解析幾何（解答題10種考法）（解析版）

解析幾何（解答題10種考法）考法一定點(diǎn)【例1-1】（2022·廣西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的離心率為，，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓的下頂點(diǎn)，且的面積為4.(1)求橢圓C的方程：(2)圓，點(diǎn)A，B分別是橢圓C和圓上位于y軸右側(cè)的動(dòng)點(diǎn)，且直線PB的斜率是直線PA的斜率的2倍，求證：直線AB恒過定點(diǎn)【答案】(1)(2)證明見解析【解析】（1）由題意可得，又因?yàn)?，所以，所以橢圓C的方程為.（2）證明：設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，因?yàn)闉?，則直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，，得，因?yàn)辄c(diǎn)A，B分別是橢圓C和圓上位于y軸右側(cè)的動(dòng)點(diǎn)，所以，，所以，代入直線的方程可得，所以為，聯(lián)立直線與圓方程，，得，所以，代入直線的方程可得，所以為，所以，所以直線的方程為，整理可得，所以直線恒過定點(diǎn).【例1-2】（2023·江蘇南通·統(tǒng)考一模）已知雙曲線的左頂點(diǎn)為，過左焦點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn).當(dāng)軸時(shí)，，的面積為3.(1)求的方程；(2)證明：以為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見解析【解析】（1）當(dāng)軸時(shí)，兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為，代入雙曲線方程，可得，，即，由題意，可得，解得，，，雙曲線的方程為：；（2）方法一：設(shè)方程為，，以為直徑的圓的方程為，由對(duì)稱性知以為直徑的圓必過軸上的定點(diǎn)，令，可得，而，，對(duì)恒成立，，以為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)；方法二：設(shè)方程為，由對(duì)稱性知以為直徑的圓必過軸上的定點(diǎn).設(shè)以為直徑的圓過，，而，，，即對(duì)恒成立，，即以為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn).考法二定值【例2-1】（2023·河南鄭州·統(tǒng)考一模）已知橢圓：的離心率為，且過點(diǎn)．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)不過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，記直線，，的斜率分別為，，，若，證明直線的斜率為定值．【答案】(1)(2)證明見解析【解析】（1）由題設(shè)得，，即，解得．所以的方程為．（2）設(shè)直線的方程為，代入得．，設(shè)，則，于是．，又，所以．即．，即，，，將，代入整理得，即，當(dāng)，直線過點(diǎn)，舍去，所以．【例2-3】（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的離心率為，且點(diǎn)在雙曲線C上.(1)求雙曲線C的方程；(2)若點(diǎn)M，N在雙曲線C上，且，直線不與y軸平行，證明：直線的斜率為定值.【答案】(1)(2)直線的斜率為定值【解析】（1）由題可得離心率，所以，又因?yàn)椋?，所以雙曲線方程為，又因?yàn)殡p曲線過點(diǎn)，所以，解得，所以雙曲線方程為.（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，則得，，得，，，因?yàn)?，所以，所以，即，所以，所以即，得或，若，則直線的方程為，即過點(diǎn)，不符合題意，若，則，滿足，綜上直線的斜率為定值.考法三定直線【例3-1】（2022·山東·山東師范大學(xué)附中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，直線的斜率為，且原點(diǎn)到直線的距離為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，(2)設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、，過點(diǎn)的動(dòng)直線交橢圓于、兩點(diǎn)，直線、相交于點(diǎn)，證明：點(diǎn)在定直線上．【答案】(1)(2)證明見解析【解析】(1)由題可知，、，則，直線的方程為，即，所以，解得，，又，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．(2)若直線與軸重合，則、、、四點(diǎn)共線，不合乎題意.設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立可得，，解得或，由韋達(dá)定理可得，，直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立可得，因?yàn)?，所以，，所以，解?即點(diǎn)在定直線上．【例3-2】（2022·河北滄州·統(tǒng)考二模）已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，與直線平行的直線與交于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，點(diǎn)是否在定直線上？若在，求出該直線方程；若不在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(2)點(diǎn)在定直線上.【解析】（1）由題意得，解得，所以橢圓的方程是.（2）點(diǎn)是在定直線上，理由如下，由（1）知，設(shè)，，將的方程與聯(lián)立消，得，則，得且，且，因?yàn)?，所以直線的方程為，即，直線的方程為，即，聯(lián)立直線與直線的方程，得，得，所以所以點(diǎn)在定直線上.考法四最值【例4-1】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為P，離心率為，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且.(1)求橢圓C的方程；(2)過點(diǎn)F作兩條互相垂直的直線，分別與C交于A，B，M，N四點(diǎn)，求四邊形面積的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】（1）設(shè)橢圓的焦距為，則，所以因?yàn)椋?，又，，所以，即所以所以?）當(dāng)，中有一條斜率不存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，此時(shí)直線與軸重合，即，所以；當(dāng)，的斜率都存在時(shí)，設(shè)過點(diǎn)的兩條互相垂直的直線：，直線：由得此時(shí)，，則.把上式中的換成得：則四邊形的面積為令，則，且，，，，所以四邊形的面積的取值范圍是.【例4-2】（2023·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考一模）已知橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，且經(jīng)過點(diǎn)，．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)是經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)的一條弦（不經(jīng)過點(diǎn)），設(shè)直線與直線相交于點(diǎn)，記的斜率分別為，，，求的最大值．【答案】(1)(2)【解析】（1）解：由題，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn)，，所以，解得，所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）解：由（1）知，因?yàn)槭墙?jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)的一條弦且不經(jīng)過點(diǎn)，所以，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，，所以，，所以，，聯(lián)立方程得，所以所以，，所以，當(dāng)時(shí)，有最大值【例4-3】（2022·陜西模擬）已知拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的切線交軸于點(diǎn)．（1）判斷線段的中垂線是否過定點(diǎn)？若過，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過，請(qǐng)說明理由；（2）過點(diǎn)作的垂線交拋物線于另一點(diǎn)，求的面積的最小值．【答案】見解析【解析】（1）解：設(shè)直線的方程為，和拋物線方程聯(lián)立得：，由，得，則的解為，由得，，得，在中，令得，所以，中點(diǎn)為，所以線段的中垂線方程為，所以線段的中垂線過定點(diǎn).