)系，其中x是自變量，y是x的函數(shù).這個函數(shù)與我們以前熟悉的各種函數(shù)不同：在自變量的不同取值范圍內(nèi)，函數(shù)的對應(yīng)法則不同.我們把這樣的函數(shù)稱為分段函數(shù).分段函數(shù)的定義域是自變量的幾個取值范圍的并集，它的圖像要在同一個直角坐標(biāo)系內(nèi)逐段畫出.77①式所表示的函數(shù)就是定義域為（0，3]，值域為{13，15，17}的分段函數(shù)，如圖所示.7879對分段函數(shù)特別要注意以下幾個問題：（1）分段函數(shù)雖然在形式上會有多于一個的表達(dá)式，但它仍然表示一個函數(shù)，不能理解成幾個函數(shù)；（2）分段函數(shù)的圖像一般由多于一段的線段或曲線段以及點組成，同樣也應(yīng)該把它們看作一個整體，而不是幾個圖像；（3）在求分段函數(shù)的函數(shù)值時，需要注意的是，對給定的自變量，首先要確定它的范圍，再根據(jù)該范圍的對應(yīng)法則（函數(shù)表達(dá)式），計算函數(shù)值.3.2函數(shù)的基本性質(zhì)80實例考察已知二次函數(shù)f（x）=x2，反比例函數(shù)f（x）=

，請你通過計算，得到f（-x）與f（x）的關(guān)系，并通過觀察它們的圖像，指出函數(shù)的圖像特征.81二次函數(shù)

f（x）=x2定義域D

為

.f（-1）=

，f（1）=

，得到f（-1）=

;f（-2）=

，f（2）=

，得到f（-2）=

.函數(shù)的圖像特征:

.反比例函數(shù)

f（x）=定義域D

為

.f（-1）=

，f（1）=

，得到f（-1）=

;f（-2）=

，f（2）=

，得到f（-2）=

.函數(shù)的圖像特征:

.823.2.1函數(shù)的奇偶性我們知道，二次函數(shù)f）x）=x2

的圖像關(guān)于y軸成軸對稱圖形，這種對稱性在數(shù)值上也能反映出來.通過計算，得到f（-1）=f（1），f（-2）=f（2）.事實上，對于任意的x∈（-∞，+∞），都有f（-x）=（-x）2=x2=f（x）.也就是說，函數(shù)f（x）=x2

具有f（-x）=f（x）的特性.83如果函數(shù)y=f（x）（x∈D）是偶函數(shù)，那么函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于y軸對稱.反過來，如果函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于y軸對稱，那么這個函數(shù)一定是偶函數(shù).對于反比例函數(shù)f（x）=，我們知道，它的圖像關(guān)于原點中心對稱，這種對稱性在數(shù)值上也能反映出來.對于任意的x∈（-∞，0）∪（0，+∞），都有也就是說，函數(shù)f（x）=

具有f（-x）=-f（x）的特性.84如果函數(shù)y=f（x）（x∈D）是奇函數(shù)，那么函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于原點中心對稱圖形.反過來，如果函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于原點中心對稱圖形，那么這個函數(shù)一定是奇函數(shù).一個函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，我們就說這個函數(shù)具有奇偶性.根據(jù)奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，可以得到：函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性所必須具備的條件.如果一個函數(shù)既不是奇函數(shù)，又不是偶函數(shù)，我們就把這個函數(shù)稱為非奇非偶函數(shù).853.2.2函數(shù)的單調(diào)性我們知道，對于一次函數(shù)y=kx+b（k≠0），如果k>0，那么當(dāng)x∈（-∞，+∞），且x逐漸增大時，y的值隨之逐漸增大.如果k<0，那么當(dāng)x∈（-∞，+∞），且x逐漸增大時，y的值隨之逐漸減小.上述現(xiàn)象反映了函數(shù)的一個基本性質(zhì)———單調(diào)性.86現(xiàn)在來觀察二次函數(shù)y=x2-2，當(dāng)x在定義域（-∞，+∞）內(nèi)變化時，它的圖像的變化趨勢如圖所示.我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x∈（-∞，0]，x

逐漸增大時，y

的值隨之逐漸減??；當(dāng)x∈[0，+∞），x

逐漸增大時，y的值隨之逐漸增大.878889如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間I上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，我們就說函數(shù)y=f（x）在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間I稱為函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間.由上可知，二次函數(shù)y=x2-2在定義域（-∞，+∞）上沒有單調(diào)性，但在（-∞，0]上單調(diào)遞減，區(qū)間（-∞，0]為函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；在[0，+∞）上單調(diào)遞增，區(qū)間[0，+∞）為函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.3.2.3函數(shù)的最大值與最小值我們知道，二次函數(shù)y=x2-2的圖像是一條拋物線，頂點（0，-2）是拋物線上的最低點，即對于任意的x，都有f（x）≥f（0）.從而得到，當(dāng)x=0時，函數(shù)y取得最小值為-2.由于該函數(shù)圖像沒有最高點，所以函數(shù)y沒有最大值.903.3冪函數(shù)91實例考察日常生活中，我們經(jīng)常遇到指數(shù)相關(guān)的運(yùn)算，例如：某正方形的邊長為a，那么正方形的面積S=

