2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第六章平面向量初步本章小結(jié)學(xué)案含解析新人教B版必修第二冊

第六章平面對量初步本章小結(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過引導(dǎo)學(xué)生畫出本章學(xué)問結(jié)構(gòu)圖,讓學(xué)生從整體上把握本章的學(xué)問結(jié)構(gòu);2.通過典型例題進(jìn)一步提升學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和邏輯推理的核心素養(yǎng).自主預(yù)習(xí)自主復(fù)習(xí)平面對量一章,試著畫出本章的學(xué)問結(jié)構(gòu)圖.課堂探究一、體系構(gòu)建結(jié)構(gòu)完善進(jìn)一步完善本章學(xué)問結(jié)構(gòu)圖二、題型分類典例精講題型一平面對量的線性運(yùn)算例1如圖,在△ABC中,點(diǎn)M是AB邊的中點(diǎn),E是中線CM的中點(diǎn),AE的延長線交BC于F,MH∥AF交BC于H.求證:HF=BH=FC.變式訓(xùn)練如圖,在平行四邊形ABCD中,點(diǎn)M在AB的延長線上,且BM=12AB,點(diǎn)N在BC上,且BN=13BC,求證:M,N,D題型二向量的坐標(biāo)運(yùn)算例2已知向量AB=(4,3),AD=(-3,-1),點(diǎn)A(-1,-2).(1)求線段BD的中點(diǎn)M的坐標(biāo);(2)若點(diǎn)P(2,y)滿意PB=-λBD(λ∈R),求y與λ的值.變式訓(xùn)練設(shè)向量OA=(k,12),OB=(4,5),OC=(10,k),求當(dāng)k為何值時,A,B,C三點(diǎn)共線?題型三平面對量的應(yīng)用例3已知正方形ABCD,E,F分別是CD,AD的中點(diǎn),BE,CF交于點(diǎn)P.求證:AP=AB.變式訓(xùn)練在靜水中劃船速度的大小是每分鐘40m,水流速度的大小是每分鐘20m,假如一小船從岸邊O處動身,沿著垂直于水流的航線到達(dá)對岸,則小船的行進(jìn)方向應(yīng)指向哪里?核心素養(yǎng)專練(一)基礎(chǔ)過關(guān)1.已知兩點(diǎn)A(1,2),B(4,-2),則與向量AB共線的單位向量e=()A.(3,-4) B.(3,-4),(-3,4)C.35D.35,-2.已知e1,e2是不共線向量,AB=2e1+e2,BC=-e1+3e2,CD=λe1-e2,且A,B,D三點(diǎn)共線,則實(shí)數(shù)λ等于()A.3 B.4 C.5 D.63.在正方形ABCD中,M,N分別是BC,CD的中點(diǎn),若AC=λAM+μBN,則λ+μ=()A.2 B.83 C.654.(多選)下列說法中正確的是()A.若|a|=|b|,則a∥bB.若a∥b,b∥c,則a∥cC.互為相反向量的兩個向量模相等D.NQ+QP+MN-MP=05.已知a=(2,1),b=(k,3),若(a+2b)∥(2a-b),則k=.

6.如圖,在平行四邊形ABCD中,M為BC的中點(diǎn),若AB=λAM+μDB,則λμ=.

7.如圖,已知在△OAB中,點(diǎn)D在線段OB上,且OD=2DB,延長BA到C,使BA=AC.設(shè)OA=a,OB=b.(1)用a,b表示向量OC,DC;(2)若向量OC與OA+kDC共線,求k的值.(二)實(shí)力提升1.設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),AD=-13AB+43AC,若BC=λDC(λ∈R),則A.2 B.3 C.-2 D.-32.O為△ABC內(nèi)一點(diǎn),且2OA+OB+OC=0,AD=tAC,若B,O,D三點(diǎn)共線,則t的值為()A.14 B.13 C.13.(多選)若點(diǎn)O是線段BC外一點(diǎn),點(diǎn)P是平面上隨意一點(diǎn),且OP=λOB+μOC(λ,μ∈R),則下列說法正確的有()A.若λ+μ=1且λ>0,則點(diǎn)P在線段BC的延長線上B.若λ+μ=1且λ<0,則點(diǎn)P在線段BC的延長線上C.若λ+μ>1,則點(diǎn)P在△OBC外D.若λ+μ<1,則點(diǎn)P在△OBC內(nèi)4.(多選)如圖,已知△OAB,由射線OA和射線OB及線段AB構(gòu)成如圖所示的陰影區(qū)(不含邊界).已知下列四個向量中對于點(diǎn)M1,M2,M3,M4,落在陰影區(qū)域內(nèi)(不含邊界)的有()A.OM1=OA+B.OM2=3C.OM3=1D.OM4=35.如圖,在平行四邊形ABCD中,E,F分別是CD和BC的中點(diǎn),若AE=xAB+yAD(x,y∈R),則2x+y=;若AC=λAE+μAF(λ,μ∈R),則3λ+3μ=.