（2）解：由（1）可知，直線的方程為將其與拋物線方程聯(lián)立得：，，，.所以的面積為，所以，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以時(shí)，.考法五角的正切值與直線的斜率【例5-1】（2023·廣西柳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知平面上動(dòng)點(diǎn)Q（x，y）到F（0，1）的距離比Q（x，y）到直線的距離小1，記動(dòng)點(diǎn)Q（x，y）的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程．(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，－1），過點(diǎn)P作曲線C的切線，切點(diǎn)為A，若過點(diǎn)P的直線m與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，證明：．【答案】(1)；(2)證明見解析.【解析】（1）Q（x，y），由題意，得，當(dāng)時(shí)，，平方可得，當(dāng)時(shí)，，平方可得，由可知，不合題意，舍去.綜上可得，所以Q的軌跡方程C為．（2）不妨設(shè)，因?yàn)椋?，從而直線PA的斜率為，解得，即A（2，1），又F（0，1），所以軸．要使，只需．設(shè)直線m的方程為，代入并整理，得．首先，，解得或．其次，設(shè)，則，，故.此時(shí)直線m的斜率的取值范圍為．【例5-2】（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)，過F的直線交C于M，N兩點(diǎn)．當(dāng)直線MD垂直于x軸時(shí)，．(1)求C的方程；(2)設(shè)直線與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，記直線的傾斜角分別為．當(dāng)取得最大值時(shí)，求直線AB的方程．【答案】(1)；(2).【解析】（1）拋物線的準(zhǔn)線為，當(dāng)與x軸垂直時(shí)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為p，此時(shí)，所以，所以拋物線C的方程為；（2）[方法一]：【最優(yōu)解】直線方程橫截式設(shè)，直線，由可得，，由斜率公式可得，，直線，代入拋物線方程可得，，所以，同理可得，所以又因?yàn)橹本€MN、AB的傾斜角分別為，所以，若要使最大，則，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)最大時(shí)，，設(shè)直線，代入拋物線方程可得，，所以，所以直線.[方法二]：直線方程點(diǎn)斜式由題可知，直線MN的斜率存在.設(shè),直線由得：，,同理，.直線MD:,代入拋物線方程可得：，同理，.代入拋物線方程可得:,所以，同理可得，由斜率公式可得：（下同方法一）若要使最大，則，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)最大時(shí)，，設(shè)直線，代入拋物線方程可得，，所以，所以直線.[方法三]：三點(diǎn)共線設(shè)，設(shè),若P、M、N三點(diǎn)共線，由所以，化簡(jiǎn)得，反之，若,可得MN過定點(diǎn)因此，由M、N、F三點(diǎn)共線，得，

由M、D、A三點(diǎn)共線，得，

由N、D、B三點(diǎn)共線，得，則，AB過定點(diǎn)（4,0）（下同方法一）若要使最大，則，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)最大時(shí)，，所以直線.【例5-3】（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知點(diǎn)在雙曲線上，直線l交C于P，Q兩點(diǎn)，直線的斜率之和為0．(1)求l的斜率；(2)若，求的面積．【答案】(1)；(2)．【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，解得，即雙曲線．易知直線l的斜率存在，設(shè)，，聯(lián)立可得，，所以，，且．所以由可得，，即，即，所以，化簡(jiǎn)得，，即，所以或，當(dāng)時(shí)，直線過點(diǎn)，與題意不符，舍去，故．（2）［方法一］：【最優(yōu)解】常規(guī)轉(zhuǎn)化不妨設(shè)直線的傾斜角為，因?yàn)?，所以，由?）知，，當(dāng)均在雙曲線左支時(shí)，，所以，即，解得（負(fù)值舍去）此時(shí)PA與雙曲線的漸近線平行，與雙曲線左支無交點(diǎn)，舍去；當(dāng)均在雙曲線右支時(shí)，因?yàn)?，所以，即，即，解得（?fù)值舍去），于是，直線，直線，聯(lián)立可得，，因?yàn)榉匠逃幸粋€(gè)根為，所以，，同理可得，，．所以，，點(diǎn)到直線的距離，故的面積為．［方法二］：設(shè)直線AP的傾斜角為，，由，得，由，得，即，聯(lián)立，及得，，同理，，，故，而，，由，得，故考法六長(zhǎng)度比轉(zhuǎn)化【例6-1】（2023·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線E：的焦點(diǎn)關(guān)于其準(zhǔn)線的對(duì)稱點(diǎn)為，橢圓C：的左，右焦點(diǎn)分別是，，且與E有一個(gè)共同的焦點(diǎn)，線段的中點(diǎn)是C的左頂點(diǎn)．過點(diǎn)的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，且線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)M．(1)求C的方程；(2)證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【解析】（1）拋物線E的焦點(diǎn)關(guān)于其準(zhǔn)線的對(duì)稱點(diǎn)為，所以，即．因?yàn)闄E圓C與拋物線E有一個(gè)共同的焦點(diǎn)，所以，，所以線段的中點(diǎn)為，所以，．故C的方程為．（2）由題意知，直線l的斜率存在，設(shè)為k．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)A，B恰為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，y軸為線段AB的垂直平分線，，，，則．當(dāng)時(shí)，直線l的方程為，設(shè)，，線段AB的中點(diǎn)為，．聯(lián)立，消去y，得，則，，所以，則．由題意知，線段AB的垂直平分線的方程為，令，得，則．又，所以．綜上，．【例6-2】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A1，A2分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，M，N是C1上關(guān)于x軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，直線A1M和A2N交于點(diǎn)P，記點(diǎn)P的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)過點(diǎn)F（－2，0）的直線l與曲線C交于x軸上方的A，B兩點(diǎn)，若D是線段AB的中點(diǎn)，E是線段AB上一點(diǎn)，且，記直線OD和OE的斜率分別為k1，k2，證明：k1k2為定值．【答案】(1)(2)證明見解析【解析】（1）將橢圓C1的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得，故A1（－1，0），A2（1，0），易知直線A1M和A2N的斜率均存在，設(shè)，，則，因?yàn)椋?，所以，兩式相乘得，因?yàn)辄c(diǎn)M（x0，y0）在C1上，所以，即，所以，即，故曲線C的方程為（點(diǎn)撥：注意x的取值范圍）（2）易知直線l與坐標(biāo)軸不垂直，故可設(shè)其方程為（m≠0且），（技巧：根據(jù)題意巧設(shè)直線方程）聯(lián)立l與C的方程，消去x，得，，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則，，所以，，（中點(diǎn)坐標(biāo)公式的應(yīng)用）所以．因?yàn)?，所以，，（關(guān)鍵：將線段長(zhǎng)的關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)之間的關(guān)系）得，所以，所以．所以，為定值．【例6-3】（2023·河南鄭州·統(tǒng)考一模）已知橢圓C：的離心率為，直線過橢圓C的兩個(gè)頂點(diǎn)，且原點(diǎn)O到直線的距離為．