；某商品的立方體紙盒邊長為a，那么該紙盒的體積V=

.除了以上正整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算外，我們還會出現(xiàn)非整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算，例如：一個正方形場地的面積為S，那么這個正方形的邊長a=

；某同學(xué)騎車用時間ts行進(jìn)了1km，那么他騎車的平均速度v=

.923.3.1實數(shù)指數(shù)冪平方根

若x2=a（a≥0），則稱x為a的平方根（二次方根）.立方根

若x3=a，則稱x為a的立方根（三次方根）.n次方根若xn=a（a是一個實數(shù)，n是大于1的正整數(shù)），則稱x為a的一個n次方根.當(dāng)n為偶數(shù)時，對于每一個正實數(shù)a，它在實數(shù)集里有兩個n次方根，它們互為相反數(shù)，分別為

和；而對于每一個負(fù)數(shù)a，它的n次方根是沒有意義的.當(dāng)n為奇數(shù)時，對于每一個實數(shù)a，它在實數(shù)集里只有一個n次方根，表示為，當(dāng)a>0時，>0；當(dāng)a<0時，<0.0的n次方根是0，即=0.93n次根式我們把形如（有意義時）的式子稱為n次根式，其中n稱為根指數(shù)，a稱為被開方數(shù)，非負(fù)數(shù)的n次方根

稱為a的n次算術(shù)根，并且=a（n>1，n為正整數(shù)）.94學(xué)習(xí)了n次方根的概念，現(xiàn)在我們可以把整數(shù)指數(shù)冪推廣到有理指數(shù)冪.例如，對于正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，應(yīng)用冪的運(yùn)算法則，有又因為，所以一般地，規(guī)定其中，當(dāng)n為偶數(shù)時，a≥0；當(dāng)n為奇數(shù)時，a∈R.等式

的左邊是分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，右邊是根式的形式，根據(jù)需要可以相互轉(zhuǎn)換.95同樣可以規(guī)定負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義：設(shè)a≠0，n，m∈N*，且n>1，規(guī)定這樣，就把整數(shù)指數(shù)冪的概念推廣到有理指數(shù)冪.可以證明整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則對于有理數(shù)指數(shù)冪也同樣適用，但須注意法則中出現(xiàn)的每一個有理數(shù)指數(shù)冪都應(yīng)有意義.事實上，還可以將有理數(shù)指數(shù)冪推廣到實數(shù)指數(shù)冪，當(dāng)

m，n為實數(shù)時，整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則也成立.963.3.2冪函數(shù)初中時，我們學(xué)習(xí)過一次函數(shù)y=x，二次函數(shù)y=x2，反比例函數(shù)y=（y=x-1）的解析式，可以發(fā)現(xiàn)：它們都是以冪的形式出現(xiàn)，冪的底數(shù)是自變量x，指數(shù)是常數(shù).97我們觀察一次函數(shù)y=x，二次函數(shù)y=x2，反比例函數(shù)y=

的圖像，如圖所示.可以發(fā)現(xiàn)，冪函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性和常數(shù)α的取值有關(guān)，但它有一個很明顯的特點，即當(dāng)x=1時，y=1，所以，它的圖像恒過點（1，1）.983.4指數(shù)函數(shù)99實例考察細(xì)胞分裂問題

某種細(xì)胞的分裂規(guī)律為：1個細(xì)胞1次分裂成2個與它本身相同的細(xì)胞.一個這樣的細(xì)胞經(jīng)過x

次分裂后，得到的細(xì)胞的個數(shù)是多少？第1次分裂后，細(xì)胞的個數(shù)是2；第2次分裂后，細(xì)胞的個數(shù)是2×2=22；第3次分裂后，細(xì)胞的個數(shù)是

；……設(shè)第x次分裂后，細(xì)胞的個數(shù)是y，則y=2x，即經(jīng)過x次分裂后，得到的細(xì)胞個數(shù)是2x.100藥物剩余問題

某種藥物靜脈注射后，通過尿液排出體外，每經(jīng)過1天，藥物在體內(nèi)的剩余量就減少50%.成人單次注射這種藥物1g，經(jīng)過x天后，藥物在體內(nèi)的剩余量是多少？1天后，藥物在體內(nèi)的剩余量是1×50%=0.5g；2天后，藥物在體內(nèi)的剩余量是

；3天后，藥物在體內(nèi)的剩余量是

；……設(shè)x天后，藥物在體內(nèi)的剩余量是yg，則y=0.5x，即經(jīng)過x天后，藥物在體內(nèi)的剩余量是0.5xg.由上述兩個問題得到的函數(shù)具有相同的特點，即自變量x都作為指數(shù)，而底數(shù)都是大于0且不等于1的常量.1013.4.1指數(shù)函數(shù)的概念指數(shù)函數(shù)y=ax（a>0；且a≠1）的定義域是（-∞，+∞）.1023.4.2指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)指數(shù)函數(shù)y=ax