參考答案自主預(yù)習(xí)略課堂探究一、二、例1證明:設(shè)BM=a,MH=b,則BH=a+b,HF=HB+BA+AF=-BH+2BM+2MH=-a-b+2a+2b=a+b,FC=FE+EC=12HM+ME=-12MH+MA+AE=-12b+=-12b+a+2MH-12MH=-12b+a+綜上,HF=BH=FC.變式訓(xùn)練:證明:設(shè)AB=a,AD=b,則BC=AD=b,∵BN=13BC=13b,BM=12∴MN=BN-BM=13b-12又MD=AD-AM=b-32a=313b-∴向量MN與MD共線,又M是向量MN與MD的公共點(diǎn),故M,N,D三點(diǎn)共線.例2解:(1)設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x1,y1).∵AB=(4,3),A(-1,-2),∴(x1+1,y1+2)=(4,3),∴x1+1=4∴B(3,1).同理可得D(-4,-3).設(shè)線段BD的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x2,y2),則x2=3-42=-12,y2∴M-1(2)由已知得PB=(3,1)-(2,y)=(1,1-y),BD=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).又PB=-λBD,∴(1,1-y)=λ(-7,-4),則1=-7變式訓(xùn)練:解:方法一:若A,B,C三點(diǎn)共線,則AB與AC共線,則存在實(shí)數(shù)λ,使得AB=λAC,因?yàn)锳B=OB-OA=(4-k,-7),AC=OC-OA=(10-k,k-12),所以(4-k,-7)=λ(10-k,k-12),即4-k=λ(10所以當(dāng)k=-2或11時,A,B,C三點(diǎn)共線.方法二:由題意得,AB與AC共線,因?yàn)锳B=OB-OA=(4-k,-7),AC=OC-OA=(10-k,k-12),所以(4-k)(k-12)+7(10-k)=0,即k2-9k-22=0,解得k=-2或k=11.所以當(dāng)k=-2或11時,A,B,C三點(diǎn)共線.例3證明:如圖建立直角坐標(biāo)系,其中A為原點(diǎn),不妨設(shè)AB=2,則A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1).設(shè)P(x,y),則FP=(x,y-1),CF=(-2,-1),∵FP∥CF,∴-x=-2(y-1),即x=2y-2,同理由BP∥BE,得y=-2x+4,代入x=2y-2,解得x=65,∴y=85,即P∴|AP|=652+∴AP=AB.變式訓(xùn)練:解:如圖所示,設(shè)向量OA的長度和方向表示水流速度的大小和方向,向量OB的長度和方向表示船在靜水中速度的大小和方向,以O(shè)A,OB為鄰邊作平行四邊形OACB,連接OC.依題意OC⊥OA,BC=OA=20,OB=40,∴∠BOC=30°.故船應(yīng)向上游(左)與河岸夾角為60°的方向行進(jìn).核心素養(yǎng)專練(一)基礎(chǔ)過關(guān)1.D2.C3.D4.CD5.66.27.解:(1)∵A為BC的中點(diǎn),∴OA=12(OB+OC可得OC=2OA-OB=2a-b,而DC=OC-OD=OC-23OB=2a-(2)由(1),得OA+kDC=(2k+1)a-53kb∵OC與OA+kDC共線,設(shè)OC=λ(OA+kDC),即2a-b=λ(2k+1)a+-5依據(jù)平面對量基本定理,得2=解得k=34(二)實(shí)力提升1.D2.B3.BC4.AB5.24學(xué)習(xí)目標(biāo)能夠從多種角度理解向量概念和運(yùn)算法則,駕馭向量基本定理;能夠運(yùn)用向量運(yùn)算解決簡潔的幾何和物理問題,知道數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理的關(guān)系.