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)當(dāng)過點(diǎn)P（0，2）的動(dòng)直線l與橢圓C相交于兩個(gè)不同點(diǎn)A，B時(shí)，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】（1），，所以，不妨設(shè)直線的方程為，，即，所以原點(diǎn)O到直線的距離為，解得，所以，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)、，設(shè)，即整理得到，于是，故，得，即，，又，得，又，故上，且，所以考法七三點(diǎn)共線【例7-1】（2022·河南·馬店第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知曲線：經(jīng)過點(diǎn)，．(1)求曲線的方程；(2)已知定點(diǎn)，過的直線與曲線交于A，B兩點(diǎn)，過的直線與曲線交于C，D兩點(diǎn)．若A，C，M三點(diǎn)共線，證明：B，D，M三點(diǎn)共線．【答案】(1)(2)證明見解析【解析】（1）因?yàn)榍€：經(jīng)過點(diǎn)，，所以，解得，，即曲線的方程為.（2）證明：易知直線，的斜率存在，設(shè)：，：，設(shè)，，，，令直線與曲線聯(lián)立，，消去y，整理得，所以，，同理可得，，因?yàn)锳，C，M三點(diǎn)共線，則可設(shè)直線AC：，且，所以，整理得，令直線AC與曲線聯(lián)立，消去y，整理得，所以，，所以，，，所以，即B，D，M三點(diǎn)共線．【例7-2】（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓C的方程為，右焦點(diǎn)為，且離心率為．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)M，N是橢圓C上的兩點(diǎn)，直線與曲線相切．證明：M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線的充要條件是．【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）由題意，橢圓半焦距且，所以，又，所以橢圓方程為；（2）由（1）得，曲線為，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線，不合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，必要性：若M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線，可設(shè)直線即，由直線與曲線相切可得，解得，聯(lián)立可得，所以，所以,所以必要性成立；充分性：設(shè)直線即，由直線與曲線相切可得，所以，聯(lián)立可得，所以，所以，化簡(jiǎn)得，所以，所以或，所以直線或，所以直線過點(diǎn)，M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線，充分性成立；所以M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線的充要條件是．考點(diǎn)八三角形類型的轉(zhuǎn)化【例8-1】（2022·黑龍江佳木斯·佳木斯一中?？既＃┮阎獧E圓，左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，直線BF與橢圓交于另一點(diǎn)Q，且，且點(diǎn)在橢圓上.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)，，M是橢圓C上一點(diǎn)，且不與頂點(diǎn)重合，若直線與直線交于點(diǎn)P，直線與直線交于點(diǎn).證明：是等腰三角形.【答案】(1)(2)證明見解析【解析】（1）因?yàn)?，，，故，故，所以即，而在橢圓上，故，故，解得，所以，故橢圓方程為：.（2）設(shè)，，故，而，由可得，同理.,因?yàn)樵跈E圓上，故，故即，而所以，故是等腰三角形.【例8-2】（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知直線l：為雙曲線C：的一條漸近線，且雙曲線C經(jīng)過點(diǎn).(1)求雙曲線C的方程；(2)設(shè)A，B是雙曲線右支上兩點(diǎn)，若直線l上存在點(diǎn)P，使得為正三角形，求直線AB的斜率的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】（1）雙曲線C：的漸近線為直線l：為曲線C：的漸近線，所以即，所以雙曲線方程為，又因?yàn)殡p曲線C經(jīng)過點(diǎn).即，所以，所以雙曲線方程為：（2）當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，則為原點(diǎn)，則，舍去.由題意得的斜率一定不為零，當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)方程為，點(diǎn).把直線方程代入雙曲線方程得：并且即則故線段的中點(diǎn)為，又為正三角形，故，由正三角形可得即則即代入，若，則，不滿足，則，得則，又兩點(diǎn)在右支上，故，則，解得.考法九存在性問題【例9-1】（2022·重慶沙坪壩·重慶八中校考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)引圓：的一條切線，切點(diǎn)為，.(1)求拋物線的方程；(2)過圓M上一點(diǎn)A引拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為P，Q，是否存在點(diǎn)A使得的面積為？若存在，求點(diǎn)A的個(gè)數(shù)；否則，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(2)存在，點(diǎn)A的個(gè)數(shù)為2，理由見解析【解析】（1）解：如圖已知拋物線：的焦點(diǎn)為，圓：的圓心，半徑，則，過點(diǎn)M作軸，則，，在中，滿足，即，解得，所以拋物線的方程為.（2）存在點(diǎn)A使得的面積為，點(diǎn)A的個(gè)數(shù)為2，理由如下：設(shè)，，，由（1）可知拋物線的方程為，則切點(diǎn)弦PQ的方程為，斜率，聯(lián)立，得，所以，，，點(diǎn)到直線PQ的距離，，所以，即點(diǎn)A的軌跡為拋物線往左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，因?yàn)辄c(diǎn)A在圓M上，聯(lián)立，得，顯然是一個(gè)根，因式分解得，令，，則，若，由于，則恒成立，所以為增函數(shù)，，，根據(jù)零點(diǎn)存在定理函數(shù)在上存在一個(gè)零點(diǎn)，所以存在兩個(gè)點(diǎn)A使得的面積為.【例9-2】（2023·廣東深圳·統(tǒng)考一模）已知雙曲線E：與直線l：相交于A、B兩點(diǎn)，M為線段AB的中點(diǎn)．(1)當(dāng)k變化時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡方程；(2)若l與雙曲線E的兩條漸近線分別相交于C、D兩點(diǎn)，問：是否存在實(shí)數(shù)k，使得A、B是線段CD的兩個(gè)三等分點(diǎn)？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．【答案】(1)，其中或(2)存在，【解析】（1）設(shè)，，，聯(lián)立直線l與雙曲線E的方程，得，消去y，得．由且，得且．由韋達(dá)定理，得．所以，．由消去k，得．由且，得或．所以，點(diǎn)M的軌跡方程為，其中或．（2）雙曲線E的漸近線方程為．設(shè)，，聯(lián)立得，同理可得，因?yàn)?，所以，線段AB的中點(diǎn)M也是線段CD的中點(diǎn)．若A，B為線段CD的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則．即，．而，．所以，，解得，所以，存在實(shí)數(shù)，使得A、B是線段CD的兩個(gè)三等分點(diǎn)．考法十軌跡方程【例10-1】（2022·陜西西安·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓C：的離心率為，且經(jīng)過，經(jīng)過定點(diǎn)斜率不為0的直線l交C于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，A，B分別為橢圓C的左，右兩頂點(diǎn).(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)直線AE與BF的斜率分別為，，求的值；(3)設(shè)直線AE與BF的交點(diǎn)為P，求P點(diǎn)的軌跡方程.【答案】(1)(2)(3)P點(diǎn)的軌跡方程為【解析】（1）根據(jù)題意可得，解得∴求橢圓C的方程為（2）根據(jù)題意可得，設(shè)直線l：，直線BE的斜率為，則∵，整理得，則聯(lián)立方程，消去得∴∴（3）根據(jù)題意可得直線AE：，BF：聯(lián)立方程，解得∴P點(diǎn)的軌跡方程為【例10-2】（2023·廣東惠州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上且．(1)求橢圓的方程；(2)點(diǎn)分別在橢圓和直線上，，為的中點(diǎn)，若為直線與直線的交點(diǎn)．是否存在一個(gè)確定的曲線，使得始終在該曲線上？若存在，求出該曲線的軌跡方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)存在，【解析】（1）因?yàn)闄E圓過點(diǎn)，所以.