的底a的取值范圍可以分為0<a<1和a>1兩種情形，我們?nèi)匀灰郧懊娉霈F(xiàn)過的指數(shù)函數(shù)y=2x

和y=為例進(jìn)行討論.為了便于研究，我們在同一平面直角坐標(biāo)系中用描點法畫出函數(shù)y=2x

和y=的圖像.列表：103

從上面指數(shù)函數(shù)y=2x

和y=的圖像，可以得到：（1）兩個圖像都在x軸上方，它們的函數(shù)值y>0.（2）兩個圖像都過點（0，1），即當(dāng)x=0時，y=1.（3）y=2x

的圖像沿x軸的正方向上升，指數(shù)函數(shù)y=2x

在定義域內(nèi)是增函數(shù)；y=的圖像沿x軸的正方向下降，指數(shù)函數(shù)y=在定義域內(nèi)是減函數(shù).104一般地，指數(shù)函數(shù)y=ax（a>0，且a≠1）的圖像和性質(zhì)如下：1053.5對數(shù)函數(shù)106實例考察細(xì)胞分裂的次數(shù)

已知某種細(xì)胞的分裂規(guī)律為：1個細(xì)胞1次分裂成2個與它本身相同的細(xì)胞.即1個細(xì)胞經(jīng)過第1次分裂成為2個；經(jīng)過第2次分裂成為4個……那么，第幾次分裂后恰好出現(xiàn)16個細(xì)胞？第幾次分裂后恰好出現(xiàn)128個細(xì)胞？從上節(jié)內(nèi)容可知，分裂后的細(xì)胞個數(shù)y和分裂的次數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=2x.上面的問題可以歸結(jié)為：已知y=16，128時，求指數(shù)x

的值，相當(dāng)于指數(shù)函數(shù)的逆運(yùn)算.1073.5.1對數(shù)的有關(guān)概念在代數(shù)式ab=N

中有a，b，N

三個量，若已知其中兩個量，就可以求出第三個量.已知a，b，求

N

是乘方運(yùn)算；已知b，N，求a是開方運(yùn)算；已知a，N，求b是什么運(yùn)算呢?已知a，N

求b的運(yùn)算是對數(shù)的運(yùn)算.對數(shù)的定義108通常，我們稱等式ab=N

為指數(shù)式，稱等式logaN=b為對數(shù)式.

根據(jù)對數(shù)的定義，可以得到，當(dāng)a>0，且a≠1時，

由上述指數(shù)式與對數(shù)式的關(guān)系，可以得到如下結(jié)論：1.零和負(fù)數(shù)沒有對數(shù)；2.loga1=0，logaa=1（a>0，且a≠1）；3.alogaN=N（a>0，且a≠1）；4.logaab=b（a>0，且a≠1）.109常用對數(shù)和自然對數(shù)

我們把以10為底的對數(shù)稱為常用對數(shù).log10N通?？珊営洖閘gN.例如，log102可簡記為lg2.常用對數(shù)可以用計算器求值.

科學(xué)技術(shù)中，常出現(xiàn)以無理數(shù)e（e≈2.71828）為底的對數(shù)，稱為自然對數(shù).logeN

通?？珊営洖閘nN，例如，loge5可簡記為ln5.自然對數(shù)也可以用計算器求值.1103.5.2對數(shù)的運(yùn)算法則由對數(shù)定義可知：若a>0，且a≠1，M>0，N>0，則有：法則1loga（M·N）=logaM+logaN法則2法則3111下面我們來證明法則1和法則3.設(shè)logaM=p，logaN=q，把它們化為指數(shù)式：M=ap，N=aq，M·N=ap·aq=ap+q，Mn=（ap）n=apn，所以loga（M·N）=logaap+q=p+q=logaM+logaN，logaMn=logaapn=pn=nlogaM.112換底公式如何求log23呢?計算器上求對數(shù)的鍵只有

鍵和

鍵，因此，很自然地要把求log23的問題轉(zhuǎn)化為求常用對數(shù)或自然對數(shù).設(shè)log23=x，則有2x=3.將上式兩邊取常用對數(shù)，有1g2x=1g3，即x1g2=1g3，113所以即同樣，也可用自然對數(shù)表示log23的值，即114我們將上述方法推廣，就可給出對數(shù)的換底公式：若a>0，且a≠1，N>0，則有1153.5.3對數(shù)函數(shù)的概念設(shè)1個細(xì)胞經(jīng)過y次分裂后，得到的細(xì)胞個數(shù)為x.根據(jù)上節(jié)所述，我們知道x與y的關(guān)系為x=2y，指數(shù)式x=2y的對數(shù)式是y=log2x（x>0），它是細(xì)胞分裂的次數(shù)y關(guān)于細(xì)胞個數(shù)x的函數(shù).函數(shù)y=log2x以對數(shù)形式出現(xiàn)，真數(shù)x為自變量，底數(shù)為常數(shù).由于對數(shù)函數(shù)y=logax（a>0，且a≠1），自變量x

是真數(shù)，因此，對數(shù)函數(shù)的定義域是（0，+∞）.116我們前面學(xué)過指數(shù)函數(shù)y=ax（a>0，且a≠1），它的對數(shù)形式是x=logay.如果互換x=logay中的字母x和y，就可以把它