自主預(yù)習(xí)基礎(chǔ)學(xué)問回顧講授新課1.基礎(chǔ)學(xué)問回顧平面對量—課堂探究任務(wù)一:平面對量的有關(guān)概念例1給出下列命題:①有向線段就是向量,向量就是有向線段;②向量a與向量b平行,則a與b的方向相同或相反;③向量AB與向量CD共線,則A,B,C,D四點(diǎn)共線;④假如a∥b,b∥c,那么a∥c.其中正確命題的個數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.0任務(wù)二:平面對量基本定理例2如圖所示,在△ABC中,AN=13NC,P是BN上的一點(diǎn),若AP=mAB+211AC,則實(shí)數(shù)例3已知a,b是兩個不共線的非零向量,且a與b起點(diǎn)相同,若a,tb,13(a+b)三向量的終點(diǎn)在同一條直線上,則t=例4如圖,在△AOB中,D是邊OB的中點(diǎn),C是邊OA上靠近O的三等分點(diǎn),AD與BC交于M點(diǎn).設(shè)OA=a,OB=b.(1)用a,b表示OM;(2)過點(diǎn)M的直線與邊OA,OB分別交于E,F.設(shè)OE=pOA,OF=qOB,求1p+2q任務(wù)三:平面對量坐標(biāo)運(yùn)算例5已知向量AB=(4,3),AD=(-3,-1),點(diǎn)A(-1,-2).(1)求線段BD的中點(diǎn)M的坐標(biāo);(2)若點(diǎn)P(2,y)滿意PB=λBD(λ∈R),求y與λ的值.任務(wù)四:平面對量的應(yīng)用例6在靜水中劃船速度的大小是每分鐘40m,水流速度的大小是每分鐘20m,假如一小船從岸邊O處動身,沿著垂直于水流的航線到達(dá)對岸,則小船的行進(jìn)方向應(yīng)指向哪里?核心素養(yǎng)專練1.設(shè)D,E,F分別為△ABC的三邊BC,CA,AB的中點(diǎn),則EB+FC=()A.AD B.12AD C.BC2.如圖所示,下列結(jié)論正確的是()①PQ=32a+32b;②PT=32a-b;③PS=32a-12b;A.①② B.③④ C.①③ D.②④3.設(shè)a,b都是非零向量,下列四個條件中,使a|a|=bA.|a|=|b|且a∥b B.a=-bC.a∥b D.a=2b4.設(shè)向量OA=(k,12),OB=(4,5),OC=(10,k),求當(dāng)k為何值時,A,B,C三點(diǎn)共線.參考答案自主預(yù)習(xí)略課堂探究例1:D例2:311例3:例4:【解】(1)設(shè)OM=xa+yb,則AM=OM-OA=(x-1)OA+yOB=(x-1)a+yb,AD=OD-OA=-a+12b因?yàn)锳,M,D三點(diǎn)共線,所以AM,AD共線,從而12(x-1)=-y①又C,M,B三點(diǎn)共線,所以BM,BC共線,同理可得13(y-1)=-x②聯(lián)立①②,解得x=15,y=2(2)因?yàn)镋M=OM-OE=15a+25b-pa=15EF=OF-OE=qb-pa.因?yàn)镋M,EF共線,所以15-pq=-25p,整理得1p例5:【解】(1)設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x1,y1).∵AB=(4,3),A(-1,-2),∴(x1+1,y1+2)=(4,3),∴x1+1=4∴B(3,1).同理可得D(-4,-3).設(shè)線段BD的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x2,y2),則x2=3-42=-12,y2∴M-1(2)由已知得PB=(3,1)-(2,y)=(1,1-y),BD=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).又PB=λBD,∴(1,1-y)=λ(-7,-4),則1=-7例6:【解】如圖所示,設(shè)向量OA的長度和方向表示水流速度的大小和方向,向量OB的長度和方向表示船在靜水中速度的大小和方向,以O(shè)A,OB