因?yàn)?，所以，得．故，從而橢圓C的方程為．（2）設(shè)，則直線AP的斜率為.因?yàn)?，所以直線OQ的方程為.令可得，所以，又M是AP的中點(diǎn)，所以.從而，所以①因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓C上，所以，故，代入式①可得，從而，所以，點(diǎn)始終在以為直徑的圓上，且該圓方程為1．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸、y軸，且過兩點(diǎn)．(1)求E的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)的直線交E于M，N兩點(diǎn)，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點(diǎn)T，點(diǎn)H滿足．證明：直線HN過定點(diǎn)．【答案】(1)(2)【解析】（1）解：設(shè)橢圓E的方程為，過，則，解得，，所以橢圓E的方程為：.（2），所以，①若過點(diǎn)的直線斜率不存在，直線.代入，可得，，代入AB方程，可得，由得到.求得HN方程：，過點(diǎn).②若過點(diǎn)的直線斜率存在，設(shè).聯(lián)立得，可得，，且聯(lián)立可得可求得此時(shí)，將，代入整理得，將代入，得顯然成立，綜上，可得直線HN過定點(diǎn)2．（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）如圖，已知F是拋物線的焦點(diǎn)，M是拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，且，（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)F的直線交拋物線與A?B兩點(diǎn)，斜率為2的直線l與直線，x軸依次交于點(diǎn)P，Q，R，N，且，求直線l在x軸上截距的范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因?yàn)椋剩蕭佄锞€的方程為：.（2）[方法一]：通式通法設(shè)，，，所以直線，由題設(shè)可得且.由可得，故，因?yàn)?，故，?又，由可得，同理，由可得，所以，整理得到，故，令，則且，故，故即，解得或或.故直線在軸上的截距的范圍為或或.[方法二]：利用焦點(diǎn)弦性質(zhì)設(shè)直線的方程為，直線的方程為，直線的方程為，直線的方程為，由題設(shè)可得且．由得，所以．因?yàn)椋?，．由得．同理．由得．因?yàn)椋约矗剩?，則．所以，解得或或．故直線在x軸上的截距的范圍為．[方法三]【最優(yōu)解】：設(shè)，由三點(diǎn)共線得，即．所以直線的方程為，直線的方程為，直線的方程為．設(shè)直線的方程為，則．所以．故（其中）．所以．3．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)F關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)恰好在y軸上．(1)求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線與拋物線E交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)C，若，求的最大值．【答案】(1)(2)【解析】（1）由題意得，設(shè)F關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，∴拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由可得，設(shè)，，則，，∴，，∴線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則線段AB的垂直平分線方程為，令，得，故，又，得．∴，令，則，，∴，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)，故的最大值為．4（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，F(xiàn)到其中一條漸近線的距離為2.(1)求雙曲線C的方程；(2)過F的直線交曲線C于A，B兩點(diǎn)（其中A在第一象限），交直線于點(diǎn)M，（i）求的值；（ii）過M平行于OA的直線分別交直線OB、x軸于P，Q，證明：.【答案】(1)(2)（i）1；（ii）證明見解析【解析】（1）因?yàn)殡p曲線其中一條漸近線方程為，又點(diǎn)到它的距離為2，所以，又，得，又因?yàn)?，所以，所以雙曲線C的方程為.（2）（2）設(shè)AB直線方程為，則，代入雙曲線方程整理得：，設(shè)，則，，（i）而，所以，，則，所以；（ii）過M平行于OA的直線方程為，直線OB方程為與聯(lián)立，得，即，則，所以，由，兩式相除得，，則，所以，因?yàn)?，所以，故P為線段MQ的中點(diǎn)，所以.5．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，的最大值為，且當(dāng)垂直于長(zhǎng)軸時(shí)，.(1)求的方程；(2)已知點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，與平行的直線交于兩點(diǎn)，且直線，分別與軸的正半軸交于兩點(diǎn)，試探究是否為定值.若是，求出該定值；若不是，說明理由.【答案】(1)(2)是，為定值2【解析】（1）的最大值為，當(dāng)垂直于長(zhǎng)軸時(shí)，將代入橢圓可得，則，所以，解得所以的方程為（2）為定值.由題可知直線的斜率為，且直線，分別與軸的正半軸交于兩點(diǎn)，故設(shè)直線的方程為.聯(lián)立得，則，解得，則，所以，直線的方程為，令，得，即，所以，同理可得.故，所以為定值2.6．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線，過其焦點(diǎn)F的直線與C相交于A，B兩點(diǎn)，分別以A，B為切點(diǎn)作C的切線，相交于點(diǎn)P．(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；(2)若PA，PB與x軸分別交于Q，R兩點(diǎn)，令的面積為，四邊形PRFQ面積為，求的最小值．【答案】(1)(2)2【解析】（1）拋物線的焦點(diǎn).由得，∴.設(shè)，，，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得：，，∴，即，同理．又P在PA，PB上，則，所以．∵直線AB過焦點(diǎn)F，∴．所以點(diǎn)P的軌跡方程是．（2）由（1）知，，代入得，則，則，P到AB的距離，所以，∵，當(dāng)時(shí)，得，∴，∴，同理，．由得，∴四邊形PRFQ為矩形，∵，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．∴的最小值為2．7．（2022·全國(guó)·哈師大附中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，且，離心率為，過點(diǎn)的直線l與橢圓C順次交于點(diǎn)Q，P．(1)求橢圓C的方程；(2)是否存在定直線與直線交于點(diǎn)G，使，G，Q共線．【答案】(1)(2)存在滿足條件，分析見解析.【解析】(1)∵，所以，故，∵

∴，又，所以∴橢圓C的方程為∴(2)由已知可得直線l的斜率一定存在，設(shè)直線l的方程為得：，．設(shè)，，則，∴，，，，令∴，∴∴存在直線滿足題意8（2022·上海嘉定·?？寄M預(yù)測(cè)）已知雙曲線的一條漸近線的方程為，它的右頂點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，經(jīng)過點(diǎn)且不垂直于軸的直線與雙曲線交于、兩點(diǎn)．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)設(shè)、是直線上關(guān)于軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，求證：直線與的交點(diǎn)必在直線上．【答案】(1)(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為或(3)證明見解析【解析】（1）由題意得，解得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)，，因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)，所以，則得，解得，，所以所求點(diǎn)的坐標(biāo)為或；（3）證明：由題意可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，消去，并整理得，設(shè)，，，，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得，又設(shè)，，，則得直線的方程為，直線的方程為，兩個(gè)方程相減得①，因?yàn)?，把它代入①得，所以，因此直線與的交點(diǎn)在直線上．9．（2022·天津北辰·天津市第四十七中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C:的離心率為，以橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形周長(zhǎng)為.(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，線段的垂直平分線與交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，如果，求的值.【答案】(1)(2)【解析】（1）由題設(shè)得，解得，，，所以橢圓的方程為.（2）由，得，由，得.設(shè)、，則，，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)，所以直線的方程為.令，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)，則，因?yàn)椋渣c(diǎn)、點(diǎn)在原點(diǎn)兩側(cè).因?yàn)?，所以，所?又因?yàn)?，，所以，解得，所?10．（2022·云南紅河·?？寄M預(yù)測(cè)）已知拋物線，過點(diǎn)的直線l交C于M，N兩點(diǎn)．(1)當(dāng)點(diǎn)A平分線段時(shí)，求直線l的方程；(2)已知點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【解析】（1）設(shè)，則，所以；又因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，所以，所以，所以直線的方程為：，即，聯(lián)立消得，，方程的判別式，即直線與拋物線相交，滿足條件，故直線的方程為；（2）設(shè)直線的方程為：，則，所以；方程的判別式，設(shè)，所以，所以所以，所以是的平分線，所以，即．11．（2022·四川成都·成都市第二十中學(xué)校?？家荒＃┤鐖D，已知橢圓：，直線：，直線過點(diǎn)且斜率為．若直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，與直線交于點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)、不重合）．(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)證明：．【答案】(1)(2)見解析【解析】（1）設(shè)直線方程為，聯(lián)立，由于直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，所以，化簡(jiǎn)得，解得.（2）設(shè)，由題意可知，故為直線的傾斜角，，所以，由（1）知：—①又在直線：上，故—②將①②代入，由于所以，因此12（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過x軸上一點(diǎn)（其點(diǎn)在F右側(cè)）的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，且C在A，B兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)P．(1)若l：，，求C的方程；(2)證明：．【答案】(1)；(2)見解析.【解析】（1）解：由，可得或，設(shè),，當(dāng)時(shí)，，所以，所以曲線在處切線斜率=，所以過的切線方程為：，當(dāng)時(shí)，，所以，所以曲線在處切線斜率=，所以過的切線方程為：，由，解得，即，又因?yàn)?，所以，解得，所以C的方程為；（2）證明：設(shè)，其中，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，所以曲線在處切線斜率=，所以過的切線方程為：，即，所以,當(dāng)時(shí)，解得，即直線與軸交于點(diǎn)，所以，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，由拋物線的幾何性質(zhì)可得點(diǎn)A到點(diǎn)F的距離等于到直線l的距離，所以=，所以，同理可得直線與軸交于點(diǎn)，，所以，當(dāng)時(shí)，則三點(diǎn)重合，其坐標(biāo)為，所以，，所以；當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，則M在N的左側(cè)，P在第二象限，則，，，，所以；綜上所述：.13．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線，其焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的距離為，若直線與交于兩點(diǎn)（直線不垂直于軸），且直線與另一個(gè)交點(diǎn)為，直線與另一個(gè)交點(diǎn).(1)求拋物線的方程；(2)若點(diǎn)，滿足恒成立，求證：直線過定點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見解析【解析】（1）拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，即，拋物線的方程為：.（2）由（1）知：，設(shè)，，其中，，，，且直線的傾斜角均不為，，即，，，，即；直線方程為：，即，由得：，設(shè)點(diǎn)縱坐標(biāo)為，則，即，將代入直線方程得點(diǎn)橫坐標(biāo)為：，；同理可得：，，直線方程為：，即；，直線方程為：，則當(dāng)時(shí)，，直線恒過定點(diǎn).14．（2022·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C：上點(diǎn)與圓上點(diǎn)M的距離的最大值為.(1)求橢圓C的方程；(2)動(dòng)直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且以AB為直徑的圓過點(diǎn)（Q與A，B不重合），證明：動(dòng)直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).【答案】(1)(2)證明見解析，直線l過定點(diǎn).【解析】（1）因?yàn)闄E圓C：過點(diǎn)，所以，的圓心為，半徑為1，點(diǎn)與圓上點(diǎn)M的距離的最大值為加上半徑，即，解得：，，則橢圓C的方程為.（2）當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)直線l：，，設(shè)點(diǎn)，，則，，所以或.則直線l：或l：，因?yàn)镼與A，B不重合，故不合要求，所以直線l：，即直線過定點(diǎn).當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，設(shè)直線l：，不妨設(shè)，，所以.所以，直線l：，因?yàn)镼與A，B不重合，所以不滿足題意.綜上，直線l過定點(diǎn).15．（2022·陜西漢中·統(tǒng)考一模）已知橢圓的焦距為，設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為，左右焦點(diǎn)分別為，且是頂角為的等腰三角形.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知是橢圓上的兩點(diǎn)，以橢圓中心為圓心的圓的半徑為，且直線與此圓相切.證明：以為直徑的圓過定點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見解析【解析】（1）由題意可知，解得所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）①當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，不妨設(shè)此時(shí)，，故以直徑的圓過定點(diǎn)；②當(dāng)直線不垂直于軸時(shí)，設(shè)直線的方程為，因?yàn)橹本€與圓相切，所以到直線的距離，即，由可得，所以，，所以，即.故以為直徑的圓過定點(diǎn)，綜上所述：以為直徑的圓過定點(diǎn).16．（2022·陜西渭南·統(tǒng)考一模）已知橢圓：的離心率為，直線過橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，且原點(diǎn)到直線的距離為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點(diǎn)，過點(diǎn)的直線不經(jīng)過點(diǎn)，且與橢圓交于，兩點(diǎn)，證明：直線的斜率與直線的斜率之和是定值.【答案】(1)(2)證明見解析【解析】（1）由題意得，所以，不妨設(shè)直線的方程為，，即，所以原點(diǎn)到直線的距離為，解得，所以，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由題意得直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為，即，設(shè)，，聯(lián)立，整理得：，則，解得，，，設(shè)直線的斜率與直線的斜率分別為，，則，故直線的斜率與直線的斜率之和是定值.17．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，離心率為，直線與橢圓C交于點(diǎn)A，B，.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)P是C上與A，不重合的動(dòng)點(diǎn)，且直線PA，與x軸分別交于G，H兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：為定值.【答案】(1)(2)證明見解析【解析】（1）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，連接，由橢圓的對(duì)稱性可得，所以，得，因?yàn)闄E圓的離心率，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，，則，所以，，兩式相減得，直線的方程為，取，得，所以，同理可得，所以所以為定值2.18．（2022·重慶江北·?？家荒＃┮阎獧E圓的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為，過F且斜率不為0的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，C為線段AB的中點(diǎn)，當(dāng)直線l的斜率為1時(shí)，線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)O（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），且．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線DA，DB分別交直線于點(diǎn)M，N，求證：以MN為直徑的圓恒過點(diǎn)F．【答案】(1)(2)證明見解析【解析】（1）由題易知，當(dāng)直線l的斜率為1時(shí)，為等腰直角三角形，所以，又，，所以，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由（1）知，設(shè)直線AB的方程為，，，把直線AB的方程與橢圓方程聯(lián)立，整理得，，則，．設(shè)，，由M，A，D三點(diǎn)共線得，得，同理，由N，B，D三點(diǎn)共線，得．，所以，故以MN為直徑的圓恒過點(diǎn)F．19．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知A是橢圓C：的左頂點(diǎn)，直線l與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，滿足.當(dāng)P的坐標(biāo)為時(shí)，的面積為（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)F是橢圓C的右焦點(diǎn)，求四邊形PAQF面積的最大值.【答案】(1)(2)【解析】（1）解：將代入C的方程，得

①.因?yàn)榈拿娣e為，所以，得②.（技巧：根據(jù)已知條件選擇合適的量求三角形的面積）由①②得，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）易知，，直線PQ的斜率不為0，故可設(shè)直線PQ的方程為，（技巧：根據(jù)題意判斷直線PQ的斜率情況，并巧設(shè)直線的方程，避免討論）聯(lián)立方程，得，整理得，，得.設(shè)，，則，.因?yàn)?，所以，即，所以，即，所以，整理得，解得或（舍去），（注意m的范圍）所以，.所以.令，則，，由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性知，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，故四邊形PAQF面積的最大值為.20．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在C上，且．(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點(diǎn)P關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為Q，不過點(diǎn)P且斜率為的直線與C相交于M，N兩點(diǎn)，直線PM與QN交于點(diǎn)，求的值．【答案】(1)(2)1【解析】（1）由題意可知，，解得，，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．（2）設(shè)，，直線MN的方程為，由得，直線MN與C相交于M，N兩點(diǎn)，，則．由題意知，，當(dāng)直線PM，QN的斜率均存在時(shí)，，，所以直線PM的方程為，直線QN的方程為．兩方程聯(lián)立得，，顯然，又，所以，當(dāng)直線PM的斜率不存在時(shí)，易求得直線PM的方程為，直線QN的方程為，則，，所以．當(dāng)直線QN的斜率不存在時(shí)，易求得直線QN的方程為，直線PM的方程為，則，，所以．綜上，.21．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)E為直線與的一個(gè)交點(diǎn)（異于點(diǎn)A），當(dāng)時(shí)，點(diǎn)E在y軸上.(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點(diǎn)F為過點(diǎn)A且斜率為的直線與的一個(gè)交點(diǎn)（異于點(diǎn)A），求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)(2)證明見解析，【解析】（1）由題意知，直線，即，則直線過點(diǎn)A，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，點(diǎn)E在y軸上，又E在橢圓上，所以當(dāng)E在y軸上時(shí)，E為橢圓的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)，又，所以E為橢圓的上頂點(diǎn)，所以，又點(diǎn)E在直線上，所以，解得，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，此時(shí)的斜率為，這與的斜率為相矛盾，所以直線的斜率存在.設(shè)直線的方程為，由，消去y，得，需滿足，設(shè)，，，則，.由題意得，，則，得，即，所以，所以，即，解得或.若，則直線的方程為，即，則直線恒過定點(diǎn)，不符合題意.若，則直線的方程為，即，則直線恒過定點(diǎn)，綜上，直線恒過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為.22．（2023·四川南充·四川省南部中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓的離心率，點(diǎn)在橢圓上.(1)求橢圓的方程；(2)過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，試探究在軸上是否存在定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出該定值及點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由【答案】(1)(2)存在，定點(diǎn)，定值為【解析】（1）由題意得，解得：；故橢圓的方程為：；（2）當(dāng)直線斜率不為時(shí)，設(shè)直線，與聯(lián)立得：，設(shè)，則，故，，又，則，故，令，解得：，此時(shí)為定值，當(dāng)直線斜率為時(shí)，此時(shí)直線，不妨令，，滿足要求，綜上：存在定點(diǎn)為定值，該定值為23．（2023·廣東梅州·統(tǒng)考一模）已知?jiǎng)訄A經(jīng)過定點(diǎn)，且與圓：內(nèi)切.(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；(2)設(shè)軌跡與軸從左到右的交點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)為軌跡上異于的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)交直線于點(diǎn)，連結(jié)交軌跡于點(diǎn).直線?的斜率分別為?.（i）求證：為定值；（ii）證明直線經(jīng)過軸上的定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)(2)（i）證明見解析；（ii）證明見解析，定點(diǎn)【解析】（1）設(shè)動(dòng)圓的半徑為，由題意得圓的圓心為，半徑；所以，，則.所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓.因此軌跡方程為.（2）（i）設(shè)，，.由題可知，，如下圖所示：則，，而，于是，所以，又，則，因此為定值.（ii）設(shè)直線的方程為，，.由，得，所以.由（i）可知，，即，化簡(jiǎn)得，解得或（舍去），所以直線的方程為，因此直線經(jīng)過定點(diǎn).24．（2023·山西臨汾·統(tǒng)考一模）已知用周長(zhǎng)為36的矩形截某圓錐得到橢圓與矩形的四邊都相切且焦距為，__________.①為等差數(shù)列；②為等比數(shù)列.(1)在①②中任選一個(gè)條件，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)（1）中所求的左?右焦點(diǎn)分別為，過作直線與橢圓交于兩點(diǎn)，為橢圓的右頂點(diǎn)，直線分別交直線于兩點(diǎn)，求以為直徑的圓是否過定點(diǎn)，若是求出該定點(diǎn)；若不是請(qǐng)說明理由【答案】(1)(2)存在，和.【解析】（1）選①，由題意解得所以的標(biāo)椎方程為.選②，由題意解得所以的標(biāo)椎方程為.（2）①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，的方程為，不妨設(shè)在軸上方，則，的方程為，令，得，所以，同理，所以以為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，聯(lián)立得，由韋達(dá)定理得.因?yàn)?，所以的方程為，令，得，即的坐?biāo)為，同理的坐標(biāo)為，所以以為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為將韋達(dá)定理代入并整理得，令，則，解得或.當(dāng)斜率不存在時(shí)，令，則，解得或.由①②知，以為直徑的圓過和.25．（2023·四川南充·?？寄M預(yù)測(cè)）已知直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，且(1)求的方程(2)若直線與交于兩點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，試問直線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，說明理由【答案】(1)(2)過定點(diǎn)，【解析】（1）將代入，得，則，則，解得，故的方程為（2）設(shè)，則，聯(lián)立方程組，整理得，則，所以，因此直線的方程為，整理得，即，當(dāng)時(shí)，，故直線過定點(diǎn).26（2023·陜西榆林·統(tǒng)考一模）已知是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，圓經(jīng)過的一個(gè)頂點(diǎn).(1)求的方程；(2)若直線與相交于兩點(diǎn)（異于點(diǎn)），記直線與直線的斜率分別為，且，求的值.【答案】(1)(2)【解析】（1）因?yàn)槭堑囊粋€(gè)頂點(diǎn)，所以.又圓與坐標(biāo)軸交于兩點(diǎn)，圓經(jīng)過的一個(gè)頂點(diǎn),則頂點(diǎn)為，故，故的方程為.（2）設(shè)，聯(lián)立方程組，消去整理得，，則，，因?yàn)?，所以，整理得，則，則，即，解得或，當(dāng)時(shí)，在上，不符合題意，時(shí)，符合題意，故.27．（2023·黑龍江·黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃┮阎獧E圓經(jīng)過點(diǎn)，且橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，直線與軸相交于點(diǎn)，求的面積的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】（1）解：因?yàn)闄E圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，則，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程可得，可得，所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）解：若與軸重合，則不存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，若，則點(diǎn)與點(diǎn)重合，不合乎題意，所以，，聯(lián)立可得，，由韋達(dá)定理可得，，易知點(diǎn)，，直線的方程為，將代入直線的方程可得，即點(diǎn)，，所以，，令，則函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，，所以，.故的面積的取值范圍是.28．（2023·全國(guó)·唐山市第十一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知拋物線，是軸下方一點(diǎn)，為上不同兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)均在上.(1)若的中點(diǎn)為，證明：軸；(2)若在曲線上運(yùn)動(dòng)，求面積的最大值.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）設(shè)，，，則的中點(diǎn)在拋物線上，所以，化簡(jiǎn)得，同理由的中點(diǎn)在拋物線上可得，因?yàn)?，所以是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)不等實(shí)根，所以，，所以的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，它與的橫坐標(biāo)相同，所以軸.（2）不妨設(shè)，則，由軸，得，因?yàn)樵谇€上運(yùn)動(dòng)，是軸下方一點(diǎn)，所以，且，所以，因?yàn)榈闹悬c(diǎn)的縱坐標(biāo)為，所以，又，所以，令，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，所以當(dāng)時(shí)，取最大值.29．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，左、右頂點(diǎn)及上頂點(diǎn)分別記為、、，且.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)過的直線交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，若直線、與直線l：分別交于M、N兩點(diǎn)，l與x軸的交點(diǎn)為K，則是否為定值？若為定值，請(qǐng)求出該定值；若不為定值，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(2)為定值【解析】（1）解：依題意，，，所以，，由，可得，即，解得或（舍去），故，，所以橢圓的方程為.（2）解：設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立，消去整理得，所以，，直線的方程為，令，得，同理可得，所以，故為定值.30．（2023·福建·統(tǒng)考一模）已知橢圓的離心率為，其左焦點(diǎn)為．(1)求的方程；(2)如圖，過的上頂點(diǎn)作動(dòng)圓的切線分別交于兩點(diǎn)，是否存在圓使得是以為斜邊的直角三角形？若存在，求出圓的半徑；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)不存在，理由見解析【解析】（1）由題意設(shè)焦距為，則，由離心率為，所以，則，的方程為．（2）不存在，證明如下：假設(shè)存在圓滿足題意，當(dāng)圓過原點(diǎn)時(shí)，直線與軸重合，直線的斜率為0，不合題意．依題意不妨設(shè)為：，：，，，圓的半徑為，則圓心到直線的距離為，即是關(guān)于的方程的兩異根，此時(shí)，再聯(lián)立直線與橢圓方程得，所以，即，得所以，同理由，得，由題意，，即，此時(shí)，所以，因?yàn)?，所以方程無解，命題得證．31．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓：的離心率為，過左焦點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)為上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線為，過點(diǎn)與垂直的直線為，求證：與的交點(diǎn)在定直線上，并求出該定直線的方程.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析，，【解析】（Ⅰ）由題可知，直線的斜率存在.設(shè)，，由于點(diǎn)，都在橢圓上，所以①，②，①-②，化簡(jiǎn)得③又因?yàn)殡x心率為，所以.又因?yàn)橹本€過焦點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，所以，，，代入③式，得，解得.再結(jié)合，解得，，故所求橢圓的方程為.（Ⅱ）證明：設(shè)，由對(duì)稱性，設(shè)，由，得橢圓上半部分的方程為，，又過點(diǎn)且與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以，所以：，④因?yàn)檫^點(diǎn)且與垂直，所以：，⑤聯(lián)立④⑤，消去，得，又，所以，從而可得，所以與的交點(diǎn)在定直線上.32．（2022·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知為的兩個(gè)頂點(diǎn)，為的重心，邊上的兩條中線長(zhǎng)度之和為6.(1)求點(diǎn)的軌跡的方程.(2)已知點(diǎn)，直線與曲線的另一個(gè)公共點(diǎn)為，直線與交于點(diǎn)，求證：當(dāng)點(diǎn)變化時(shí)，點(diǎn)恒在一條定直線上.【答案】(1)(2)證明見解析【解析】（1）因?yàn)闉榈闹匦?，且邊上的兩條中線長(zhǎng)度之和為6，所以,故由橢圓的定義可知的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓（不包括長(zhǎng)軸的端點(diǎn)），且，所以，所以的軌跡的方程為；（2）設(shè)直線的方程為：，，聯(lián)立方程得：，則，所以，又直線的方程為：，又直線的方程為：，聯(lián)立方程得：，把代入上式得：，所以當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)恒在定直線上33（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，圓，，C為圓A上一點(diǎn)，線段BC的垂直平分線與線段AC交于點(diǎn)P，記點(diǎn)P的軌跡為曲線E．(1)求曲線E的方程；(2)若過點(diǎn)且斜率存在的直線l交曲線E于點(diǎn)M，N，線段MN上存在點(diǎn)S使得，求的最小值．【答案】(1)(2)【解析】（1）連接BP，∵P在線段BC的垂直平分線上，∴，∴，又，∴曲線E是長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，B，A分別為左、右焦點(diǎn)的橢圓．又，∴曲線E的方程為．（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為，此時(shí)，或，，此時(shí).當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為，，，，易知點(diǎn)D在曲線E外，則，，∴，解得．聯(lián)立，得，整理得，方程,的判別式,解得或.又，，則①．∵點(diǎn)在直線上，∴②．由①得，由②得，∴，整理得，∴點(diǎn)在線段（在橢圓內(nèi)部，）上運(yùn)動(dòng)．故點(diǎn)在線段（在橢圓內(nèi)部）上運(yùn)動(dòng)．記為關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于，則當(dāng)與重合時(shí)最小，最小值為．連接交于，則為的中點(diǎn)，∵，的斜率為，∴直線的斜率為5，又，∴直線的方程為．聯(lián)立方程，得，得，得，∴，∴的最小值為．34．（2023·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為軸、軸，且過、兩點(diǎn).(1)求的方程；(2)若，過的直線與交于、兩點(diǎn)，求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【解析】（1）解：設(shè)橢圓的方程為，將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入橢圓的方程可得，解得，因此，橢圓的方程為.（2）證明：若直線與軸重合，則、為橢圓長(zhǎng)軸的端點(diǎn)，不妨設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，則，，成立；若直線不與軸重合，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立可得，，由韋達(dá)定理可得，，，所以，軸平分，所以，.綜上所述，.35．（2023·湖北·宜昌市一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)點(diǎn)A為雙曲線的左頂點(diǎn),直線l經(jīng)過點(diǎn),與C交于不與點(diǎn)A重合的兩點(diǎn)P,Q．(1)求直線的斜率之和;(2)設(shè)在射線上的點(diǎn)R滿足,求直線的斜率的最大值．【答案】(1)(2)【解析】（1）由題知.由于平移不改變斜率,作平移變換.則點(diǎn)的坐標(biāo)變?yōu)?點(diǎn)的坐標(biāo)變?yōu)殡p曲線方程變?yōu)?即①設(shè)點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率為,則.①式兩邊同除以,得,即②由題知,直線PQ不過點(diǎn),所以設(shè)直線因?yàn)橹本€PQ過點(diǎn),所以,即,所以所以,代入(2)得方程的兩根即為AP,AQ的斜率,由韋達(dá)定理所以直線AP,AQ的斜率之和為（2）(2)設(shè)AP斜率為斜率為聯(lián)立,得.聯(lián)立,得.由可知,AP為外接圓的切線,且設(shè)所以即,即當(dāng)時(shí)取等所以,直線PR的斜率的最大值為36．（2023·山西·統(tǒng)考一模）雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為，，焦點(diǎn)到漸近線的距離為，且過點(diǎn).(1)求雙曲線的方程；(2)若直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，且，證明直線過定點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見解析【解析】（1）由雙曲線可得漸近線為，不妨取漸近線即由焦點(diǎn)到漸近線的距離為可得，即由題意得，得，從而雙曲線的方程為.（2）設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，由題意可知：直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立直線與雙曲線方程得，于是，從而，從而，聯(lián)立直線與雙曲線方程得，于是，從而，從而，于是，從而，化簡(jiǎn)得，從而過定點(diǎn).37．（2023·四川南充·四川省南充高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓：的右焦點(diǎn)為在橢圓上，的最大值與最小值分別是6和2.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)若橢圓的左頂點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與橢圓交于（異于點(diǎn)）兩點(diǎn)，直線分別與直線交于兩點(diǎn)，試問是否為定值?若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(2)是定值，定值為【解析】（1）設(shè)橢圓的焦距為，由題意可得，解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）得，當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，，代入橢圓方程，解得，.所以直線的方程為，令，得，則，直線的方程為，令，得，則，所以，，則，即，若為定值，則必為，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線，，，聯(lián)立整理得，，則，，直線的方程為，令，得，則，直線的方程為，令，得，則，因?yàn)?，所以，，則，故，即.綜上，為定值.38．（2023·廣西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知點(diǎn)是焦點(diǎn)為的拋物線：上一點(diǎn)，，是拋物線上異于的兩點(diǎn)，且直線，的傾斜角互補(bǔ)，若直線的斜率為.(1)證明：直線的斜率為定值；(2)在中，記，，求最大值.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）將點(diǎn)代入拋物線方程可得：，拋物線：設(shè)直線方程為：，與拋物線方程聯(lián)立可得：，所以，用代可得：，因此，即，故直線的斜率為定值.（2）由（1）可知，，將帶入直線方程，解得則，用代可得：，因此直線方程：，到直線的距離所以因?yàn)?，所以，令，易得此函?shù)在時(shí)為單調(diào)增函數(shù)，則，所以當(dāng)且僅當(dāng)（負(fù)值舍去）時(shí)取等號(hào)39．（2023·陜西商洛·?？既＃┮阎獧E圓C：（）離心率為，短軸長(zhǎng)為2，雙曲線E：的離心率為，且.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過橢圓C的右焦點(diǎn)的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交直線l：于點(diǎn)M，交直線于點(diǎn)N，當(dāng)最小時(shí)，求直線的方程.【答案】(1)(2)或【解析】（1）雙曲線的離心率，由，則，其中，所以，即橢圓方程為：（2）當(dāng)直線的斜率存在且為零時(shí)，其垂直平分線與直線l平行，不滿足題意，故直線的斜率不為零，可設(shè)直線的方程為，，，.聯(lián)立直線與橢圓C的方程，消去x得，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，則，由，則，又則當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).此時(shí)直線的方程為或.故當(dāng)最小時(shí)，直線的方程為或.40．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn).（1）求橢圓E的方程；（2）若過點(diǎn)的任意直線與橢圓E相交